第32講、解三角形（學(xué)生版）

⑤在中，內(nèi)角成等差數(shù)列．知識(shí)點(diǎn)三：實(shí)際應(yīng)用（1）仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖①）．（2）方位角從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α（如圖②）．（3）方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角．（1）北偏東α，即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向（如圖③）．（2）北偏西α，即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向．（3）南偏西等其他方向角類似．（4）坡角與坡度（1）坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖④，角θ為坡角）．（2）坡度：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比（如圖④，i為坡度）．坡度又稱為坡比．【解題方法總結(jié)】1、方法技巧：解三角形多解情況在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解無解2、在解三角形題目中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：（1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；（3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到．3、三角形中的射影定理在中，；；．必考題型全歸納題型一：正弦定理的應(yīng)用例1．（2024·福建龍巖·高三校聯(lián)考期中）在中，角所對(duì)的邊分別為，若，則（

）A． B． C． D．例2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，設(shè)命題p：，命題q：是等邊三角形，那么命題p是命題q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例3．（2024·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若且，，則（

）A． B． C．8 D．4變式1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，且，則（

）A． B． C． D．變式2．（2024·河南鄭州·高三鄭州外國(guó)語中學(xué)校考階段練習(xí)），，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊．已知，，則外接圓的面積為（

）A． B． C． D．變式3．（2024·甘肅蘭州·高三蘭州五十一中?？计谥校鰽BC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則（

）A． B． C． D．變式4．（2024·寧夏·高三六盤山高級(jí)中學(xué)校考期中）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c．若，則的值為（

）A． B． C．1 D．變式5．（2024·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，則c＝（

）A．4 B．6 C． D．【解題方法總結(jié)】（1）已知兩角及一邊求解三角形；（2）已知兩邊一對(duì)角；．（3）兩邊一對(duì)角，求第三邊．題型二：余弦定理的應(yīng)用例4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為滿足且，則（

）A． B．C． D．例5．（2024·河南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，若，則（

）A． B． C．或 D．或例6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，且，則（

）A． B． C． D．變式6．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，則（

）A．0 B．1 C．2 D．變式7．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，且，則的值為（

）A．1 B． C． D．2【解題方法總結(jié)】（1）已知兩邊一夾角或兩邊及一對(duì)角，求第三邊．（2）已知三邊求角或已知三邊判斷三角形的形狀，先求最大角的余弦值，若余弦值題型三：判斷三角形的形狀例7．（2024·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）在中內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形例8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形例9．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形變式8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，且，則的形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形變式9．（2024·河南周口·高三?？茧A段練習(xí)）已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為．若，則該三角形的形狀一定是（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．銳角三角形變式10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形 D．銳角三角形變式11．（2024·北京·高三101中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則的形狀為（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等邊三角形【解題方法總結(jié)】（1）求最大角的余弦，判斷是銳角、直角還是鈍角三角形．（2）用正弦定理或余弦定理把條件的邊和角都統(tǒng)一成邊或角，判斷是等腰、等邊還是直角三角形．題型四：正、余弦定理與的綜合例10．（2024·河南南陽·統(tǒng)考二模）銳角是單位圓的內(nèi)接三角形，角的對(duì)邊分別為，且，則等于（

）A．2 B． C． D．1例11．（2024·河北唐山·高三開灤第二中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，.(1)求證：；(2)若，求.例12．（2024·重慶·統(tǒng)考三模）已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，．(1)求；(2)若，求．變式12．（2024·山東濱州·統(tǒng)考二模）已知的三個(gè)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．(1)若，求；(2)求的值．變式13．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，，則（

）A． B． C． D．變式14．（2024·青海·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，若的面積是，則（

）A． B． C． D．變式15．（2024·全國(guó)·校聯(lián)考三模）已知a，b，c分別為的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，.(1)求證：a，b，c成等比數(shù)列；(2)若，求的值.變式16．（2024·天津武清·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知(1)求角的大??；(2)若，，求邊及的值．【解題方法總結(jié)】先利用平面向量的有關(guān)知識(shí)如向量數(shù)量積將向量問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)形式，再利用三角函數(shù)轉(zhuǎn)化求解．題型五：解三角形的實(shí)際應(yīng)用方向1：距離問題例13．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）山東省科技館新館目前成為濟(jì)南科教新地標(biāo)（如圖1），其主體建筑采用與地形吻合的矩形設(shè)計(jì)，將數(shù)學(xué)符號(hào)“”完美嵌入其中，寓意無限未知?無限發(fā)展?無限可能和無限的科技創(chuàng)新.如圖2，為了測(cè)量科技館最高點(diǎn)A與其附近一建筑物樓頂B之間的距離，無人機(jī)在點(diǎn)C測(cè)得點(diǎn)A和點(diǎn)B的俯角分別為75°，30°，隨后無人機(jī)沿水平方向飛行600米到點(diǎn)D，此時(shí)測(cè)得點(diǎn)A和點(diǎn)B的俯角分別為45°和60°（A，B，C，D在同一鉛垂面內(nèi)），則A，B兩點(diǎn)之間的距離為______米.例14．（2024·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)校考期中）一游客在處望見在正北方向有一塔，在北偏西45°方向的處有一寺廟，此游客騎車向西行后到達(dá)處，這時(shí)塔和寺廟分別在北偏東30°和北偏西15°，則塔與寺廟的距離為______.例15．（2024·河南鄭州·高三統(tǒng)考期末）如圖，為了測(cè)量?jī)牲c(diǎn)間的距離，選取同一平面上的，兩點(diǎn)，測(cè)出四邊形各邊的長(zhǎng)度（單位：km）：，，，，且四點(diǎn)共圓，則的長(zhǎng)為_________.變式17．（2024·山東東營(yíng)·高三廣饒一中?？茧A段練習(xí)）如圖，一條巡邏船由南向北行駛，在A處測(cè)得燈塔底部C在北偏東方向上，勻速向北航行20分鐘到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得燈塔底部C在北偏東方向上，測(cè)得塔頂P的仰角為，已知燈塔高為．則巡邏船的航行速度為______．方向2：高度問題例16．（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，某中學(xué)某班級(jí)課外學(xué)習(xí)興趣小組為了測(cè)量某座山峰的高度，先在山腳處測(cè)得山頂處的仰角為，又利用無人機(jī)在離地面高的處（即），觀測(cè)到山頂處的仰角為，山腳處的俯角為，則山高_(dá)________m．

例17．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《海島算經(jīng)》記錄了一個(gè)計(jì)算山高的問題（如圖1）：今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表相直.從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合.從后表卻行百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合.問島高及去表各幾何?假設(shè)古代有類似的一個(gè)問題，如圖2，要測(cè)量海島上一座山峰的高度AH，立兩根高48丈的標(biāo)桿BC和DE，兩竿相距BD=800步，D，B，H三點(diǎn)共線且在同一水平面上，從點(diǎn)B退行100步到點(diǎn)F，此時(shí)A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線，從點(diǎn)D退行120步到點(diǎn)G，此時(shí)A，E，G三點(diǎn)也共線，則山峰的高度AH=_________步.（古制單位:180丈=300步）

例18．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和應(yīng)用能力，某校數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)學(xué)校雕像“月亮上的讀書女孩”進(jìn)行測(cè)量，在正北方向一點(diǎn)測(cè)得雕塑最高點(diǎn)仰角為30°，在正東方向一點(diǎn)測(cè)得雕塑最高點(diǎn)仰角為45°，兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)之間距離約為米，則雕塑高為______變式18．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）山西應(yīng)縣木塔（如圖1）是世界上現(xiàn)存最古老、最高大的木塔，是中國(guó)古建筑中的瑰寶，是世界木結(jié)構(gòu)建筑的典范．如圖2，某校數(shù)學(xué)興趣小組為測(cè)量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物，高為米，塔頂在地面上的射影為，在地面上再確定一點(diǎn)（，，三點(diǎn)共線），測(cè)得約為57米，在點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為30°和60°，則該小組估算的木塔的高度為__________米．方向3：角度問題例19．（2024·福建廈門·高三廈門一中?？计谥校┳闱蚴且豁?xiàng)很受歡迎的體育運(yùn)動(dòng)．如圖，某標(biāo)準(zhǔn)足球場(chǎng)的B底線寬碼，球門寬碼，球門位于底線的正中位置．在比賽過程中，攻方球員帶球運(yùn)動(dòng)時(shí)，往往需要找到一點(diǎn)P，使得最大，這時(shí)候點(diǎn)P就是最佳射門位置．當(dāng)攻方球員甲位于邊線上的點(diǎn)O處時(shí)，根據(jù)場(chǎng)上形勢(shì)判斷，有、兩條進(jìn)攻線路可供選擇．若選擇線路，則甲帶球______碼時(shí)，到達(dá)最佳射門位置．例20．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）當(dāng)太陽光線與水平面的傾斜角為時(shí)，一根長(zhǎng)為的竹竿，要使它的影子最長(zhǎng)，則竹竿與地面所成的角________．例21．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處至景點(diǎn)C處有兩條線路．線路1是從A沿直線步行到C，線路2是先從A沿直線步行到景點(diǎn)B處，然后從B沿直線步行到C．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處同時(shí)出發(fā)勻速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走線路2，乙走線路1，最后他們同時(shí)到達(dá)C處．經(jīng)測(cè)量，AB＝1040m，BC＝500m，則sin∠BAC等于________．變式19．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）最大視角問題是1471年德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒提出的幾何極值問題，故最大視角問題一般稱為“米勒問題”.如圖，樹頂A離地面a米，樹上另一點(diǎn)B離地面b米，在離地面米的C處看此樹，離此樹的水平距離為___________米時(shí)看A，B的視角最大.【解題方法總結(jié)】根據(jù)題意畫出圖形，將題設(shè)已知、未知顯示在圖形中，建立已知、未知關(guān)系，利用三角知識(shí)求解．題型六：倍角關(guān)系例22．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.(1)證明：；(2)若，求的面積.例23．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c（a，b，c互不相等），且滿足.（1）求證：；（2）若，求.例24．（2024·江蘇·高三江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，若．(1)求證：；(2)若，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，，，求邊長(zhǎng)．變式20．（2024·陜西咸陽·武功縣普集高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知分別是的角的對(duì)邊，.(1)求證：；(2)求的取值范圍.變式21．（2024·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語高級(jí)中學(xué)校考三模）已知分別為銳角ABC內(nèi)角的對(duì)邊，．(1)證明：；(2)求的取值范圍．變式22．（2024·福建三明·高三統(tǒng)考期末）非等腰的內(nèi)角、、的對(duì)應(yīng)邊分別為、、，且.(1)證明：；(2)若，證明：.題型七：三角形解的個(gè)數(shù)例25．（2024·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）中，角的對(duì)邊分別是，，.若這個(gè)三角形有兩解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．例26．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情況為（

）A．一個(gè)解 B．二個(gè)解 C．無解 D．無法確定例27．（2024·河南南陽·高三統(tǒng)考期中）在中，，，.若滿足條件的有且只有一個(gè)，則的可能取值是（

）A． B． C． D．變式23．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，則下列條件能確定三角形有兩解的是（

）A．B．C．D．變式24．（2024·北京朝陽·高三專題練習(xí)）在下列關(guān)于的四個(gè)條件中選擇一個(gè)，能夠使角被唯一確定的是：（

）①②；③；④.A．①② B．②③ C．②④ D．②③④變式25．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若滿足的不唯一，則m的取值范圍為（

）A． B．C． D．變式26．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，，，若該三角形有兩個(gè)解，則邊范圍是（

）A． B． C． D．變式27．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若滿足的恰有一個(gè)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解題方法總結(jié)】三角形解的個(gè)數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷．題型八：三角形中的面積與周長(zhǎng)問題例28．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）在中，若，且，則的面積為（

）A． B． C． D．例29．（2024·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）在中，內(nèi)角A，，所對(duì)的邊分別為，，，，為上一點(diǎn)，，，則的面積為（

）A． B． C． D．例30．（2024·四