2023藝術(shù)生新高考數(shù)學(xué)講義 第37講 圓錐曲線常規(guī)解答題（學(xué)生版+解析版）

第37講圓錐曲線常規(guī)解答題

【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】

一、直線/與圓錐曲線c的位置關(guān)系的判斷

判斷直線/與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線/的方程Ax+By+c=0

代入圓錐曲線C的方程尸（x,y）=O，消去y（也可以消去x）得到關(guān)系一個(gè)變量的

Ax+By+c=0,3

一元二次方程,，即/C，消去y后得依2+區(qū)+c=0

Fg)=0

（1）當(dāng)a=0時(shí)，即得到一個(gè)一元一次方程，則/與C相交，且只有一個(gè)交點(diǎn),此時(shí)，

若C為雙曲線,則直線/與雙曲線的漸近線平行;若C為拋物線，則直線/與拋物線

的對(duì)稱軸平行

（2）當(dāng)awO時(shí),△>（），直線/與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；A=0,直線/與曲

線C相切，即有唯一的公共點(diǎn)（切點(diǎn)）；A<0，直線/與曲線C

二、圓錐曲線的弦

連接圓錐曲線上兩點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的弦

直線l:f{x,y]=Q，曲線C:F（x,y）=O,A,B為/與C的兩個(gè)不同的交點(diǎn)，坐標(biāo)分別為

A（x22）,則（5為）是方程組的兩組解,

尸［,y)=0

方程組消元后化為關(guān)于尤或y的一元二次方程A/+Bx+c=0（ANO）,判別式

A=B2-4AC，應(yīng)有A>0，所以“與是方程A/+8x+c=0的根,由根與系數(shù)關(guān)

系（韋達(dá)定理）求出/+Z=-且，尤再=￡，所以A8兩點(diǎn)間的距離為

AA

22

|AB|=V1+k\xf-X2|=yjl+kJ（X[+x?）2=J1+^??，即弦長(zhǎng)公式，弦長(zhǎng)

一一|AI

公式也可以寫成關(guān)于y的形式

2

,同=&+公認(rèn)-y2|=Jl+k瓜+川一4yM伍豐。）

三、定值問題

解析幾何中定值問題的證明可運(yùn)用函數(shù)的思想方法來解決.證明過程可總結(jié)為“變量一函數(shù)一定值”，具

體操作程序如下：

（1）變量--選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞?

（2）函數(shù)--把要證明為定值的量表示成變量的函數(shù).

（3）定值--化簡(jiǎn)得到的函數(shù)解析式，消去變量得到定值.

求定值問題常見的方法有兩種：

（1）從特殊情況入手，求出定值，再證明該定值與變量無關(guān)；

（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理過程中消去變量，從而得到定值.

四、求最值問題常用的兩種方法

（1）幾何法：題中給出的條件有明顯的幾何特征，則考慮用幾何圖形性質(zhì)來解決，這是幾何法.

（2）代數(shù)法：題中給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求該函數(shù)的最值.求

函數(shù)的最值常見的方法有基本不等式法、單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法和三角換元法等，這就是代數(shù)法.

五、求定值、最值等圓錐曲線綜合問題的“三重視”

（1）重視定義在解題中的作用（把定義作為解題的著眼點(diǎn)）.

（2）重視曲線的幾何特征特別是平面幾何性質(zhì)與方程的代數(shù)特征在解題中的作用.

（3）重視根與系數(shù)的關(guān)系在解題中的作用（涉及弦長(zhǎng)、中點(diǎn)要用根與系數(shù)的關(guān)系）.

【典型例題】

例1.（2020?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)拋物線C：爐=2加（〃＞0）的焦點(diǎn)為/，/（°,0-1）是。上的點(diǎn).

（1）求C的方程：

（2）若直線/：丫=依+2與C交于A,B兩點(diǎn)，且|A斗怛?|=13,求上的值.

例2.（2020?全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓!+￡=人＞0）過點(diǎn)/（0,2）,離心率e邛.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線＞=x+l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，求LMB.

22o

例3.（2021.寧夏.海原縣第一中學(xué)高三期末（理））設(shè)橢圓c：3+}=l（a＞人＞0）過點(diǎn)（0,4）,離心率為己

（1）求C的方程；

（2）求過點(diǎn)”（3,1）且以M點(diǎn)為中點(diǎn)的弦的方程.

2

例4.（2021?江蘇.南京市中華中學(xué)高三階段練習(xí)）已知雙曲線E:尤2一當(dāng)=i（b＞o）的離心率為2.

b~

（1）求雙曲線E的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)P（0,-3）,過點(diǎn)。（0,1）的直線/交E于不同的兩點(diǎn)A,B,求直線B4,尸8的斜率之和.

例5.（2021?全國?高三專題練習(xí)（文））在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)廠（1,0）,直線/：x=-l,點(diǎn)尸在直

線/上移動(dòng)，R是線段尸尸與y軸的交點(diǎn)，RQLFP,PQ"

(I)求動(dòng)點(diǎn)。的軌跡c的方程；

(2)直線x=7砂+4與曲線C交于A,B兩點(diǎn)，函.礪是否為定值，若是求出該定值，若不是說明

例6.(2020?全國?高三專題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/與拋物線儼=4x相交于不同的兩點(diǎn)A,

B,且/不過原點(diǎn).

(1)若麗?礪=—4,證明直線/必過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)若證明直線/必過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)若直線/始終過點(diǎn)(1,0),證明：次.礪為定值，并求定值.

例7.(2022?全國?高三專題練習(xí))己知橢圓G：「+/=l(a>6>0)的離心率為母，橢圓G的長(zhǎng)軸是圓

。2：/+/=2的直徑

(1)求橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過橢圓G的右焦點(diǎn)尸作兩條相互垂直的直線4,其中4交橢圓G于尸，。兩點(diǎn)，4交圓C?于

N兩點(diǎn)，求四邊形PMQN面積的取值范圍.

【技能提升訓(xùn)練】

1.(2021?全國?高三專題練習(xí)(文))已知橢圓的長(zhǎng)軸在無軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,離心率為正,

2

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并指出它的短軸長(zhǎng)和焦距.

（2）直線》-2丫-2=0與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，求A,2兩點(diǎn)的距離.

2.（2021?河北省唐縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知橢圓W:上+/=1,直線/過點(diǎn)（0,-2）與橢圓W交于兩

4'

點(diǎn)A,8,。為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）設(shè)C為A3的中點(diǎn)，當(dāng)直線/的斜率為I■時(shí)，求線段OC的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)△。鉆面積等于1時(shí)，求直線/的斜率.

3.（2020?全國?高三專題練習(xí)）經(jīng)過橢圓工+9=1的左焦點(diǎn)尸1作傾斜角為60。的直線/,直線/與橢圓相交

2

于A,8兩點(diǎn)，求A8的長(zhǎng).

22

4.（2021.福建省廈門集美中學(xué)高三階段練習(xí)）橢圓E:二+與=l（a>b>0）的左右焦點(diǎn)分別為片，工，焦距

ab

為2&，。為原點(diǎn).橢圓E上任意一點(diǎn)到月，居距離之和為2道.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)尸（0,2）的斜率為2的直線/交橢圓E于A、8兩點(diǎn)，求的面積.

5.（2021?全國?高三專題練習(xí)）已知①如圖，長(zhǎng)為2VL寬為g的矩形ABCD,以A、8為焦點(diǎn)的橢圓

..x2y2

J卡鏟=1恰好過8兩點(diǎn)

②設(shè)圓（x+道>+;/=16的圓心為S,直線/過點(diǎn)7（石,0）,且與x軸不重合，直線/交圓S于8兩點(diǎn)，過點(diǎn)

T作SC的平行線交于M,判斷點(diǎn)M的軌跡是否橢圓

（1）在①②兩個(gè)條件中任選一個(gè)條件，求橢圓”的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）根據(jù)（1）所得橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程，若直線，：y=&+2與橢圓相交于尸、。兩點(diǎn)，求工.。。的最值.

6.（2021?吉林?長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）點(diǎn)"（x,y）與定點(diǎn)口（2,0）的距離和它到定直線彳=8的距

離的比是1:2.

（1）求點(diǎn)M的軌跡方程.

（2）求軌跡M的以（2,1）為中點(diǎn)的弦所在直線方程.

22

7.（2022?全國?高三專題練習(xí)（理））已知橢圓C：=+當(dāng)=13>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,離心率

ab

為叵,過點(diǎn)匕的直線/交橢圓C于A,3兩點(diǎn)，的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-：二）.

（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求AA鳥8的面積.

22_

8.（2021?全國?高三專題練習(xí)（理））已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C：=+與=Ka>b>0）,短軸長(zhǎng)為26，

ab

橢圓左頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為1.

（I）求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

2

（2）如圖，已知點(diǎn)尸（§,0）,點(diǎn)A是橢圓的右頂點(diǎn)，直線/與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)E,F,E,尸兩點(diǎn)都在x

軸上方，且=證明直線/過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

9.（2021?全國?高三專題練習(xí)）已知直線/：4x+3y+10=0,半徑為2的圓C與直線/相切，圓心C在x軸上且在

直線/的上方.

（1）求圓C的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)P（l,l）的直線4,被圓C截得弦長(zhǎng)等于26,求直線人的方程；

（3）過點(diǎn)/。,0）的直線與圓交于48兩點(diǎn)（A在x軸上方），問在無軸正半軸上是否存在點(diǎn)N,使得x軸平分

NAA有?若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

22

10.（2017?陜西渭南?二模（理））己知P,。是橢圓E:1r+%=1（。>6>0）上關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱的任意兩點(diǎn)，

且點(diǎn)P,Q都不在x軸上.

（1）若。（凡0）,求證：直線尸。和的斜率之積為定值;

（2）若橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,點(diǎn)A（O,1）在橢圓E上，設(shè)M,N是橢圓上異于點(diǎn)A的任意兩點(diǎn)，且4"，4V.問直

線兒W是否過一個(gè)定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

22

11.（2022.全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓C：'+當(dāng)=l（a>b>0）的右焦點(diǎn)后與拋物線V=4x的焦點(diǎn)重合，

ab

且其離心率為3.

（I）求橢圓c的方程.

（2）已知與坐標(biāo)軸不垂直的直線/與C交于N兩點(diǎn)，線段MN中點(diǎn)為P,問：為坐標(biāo)原點(diǎn)）

是否為定值？請(qǐng)說明理由.

12.（2021?全國?高三專題練習(xí)）已知①如圖，長(zhǎng)為2g,寬為1的矩形ABCD,以A、8為焦點(diǎn)的橢圓

②設(shè)圓（尤+右）2+y2=16的圓心為S,直線/過點(diǎn)7（出,0）,且與x軸不重合，直線/交圓5于口）兩點(diǎn)，過點(diǎn)

T作SC的平行線交SD于判斷點(diǎn)”的軌跡是否橢圓

（1）在①②兩個(gè)條件中任選一個(gè)條件，求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）根據(jù)（1）所得橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程，記4，4分別是橢圓“左、右頂點(diǎn)，若尸是橢圓“上的動(dòng)點(diǎn)，判

斷以”"產(chǎn)是否為定值，并說明理由.

13.（2021?陜西?西安中學(xué)高三階段練習(xí)（理））如圖所示，拋物線關(guān)于無軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)

P(l,2),A(xi,yi),8(X2,*)均在拋物線上.

（1）求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；

（2）當(dāng)B4與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，證明：直線的斜率為定值.

22

14.（2022.全國?高三專題練習(xí)）已知A3是橢圓下方=1（°>6>0）不垂直于x軸的任意一條弦，P是A3的

中點(diǎn)，。為橢圓的中心.求證：直線A3和直線OP的斜率之積是定值.

15.（2021?甘肅?嘉峪關(guān)市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知橢圓C：^+4=1（a>。，6>。），離心率為無，

a2b22

且點(diǎn)（后,在橢圓C上.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若橢圓C上的任意一點(diǎn)M（除短軸的端點(diǎn)外）與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與，的連線分別與x軸交于P,Q

兩點(diǎn)，求證|。叩。。|為定值.

16.（2021?山西運(yùn)城?模擬預(yù)測(cè)（理））已知尸（1,2）在拋物線C：y2=2px±..

（1）求拋物線C的方程；

（2）A,8是拋物線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線的斜率與直線尸8的斜率之和為2,證明：直線AB過

定點(diǎn).

fV22

17.（2021?江蘇?高三專題練習(xí)）已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓上+方=1（6>0）的離心率e=1,Fi,B分別是

橢圓的左、右焦點(diǎn)，Bi,比分別是橢圓的上、下頂點(diǎn)，尸是橢圓上任意一點(diǎn)（不與81,比，重合），。為坐

標(biāo)原點(diǎn).

（1）若線段的中點(diǎn)在y軸上，求陰的值；

（2）若直線尸51,尸治分別與l軸交于點(diǎn)"，N,求證：QM?|O川為定值.

18.（2019?江西九江?二模（文））已知橢圓C：二=1（a>6>0）的離心率為正，其內(nèi)接正方形的面

a2b22

積為4.

（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）設(shè)M為橢圓C的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)（36,0）且斜率不為0的直線/與橢圓C相交于P,。兩點(diǎn)，記直線

PM,QW的斜率分別為％,fe,求證：發(fā)業(yè)2為定值.

19.（2018?全國?一模（文））設(shè)不區(qū)為橢圓C：t+y=is>o）的左右焦點(diǎn)，〃為橢圓上一點(diǎn)，滿足岫工班,

4b-

已知三角形

叫鳥的面積為1.

⑴求。的方程：

⑵設(shè)C的上頂點(diǎn)為“,過點(diǎn)（2,-1）的直線與橢圓交于R、S兩點(diǎn)（異于丹）,求證：直線印?和的斜率之和為

定值，并求出這個(gè)定值.

20.（2021?廣西桂林?高三階段練習(xí)（文））在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓E中心在原點(diǎn)，焦距為2,

右準(zhǔn)線/的方程為無=3.過B的直線交E于A,B兩點(diǎn).

（1）求橢圓E的方程；

（2）若麗=2麗，求直線AS的方程.

22

21.（2020?四川鄲都?高三階段練習(xí)（文））在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C:訝+2=1（。>6>0）的

右焦點(diǎn)廠（1,0）,且離心率e=

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線/過點(diǎn)（0,&）且與橢圓相交于兩不同點(diǎn)A、B,求礪.礪的取值范圍.

22.（2016?寧夏?一模（理））已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在y軸上，離心率e=?,橢圓上的點(diǎn)

到焦點(diǎn)的最短距離為1-孝，直線1與y軸交于點(diǎn)P（0,m）,與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A、B,且彝=簟布.

（1）求橢圓方程；

（2）求機(jī)的取值范圍.

23.（2021?全國?高三專題練習(xí)）已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)尸（2,0）,一個(gè)頂點(diǎn)為4（百,0）.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）若直線/:y=fcc+后與雙曲線C的左右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，求上的取值范圍.

24.（2022.全國?高三專題練習(xí)（文））已知雙曲線C:，-]=l（a>0,6>0）的其中一個(gè)焦點(diǎn)為（岔,0）,一條漸

近線方程為2尤-y=0

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知傾斜角為一的直線/與雙曲線。交于A5兩點(diǎn)，且線段A5的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4,求直線/的方程.

4

25.（2021?全國?高三專題練習(xí)）已知雙曲線l5-5=1（“>0/>0）經(jīng)過點(diǎn)4：20',1）且實(shí)軸長(zhǎng)是半焦距的￥.

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線/與雙曲線C交于P,。兩點(diǎn)，且線段尸。的中點(diǎn)為（1,2）,求直線/的方程.

26.（2021?全國?高三專題練習(xí)）已知雙曲線C:旨-V=i.

（1）求與雙曲線C有共同的漸近線，且過點(diǎn)（-加,J萬的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線/與雙曲線C交于A、2兩點(diǎn)，且A、2的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1）,求直線/的斜率.

27.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知拋物線y=—N+3上存在關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱的相異兩點(diǎn)4、B,求

AB的長(zhǎng).

28.（2021?全國?高三專題練習(xí)）已知拋物線C的焦點(diǎn)為尸（九0）（機(jī)>0）,N為拋物線上一點(diǎn)，|NF|=4|O尸|

且SANFO=百?

（1）求拋物線c的方程；

（2）過點(diǎn)尸且斜率為左的直線/與C交于A,B兩點(diǎn)，|AB|=8,求直線/的方程.

29.（2020?全國?高三專題練習(xí)（文））已知拋物線y2=-x與直線>=左。+1）相交于A、B兩點(diǎn).

（1）求證：OA±OB；

（2）當(dāng)AOAB的面積等于加時(shí)，求上的值.

30.（2021.上海.高三專題練習(xí)）若拋物線丁=4x上存在關(guān)于直線>=履+3伏力0）對(duì)稱的兩點(diǎn)，求左的取值

范圍.

31.（2018?福建?莆田第十五中學(xué)高三階段練習(xí)）已知拋物線C頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦為點(diǎn)尸（1,0）.

（I）求拋物線C的方程；

（II）求拋物線C被直線l--y=x-2所截得的弦A3中點(diǎn)N的坐標(biāo).

第37講圓錐曲線常規(guī)解答題

【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】

一、直線/與圓錐曲線c的位置關(guān)系的判斷

判斷直線/與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線/的方程Ax+By+c=O

代入圓錐曲線C的方程尸（x,y）=O，消去y（也可以消去x）得到關(guān)系一個(gè)變量的

[Ax+By+c=0,,

一兀二次方程”即｛/（，消去y后得依~+6x+c=0

尸=0

（1）當(dāng)。=0時(shí)，即得到一個(gè)一元一次方程，則/與C相交，且只有一個(gè)交點(diǎn),此時(shí)，

若C為雙曲線,則直線/與雙曲線的漸近線平行;若C為拋物線，則直線/與拋物線

的對(duì)稱軸平行

（2）當(dāng)。片0時(shí),A>0，直線/與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；A=0,直線/與曲

線C相切，即有唯一的公共點(diǎn)（切點(diǎn)）；A<0，直線/與曲線C

二、圓錐曲線的弦

連接圓錐曲線上兩點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的弦

直線/"（尤,y）=0，曲線C:F（x,y）=O,A,B為/與C的兩個(gè)不同的交點(diǎn)，坐標(biāo)分別為

：%，為b則4（1乂），3（%,無）是方程組下"小的兩組解,

方程組消元后化為關(guān)于尤或y的一元二次方程A/+Bx+c=0（ANO）,判別式

A=B2-4AC，應(yīng)有A>0，所以%,4是方程4/+丘》+。=0的根,由根與系數(shù)關(guān)

系（韋達(dá)定理）求出馬+尤2=-且,%Z=￡,所以兩點(diǎn)間的距離為

AA

\AB\=J1+"-x2|=J1+公J?+%『_以占=Ji+E在，即弦長(zhǎng)公式，弦長(zhǎng)

公式也可以寫成關(guān)于y的形式

,同=&+/6-j2|=J1+左2他+為『-4yM（k豐0）

三、定值問題

解析幾何中定值問題的證明可運(yùn)用函數(shù)的思想方法來解決.證明過程可總結(jié)為“變量一函數(shù)一定值”，具

體操作程序如下：

（1）變量--選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞?

（2）函數(shù)--把要證明為定值的量表示成變量的函數(shù).

（3）定值--化簡(jiǎn)得到的函數(shù)解析式，消去變量得到定值.

求定值問題常見的方法有兩種：

（1）從特殊情況入手，求出定值，再證明該定值與變量無關(guān)；

（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理過程中消去變量，從而得到定值.

四、求最值問題常用的兩種方法

(1)幾何法：題中給出的條件有明顯的幾何特征，則考慮用幾何圖形性質(zhì)來解決，這是幾何法.

(2)代數(shù)法：題中給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求該函數(shù)的最值.求

函數(shù)的最值常見的方法有基本不等式法、單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法和三角換元法等，這就是代數(shù)法.

五、求定值、最值等圓錐曲線綜合問題的“三重視”

(1)重視定義在解題中的作用(把定義作為解題的著眼點(diǎn)).

(2)重視曲線的幾何特征特別是平面幾何性質(zhì)與方程的代數(shù)特征在解題中的作用.

(3)重視根與系數(shù)的關(guān)系在解題中的作用(涉及弦長(zhǎng)、中點(diǎn)要用根與系數(shù)的關(guān)系).

【典型例題】

例1.(2020?全國?高三專題練習(xí))設(shè)拋物線C：V=2py(p>o)的焦點(diǎn)為尸，/(〃°-1)是。上的點(diǎn).

(1)求C的方程：

(2)若直線/：、=履+2與C交于A,B兩點(diǎn)，且|/里?忸耳=13,求上的值.

【詳解】

(1)因?yàn)槭荂上的點(diǎn)，

所以p2=2p(p-l),

因?yàn)镻>0，解得P=2,

拋物線C的方程為V=4y.

(2)設(shè)8卜2，%)，

[y=kx+2

由<2/得/—4Ax-8=0,

[x2=4y

A=16左2+32>0

貝lj再+兀2=4左，石入2=-8，

由拋物線的定義知，|AF|=y+l,忸同=%+1，

則|AF|.忸典=(%+1)(%+1)=(例+3)(5+3),

2

=kxlx2+3k(^xl+X2)+9,

=48+9=13,

解得4=±1

例2.(2020?全國?高三專題練習(xí))己知橢圓1+%=1(a>6>0)過點(diǎn)“(0,2),離心率《=

(1)求橢圓的方程;

（2）設(shè)直線y=x+l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),求s-

【詳解】

解：（1）由題意得6=2,￡=理，

a3

結(jié)合/=/+°2,解得片=12

22

所以橢圓的方程為：—+^=1.

124

匕匕1

（2）由1124得Y+3（X+1）2=12

y=x+l

即4f+6%—9=0,經(jīng)驗(yàn)證A＞0.

設(shè)4（%,%），3（躡%）.

39

所以七十/二一萬，%,-x2=——,

故I=Jl+%2J（X]+冗2）2-4工1%2二—

因?yàn)辄c(diǎn)/到直線AB的距離d=匡＞=昱,

V22

后“0_1以句135A/2_3A/5

所以SAAMB=-X|AB|X＜7=-Xx~2^=~4~'

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的方程，弦長(zhǎng)公式等，考查運(yùn)算能力，是基礎(chǔ)題.

22o

例3.（2021?寧夏?海原縣第一中學(xué)高三期末（理））設(shè)橢圓C:]+方=1（。＞人＞0）過點(diǎn)（0,4）,離心率為g

（1）求C的方程；

（2）求過點(diǎn)”（3,1）且以M點(diǎn)為中點(diǎn)的弦的方程.

【詳解】

⑴將（0,4）代入C的方程得*1,

b

又]a2-b29

/.Z7=4,得

a525

22

即1一1卷6=99，???a=5,??.C的方程為r三十v少=1.

a252516

（2）設(shè)直線與。的交點(diǎn)為A（%,y）,B（x2,y2）,代入橢圓方程得

寸

2

Q

2_

%+%

=1

+里

-D

2

2

2

2

2

_八

+%）

%）（%

乂一

）,（

）（玉+九2

（王一々

得

化簡(jiǎn)可

,作差

1?

25

一%

?多

%一/

2

,

-U

----

----

----

----

----

----

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---1--

----

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,即--

=0

又

%

16