第60講、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（學(xué)生版）

②點(diǎn)在圓外，則設(shè)切線方程：，變成一般式：，因?yàn)榕c圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出．注意：因?yàn)榇藭r(shí)點(diǎn)在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個(gè)根，若方程只有一個(gè)根，則還有一條切線的斜率不存在，務(wù)必要把這條切線補(bǔ)上．（2）常見(jiàn)圓的切線方程過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程是；過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程是．題型四：切點(diǎn)弦問(wèn)題例10．（2024·浙江·高三浙江省富陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）從拋物線上一點(diǎn)作圓：得兩條切線，切點(diǎn)為，則當(dāng)四邊形面積最小時(shí)直線方程為.例11．（2024·貴州·高三凱里一中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知圓，過(guò)直線上任意一點(diǎn)，作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為兩點(diǎn)，則的最小值為.例12．（2024·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）如圖，過(guò)橢圓上一點(diǎn)M作圓的兩條切線，過(guò)切點(diǎn)的直線與坐標(biāo)軸于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則面積的最小值為（

）A． B． C． D．前三個(gè)答案都不對(duì)變式23．（2024·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線與圓，過(guò)直線上的任意一點(diǎn)向圓引切線，設(shè)切點(diǎn)為，若線段長(zhǎng)度的最小值為，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B． C． D．變式24．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則圓心到直線的距離的最大值為（

）A． B． C．1 D．變式25．（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若圓關(guān)于直線對(duì)稱，動(dòng)點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)引圓的兩條切線、，切點(diǎn)分別為、，則直線恒過(guò)定點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．變式26．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓：，點(diǎn)M在拋物線：上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)引直線與圓相切，切點(diǎn)分別為，則下列選項(xiàng)中能取到的值有（

）A．2 B． C． D．變式27．（2024·江蘇南京·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）過(guò)拋物線上一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為、，則當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，直線的方程為（

）A． B． C． D．【解題方法總結(jié)】過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為過(guò)曲線上，做曲線的切線，只需把替換為，替換為，替換為，替換為即可，因此可得到上面的結(jié)論．題型五：圓上的點(diǎn)到直線距離個(gè)數(shù)問(wèn)題例13．（2024·貴州貴陽(yáng)·高三貴陽(yáng)一中校考期末）若圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例14．（2024·陜西咸陽(yáng)·高三武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）圓C：上恰好存在2個(gè)點(diǎn)，它到直線的距離為1，則R的一個(gè)取值可能為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例15．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓O：x2＋y2＝4上到直線l：x＋y＝a的距離等于1的點(diǎn)至少有2個(gè)，則a的取值范圍為()A． B．C． D．變式28．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若圓上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式29．（1991·全國(guó)·高考真題）圓上到直線的距離為的點(diǎn)共有A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)變式30．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若圓上僅有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解題方法總結(jié)】臨界法題型六：直線與圓位置關(guān)系中的最值（范圍）問(wèn)題例16．（2024·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在圓運(yùn)動(dòng)，若對(duì)任意點(diǎn)，在直線上均存在兩點(diǎn)，使得恒成立，則線段長(zhǎng)度的最小值是（

）A． B． C． D．例17．（2024·河南洛陽(yáng)·高三伊川縣第一高中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知圓，點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作直線與圓相切于點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為.例18．（2024·河北石家莊·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，交于點(diǎn)，且直線平分正方形的周長(zhǎng)，當(dāng)線段的長(zhǎng)度最小時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為.

變式31．（2024·廣東梅州·高三大埔縣虎山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直線分別與軸，軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓上，則面積的取值范圍是.變式32．（2024·上海徐匯·高三上海民辦南模中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，則的最小值為.變式33．（2024·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓與直線相切，函數(shù)過(guò)定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條互相垂直的弦，則四邊形面積的最大值為.變式34．（2024·遼寧大連·大連二十四中?？寄M預(yù)測(cè)）已知是平面內(nèi)的三個(gè)單位向量，若，則的最小值是．變式35．（2024·安徽池州·高三池州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，直線為上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為.變式36．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，點(diǎn)A為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作直線與相切于點(diǎn)P，若，則的最小值為.變式37．（2024·廣東佛山·華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中?？寄M預(yù)測(cè)）若直線與相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則|PM|的最大值為．變式38．（2024·河南·高三信陽(yáng)高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，圓上兩點(diǎn)，滿足，則的最小值為．變式39．（2024·四川成都·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓C：與直線l：交與A，B兩點(diǎn)，當(dāng)|AB|最小值時(shí)，直線l的一般式方程是.變式40．（2024·北京西城·高三北京市回民學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知圓與直線相交于兩點(diǎn)，則的最小值是.變式41．（2024·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知分別是圓，圓上動(dòng)點(diǎn)，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．變式42．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足：，則的取值范圍是．變式43．（2024·福建福州·高三福建省福州格致中學(xué)?？计谥校┮阎菆A上兩點(diǎn)，若，則的最大值為.變式44．（2024·廣東廣州·高三廣州市白云中學(xué)?？计谥校┮阎狿是直線上的動(dòng)點(diǎn)，是圓的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，C是圓心，那么四邊形面積的最小值為．變式45．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，若直線上存在點(diǎn)Q使得，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．變式46．（2024·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒曾提出最大視角問(wèn)題，這一問(wèn)題一般的描述是：已知點(diǎn)，是的邊上的兩個(gè)定點(diǎn)，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)在何處時(shí)，最大？問(wèn)題的答案是：當(dāng)且僅當(dāng)?shù)耐饨訄A與邊相切于點(diǎn)時(shí)最大，人們稱這一命題為米勒定理.已知點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是，，是軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn).若的最大值為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B．3 C．或 D．2或4變式47．（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考三模）已知直線與軸和軸分別交于A，兩點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓與軸的交點(diǎn)為（在點(diǎn)A右側(cè)），點(diǎn)在圓上，當(dāng)最大時(shí)，的面積為（

）A． B．8 C． D．變式48．（2024·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓C：，圓是以圓上任意一點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓．圓C與圓交于A，B兩點(diǎn)，則當(dāng)最大時(shí)，（

）A．1 B． C． D．2變式49．（2024·上海黃浦·高三上海市敬業(yè)中學(xué)?？计谥校┮阎c(diǎn)P在圓上，點(diǎn)，，則錯(cuò)誤的是（

）A．點(diǎn)P到直線AB的距離小于10 B．點(diǎn)P到直線AB的距離大于2C．當(dāng)最小時(shí)， D．當(dāng)最大時(shí)，變式50．（2024·廣東珠?！じ叨楹Ｊ械谝恢袑W(xué)?？计谀┑聡?guó)數(shù)學(xué)家米勒曾提出過(guò)如下的“最大視角原理”：對(duì)定點(diǎn)、和在直線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)與的外接圓相切時(shí)，最大．若，，是軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)對(duì)線段的視角最大時(shí)，的外接圓的方程為（

）A． B．C． D．【解題方法總結(jié)】直線上的點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的最近或最遠(yuǎn)距離問(wèn)題，這樣的題目往往要轉(zhuǎn)化為直線上的點(diǎn)與圓心距離的最近和最遠(yuǎn)距離再加減半徑長(zhǎng)的問(wèn)題．題型七：圓與圓的位置關(guān)系例19．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線與圓相切，則滿足條件的直線l的條數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5例20．（2024·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）已知直線是圓的切線，并且點(diǎn)到直線的距離是2，這樣的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條例21．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓：，圓：，則與的位置關(guān)系是（

）A．外切 B．內(nèi)切 C．相交 D．外離變式51．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓：與圓：公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4變式52．（2024·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓：的圓心到直線的距離為，則圓與圓：的公切線共有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條變式53．（2024·甘肅蘭州·蘭州五十九中校考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2＋y2－4x＝0及點(diǎn)A(－1,0)，B(1,2)，在圓C上存在點(diǎn)P，使得|PA|2＋|PB|2＝12，則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4變式54．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，到直線的距離分別是1與4，則滿足條件的直線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條變式55．（2024·湖南常德·常德市一中校考二模）已知圓和兩點(diǎn)，若圓C上存在點(diǎn)P，使得，則a的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3變式56．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，若a，b∈R且ab≠0，則＋的最小值為（

）A．3 B．8 C．4 D．9【解題方法總結(jié)】已知兩圓半徑分別為，兩圓的圓心距為，則：（1）兩圓外離；（2）兩圓外切；（3）兩圓相交；（4）兩圓內(nèi)切；（5）兩圓內(nèi)含；題型八：兩圓的公共弦問(wèn)題例22．（2024·天津和平·耀華中學(xué)?？级＃﹫A與圓的公共弦所在的直線方程為．例23．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若圓與圓交于P，Q兩點(diǎn)，則直線PQ的方程為.例24．（2024·天津?yàn)I海新·統(tǒng)考三模）已知圓：與圓：，若兩圓相交于A，B兩點(diǎn)，則變式57．（2024·天津和平·耀華中學(xué)?？家荒＃﹫A與圓的公共弦的長(zhǎng)為．變式58．（2024·浙江麗水·高三浙江省麗水中學(xué)校聯(lián)考期末）已知圓與圓相交于兩點(diǎn)，則.變式59．（2024·吉林通化·高三梅河口市第五中學(xué)?？计谀┮阎獔A與圓相交于兩點(diǎn)，則.【解題方法總結(jié)】?jī)蓤A的公共弦方程為兩圓方程相減可得．題型九：兩圓的公切線問(wèn)題例25．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）點(diǎn)，到直線l的距離分別為1和4，寫出一個(gè)滿足條件的直線l的方程：.例26．（2024·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考三模）寫出與圓和都相切的一條直線方程．例27．（2024·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程.變式60．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知圓與圓有三條公切線，則．