第61講、圓中的范圍與最值（教師版）

第61講圓中的范圍與最值知識(shí)梳理1、涉及與圓有關(guān)的最值，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解．一般地：（1）形如的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題．（2）形如的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題．（3）形如的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)（a，b）的距離平方的最值問(wèn)題.2、解決圓中的范圍與最值問(wèn)題常用的策略：（1）數(shù)形結(jié)合（2）多與圓心聯(lián)系（3）參數(shù)方程（4）代數(shù)角度轉(zhuǎn)化成函數(shù)值域問(wèn)題必考題型全歸納題型一：斜率型例1．（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】看作圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的直線的斜率的相反數(shù).當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與上半圓相切時(shí)，切線斜率最小，設(shè)切線方程為，所以圓心到切線的距離等于半徑，故，解得故當(dāng)時(shí)，切線斜率最小，此時(shí)最大，最大值為，故選：C例2．（多選題）（2024·浙江嘉興·高二?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．的最大值為，最小值為B．的最大值為，最小值為；C．的最大值為，最小值為；D．的最大值為，最小值為；【答案】BC【解析】（1）設(shè)，整理得，則表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率．當(dāng)該直線與圓相切時(shí)，取得最大值與最小值，所以，解得，所以的最大值為，最小值為；（2）設(shè)，整理得，則表示直線在軸上的截距．當(dāng)該直線與圓相切時(shí)，取得最大值與最小值，所以，解得，的最大值為，最小值為．故選：BC.例3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為圓：上任意一點(diǎn)，則的最大值為.【答案】【解析】由于，故表示和連線的斜率，設(shè)，如圖所示，當(dāng)與圓相切時(shí)，取得最大值，設(shè)此時(shí)，即，又圓心，半徑為1，故，解得，故的最大值為.故答案為：.變式1．（2024·重慶沙坪壩·高二重慶南開(kāi)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為圓C：上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)．（1）求的最大值和最小值．（2）求的最大值和最小值．（3）求的最大值和最小值．【解析】（1）圓C：，如圖所示，連接QC交圓C于AB兩點(diǎn)，當(dāng)M與A重合時(shí)取得最小值，即，與B重合時(shí)取得最大值即，故最大值為，最小值為；（2）易知，由圖形知當(dāng)與圓C相切時(shí)取得最值，如圖所示.可設(shè)，則C到其距離為，解得，故最大值為，最小值為（3）設(shè)，如圖所示，即過(guò)點(diǎn)M的直線的截距，如圖所示，當(dāng)該直線與圓相切時(shí)截距取得最值.圓心C到該直線的距離為，所以或9，故最大值為9，最小值為1.題型二：直線型例4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是.【答案】【解析】由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴的最大值是.故答案為：.例5．（2024·江西吉安·寧岡中學(xué)校考一模）已知點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C．6 D．5【答案】A【解析】由，令，則，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為.故選：A例6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是圓：上的一動(dòng)點(diǎn)，若圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的最大值與最小值之和為（

）A．4 B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)閳A：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．又，所以，可看成是直線在軸上的截距.如圖所示，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，縱截距取得最大值或最小值，此時(shí)，解得，所以的最大值為，最小值為，故的最大值與最小值之和為.故選：C．題型三：距離型例7．（2024·黑龍江佳木斯·高二佳木斯一中?？计谥校┌⒉_尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn),的距離之比為（，且），那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓．若平面內(nèi)兩定點(diǎn),間的距離為，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最大值為【答案】/【解析】由題可知,不妨設(shè)：所以有，因?yàn)榈茫淼?，得，顯然，得，解得：有=因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有最大值為故答案為：例8．（2024·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習(xí)）已知為圓上任意一點(diǎn)，且．(1)求的最大值和最小值；(2)若，求的最大值和最小值；(3)若，求的最大值和最小值．【解析】（1）因?yàn)?，即在圓外，圓的圓心，半徑，，因?yàn)椋?，所以的最大值為，最小值為；?）圓的圓心，半徑，令可得，即圓和直線總有公共點(diǎn)求的最大值和最小值，即，解得，所以的最大值為，最小值為；（3），令，當(dāng)即時(shí)，此時(shí)點(diǎn)在圓外，所以，求的最大值和最小值轉(zhuǎn)化為求圓與圓總有公共點(diǎn)求的最大值和最小值，而兩圓心的距離為，當(dāng)兩圓外切時(shí)，解得，此時(shí)，當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，兩圓心的距離，所以只能圓在圓的內(nèi)部，所以，解得，此時(shí)，所以的最大值為，最小值為．例9．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，求的最小值及取得最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】因?yàn)?，可看作定點(diǎn)與直線上任意一點(diǎn)距離的平方，所以距離最小值即是點(diǎn)到直線的距離，由點(diǎn)到直線的距離公式可得最小值為；此時(shí)直線與直線垂直，所以直線的方程為，即，由得，即.故的最小值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.變式2．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則取得最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【解析】轉(zhuǎn)化為直線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，又點(diǎn)到直線的距離最小，過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線為因此兩直線聯(lián)立，，解得故點(diǎn)的坐標(biāo)為變式3．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知為圓上任意一點(diǎn)．則的最大值為【答案】/【解析】圓即，故圓心，半徑為，又表示圓C上的點(diǎn)M到點(diǎn)的距離，故其最大值為，故答案為：變式4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面向量，，，滿足，，，則的最小值為（

）A．1 B． C．3 D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所以，所以?duì)任意都恒成立，所以.不妨設(shè)又.當(dāng)，設(shè)，所以，所以，所以，所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，所以可以看成是到的距離，所以的最小值為.當(dāng)時(shí)，同理可得的最小值為1.故選：A變式5．（2024·廣東東莞·高一東莞高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（

）A．22 B．26 C．30 D．32【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn),點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng),滿足,且,當(dāng)時(shí),取得最大值是;故選:.題型四：周長(zhǎng)面積型例10．（2024·江蘇·高二假期作業(yè)）已知兩點(diǎn)，，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，則面積的最大值為，最小值為.【答案】【解析】因?yàn)閮牲c(diǎn)，，所以直線的方程為：，即，，圓，其圓心為，半徑，圓心到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離最大值為，距離最小值為，所以面積的最大值；面積的最小值.故答案為：；.例11．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知圓，點(diǎn)M為直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則四邊形周長(zhǎng)的最小值為（

）A．8 B． C． D．【答案】A【解析】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)M作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，所以有，，因此有，要想四邊形周長(zhǎng)最小，只需最小，即當(dāng)時(shí)，此時(shí)，此時(shí)，即最小值為，故選：A例12．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知直線：與圓：相交于不同兩點(diǎn)，，位于直線異側(cè)兩點(diǎn)，都在圓上運(yùn)動(dòng)，則四邊形面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】圓：可以化為標(biāo)準(zhǔn)方程，則其圓心為，半徑，則直線與圓心的距離，故由勾股定理可得半弦長(zhǎng)為，所以.又，兩點(diǎn)位于直線異側(cè)且都在圓上運(yùn)動(dòng)，所以四邊形的面積可以看作是和的面積之和，則當(dāng)為弦的垂直平分線（即為圓的直徑）時(shí)，兩三角形的面積之和最大，即四邊形的面積最大，最大面積.故選：A.變式6．（2024·甘肅慶陽(yáng)·高二校考期末）已知圓的方程為，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線、，、為切點(diǎn)，則四邊形的面積的最小值為【答案】【解析】由圓，得到圓心，半徑由題意可得：，，，，在中，由勾股定理可得：，當(dāng)最小時(shí)，最小，此時(shí)所求的面積也最小，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有最小值，此時(shí)，所求四邊形的面積的最小值為；故答案為：變式7．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則面積的最大值為（

）A．5 B． C． D．【答案】D【解析】圓的圓心，半徑，直線的方程為：，于是點(diǎn)到直線：的距離，而點(diǎn)在圓上，因此點(diǎn)到直線距離的最大值為，又，所以面積的最大值為.故選：D題型五：數(shù)量積型例13．（2024·河南南陽(yáng)·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，是圓上兩點(diǎn)，且，則的最大值是.【答案】24【解析】設(shè)圓的圓心為，則，橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)也為，且是圓的一條直徑，因此，因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，所以，所以，即，所以的最大值為24.故答案為：24.例14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線與圓相切于點(diǎn)，設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為．【答案】【解析】圓的圓心的為，因?yàn)橹本€與圓相切于點(diǎn)則所以得，所以，，所以直線方程為，圓的方程為，所以，，的中點(diǎn)，則因?yàn)?，所以故，所以的最大值為故答案為：?5．（2024·江蘇南京·高一校考期中）已知點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為.【答案】【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓心為，半徑為，，當(dāng)點(diǎn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，取得最大值，即為在上的投影，.故答案為：.變式8．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在邊長(zhǎng)為4的正方形中，動(dòng)圓Q的半徑為1、圓心在線段（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P是圓Q上及其內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由數(shù)量積的幾何意義可知：等于與在上的投影的乘積，故當(dāng)在上的投影最大時(shí)，數(shù)量積最大，此時(shí)點(diǎn)在以為圓心的圓的最上端處，此時(shí)投影為，故數(shù)量積為，故當(dāng)在上的投影最小時(shí)，數(shù)量積最小，此時(shí)點(diǎn)在以為圓心的圓的最下端處，此時(shí)投影為，故數(shù)量積為,故，故選：A變式9．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考階段練習(xí)）在邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF中，動(dòng)圓的半徑為1、圓心在線段CD（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P是圓Q上及其內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A．. B． C． D．【答案】A【解析】由，可得為與在方向上的投影之積.正六邊形ABCDEF中，以D為圓心的圓與DE交于M，過(guò)M作于，設(shè)以C為圓心的圓與垂直的切線與圓切于點(diǎn)N與延長(zhǎng)線交點(diǎn)為，則在方向上的投影最小值為，最大值為,又，，則，則的取值范圍是.故選：A變式10．（2024·山東聊城·高一山東聊城一中校考期中）已知正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，圓O的圓心為正六邊形的中心，半徑為1，若點(diǎn)P在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，MN為圓O的直徑，則的取值范圍是（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】記圓心為，則，因?yàn)榛橄喾聪蛄?，所以，因?yàn)檎呅蜛BCDEF的邊長(zhǎng)為2，為正六邊形的中心，所以當(dāng)與正六邊形頂點(diǎn)重合時(shí)，有最大值2，當(dāng)在正六邊形邊上的中點(diǎn)處時(shí)，有最小值，此時(shí).所以.故選：B題型六：坐標(biāo)與角度型例16．（2024·浙江麗水·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)P在圓M：上，點(diǎn)，，則最小和最大時(shí)分別為（

）A．0°和60° B．15°和75° C．30°和90° D．45°和135°【答案】B【解析】如圖所示，當(dāng)與圓相切時(shí)對(duì)應(yīng)的最大和最小，設(shè)最小時(shí)切于，最大時(shí)切于，由，可得，所以，同理得由點(diǎn)，，可知，所以，.故選：B.例17．（2024·高二單元測(cè)試）已知圓C：(x﹣1)2+y2=1，點(diǎn)P(x0，y0)在直線x﹣y+1=0上運(yùn)動(dòng).若C上存在點(diǎn)Q，使∠CPQ=30°，則x0的取值范圍是.【答案】【解析】如圖圓，在直線上，若圓存在點(diǎn)，使得，當(dāng)在直線上運(yùn)動(dòng)，極端情況，與圓相切，.在中，，所以.所以以為圓心，為半徑的圓與直線交于，兩點(diǎn).符合條件的點(diǎn)在線段之間.所以或.故的取值范圍為.故答案為：例18．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】點(diǎn)在圓上，,則，如圖，當(dāng)與圓相切時(shí)，取得最小值，所以，此時(shí)點(diǎn).故選：C變式11．（2024·浙江嘉興·高二?？茧A段練習(xí)）若圓）與圓交于A、B兩點(diǎn)，則tan∠ANB的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】可化為，故圓N的圓心為，半徑為，由題意可知：AB為圓M與圓N的公共弦，且圓M的半徑為1，所以且，故，當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，，在△NAB中，，又，在上單調(diào)遞減，故為銳角，且當(dāng)時(shí)，最大，又在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)最大時(shí)，取得最大值，且最大值為，故選：D變式12．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）動(dòng)圓M經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且半徑為1，則圓心M的橫縱坐標(biāo)之和的最大值為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【解析】設(shè)動(dòng)圓圓心，半徑為1，動(dòng)圓M經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，可得,即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，則圓心M的橫縱坐標(biāo)之和的最大值為故選：C變式13．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓，圓是以圓上任意一點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓．圓與圓交于，兩點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在中，．如圖所示：當(dāng)公共弦最大，即為圓的直徑時(shí)，最大，又可得為銳角，即取得最大值．此時(shí)，則．故選：D題型七：長(zhǎng)度型例19．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓及點(diǎn)，點(diǎn)P、Q分別是直線和圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.【答案】3【解析】作出點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，如圖：設(shè)點(diǎn)，則有，解得，即，而C(2，0)由圓的性質(zhì)知：圓外點(diǎn)P與圓C上點(diǎn)Q距離滿足(當(dāng)且僅當(dāng)Q是線段PC與圓C的交點(diǎn)時(shí)取“=”)，連接交直線于點(diǎn)O，P為直線上任意一點(diǎn)，連(線段PC交圓C于點(diǎn)Q)，則，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在線段上，即與點(diǎn)O重合時(shí)取“=”，所以的最小值為3.故答案為：3例20．（2024·湖北·高二沙市中學(xué)校聯(lián)考期中）已知直線與圓交于兩點(diǎn)，且，則的最大值為.【答案】/【解析】的幾何意義為點(diǎn)到直線的距離之和，其最大值是的中點(diǎn)到直線的距離的2倍.由題可知，為等邊三角形，則，∴AB中點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，故點(diǎn)到直線的最大距離為，∴的最大值為，∴的最大值為＝.故答案為：.例21．（2024·上海普陀·高二上海市晉元高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎獮閳A上的兩點(diǎn)，且，設(shè)為弦的中點(diǎn)，則的最大值為.【答案】15【解析】注意到，則，又，則，又由垂徑定理可知，，則.故P點(diǎn)軌跡是以M為圓心，半徑為1的圓.注意到，表示P到直線距離的5倍，又圓上一點(diǎn)到距離的最大值為：，則的最大值為15.故答案為：15變式14．（2024·上海靜安·高二?？计谀┮阎獙?shí)數(shù)滿足，，則的最大值為.【答案】/【解析】設(shè)圓，直線，，，則，都在圓上，∵，，∴△MON是等邊三角形，∴．表示和到直線的距離和，由圖形得只有當(dāng)、都在直線的下方時(shí)，該距離之和才會(huì)取得最大值．取、的中點(diǎn)，過(guò)作，垂足為，則，∵為等邊三角形，為的中點(diǎn)，∴，則在圓上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)MN∥l時(shí)，到直線距離的最大值為，∴的最大值為．故答案為：變式15．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：在平面上給定兩點(diǎn)A、B，動(dòng)點(diǎn)P滿足（其中是正常數(shù)，且），則P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)圓稱之為“阿波羅尼斯圓”．現(xiàn)已知兩定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為【答案】【解析】如圖，在軸上取點(diǎn)，，，，，（當(dāng)且僅當(dāng)為與圓交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)），.故答案為：.變式16．（2024·全國(guó)·高二期中）已知圓是以點(diǎn)和點(diǎn)為直徑的圓，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)，點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題設(shè)，知：且，即圓的半徑為4，∴圓：，如上圖，坐標(biāo)系中則，∴，即△△，故，∴，在△中，∴要使最大，共線且最大值為的長(zhǎng)度.∴.故選：A變式17．（2024·四川成都·高二成都七中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知，是曲線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，，則的最大值與最小值的比值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】化簡(jiǎn)得，由，得.因?yàn)?，所以?當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以方程表示的曲線為圓的左半部分和圓的右半部分.根據(jù)圓的性質(zhì)知：當(dāng)A，B分別與圖中的M，N重合時(shí)，取得最大值，且最大值為6；當(dāng)A，B為圖中E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)中的某兩點(diǎn)時(shí)，取得最小值，且最小值為.故的最大值與最小值的比值是.故選：B.變式18．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，，，點(diǎn)在內(nèi)部，，則的最小值為．【答案】2【解析】因?yàn)椋?，所?在中，由正弦定理得：（R為的外接圓半徑），所以，解得：.如圖所示：設(shè)的外接圓的圓心為O，建立如圖示的坐標(biāo)系.設(shè)E為AC的中點(diǎn)，所以，.所以點(diǎn)M的軌跡為：，可寫出（為參數(shù)）.因?yàn)辄c(diǎn)在內(nèi)部，所以（其中滿足，）.所以因?yàn)闈M足，，所以，所以當(dāng)時(shí)最小.故答案為：2變式19．（2024·河南許昌·高二禹州市高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【解析】如圖所示，圓的圓心為，半徑為3，圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓為圓B，其中設(shè)圓心B坐標(biāo)為，則，解得：，故圓B的圓心為，半徑