第85講、計(jì)數(shù)原理（教師版）

第85講計(jì)數(shù)原理知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)1、分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事，有類辦法，在第1類辦法中有種不同的辦法，在第2類辦法中有種不同的方法，…，在第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法．知識(shí)點(diǎn)2、分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事，需要分成個(gè)步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，…，做第步有種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法．注意：兩個(gè)原理及其區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理和“分類”有關(guān)，如果完成某件事情有類辦法，這類辦法之間是互斥的，那么求完成這件事情的方法總數(shù)時(shí)，就用分類加法計(jì)數(shù)原理．分步乘法計(jì)數(shù)原理和“分步”有關(guān)，是針對(duì)“分步完成”的問題．如果完成某件事情有個(gè)步驟，而且這幾個(gè)步驟缺一不可，且互不影響（獨(dú)立），當(dāng)且僅當(dāng)依次完成這個(gè)步驟后，這件事情才算完成，那么求完成這件事情的方法總數(shù)時(shí)，就用分步乘法計(jì)數(shù)原理．當(dāng)然，在解決實(shí)際問題時(shí)，并不一定是單一應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理或分步計(jì)數(shù)原理，有時(shí)可能同時(shí)用到兩個(gè)計(jì)數(shù)原理．即分類時(shí)，每類的方法可能運(yùn)用分步完成；而分步后，每步的方法數(shù)可能會(huì)采取分類的思想求方法數(shù)．對(duì)于同一問題，我們可以從不同的角度去處理，從而得到不同的解法（但方法數(shù)相同），這也是檢驗(yàn)排列組合問題的很好方法．知識(shí)點(diǎn)3、兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用如果完成一件事的各種方法是相互獨(dú)立的，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，使用分類計(jì)數(shù)原理．如果完成一件事的各個(gè)步驟是相互聯(lián)系的，即各個(gè)步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，使用分步計(jì)數(shù)原理．必考題型全歸納題型一：分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用例1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”.在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是（）A．48 B．18 C．24 D．36【答案】D【解析】正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線有棱、面對(duì)角線、體對(duì)角線，對(duì)于每一條棱，都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有（個(gè)）；對(duì)于每一條面對(duì)角線，都可以與一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有12個(gè)，不存在四個(gè)頂點(diǎn)確定的平面與體對(duì)角線垂直，所以正方體中“正交線面對(duì)”共有（個(gè)）.故選：D例2．（2024·四川成都·雙流中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，小黑圓表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們有網(wǎng)線相連．連線上標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過的最大信息量．現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息（

）

A．26 B．24 C．20 D．19【答案】D【解析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形知，從A到B傳播路徑有4條，如圖所示；途徑①傳播的最大信息量為3，途徑②傳播的最大信息量為4；途徑③傳播的最大信息量為6，途徑④傳播的最大信息量為6；所以從A向B傳遞信息，單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為，故選：D．例3．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高三揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）定義：“各位數(shù)字之和為7的四位數(shù)叫好運(yùn)數(shù)”，比如1006，2203，則所有好運(yùn)數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．82 B．83 C．84 D．85【答案】C【解析】因?yàn)楦魑粩?shù)字之和為7的四位數(shù)叫好運(yùn)數(shù)，所以按首位數(shù)字分別計(jì)算：當(dāng)首位數(shù)字為7，則剩余三位數(shù)分別為0，0，0，共有1個(gè)好運(yùn)數(shù)；當(dāng)首位數(shù)字為6，則剩余三位數(shù)分別為1，0，0，共有3個(gè)好運(yùn)數(shù)；當(dāng)首位數(shù)字為5，則剩余三位數(shù)分別為1，1，0或2，0，0，共有個(gè)好運(yùn)數(shù)；當(dāng)首位數(shù)字為4，則剩余三位數(shù)分別為3，0，0或2，1，0或1，1，1，共有個(gè)好運(yùn)數(shù)；當(dāng)首位數(shù)字為3，則剩余三位數(shù)分別為4，0，0或3，1，0或2，2，0或2，1，1，共有個(gè)好運(yùn)數(shù)；當(dāng)首位數(shù)字為2，則剩余三位數(shù)分別為5，0，0或4，1，0或3，2，0或3，1，1或2，2，1，共有個(gè)好運(yùn)數(shù)；當(dāng)首位數(shù)字為1，則剩余三位數(shù)分別為6，0，0或5，1，0或4，2，0或4，1，1或3，3，0或3，2，1或2，2，2，共有個(gè)好運(yùn)數(shù)；所以共有個(gè)好運(yùn)數(shù)，故選：C變式1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）從1，2，3，4，5，6中選取4個(gè)數(shù)字，組成各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字既不全相同，也不兩兩互異的四位數(shù)，記四位數(shù)中各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字從左往右依次為a，b，c，d，且要求，則滿足條件的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為.【答案】105【解析】由題意可知，只用2個(gè)不同的數(shù)字時(shí)，有（種）選法，按照位數(shù)要求，每種數(shù)字組合組成的符合要求的四位數(shù)有3個(gè)，比如數(shù)字1和2，可以構(gòu)成的四位數(shù)有1222，1122，1112，所以共有（個(gè)）符合要求的四位數(shù).只用3個(gè)不同的數(shù)字時(shí)，有（種）選法，按照位數(shù)要求，每種數(shù)字組合組成的符合要求的四位數(shù)有3個(gè)，比如數(shù)字1，2，3，可以構(gòu)成的四位數(shù)有1123，1223，1233，所以共有（個(gè)）符合要求的四位數(shù).故符合要求的四位數(shù)總共有（個(gè)）.故答案為：105變式2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線方程，若從0、1、2、3、5、7這六個(gè)數(shù)中每次取兩個(gè)不同的數(shù)分別作為A、B的值，則可表示條不同的直線．【答案】22【解析】當(dāng)時(shí)，可表示1條直線；當(dāng)時(shí)，可表示1條直線；當(dāng)時(shí)，A有5種選法，B有4種選法，可表示條不同的直線．由分類加法計(jì)數(shù)原理，知共可表示條不同的直線．故答案為：22變式3．（2024·遼寧·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）某迷宮隧道貓爬架如圖所示，，C為一個(gè)長(zhǎng)方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，，是邊長(zhǎng)為3米的大正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)，且大正方形由完全相同的9小正方形拼成.若小貓從點(diǎn)沿著圖中的線段爬到點(diǎn)，再?gòu)狞c(diǎn)沿著長(zhǎng)方體的棱爬到點(diǎn)，則小貓從點(diǎn)爬到點(diǎn)可以選擇的最短路徑共有條.

【答案】【解析】小貓要從點(diǎn)爬到點(diǎn)，需要先從點(diǎn)爬到點(diǎn)，需要走3橫3豎，則可選的路徑共有條，再?gòu)狞c(diǎn)爬到點(diǎn)的路徑共6條，用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得小貓可以選擇的最短路徑有20×6=120條.故答案為：120.【解題方法總結(jié)】分類標(biāo)準(zhǔn)的選擇（1）應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素、關(guān)鍵位置．根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)．（2）分類時(shí)應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復(fù)，但也不能有遺漏．題型二：分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用例4．（2024·廣東深圳·高三?？茧A段練習(xí)）甲、乙、丙3個(gè)公司承包6項(xiàng)不同的工程，甲承包1項(xiàng)，乙承包2項(xiàng)，丙承包3項(xiàng)，則共有種承包方式（用數(shù)字作答）.【答案】60【解析】由題意得，不同的承包方案分步完成，先讓甲承包1項(xiàng)，有種，再讓乙承包2項(xiàng)，有，剩下的3項(xiàng)丙承包，所以由分步乘法原理可得共有種方案，故答案為：60例5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若一個(gè)三位數(shù)同時(shí)滿足：①各數(shù)位的數(shù)字互不相同；②任意兩個(gè)數(shù)位的數(shù)字之和不等于9，則這樣的三位數(shù)共有個(gè)．(結(jié)果用數(shù)字作答)【答案】432【解析】從百位開始討論：（1）百位數(shù)字為1，十位數(shù)字有0,2,3,4,5,6,7,9，（除1,8外所有數(shù)字）；當(dāng)十位數(shù)字為0時(shí)，個(gè)位數(shù)字為2,3,4,5,6,7,（除1,0，8，9外所有數(shù)字），所以對(duì)應(yīng)的三位數(shù)有種；（2）百位數(shù)字為2,3,4,5,6,7,8,9，情況同（1）；綜上這樣的三位數(shù)共有：種；故答案為：432.例6．（2024·安徽亳州·高三蒙城第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）將3名男生，2名女生排成一排，要求男生甲必須站在中間，2名女生必須相鄰的排法種數(shù)有（

）A．4種 B．8種 C．12種 D．48種【答案】B【解析】先讓甲站好中間位置，再讓2名女生相鄰有兩種選法，最后再排剩余的2名男生，根據(jù)分步乘法原理得，有種不同的排法.故選：B變式4．（2024·四川成都·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）“數(shù)獨(dú)九宮格”原創(chuàng)者是18世紀(jì)的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，它的游戲規(guī)則很簡(jiǎn)單，將1到9這九個(gè)自然數(shù)填到如圖所示的小九宮格的9個(gè)空格里，每個(gè)空格填一個(gè)數(shù)，且9個(gè)空格的數(shù)字各不相同，若中間空格已填數(shù)字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從小到大排列的，則不同的填法種數(shù)為（

）A．72 B．108C．144 D．196【答案】C【解析】按題意，5的上方和左邊只能從1，2，3，4中選取，5的下方和右邊只能從6，7，8，9中選?。谝徊剑钌戏娇崭?，有4種方法；第二步，填左方空格，有3種方法；第三步，填下方空格，有4種方法；第四步，填右方空格，有3種方法.由分步計(jì)數(shù)原理得，填法總數(shù)為.故選：C.變式5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）三棱柱各面所在平面將空間分成不同部分的個(gè)數(shù)為（

）A．18 B．21 C．24 D．27【答案】B【解析】三棱柱的三個(gè)側(cè)面將空間分成7部分，三棱柱的兩個(gè)底面將空間分成3部分．故三棱柱各面所在平面將空間分成不同部分的個(gè)數(shù)為．故選：B．變式6．（2024·河北石家莊·高三校聯(lián)考期中）臨近春節(jié)，某校書法愛好小組書寫了若干副春聯(lián)，準(zhǔn)備贈(zèng)送給四戶孤寡老人．春聯(lián)分為長(zhǎng)聯(lián)和短聯(lián)兩種，無論是長(zhǎng)聯(lián)或短聯(lián)，內(nèi)容均不相同．經(jīng)過調(diào)查，四戶老人各戶需要1副長(zhǎng)聯(lián)，其中乙戶老人需要1副短聯(lián)，其余三戶各要2副短聯(lián)．書法愛好小組按要求選出11副春聯(lián)，則不同的贈(zèng)送方法種數(shù)為（

）A．15120 B．7560 C．12520 D．12160【答案】A【解析】4副長(zhǎng)聯(lián)內(nèi)容不同，贈(zèng)送方法有種；從剩余的7副短聯(lián)中選出1副贈(zèng)送給乙戶老人，有種方法，再將剩余的6副短聯(lián)平均分為3組，最后將這3組贈(zèng)送給三戶老人，方法種數(shù)為．所以所求方法種數(shù)為．故選：A變式7．（2024·北京東城·高三北京市廣渠門中學(xué)校考開學(xué)考試）魚缸里有8條熱帶魚和2條冷水魚，為避免熱帶魚咬死冷水魚，現(xiàn)在把魚缸出孔打開，讓魚隨機(jī)游出，每次只能游出1條，直至2條冷水魚全部游出就關(guān)閉出孔，若恰好第3條魚游出后就關(guān)閉了出孔，則不同游出方案的種數(shù)為（

）A．16 B．32 C．36 D．48【答案】B【解析】由題意得，前2條魚游出1條冷水魚，1條熱帶魚，第3條為另一條冷水魚，先選出一條熱帶魚，有種，再選出一條冷水魚，有種，兩條魚可在第一條魚和第二條魚順序上進(jìn)行全排列，則不同游出方案的種數(shù)為.故選：B變式8．（2024·湖南·高三臨澧縣第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）在如圖所示的表格中填寫，，三個(gè)數(shù)字，要求每一行、每一列均有這個(gè)數(shù)字，則不同的填法種數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】先填第一行，有種填法；再填第二行，有種填法；最后填第三行，只有種填法；不同的填法種數(shù)為種.故選：C.變式9．（2024·黑龍江佳木斯·高三?？奸_學(xué)考試）甲、乙分別從門不同課程中選修門，且人選修的課程不同，則不同的選法有（

）種．A． B． C． D．【答案】C【解析】甲從門課程中選擇門，有種選法；乙再?gòu)募孜催x的課程中選擇門，有種選法；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：不同的選法有種.故選：C.變式10．（2024·陜西西安·西安市第三十八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）從六人（含甲）中選四人完成四項(xiàng)不同的工作（含翻譯），則甲被選且甲不參加翻譯工作的不同選法共有（

）A．120種 B．150種 C．180種 D．210種【答案】C【解析】依題意可得，甲需從除翻譯外的其他三項(xiàng)工作中任選一項(xiàng)，有3種選法，再?gòu)钠溆辔迦酥羞x三人參加剩下的三項(xiàng)工作，有種選法，所以滿足條件的不同選法共有種．故選：C變式11．（2024·貴州黔東南·凱里一中?？寄M預(yù)測(cè)）某足球比賽有，，，，，，，，共9支球隊(duì)，其中，，為第一檔球隊(duì)，，，為第二檔球隊(duì)，，，為第三檔球隊(duì)，現(xiàn)將上述9支球隊(duì)分成3個(gè)小組，每個(gè)小組3支球隊(duì)，若同一檔位的球隊(duì)不能出現(xiàn)在同一個(gè)小組中，則不同的分組方法有（

）A．27種 B．36種 C．72種 D．144種【答案】B【解析】根據(jù)題意，先排，共有1種排法；再排，共有種不同的排法；最后排，共有種不同的排法，由分步計(jì)數(shù)原理得，共有種不同的排法.故選：B.【解題方法總結(jié)】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的策略（1）明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個(gè)步驟，且每步都是獨(dú)立的．（2）將這件事劃分成幾個(gè)步驟來完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當(dāng)所有步驟都完成了，整個(gè)事件才算完成．題型三：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用例7．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）第屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)于月日至月日在成都舉辦，現(xiàn)在從男女共名青年志愿者中，選出男女共名志愿者，安排到編號(hào)為、、、、的個(gè)賽場(chǎng)，每個(gè)賽場(chǎng)只有一名志愿者，其中女志愿者甲不能安排在編號(hào)為、的賽場(chǎng)，編號(hào)為的賽場(chǎng)必須安排女志愿者，那么不同安排方案有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】D【解析】分以下兩種情況討論：①女志愿者甲被選中，則還需從剩余的人中選出男女，選法種數(shù)為，則女志愿者甲可安排在號(hào)或號(hào)或號(hào)賽場(chǎng)，另一位女志愿者安排在號(hào)賽場(chǎng)，余下個(gè)男志愿者隨意安排，此時(shí)，不同的安排種數(shù)為；②女志愿者甲沒被選中，則還需從剩余人中選出男女，選法種數(shù)為，編號(hào)為的賽場(chǎng)必須安排女志愿者，只需從名女志愿者中抽人安排在號(hào)賽場(chǎng)，余下人可隨意安排，此時(shí)，不同的安排方法種數(shù)為.由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，不同的安排方法種數(shù)為種.故選：D.例8．（2024·江蘇南京·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）從2位男生，3位女生中安排3人到三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每個(gè)場(chǎng)館各1人，且至少有1位男生入選，則不同安排方法有（

）種A．16 B．36 C．54 D．96【答案】C【解析】當(dāng)選擇一個(gè)男生，二個(gè)女生時(shí)，不同的安排方法有；當(dāng)選擇二個(gè)男生，一個(gè)女生時(shí)，不同的安排方法有，所以不同安排方法有種，故選：C例9．（2024·上海黃浦·高三上海市敬業(yè)中學(xué)校考開學(xué)考試）三位同學(xué)參加跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球項(xiàng)目的比賽，若每人只選擇一個(gè)項(xiàng)目，則同一個(gè)項(xiàng)目最多只有2人參賽的情況共有種．【答案】24【解析】三位同學(xué)參加跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球項(xiàng)目的比賽，若每人只選擇一個(gè)項(xiàng)目，同一個(gè)項(xiàng)目最多只有2人參賽有以下兩種情況：①同一個(gè)項(xiàng)目有且僅有兩人選擇；②每個(gè)項(xiàng)目分別只有一人選擇；有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同有種；每個(gè)項(xiàng)目分別只有一人選擇；種；故同一個(gè)項(xiàng)目最多只有2人參賽的情況共有種.故答案為：24.變式12．（2024·廣東·高三河源市河源中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）現(xiàn)有5名同學(xué)從北京、上海、深圳三個(gè)路線中選擇一個(gè)路線進(jìn)行研學(xué)活動(dòng)，每個(gè)路線至少1人，至多2人，其中甲同學(xué)不選深圳路線，則不同的路線選擇方法共有種．（用數(shù)字作答）【答案】.【解析】每個(gè)路線至少1人，至多2人，則一個(gè)路線1人，另外兩個(gè)路線各2人，若甲同學(xué)單獨(dú)1人時(shí)，有種不同的選法；若甲同學(xué)與另外一個(gè)同學(xué)一起，則有種不同的選法，則不同的選擇方法有60種．故答案為：.變式13．（2024·浙江·高三舟山中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）杭州亞運(yùn)會(huì)舉辦在即，主辦方開始對(duì)志愿者進(jìn)行分配．已知射箭場(chǎng)館共需要6名志愿者，其中3名會(huì)說韓語，3名會(huì)說日語．目前可供選擇的志愿者中有4人只會(huì)韓語，5人只會(huì)日語，另外還有1人既會(huì)韓語又會(huì)日語，則不同的選人方案共有種．（用數(shù)字作答）．【答案】140【解析】若從只會(huì)韓語中選3人，則種，若從只會(huì)韓語中選2人，則種，故不同的選人方案共有種.故答案為：140.變式14．（2024·江蘇揚(yáng)州·高三儀征中學(xué)校考階段練習(xí)）已知如圖所示的電路中，每個(gè)開關(guān)都有閉合、不閉合兩種可能，因此5個(gè)開關(guān)共有種可能，在這種可能中，電路從P到Q接通的情況有種．

【答案】16【解析】若電路從到接通，共有三種情況：（1）若1閉合，而4不閉合時(shí)，可得分為：①若1、2閉合，而4不閉合，則3、5可以閉合也可以不閉合，共有種情況；②若1、3、5閉合，而4不閉合，則2可以閉合也可以不閉合，有2種情況，但①與②中都包含1、2、3、5都閉合，而4不閉合的情況，所以共有種情況；（2）若4閉合，而1不閉合時(shí)，可分為：③若4、5閉合，而1不閉合，則2、3可以閉合也可以不閉合，有種情況；④若4、3、2閉合，而1不閉合，則5可以閉合也可以不閉合，有2種情況，但③與④中，都包含4、2、3、5都閉合，而1不閉合的情況，所以共有種情況；（3）若1、4都閉合，共有種情況，而其中電路不通有2、3、5都不閉合與2、5都不閉合2種情況，則此時(shí)電路接通的情況有種情況；所以電路接通的情況有種情況.故答案為：.變式15．（2024·湖北·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）從5男3女共8名學(xué)生中選出組長(zhǎng)1人，副組長(zhǎng)1