第71講、面積問題 (教師版)

第71講面積問題知識梳理1、三角形的面積處理方法（1）底·高（通常選弦長做底，點到直線的距離為高）（2）水平寬·鉛錘高或（3）在平面直角坐標系中，已知的頂點分別為，，，三角形的面積為．2、三角形面積比處理方法（1）對頂角模型（2）等角、共角模型3、四邊形面積處理方法（1）對角線垂直（2）一般四邊形（3）分割兩個三角形4、面積的最值問題或者取值范圍問題一般都是利用面積公式表示面積，然后將面積轉(zhuǎn)化為某個變量的一個函數(shù)，再求解函數(shù)的最值（一般處理方法有換元，基本不等式，建立函數(shù)模型，利用二次函數(shù)、三角函數(shù)的有界性求最值或利用導數(shù)法求最值，構(gòu)造函數(shù)求導等等），在算面積的過程中，優(yōu)先選擇長度為定值的線段參與運算，靈活使用割補法計算面積，盡可能降低計算量．必考題型全歸納題型一：三角形的面積問題之底·高例1．（2024·福建漳州·高三統(tǒng)考開學考試）已知橢圓的左焦點為，且過點.(1)求C的方程；(2)不過原點O的直線與C交于P，Q兩點，且直線OP，PQ，OQ的斜率成等比數(shù)列.（i）求的斜率；（ii）求的面積的取值范圍.【解析】（1）由題知，橢圓C的右焦點為，且過點，所以，所以.又，所以，

所以C的方程為.（2）（?。┯深}知，直線l的斜率存在，且不為0.設(shè)，，，則，所以，

所以，，

且，即.因為直線OP，PQ，OQ的斜率成等比數(shù)列.所以，即，所以，且.因為，所以，所以.（ii）由（ⅰ）知，，所以，且.設(shè)點O到直線PQ的距離為d，所以.因為，所以，，所以，又，且.所以即的面積的取值范圍.例2．（2024·湖南常德·高三常德市一中校考階段練習）在平面直角坐標系中，已知點，點在直線上運動，過點與垂直的直線和的中垂線相交于點.(1)求動點的軌跡的方程；(2)設(shè)點是軌跡上的動點，點在軸上，圓內(nèi)切于，求的面積的最小值.【解析】（1）設(shè)點為軌跡上任意一點，由題意知，，所以動點的軌跡是以為焦點，以為準線的拋物線，設(shè)其方程為，所以，即，故拋物線方程為，所以動點的軌跡的方程為.（2）設(shè)，，，且，所以直線的方程為．圓的圓心為，半徑為，因為圓內(nèi)切于△PRN，所以直線與圓相切，則圓心到直線的距離為，即，則

①，因為，所以化簡①得，

②，圓內(nèi)切于△PRN，所以直線與圓相切，同理可得

③，由②③可知，為方程的兩根，所以，又，，，所以，故的面積為，等號當且僅當，即等號成立，此時點的坐標為)或.故當?shù)淖鴺藶榛驎r，的面積取最小值.例3．（2024·浙江·模擬預(yù)測）我國著名數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”事實上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，已知曲線C上任意一點滿足.(1)化簡曲線的方程；(2)已知圓（為坐標原點），直線經(jīng)過點且與圓相切，過點A作直線的垂線，交于兩點，求面積的最小值.【解析】（1），由得．所以曲線的方程是；（2）設(shè)，直線方程是，則直線方程為，即,直線與已知圓相切，所以，則，由得，，由題意（∵），，，∴或，，又原點到直線的距離為，∴，由或得，設(shè)，，當且僅當時等號成立，，當且僅當時等號成立，∴時，，∴，即時，．變式1．（2024·河北秦皇島·校聯(lián)考二模）已知雙曲線實軸的一個端點是，虛軸的一個端點是，直線與雙曲線的一條漸近線的交點為.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與曲線有兩個不同的交點是坐標原點，求的面積最小值.【解析】（1）設(shè)點，點，則直線的方程為，與漸近線聯(lián)立，得，解之得，即直線與雙曲線的一條漸近線交點為，又直線與雙曲線的一條漸近線的交點為，所以，即，因此雙曲線方程為.（2）設(shè)，把代入，得，則，，，點到直線的距離，所以的面積為，令，所以，令，則，因為，所以，由，得，由，得，由，得，即當時，等號成立，此時滿足，所以面積的最小值為.變式2．（2024·四川成都·成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學?？既＃┰O(shè)橢圓過點，且左焦點為.(1)求橢圓的方程；(2)內(nèi)接于橢圓，過點和點的直線與橢圓的另一個交點為點，與交于點，滿足，求面積的最大值.【解析】（1）令橢圓的半焦距為c，依題意，，解得，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)點的坐標分別為，顯然均不為零，依題意，令，有且，又四點共線，從而，即，，于是，從而①，②，又點在橢圓上，即③，④，①+②并結(jié)合③，④得，即動點總在定直線上，因此直線方程為，由消去y得，，設(shè)，則，于是，設(shè)，則點到直線的距離，其中銳角由確定，因此，當且僅當時取等號，所以的面積最大值為.題型二：三角形的面積問題之分割法例4．（2024·全國·高三專題練習）設(shè)動點M與定點的距離和M到定直線l：的距離的比是．(1)求動點M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀；(2)當時，記動點M的軌跡為，動直線m與拋物線：相切，且與曲線交于點A，B．求面積的最大值．【解析】（1）設(shè)，則，化簡得，，當時，，軌跡為一條直線；當時，，此時軌跡為焦點在軸上的橢圓；當時，，此時軌跡為焦點在軸上的雙曲線；綜上：當時，軌跡方程為，軌跡為一條直線，當時，軌跡方程為，軌跡為焦點在軸上的橢圓；當時，軌跡方程為，軌跡為焦點在軸上的雙曲線；（2）當時，，當直線斜率不存在時，又與相切，故此時直線，此時三點共線，不合要求，舍去，設(shè)直線，聯(lián)立得，由得，顯然，聯(lián)立得，，由，結(jié)合，解得，設(shè)，則，設(shè)直線與軸交于點，則，則，將代入得，因為，令，則，，設(shè)，則設(shè)，則，，當時，，當時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極大值，也是最大值，故最大值為.例5．（2024·四川成都·高三校聯(lián)考階段練習）已知橢圓的對稱中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸，焦點在軸上，離心率，且過點．(1)求橢圓的標準方程；(2)若直線與橢圓交于兩點，且直線的傾斜角互補，點，求三角形面積的最大值．【解析】（1），設(shè)橢圓的標準方程為，即，過點，橢圓的標準方程為；（2）由題意可知直線的斜率存在，且不過點，設(shè)直線的方程為，，由消去整理得，，，，，，，將，代入整理得，，又因為，解得：，三角形的面積，

令，導函數(shù)，當，，當，，增區(qū)間為，減區(qū)間為，當時，三角形的面積取得最大值，最大值為18．例6．（2024·廣東·高三校聯(lián)考階段練習）已知雙曲線的離心率為2，右焦點到漸近線的距離為．(1)求雙曲線的標準方程；(2)若點為雙曲線右支上一動點，過點與雙曲線相切的直線，直線與雙曲線的漸近線分別交于M，N兩點，求的面積的最小值．【解析】（1）由已知得漸近線方程為，右焦點，∴，又∵，所以，解得，又因為離心率，解得，，∴雙曲線的標準方程為；（2）解法1：的漸近線方程為，當直線的斜率不存在時，此時，直線方程為，代入漸近線方程，得到，故，又，故的面積；當直線的斜率存在時，設(shè)其方程為，直線與雙曲線聯(lián)立得，因為相切，所以，解得，另設(shè)，，聯(lián)立，∴，，，，在中，，，∴，所以，所以，因為，所以，綜上所述，，其最小值為；解法2：由條件知，若直線的斜率存在，則斜率不為零，故可設(shè)，直線與雙曲線聯(lián)立得，，因為相切，所以，即，又因為直線與雙曲線的漸近線交于兩點，設(shè)為，，聯(lián)立，由于，所以，則,由直線的方程得，直線與軸的交點坐標為，∴，∵，∴即，且，∴時，的最小值為，綜上所述，，其最小值為.變式3．（2024·廣東廣州·高三中山大學附屬中學?？茧A段練習）過橢圓的右焦點作兩條相互垂直的弦，.，的中點分別為，.(1)證明：直線過定點；(2)若，的斜率均存在，求面積的最大值.【解析】（1）由題可知.若直線，有一條斜率不存在，則另一條斜率為0，其中點分別為直線與軸的交點、原點，過此兩點的直線方程為.若直線，的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，由題，可設(shè)直線的方程為，直線的方程為.聯(lián)立，消元，整理得，因為直線所過定點在橢圓內(nèi)部，則該直線與橢圓必然有兩交點，設(shè)，，則，，從而，，即；用替換點坐標中得.若，解得，此時，當時，則，則直線的方程為，整理得，即直線過定點，而直線的斜率不存在時也過定點，直線也滿足過定點，綜上，直線過定點.（2）因為，的斜率均存在，則，由（1）可得令，則，當且僅當，即時取等號.從而在上單調(diào)遞增，當，即時取得最小值.所以，即當時，取得最大值為.題型三：三角形、四邊形的面積問題之面積坐標化例7．（2024·全國·高三專題練習）如圖，已知雙曲線的左右焦點分別為、，若點為雙曲線在第一象限上的一點，且滿足，過點分別作雙曲線兩條漸近線的平行線、與漸近線的交點分別是和.（1）求四邊形的面積；（2）若對于更一般的雙曲線，點為雙曲線上任意一點，過點分別作雙曲線兩條漸近線的平行線、與漸近線的交點分別是和.請問四邊形的面積為定值嗎？若是定值，求出該定值（用、表示該定值）；若不是定值，請說明理由.【解析】（1）因為雙曲線，由雙曲線的定義可得，又因為，，，因為，所以，，軸，點的橫坐標為，所以，，，可得，即點，過點且與漸近線平行的直線的方程為，聯(lián)立，解得，即點，直線的方程為，點到直線的距離為，且，因此，四邊形的面積為；（2）四邊形的面積為定值，理由如下：設(shè)點，雙曲線的漸近線方程為，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，即點，直線的方程為，即，點到直線的距離為，且，因此，（定值）.例8．（2024·浙江·高三競賽）已知直線與橢圓：交于、兩點，直線不經(jīng)過原點.（1）求面積的最大值；（2）設(shè)為線段的中點，延長交橢圓于點，若四邊形為平行四邊形，求四邊形的面積.【解析】解法一

當直線的斜率不存在時，由對稱性，設(shè)直線方程為，則，，當且僅當時取等號.設(shè)直線：，，，聯(lián)立方程，消去得：，判別式，則，于是.原點到的距離，所以，當且僅當時取等號.（2）不妨設(shè)，根據(jù)垂徑定理得：，則的方程為.將的方程代入橢圓方程，消去得.注意、在直線的兩側(cè)，所以，.又點在直線上，所以，化簡得：，則.解法二

（1）設(shè)，則，.設(shè)原點到直線的距離為，則.（2）要四邊形為平行四邊形，則四邊形為菱形，由（1）知.解法三（1）設(shè)，，則，當且僅當，時取等號.（2），則，即，移項整理得，則，故.例9．（2024·全國·高三專題練習）分別是橢圓于的左、右焦點.(1)若Р是該橢圓上的一個動點，求的取值范圍；(2)設(shè)是它的兩個頂點，直線與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點.求四邊形AEBF面積的最大值.【解析】(1)由題意可知，，，，設(shè)，，，由橢圓的性質(zhì)可知，，，故，即.(2)設(shè)，，聯(lián)立消去整理可得，，，，，直線的方程為：，根據(jù)點到直線的距離公式可知，點，到直線的距離分別為，，，，四邊形的面積為，當且僅當即時，上式取等號，所以的最大值為.變式4．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線的焦點為，過的直線交于，兩點（其中點在第一象限），過點作的切線交軸于點，直線交于另一點，直線交軸于點.(1)求證：；(2)記，，的面積分別為，，，當點的橫坐標大于2時，求的最小值及此時點的坐標.【解析】（1）設(shè)點，則.因為點在第一象限，可設(shè)函數(shù)，則，所以，所以直線方程為，令，則，即點.設(shè)直線，與聯(lián)立得，所以，同理.因為，，所以，則，設(shè)直線，與聯(lián)立得，又因為直線與拋物線交于兩點，所以.因為點，所以，代入拋物線，又因為在第四象限，可知.因為，，所以，即，原命題得證.（2）由（1）知，所以，得，即.所以，另由（1）知，，，所以，即；，，設(shè)函數(shù)，，則.當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.所以當時，取得最小值為，此時點的坐標為.變式5．（2024·上海浦東新·高三上海市進才中學?？茧A段練習）設(shè)橢圓：的一個頂點為，離心率為，為橢圓的右焦點．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過且斜率為的直線與橢圓交于，兩點，若滿足，求的值；(3)過點的直線與橢圓交于，兩點，過點，分別作直線：的垂線（點，在直線的兩側(cè)）．垂足分別為，，記，，的面積分別為，，，試問：是否存在常數(shù)，使得，，總成等比數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．【解析】（1）因為橢圓：的一個頂點為，離心率為，所以有，，則，所以，所以橢圓的方程為.（2）因為為橢圓的右焦點，所以，過且斜率為的直線與橢圓交于，兩點，所以設(shè)直線方程為，，，則，則，，，，，，因為滿足，所以，即，即，則有，整理得，解得（舍），.（3）由已知得，BC的斜率存在，且B，C在x軸的同側(cè)，設(shè)直線BC的方程為，，，不妨設(shè)，則，，由得，所以，，，因為，，，所以，，要使，，總成等比數(shù)列，則應(yīng)有解得，所以存在，使得，，總成等比數(shù)列.變式6．（2024·福建泉州·泉州七中?？寄M預(yù)測）已知圓，點，圓周上任一點P，若線段PG的垂直平分線和CP相交于點Q，點Q的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)若過點的動直線與橢圓相交于兩點，直線的方程為.過點作于點，過點作于點.記的面積分別為，，.問是否存在實數(shù)，使得成立？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）圓的圓心，半徑，因為線段PG的垂直平分線和CP相交于點Q，所以，又，所以，所以點Q的軌跡是以，為焦點的橢圓，這里，，所以，，則，所以曲線的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)，，則，，聯(lián)立，消去并整理得，恒成立，，，所以，，同理得，所以，所以，所以，所以，所以存在實數(shù)，使得成立.變式7．（2024·上海浦東新·高三上海市洋涇中學?？奸_學考試）設(shè)拋物線：的焦點為，經(jīng)過軸正半軸上點的直線交于不同的兩點和.(1)若，求點的坐標；(2)若，求證：原點總在以線段為直徑的圓的內(nèi)部；(3)若，且直線，與有且只有一個公共點，問：的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出點的坐標；若不存在，請說明理由.（三角形面積公式：在中，設(shè)，，則的面積為【解析】（1）設(shè)，因為，又，得到，將代入，得到，所以點的坐標為或.（2）設(shè)，直線，由，消得到，由韋達定理知，，所以，又，由，故為鈍角，原點總在以線段為直徑的圓的內(nèi)部.（3）設(shè)，由，得到，又，得到或，即或（舍），故，所以直線的斜率，由題可設(shè)的方程為，由，消得到，由題知，，得到，代入，得到，所以，設(shè)，則，，即，所以，故的面積為，當且僅當時取等號，由，得，所以最小值為2，點的坐標為.變式8．（2024·四川眉山·高三校考階段練習）在中，已知點，，邊上的中線長與邊上的中線長之和為6；記的重心的軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)若圓：，，過坐標原點且與軸不重合的任意直線與圓相交于點，，直線，與曲線的另一個交點分別是點，，求面積的最大值.【解析】（1）設(shè)的中點為，的中點為，所以，，所以，所以，所以點的軌跡是以為焦點，長軸長，的橢圓.所以，所以，，所以曲線的方程為.（2）設(shè)直線為（不妨設(shè)），設(shè)，，所以，，，解得（舍去），則，由于是單位圓的直徑，所以，所以直線的斜率為，直線的方程為，同理可求得，則，由上述分析可知，而，所以，所以，令，當且僅當時等號成立，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當時，取得最小值為.題型四：三角形的面積比問題之共角、等角模型例10．（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線，過點的直線與交于兩點，當直線與軸垂直時，（其中為坐標原點）.(1)求的準線方程；(2)若點在第一象限，直線的傾斜角為銳角，過點作的切線與軸交于點，連接交于另一點為，直線與軸交于點，求與面積之比的最大值.【解析】（1）將代入，則，由，故為等腰直角三角形，故，即，所以，故準線方程為.（2）設(shè)，直線，聯(lián)立拋物線得，所以，則，故，由，則，故，直線，令，則，故，設(shè)直線，聯(lián)立拋物線得，所以，則，故，綜上，直線，令，則，故，由直線的傾斜角為銳角，故，則，，所以，令，則，則，僅當，即時等號成立，所以與面積之比的最大值.例11．（2024·北京東城·高三北京市第十一中學校考階段練習）已知橢圓，且過兩點．(1)求橢圓E的方程和離心率e；(2)若經(jīng)過有兩條直線，它們的斜率互為倒數(shù)，與橢圓E交于A，B兩點，與橢圓E交于C，D兩點，P，Q分別是AB，CD的中點試探究：與的面積之比是否為定值？若是，請求出此定值；若不是，請說明理由．【解析】（1）由題意可得，解得，則的方程；（2）由已知可得直線的斜率存在，且不為，也不為，設(shè)直線，（且），聯(lián)立可得，方程的判別式，設(shè)，，，則，.所以，，所以，因為兩直線斜率互為倒數(shù)，則，用代換點坐標中的得.所以，所以直線即所以恒過定點，設(shè)點、到直線的距離分別是，，則.與的面積之比是定值，定值為4.例12．（2024·江蘇徐州·高三?？奸_學考試）設(shè)橢圓的左右頂點分別為，右焦點為，已知．(1)求橢圓方程及其離心率；(2)已知點是橢圓上一動點（不與端點重合），直線交軸于點，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．【解析】（1）如圖，由題意得，解得，所以，所以橢圓的方程為，離心率為.（2）由題意得，直線斜率存在，由橢圓的方程為可得，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去整理得：，由韋達定理得，所以，所以，.所以,,，所以，所以，即，解得，所以直線的方程為.變式9．（2024·廣東深圳·深圳中學?？寄M預(yù)測）已知定點，關(guān)于原點對稱的動點，到定直線的距離分別為，，且，記的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程，并說明曲線是什么曲線？(2)已知點，是直線與曲線的兩個交點，，在軸上的射影分別為，（，不同于原點），且直線與直線相交于點，求與面積的比值.【解析】（1）設(shè)，.由有，，兩邊平方得，化簡得，即曲線的方程為或.曲線是以點，為焦點，長軸長為的橢圓與軸組成的曲線.（2）設(shè)直線與橢圓相交于，兩點，則，.令，將代入并整理得，，，.直線的方程為：.設(shè)，則，同理直線與直線相交于點，.，其中.從而，與重合.因為，所以.又，，則.所以與面積的比值為1.變式10．（2024·河北·高三校聯(lián)考階段練習）已知拋物線C：上一點到焦點F的距離為．(1)求拋物線C的方程；(2)過點F的直線與拋物線C交于兩點，直線與圓E：的另一交點分別為為坐標原點，求與面積之比的最小值．【解析】（1）依題意得，解得，所以拋物線方程為.（2）拋物線的焦點為，直線與軸不重合，設(shè)直線的方程為，由消去并化簡得，，設(shè)，則，所以，所以.，由，而，故解得.同理可求得.，同理，所以，故當時，取得最小值為.變式11．（2024·陜西商洛·陜西省丹鳳中學校考模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右頂點分別為，長軸長為短軸長的2倍，點在上運動，且面積的最大值為8．(1)求的方程；(2)若直線經(jīng)過點，交于兩點，直線分別交直線于，兩點，試問與的面積之比是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．【解析】（1）由題意得，即①．當點為的上頂點或下頂點時，的面積取得最大值，所以，即②．聯(lián)立①②，得．故的方程為．（2）與的面積之比為定值．由（1）可得，由題意設(shè)直線．聯(lián)立得，則，，所以．直線的方程為，令，得，即．同理可得．故與的面積之比為，即與的面積之比為定值．變式12．（2024·福建廈門·廈門一中校考模擬預(yù)測）已知，分別是橢圓：的右頂點和上頂點，，直線的斜率為.(1)求橢圓的方程；(2)直線，與，軸分別交于點，，與橢圓相交于點，.（i）求的面積與的面積之比；（ⅱ）證明：為定值.【解析】（1）∵、是橢圓，的兩個頂點，且，直線的斜率為，由，，得，又，解得，，∴橢圓的方程為；（2）設(shè)直線的方程為，則，，聯(lián)立方程消去，整理得，，得設(shè)，，∴，.（i），，∴，∴的面積與的面積之比為1；（ii）證明：綜上，.題型五：三角形的面積比問題之對頂角模型例13．（2024·安徽黃山·屯溪一中?？寄M預(yù)測）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點．

(1)求橢圓方程；(2)直線與橢圓交于點為的右焦點，直線分別交于另一點、，記與的面積分別為，求的范圍．【解析】（1）由離心率為，且經(jīng)過點可得，又，解得，所以橢圓；（2）設(shè)，則，，令，，可得，代入，得，又，得，設(shè)，，可得，代入，得，又，得，∵，∴，∵，，∴．例14．（2024·全國·高三對口高考）在平面直角坐標系中，點B與點關(guān)于原點O對稱，P是動點，且直線與的斜率之積等于．(1)求動點P的軌跡方程；(2)設(shè)直線和分別與直線交于點M，N,問：是否存在點P使得與的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．【解析】（1）因為點B與點關(guān)于原點O對稱，所以點B的坐標為.設(shè)點P的坐標為，則由直線與的斜率之積等于，得，化簡得，故動點P的軌跡方程為.（2）若存在點P使得與的面積相等，設(shè)點P的坐標為，則，因為，所以，即.作直線，作于，于，則，所以，同理，所以可得，整理得，解得；因為，所以.故存在點P使得與的面積相等，此時點P的坐標為.例15．（2024·重慶·高三重慶一中?？茧A段練習）已知O為坐標原點，拋物線的方程為，F(xiàn)是拋物線的焦點，橢圓的方程為，過F的直線l與拋物線交于M，N兩點，反向延長，分別與橢圓交于P，Q兩點．

(1)求的值；(2)若恒成立，求橢圓的方程；(3)在（2）的條件下，若的最小值為1，求拋物線的方程（其中，分別是和的面積）．【解析】（1）設(shè)直線OM的斜率為，直線ON的斜率為，由題可知，直線MN的斜率不為0，設(shè)，設(shè)直線，則由，可得，易知，且，則；（2）設(shè)，由題可知，，其中，聯(lián)立方程，同理，因為：．因為為定值，所以上式與無關(guān)，所以當，即時，此時，所以，所以橢圓的方程為．（3）因為，由（2）可知，當時，，故，當且僅當時，等號成立，此時拋物線方程為.變式13．（2024·四川·校聯(lián)考一模）已知點在橢圓上，點在橢圓C內(nèi)．設(shè)點以為的短軸的上、下端點，直線分別與橢圓C相交于點，且的斜率之積為．(1)求橢圓C的方程；(2)記，分別為，的面積，若，求的取值范圍．【解析】（1）設(shè)，依題意知，，則，整理有：．因為橢圓C過點，所以，所以橢圓的方程為．（2）由橢圓，可得，，可得，代入橢圓，整理得，解得，則，所以，又由，代入橢圓，整理有，解得，則，所以，所以，，于是，因為，所以，所以，故的范圍為．變式14．（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中?？奸_學考試）已知點在橢圓C：上，點在橢圓C內(nèi).設(shè)點A，B為C的短軸的上、下端點，直線AM，BM分別與橢圓C相交于點E，F(xiàn)，且EA，EB的斜率之積為.(1)求橢圓C的方程；(2)記，分別為，的面積，若，求m的值.【解析】（1）設(shè)，依題意，，可得，整理可得，又橢圓C過點，所以，故橢圓C的方程為；（2）依題意，可知AM：，代入橢圓方程，整理得，從而得到，又BM：，代入橢圓方程，整理得，從而得到，所以，，則,由于，所以，解得.變式15．（2024·四川南充·四川省南充高級中學?？既＃┮阎獧E圓的左、右焦點為，離心率為.點是橢圓上不同于頂點的任意一點，射線分別與橢圓交于點，的周長為8.(1)求橢圓的標準方程；(2)設(shè)，，的面積分別為.求證：為定值.【解析】（1）因為的周長為，即所以，可得，由橢圓的離心率，可得，從而，所以橢圓的標準方程為．（2）證明：設(shè)，則，可設(shè)直線PA的方程為，其中，聯(lián)立方程，整理得，則，

同理可得，．因為，所以所以是定值．題型六：四邊形的面積問題之對角線垂直模型例16．（2024·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，且E的漸近線方程為．(1)求E的方程；(2)過作兩條相互垂直的直線和，與E的右支分別交于A，C兩點和B，D兩點，求四邊形ABCD面積的最小值．【解析】（1）由題意，得的漸近線方程為，因為雙曲線的漸近線方程為，所以，即，又因為，所以，則，故的方程為．（2）根據(jù)題意，直線，的斜率都存在且不為0，設(shè)直線，，其中，因為，均與的右支有兩個交點，所以，，所以，將的方程與聯(lián)立，可得，設(shè)，則，，所以，用替換，可得，所以．令，所以，則，當，即時，等號成立，故四邊形面積的最小值為．例17．（2024·山西朔州·高三校聯(lián)考開學考試）已知橢圓E：的左、右焦點分別為，，M為橢圓E的上頂點，，點在橢圓E上.(1)求橢圓E的標準方程；(2)設(shè)經(jīng)過焦點的兩條互相垂直的直線分別與橢圓E相交于A，B兩點和C，D兩點，求四邊形ACBD的面積的最小值.【解析】（1）設(shè)，由，有.又由，有（O為坐標原點），可得，，可得橢圓E的方程為，代入點N的坐標，有，解得，，故橢圓E的標準方程為；（2）①當直線AB的斜率不存在或為0時，為長軸長或，不妨設(shè)，，故；②當直線AB的斜率存在且不為0時，設(shè)直線AB：，，，聯(lián)立方程，消去y得，則，，所以，同理可得，所以，因為，當且僅當，即時等號成立，所以，而，綜上：四邊形ACBD的面積的最小值為.例18．（2024·江西·高三統(tǒng)考階段練習）已知直線與拋物線交于兩點，.(1)求；(2)設(shè)拋物線的焦點為，過點且與垂直的直線與拋物線交于，求四邊形的面積.【解析】（1）設(shè)，由，可得，易得，所以，則，即，因為，所以.（2）由題意可得拋物線的焦點為，直線的方程為.聯(lián)立，化簡可得，則，設(shè)，則，則，因為，所以.題型七：四邊形的面積問題之一般四邊形例19．（2024·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習）已知橢圓過和兩點.

(1)求橢圓C的方程；(2)如圖所示，記橢圓的左、右頂點分別為A，B，當動點M在定直線上運動時，直線，分別交橢圓于兩點P和Q.（i）證明：點B在以為直徑的圓內(nèi)；（ii）求四邊形面積的最大值.【解析】（1）依題意將和兩點代入橢圓可得，解得；所以橢圓方程為（2）（i）易知，由橢圓對稱性可知，不妨設(shè)，；根據(jù)題意可知直線斜率均存在，且；所以直線的方程為，的方程為；聯(lián)立直線和橢圓方程，消去可得；由韋達定理可得，解得，則；聯(lián)立直線和橢圓方程，消去可得；由韋達定理可得，解得，則；則，；所以；即可知為鈍角，所以點B在以為直徑的圓內(nèi)；（ii）易知四邊形的面積為，設(shè)，則，當且僅當時等號成立；由對勾函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，所以，可得，由對稱性可知，即當點的坐標為或時，四邊形的面積最大，最大值為6.例20．（2024·新疆伊犁·高三?？茧A段練習）已知橢圓C：經(jīng)過點，O為坐標原點，若直線l與橢圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，直線l與直線OM的斜率乘積為.(1)求橢圓C的標準方程；(2)若四邊形OAPB為平行四邊形，求四邊形OAPB的面積.【解析】（1）由題意可設(shè)：直線l，，則，可得：直線l的斜率，直線OM的斜率，因為A，B兩點在橢圓C上，則，兩式相減得整理得，即，所以，可得，又因為點在橢圓C上，則，解得，所以橢圓C的標準方程為.（2）因為四邊形OAPB為平行四邊形，則M為的中點，可得，則，可得直線l的斜率，所以直線l的方程為，即，可得點到直線l的距離，由（1）可知：橢圓C的標準方程為，即，聯(lián)立方程，消去y得，可得，且，則，所以四邊形OAPB的面積.例21．（2024·上海黃浦·高三格致中學?？奸_學考試）定義：若橢圓上的兩個點滿足，則稱為該橢圓的一個“共軛點對”，記作.已知橢圓的一個焦點坐標為，且橢圓過點.(1)求橢圓的標準方程；(2)求“共軛點對”中點所在直線的方程；(3)設(shè)為坐標原點，點在橢圓上，且，（2）中的直線與橢圓交于兩點，且點的縱坐標大于0，設(shè)四點在橢圓上逆時針排列.證明：四邊形的面積小于.【解析】（1）依題意，橢圓的另一焦點為，因此，于是，所以橢圓的標準方程為.（2）設(shè)“共軛點對”中點B的坐標為，由（1）知，點在橢圓C：上，依題意，直線l的方程為，整理得，所以直線的方程為.（3）由（2）知，直線：，由，解得或，則，，設(shè)點，，則，兩式相減得，又，于是，則，有，線段PQ被直線l平分，設(shè)點到直線的距離為d，則四邊形的面積，而，則有，設(shè)過點P且與直線l平行的直線的方程為，則當與C相切時，d取得最大值，由消去y得，令，解得，當時，此時方程為，即，解得，則此時點P或點Q必有一個和點重合，不符合條件，從而直線與C不可能相切，即d小于平行直線和（或）的距離，所以.變式16．（2024·四川成都·高三石室中學校考開學考試）已知橢圓：（）左、右焦點分別為，，且為拋物線的焦點，為橢圓上一點.(1)求橢圓的方程；(2)已知，為橢圓上不同兩點，且都在軸上方，滿足.（?。┤?，求直線的斜率；（ⅱ）若直線與拋物線無交點，求四邊形面積的取值范圍.【解析】（1）依題意得，則，，而，于是，從而.又，解得，所以橢圓的方程為.（2）如圖，設(shè)直線交橢圓于另一點，直線交橢圓于另一點，由，故，由橢圓對稱性，，且四邊形為平行四邊形.（?。┯深}意直線的斜率不為0，設(shè)直線：，由，消去整理得，設(shè)，，則，，由（*）帶入上式，解得：，故，由于，，所以，所以，故的斜率為1.（ⅱ）由，消去整理得，由得.所以，與間的距離（即點到的距離），故，令，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，則，所以四邊形的面積的取值范圍為.變式17．（2024·湖北·高三孝感高中校聯(lián)考開學考試）已知橢圓的離心率，且經(jīng)過點.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)直線與橢圓E交于A，B兩點，且橢圓E上存在點M，使得四邊形為平行四邊形.試探究：四邊形OAMB的面積是否為定值？若是定值，求出四邊形的面積；若不是定值，請說明理由.【解析】（1）由已知可得：，，可得：，，橢圓E的方程為.（2）四邊形OAMB的面積為定值，理由如下：將代入可得：，設(shè)，則，，且，由于四邊形OAMB為平行四邊形，則，則點，代入橢圓E的方程，化簡可得：，此時恒成立，由于點O到直線AB的距離為，而，又由，可得，從而，又.所以四邊形OAMB的面積為定值.變式18．（2024·浙江·高三浙江省普陀中學校聯(lián)考開學考試）類似于圓的垂徑定理，橢圓：（）中有如下性質(zhì)：不過橢圓中心的一條弦的中點為，當，斜率均存在時，，利用這一結(jié)論解決如下問題：已知橢圓：，直線與橢圓交于，兩點，且，其中為坐標原點.(1)求點的軌跡方程；(2)過點作直線交橢圓于，兩點，使，求四邊形的面積.【解析】（1）設(shè)，因為，，代入橢圓得：，點的軌跡方程為：.（2）設(shè)，由（1）則，①當直線不與坐標軸重合時，由，知為中點，，直線：，代入橢圓：的方程得：即：，設(shè)，，由根與系數(shù)關(guān)系，，設(shè)表示點到直線的距離，表示點到直線的距離，；它法：利用比例關(guān)系轉(zhuǎn)化：，酌情給分.②當直線與坐標軸重合時，不妨取，，，或，，，綜上所述：四邊形的面積是.變式19．（2024·浙江·高三舟山中學校聯(lián)考開學考試）已知拋物線：與圓：相交于，，，四個點．

(1)當時，求四邊形的面積；(2)四邊形的對角線交點是否可能為，若可能，求出此時的值，若不可能，請說明理由；(3)當四邊形的面積最大時，求圓的半徑的值．【解析】（1）將代入，并化簡得，解得或，代入拋物線方程可得，，，；（2）聯(lián)立拋物線與圓的方程有，可得．不妨設(shè)與的四個交點的坐標為，，，．直線的方程為，由對稱性，對角線交點肯定在軸上，令，解得交點坐標為．若交點為點，則，則，不可能．（3）聯(lián)立拋物線與圓的方程有，可得．由于四邊形為等腰梯形，因而其面積則，設(shè)，則，將，代入上式，并令，得求導數(shù)，令，解得：，（舍去）．當時，；此時單調(diào)遞增，當時，；當時，．此時單調(diào)遞減，故當且僅當時，取得最大值，即此時四邊形的面積最大，此時．變式20．（2024·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓：（）與橢圓：（）的離心率相同，且橢圓的焦距是橢圓的焦距的倍．(1)求實數(shù)a和b的值；(2)若梯形的頂點都在橢圓上，，，直線BC與直線AD相交于點P．且點P在橢圓上，試探究梯形的面積是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．【解析】（1）由題意知，，且，解得，．（2）梯形的面積是定值，該定值為．理由如下：由（1）知：，：,設(shè)，，，則，因為，，所以A，B分別為PD，PC的中點，則，，則，作差可得，．因為，即，所以．同理可得，，所以C，D都在直線上，即直線CD的方程為．聯(lián)立，可得，，則，即．又因為點P到直線CD的距離，所以的面積為．又因為∽，，所以，所以梯形ABCD的面積為