第64講、橢圓及其性質（學生版）

第64講橢圓及其性質知識梳理知識點一：橢圓的定義平面內與兩個定點的距離之和等于常數（）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距，記作，定義用集合語言表示為：注意：當時，點的軌跡是線段；當時，點的軌跡不存在．知識點二：橢圓的方程、圖形與性質橢圓的方程、圖形與性質所示．焦點的位置焦點在軸上焦點在軸上圖形標準方程統(tǒng)一方程參數方程第一定義到兩定點的距離之和等于常數2，即（）范圍且且頂點、、、、軸長長軸長，短軸長長軸長，短軸長對稱性關于軸、軸對稱，關于原點中心對稱焦點、、焦距離心率準線方程點和橢圓的關系切線方程（為切點）（為切點）對于過橢圓上一點的切線方程，只需將橢圓方程中換為，換為可得切點弦所在的直線方程焦點三角形面積①，（為短軸的端點）②③焦點三角形中一般要用到的關系是焦半徑左焦半徑：又焦半徑：上焦半徑：下焦半徑：焦半徑最大值，最小值通徑過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：通徑長=（最短的過焦點的弦）弦長公式設直線與橢圓的兩個交點為，，，則弦長（其中是消后關于的一元二次方程的的系數，是判別式）【解題方法總結】（1）過橢圓的焦點與橢圓的長軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其長為．①橢圓上到中心距離最小的點是短軸的兩個端點，到中心距離最大的點是長軸的兩個端點．②橢圓上到焦點距離最大和最小的點是長軸的兩個端點．距離的最大值為，距離的最小值為．（2）橢圓的切線①橢圓上一點處的切線方程是；②過橢圓外一點，所引兩條切線的切點弦方程是；③橢圓與直線相切的條件是．必考題型全歸納題型一：橢圓的定義與標準方程例1．（2024·高二課時練習）已知橢圓C上任意一點都滿足關系式，則橢圓C的標準方程為.例2．（2024·山東青島·統(tǒng)考三模）已知橢圓的長軸長為，它的一個焦點與拋物線的焦點重合，則橢圓的標準方程為．例3．（2024·全國·高二專題練習）已知橢圓的左、右焦點為，且過點則橢圓標準方程為．變式1．（2024·浙江紹興·紹興一中校考模擬預測）已知橢圓E：（），F是E的左焦點，過E的上頂點A作AF的垂線交E于點B.若直線AB的斜率為，的面積為，則E的標準方程為.變式2．（2024·全國·高二專題練習）已知橢圓焦點在軸，它與橢圓有相同離心率且經過點，則橢圓標準方程為.變式3．（2024·北京·高二北大附中?？计谀┡c雙曲線有相同焦點，且長軸長為6的橢圓標準方程為.變式4．（2024·福建福州·高二福建省福州屏東中學?？计谀┮阎獧E圓：的左、右焦點分別為，，過坐標原點的直線交E于P，Q兩點，且，且，，則的標準方程為.變式5．（2024·山東青島·高二青島二中?？计谥校┻^點，且與橢圓有相同的焦點的橢圓標準方程是．變式6．（2024·浙江麗水·高三?？计谥校┪覀儼呀裹c在同一條坐標軸上，且離心率相同的橢圓叫做“相似橢圓”.若橢圓，則以橢圓E的焦點為頂點的相似橢圓F的標準方程為.變式7．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓C：(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，左、右頂點分別為M，N，過F2的直線l交C于A，B兩點（異于M、N），的周長為，且直線AM與AN的斜率之積為，則橢圓C的標準方程為.變式8．（2024·高二課時練習）已知橢圓的焦點在坐標軸上，且經過和兩點，則橢圓的標準方程為.【解題方法總結】（1）定義法：根據橢圓定義，確定的值，再結合焦點位置，直接寫出橢圓方程.（2）待定系數法：根據橢圓焦點是在軸還是軸上，設出相應形式的標準方程，然后根據條件列出的方程組，解出，從而求得標準方程.注意：①如果橢圓的焦點位置不能確定，可設方程為.②與橢圓共焦點的橢圓可設為.③與橢圓有相同離心率的橢圓，可設為（，焦點在軸上）或（，焦點在軸上）.題型二：橢圓方程的充要條件例4．（2024·全國·高三對口高考）若是任意實數，方程表示的曲線不可能是（

）A．圓 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線例5．（2024·上海徐匯·位育中學?？既＃┮阎?，則方程所表示的曲線為，則以下命題中正確的是（

）A．當時，曲線表示焦點在軸上的橢圓B．當曲線表示雙曲線時，的取值范圍是C．當時，曲線表示一條直線D．存在，使得曲線為等軸雙曲線例6．（2024·全國·高三專題練習）已知方程，其中．現有四位同學對該方程進行了判斷，提出了四個命題：甲：可以是圓的方程；

乙：可以是拋物線的方程；丙：可以是橢圓的標準方程；

丁：可以是雙曲線的標準方程．其中，真命題有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個變式9．（2024·全國·高三專題練習）“，”是“方程表示的曲線為橢圓”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件變式10．（2024·云南楚雄·高三統(tǒng)考期末）已知曲線，則“”是“曲線C是橢圓”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件變式11．（2024·全國·高三專題練習）設為實數，則曲線：不可能是（

）A．拋物線 B．雙曲線 C．圓 D．橢圓變式12．（2024·廣西欽州·高三?？茧A段練習）“”是方程“表示橢圓”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條【解題方法總結】表示橢圓的充要條件為：；表示雙曲線方程的充要條件為：；表示圓方程的充要條件為：.題型三：橢圓中焦點三角形的周長與面積及其他問題例7．（2024·貴州黔東南·高三?？茧A段練習）已知點，是橢圓上關于原點對稱的兩點，，分別是橢圓的左、右焦點，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．5例8．（2024·北京·高三強基計劃）如圖，過橢圓的右焦點作一條直線，交橢圓于A，B兩點，則的內切圓面積可能是（

）A．1 B．2 C．3 D．4例9．（2024·江西·高三統(tǒng)考階段練習）已知橢圓為兩個焦點，為橢圓上一點，若的周長為4，則（

）A．2 B．3 C． D．變式13．（2024·河南·高三階段練習）已知分別為橢圓的兩個焦點，且的離心率為為橢圓上的一點，則的周長為（

）A．6 B．9 C．12 D．15變式14．（2024·全國·校聯(lián)考模擬預測）已知橢圓的左頂點為A，上頂點為B，左、右焦點分別為，，延長交橢圓E于點P．若點A到直線的距離為，的周長為16，則橢圓E的標準方程為（

）A． B．C． D．變式15．（2024·廣東梅州·統(tǒng)考三模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線與橢圓的一個交點為，若，則的面積為（

）A． B． C．4 D．變式16．（2024·廣東廣州·高三華南師大附中校考開學考試）橢圓的兩焦點分別為，是橢圓上一點，當的面積取得最大值時，（

）A． B． C． D．變式17．（2024·河南開封·統(tǒng)考三模）已知點是橢圓上一點，橢圓的左、右焦點分別為、，且，則的面積為（

）A．6 B．12 C． D．變式18．（2024·全國·高三專題練習）設為橢圓的兩個焦點，點在上，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．5變式19．（2024·全國·高三專題練習）設O為坐標原點，為橢圓的兩個焦點，點P在C上，，則（

）A． B． C． D．變式20．（2024·湖南長沙·長郡中學?？寄M預測）若橢圓的離心率為，兩個焦點分別為，，為橢圓上異于頂點的任意一點，點是的內心，連接并延長交于點，則（

）A．2 B． C．4 D．變式21．（2024·云南昆明·昆明一中?？寄M預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線與橢圓C交于A，B兩點，若，則的面積等于（

）A．18 B．10 C．9 D．6變式22．（2024·貴州黔西·?？家荒＃┰O橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為．P是C上一點，且．若的面積為2，則（

）A．1 B．2 C． D．4變式23．（2024·云南昆明·昆明市第三中學?？寄M預測）已知橢圓的左、右焦點分別為為橢圓上一點，且，若關于平分線的對稱點在橢圓上，則的面積為（

）A． B． C． D．變式24．（2024·四川綿陽·高三綿陽南山中學實驗學校?？茧A段練習）在橢圓中，已知焦距為2，橢圓上的一點與兩個焦點的距離的和等于4，且，則的面積為（

）A． B． C． D．變式25．（2024·河北唐山·統(tǒng)考三模）已知橢圓的兩個焦點分別為，點為上異于長軸端點的任意一點，的角平分線交線段于點，則（

）A． B． C． D．【解題方法總結】焦點三角形的問題常用定義與解三角形的知識來解決，對于涉及橢圓上點到橢圓兩焦點將距離問題常用定義，即.題型四：橢圓上兩點距離的最值問題例10．（2024·湖南·校聯(lián)考二模）已知分別為橢圓的兩個焦點，為橢圓上一點，則的最大值為（

）A．64 B．16 C．8 D．4例11．（2024·云南·高三校聯(lián)考階段練習）已知，P是橢圓上的任意一點，則的最大值為（

）A．9 B．16 C．25 D．50例12．（2024·河南·高三期末）已知是橢圓上的動點，且與的四個頂點不重合，分別是橢圓的左、右焦點，若點在的平分線上，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式26．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習）已知是橢圓的兩個焦點，點在上，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式27．（2024·全國·高三專題練習）若橢圓C：，則該橢圓上的點到焦點距離的最大值為（）A．3 B．2＋C．2 D．＋1變式28．（2024·全國·高三專題練習）已知點在橢圓上運動，點在圓上運動，則的最大值為（

）A． B． C．5 D．6【解題方法總結】利用幾何意義進行轉化.題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題例13．（2024·北京·高三強基計劃）設實數x，y滿足，則的最小值為（

）A． B．C． D．前三個答案都不對例14．（2024·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，A是C上一點，，則的最大值為（

）A．7 B．8 C．9 D．11例15．（2024·江蘇·統(tǒng)考三模）已知F為橢圓C：的右焦點，P為C上一點，Q為圓M：上一點，則PQ＋PF的最大值為（

）A．3 B．6C． D．變式29．（2024·河北·高三河北衡水中學?？茧A段練習）若平面向量滿足，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式30．（2024·廣東·高三校聯(lián)考階段練習）已知橢圓的左焦點為是上一點，，則的最大值為（

）A．7 B．8 C．9 D．11變式31．（2024·全國·高三專題練習）已知點P為橢圓上任意一點，點M、N分別為和上的點，則的最大值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7變式32．（2024·全國·高三專題練習）已知，分別為橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，則的最大值為（

）A．2 B． C．4 D．變式33．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓外一點A(5，6)，l為橢圓的左準線，P為橢圓上動點，點P到l的距離為d，則的最小值為（

）A． B． C． D．變式34．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的右焦點為，為橢圓上一動點，定點，則的最小值為（

）A．1 B．－1 C． D．【解題方法總結】在解析幾何中，我們會遇到最值問題，這種問題，往往是考察我們定義．求解最值問題的過程中，如果發(fā)現動點在圓錐曲線上，要思考并用上圓錐曲線的定義，往往問題能迎刃而解．題型六：離心率的值及取值范圍方向1：利用橢圓定義去轉換例16．（2024·四川成都·高三成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學校考開學考試）如圖，某同學用兩根木條釘成十字架，制成一個橢圓儀.木條中間挖一道槽，在另一活動木條的處鉆一個小孔，可以容納筆尖，各在一條槽內移動，可以放松移動以保證與的長度不變，當各在一條槽內移動時，處筆尖就畫出一個橢圓.已知，且在右頂點時，恰好在點，則的離心率為（

）A． B． C． D．例17．（2024·全國·高三專題練習）設橢圓的一個焦點為，點為橢圓內一點，若橢圓上存在一點，使得，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．例18．（2024·安徽·高三安徽省宿松中學校聯(lián)考開學考試）已知橢圓C的左右焦點分別為，，P，Q為C上兩點，，若，則C的離心率為（

）A． B． C． D．變式35．（2024·湖北·高三孝感高中校聯(lián)考開學考試）如圖，已知圓柱底面半徑為2，高為3，是軸截面，分別是母線上的動點（含端點），過與軸截面垂直的平面與圓柱側面的交線是圓或橢圓，當此交線是橢圓時，其離心率的取值范圍是（

）

A． B． C． D．變式36．（2024·湖北·高三校聯(lián)考階段練習）已知，分別是橢圓（）的左，右焦點，M，N是橢圓C上兩點，且，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．變式37．（2024·重慶巴南·統(tǒng)考一模）橢圓的左右焦點為，，點P為橢圓上不在坐標軸上的一點，點M，N滿足，，若四邊形的周長等于，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．變式38．（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學校校考三模）已知M，N是橢圓上關于原點O對稱的兩點，P是橢圓C上異于的點，且的最大值是，則橢圓C的離心率是（

）A． B． C． D．方向2：利用與建立一次二次方程不等式變式39．（2024·四川綿陽·高三鹽亭中學校考階段練習）橢圓?的左、右焦點分別為?，焦距為?，若直線?與橢圓?的一個交點為?在?軸上方，滿足?，則該橢圓的離心率為（

）A．? B．?C．? D．?變式40．（2024·廣東深圳·高三?？茧A段練習）已知橢圓E：的右焦點為，左頂點為，若E上的點P滿足軸，，則E的離心率為（

）A． B． C． D．變式41．（2024·廣東廣州·高三華南師大附中?？茧A段練習）已知為坐標原點，是橢圓上一點，F為右焦點.延長，交橢圓于，兩點，，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．變式42．（2024·河南開封·?？寄M預測）已知橢圓，，分別是的左頂點和上頂點，是的左焦點，若，則的離心率為（

）A． B．C． D．變式43．（2024·山東泰安·統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別是，斜率為的直線經過左焦點且交于兩點（點在第一象限），設△的內切圓半徑為的內切圓半徑為，若，則橢圓的離心率的值為（

）A． B．C． D．變式44．（2024·全國·模擬預測）已知橢圓的左頂點為，右焦點為F，B為橢圓上一點，，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．變式45．（2024·湖北荊州·沙市中學?？寄M預測）已知橢圓，為其左焦點，直線與橢圓交于點，，且．若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．方向3：利用最大頂角滿足變式46．（2024·四川成都·高三樹德中學?？奸_學考試）已知、是橢圓的兩個焦點，滿足的點M總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式47．（2024·全國·高三專題練習）設、是橢圓的左、右焦點，若橢圓外存在點使得，則橢圓的離心率的取值范圍______．變式48．（2024·北京豐臺二中高三階段練習）已知，分別是某橢圓的兩個焦點，若該橢圓上存在點使得（，是已知數），則該橢圓離心率的取值范圍是________.變式49．（2024·廣東·廣州市真光中學高三開學考試）已知橢圓的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在一點使得，則該橢圓離心率的取值范圍是________．方向4：坐標法變式50．（2024·云南·校聯(lián)考模擬預測）已知橢圓：的左、右焦點分別為，（如圖），過的直線交于，兩點，且軸，，則的離心率為（

）

A． B． C． D．變式51．（2024·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預測）已知橢圓的左焦點為，離心率為．傾斜角為的直線與交于兩點，并且滿足，則的離心率為（

）A． B． C． D．變式52．（2024·廣東佛山·?？寄M預測）已知橢圓的下焦點為，右頂點為，直線交橢圓于另一點，且，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．變式53．（2024·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預測）設是橢圓的上頂點，是上的一個動點．當運動到下頂點時，取得最大值，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式54．（2024·安徽·高三宿城一中校聯(lián)考階段練習）已知橢圓C：（）的左焦點為，過左焦點作傾斜角為的直線交橢圓于A，B兩點，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．變式55．（2024·浙江溫州·樂清市知臨中學?？级＃┮阎獧E圓的右焦點為，過右焦點作傾斜角為的直線交橢圓于兩點，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．變式56．（2024·湖南·高三校聯(lián)考階段練習）已知橢圓的左，右焦點為，離心率為，又點是橢圓上異于長軸端點的兩點，且滿足，若，則（

）A．5 B．4 C．3 D．2變式57．（2024·湖南邵陽·邵陽市第二中學?？寄M預測）已知，是橢圓的左、右焦點，是的上頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為（

）A． B． C． D．變式58．（2024·全國·高三對口高考）在平面直角坐標系中，橢圓的焦距為，以原點O為圓心，a為半徑作圓O，過點作圓O的兩切線互相垂直，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．變式59．（2024·四川瀘州·高三四川省瀘縣第一中學?？奸_學考試）已知分別是橢圓的左、右焦點，是上一點且與軸垂直，直線與的另一個交點為，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．方向5：找?guī)缀侮P系，利用余弦定理變式60．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的右焦點為，過坐標原點的直線與橢圓交于兩點，點位于第一象限，直線與橢圓另交于點，且，若，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．變式61．（2024·江蘇·高三江蘇省前黃高級中學校聯(lián)考階段練習）設點、分別為橢圓：的左右焦點，點，在橢圓上，若，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．變式62．（2024·湖南衡陽·校聯(lián)考模擬預測）已知橢圓的左?右焦點分別為、，過作直線與橢圓相交于、兩點，，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．變式63．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知橢圓的左焦點為，若橢圓上存在點P，使得線段與直線垂直垂足為Q，若，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．變式64．（2024·江西南昌·校聯(lián)考二模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線經過點交于，兩點，點在上，，，，則的離心率為（

）A． B． C． D．變式65．（2024·海南?？凇ずＤ先A僑中學?？寄M預測）已知，分別是橢圓：（）的左，右焦點，是上的一點，若，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．方向6：找?guī)缀侮P系，利用正弦定理變式66．（2024·全國·高三專題練習）已知，分別為橢圓的兩個焦點，P是橢圓E上的點，，且，則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．變式67．（2024·全國·高三專題練習（理））已知橢圓＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，且|F1F2|＝2c，若橢圓上存在點M使得中，，則該橢圓離心率的取值范圍為()A．(0，－1) B． C． D．(－1,1)變式68．（2024·全國·高三專題練習）過橢圓的左、右焦點，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．變式69．（2024·江蘇·揚州中學高三開學考試）已知橢圓的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在點（異于長軸的端點），使得，則該橢圓離心率的取值范圍是______．變式70．（2024·全國·高三專題練習）過橢圓的左、右焦點，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．方向7：利用基本不等式變式71．（2024·全國·高三專題練習）設橢圓的右焦點為，橢圓上的兩點，關于原點對你，且滿足，，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式72．（2024·江蘇南京·高三階段練習）設、分別是橢圓：的左、右焦點，是橢圓準線上一點，的最大值為60°，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．變式73．（2024·山西運城·高三期末（理））已知點為橢圓的左頂點，為坐標原點，過橢圓的右焦點F作垂直于x軸的直線l，若直線l上存在點P滿足，則橢圓離心率的最大值______________.變式74．（2024·全國·高三專題練習）已知F是橢圓的一個焦點，若直線與橢圓相交于A，B兩點，且，記橢圓的離心率為e，則的取值范圍是___________.方向8：利用焦半徑的取值范圍為．變式75．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，橢圓上存在點，使得，其中、分別為橢圓的左、右焦點，則該橢圓的離心率取值范圍是________．變式76．（2024·廣西南寧·二模（理））已知橢圓的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在一點使，則該橢圓的離心率的取值范圍是______.變式77．（2024·河南·信陽高中高三期末（文））若橢圓上存在一點，使得，其中分別是的左、右焦點，則的離心率的取值范圍為______.變式78．（2024·四川省瀘縣第二中學模擬預測（文））已知橢圓的左右焦點為，若橢圓C上恰好有6個不同的點P，使得為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式79．（2024·陜西西安·統(tǒng)考三模）已知橢圓：的左，右焦點分別為，，若橢圓上一點Р到焦點的最大距離為7，最小距離為3，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．變式80．（2024·全國·模擬預測）已知，分別是橢圓C：的左?右焦點，B是橢圓C的上頂點，P是橢圓C上任意一點，且C的焦距大于短軸長，若的最大值是的最小值的倍，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C．或 D．方向9：利用橢圓第三定義．變式81．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓C：（），點A，B為長軸的兩個端點，若在橢圓上存在點P，使，則橢圓的離心率的取值范圍是______．變式82．（2024·全國·模擬預測）已知直線與橢圓交于兩點，是橢圓上異于的一點．若橢圓的離心率的取值范圍是，則直線，斜率之積的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式83．（2024·內蒙古赤峰·校聯(lián)考三模）下列結論：①若方程表示橢圓，則實數k的取值范圍是；②雙曲線與橢圓的焦點相同．③M是雙曲線上一點，點，分別是雙曲線左右焦點，若，則或1．④直線與橢圓C：交于P，Q兩點，A是橢圓上任一點（與P，Q不重合），已知直線AP與直線AQ的斜率之積為，則橢圓C的離心率為．錯誤的個數是（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個變式84．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知直線與橢圓交于兩點，若點恰為弦的中點，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．變式85．（2024·河南新鄉(xiāng)·新鄉(xiāng)市第一中學?？寄M預測）已知橢圓的左頂點為，點是橢圓上關于軸對稱的兩點.若直線的斜率之積為，則的離心率為（

）A． B． C． D．【解題方法總結】求離心率的本質就是探究之間的數量關系，知道中任意兩者間的等式關系或不等關系便可求解出的值或其范圍.具體方法為方程法、不等式法、定義法和坐標法.題型七：橢圓的簡單幾何性質問題例19．（2024·甘肅隴南·高三統(tǒng)考期中）已知雙曲線的一個焦點是，橢圓的焦距等于，則．例20．（2024·上海崇明·上海市崇明中學校考模擬預測）若拋物線的焦點恰好是橢圓的右焦點，則.例21．（2024·浙江嘉興·?？寄M預測）已知橢圓的左、右焦點分別為點、，若橢圓上頂點為點，且為等腰直角三角形，則.變式86．（2024·四川南充·高三統(tǒng)考期中）已知點、，動點滿足：直線的斜率與直線的斜率之積為，則的取值范圍為．變式87．（2024·全國·高三專題練習）若為橢圓上的一點，，分別是橢圓的左、右焦點，則的最大值為.變式88．（2024·全國·高三專題練習）AB是平面上長度為4的一條線段，P是平面上一個動點，且，M是AB的中點，則的取值范圍是．變式89．（2024·云南·云南師大附中?？寄M預測）如圖所示，在圓錐內放入兩個大小不同的球，，使得它們分別與圓錐的側面和平面都相切，平面分別與球，相切于點，.數學家GerminalDandelin利用這個模型證明了平面與圓錐側面的交線為橢圓，，為此橢圓的兩個焦點，這兩個球也被稱為Dandelin雙球.若球，的半徑分別為6和3，球心距離，則此橢圓的長軸長為.

變式90．（2024·全國·高三專題練習）2022年神舟接力騰飛，中國空間站全面建成，我們的“太空之家”遨游蒼穹．太空中飛船與空間站的對接，需要經過多次變軌．某飛船升空后的初始運行軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓，其遠地點（長軸端點中離地面最遠的點）到地面的距離為，近地點（長軸端點中離地面最近的點）到地面的距離為，地球的半徑為R，則該橢圓的短軸長為（用，，R表示）．【解題方法總結】標準方程圖形性質焦點，，焦