第81講、圓錐曲線拓展題型一 (學生版)

第81講圓錐曲線拓展題型一必考題型全歸納題型一：定比點差法例1．已知橢圓（）的離心率為，過右焦點且斜率為（）的直線與相交于，兩點，若，求例2．已知，過點的直線交橢圓于，（可以重合），求取值范圍．例3．已知橢圓的左右焦點分別為，，，，是橢圓上的三個動點，且，若，求的值．變式1．設，分別為橢圓的左、右焦點，點，在橢圓上，若，求點的坐標變式2．已知橢圓，設過點的直線與橢圓交于，，點是線段上的點，且，求點的軌跡方程．題型二：齊次化例4．已知拋物線，過點的直線與拋物線交于P，Q兩點，為坐標原點．證明：．例5．如圖，橢圓，經(jīng)過點，且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點P，Q（均異于點，證明：直線AP與AQ的斜率之和為2．例6．已知橢圓，設直線不經(jīng)過點且與相交于A，B兩點．若直線與直線的斜率的和為，證明：直線過定點．變式3．已知橢圓，，，為上的兩個不同的動點，，求證：直線過定點．題型三：極點極線問題例7．（2024·全國·高三專題練習）橢圓方程，平面上有一點．定義直線方程是橢圓在點處的極線．已知橢圓方程．(1)若在橢圓上，求橢圓在點處的極線方程；(2)若在橢圓上，證明：橢圓在點處的極線就是過點的切線；(3)若過點分別作橢圓的兩條切線和一條割線，切點為，，割線交橢圓于，兩點，過點，分別作橢圓的兩條切線，且相交于點．證明：，，三點共線．例8．（2024·全國·高三專題練習）閱讀材料：（一）極點與極線的代數(shù)定義；已知圓錐曲線G：，則稱點P(，)和直線l：是圓錐曲線G的一對極點和極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換x(另一變量y也是如此)，即可得到點P(，)對應的極線方程.特別地，對于橢圓，與點P(，)對應的極線方程為；對于雙曲線，與點P(，)對應的極線方程為；對于拋物線，與點P(，)對應的極線方程為.即對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應的關(guān)系.（二）極點與極線的基本性質(zhì)?定理①當P在圓錐曲線G上時，其極線l是曲線G在點P處的切線；②當P在G外時，其極線l是曲線G從點P所引兩條切線的切點所確定的直線（即切點弦所在直線）；③當P在G內(nèi)時，其極線l是曲線G過點P的割線兩端點處的切線交點的軌跡.結(jié)合閱讀材料回答下面的問題：(1)已知橢圓C：經(jīng)過點P(4，0)，離心率是，求橢圓C的方程并寫出與點P對應的極線方程；(2)已知Q是直線l：上的一個動點，過點Q向（1）中橢圓C引兩條切線，切點分別為M，N，是否存在定點T恒在直線MN上，若存在，當時，求直線MN的方程；若不存在，請說明理由.例9．（2024秋·北京·高三中關(guān)村中學校考開學考試）已知橢圓M：（a＞b＞0）過A（－2，0），B（0，1）兩點．（1）求橢圓M的離心率；（2）設橢圓M的右頂點為C，點P在橢圓M上（P不與橢圓M的頂點重合），直線AB與直線CP交于點Q，直線BP交x軸于點S，求證：直線SQ過定點．變式4．（2024·全國·高三專題練習）若雙曲線與橢圓共頂點，且它們的離心率之積為．（1）求橢圓C的標準方程；（2）若橢圓C的左、右頂點分別為，，直線l與橢圓C交于P、Q兩點，設直線與的斜率分別為，，且．試問，直線l是否過定點？若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由．變式5．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的離心率為，且過點，A，B分別為橢圓E的左，右頂點，P為直線上的動點（不在x軸上），與橢圓E的另一交點為C，與橢圓E的另一交點為D，記直線與的斜率分別為，．（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）證明：直線過一個定點，并求出此定點的坐標．題型四：蝴蝶問題例10．（2003·全國·高考真題）如圖，橢圓的長軸與x軸平行，短軸在y軸上，中心為．(1)寫出橢圓的方程，求橢圓的焦點坐標及離心率；(2)直線交橢圓于兩點；直線交橢圓于兩點，．求證：；(3)對于（2）中的中的在，，，，設交軸于點，交軸于點，求證：（證明過程不考慮或垂直于軸的情形）例11．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓（），四點，，，，中恰有三點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）蝴蝶定理：如圖1，為圓的一條弦，是的中點，過作圓的兩條弦，.若，分別與直線交于點，，則.該結(jié)論可推廣到橢圓.如圖2所示，假定在橢圓中，弦的中點的坐標為，且兩條弦，所在直線斜率存在，證明：.例12．（2021·全國·高三專題練習）（蝴蝶定理）過圓弦的中點M，任意作兩弦和，與交弦于P、Q，求證：.變式6．（2024·全國·高三專題練習）蝴蝶定理因其美妙的構(gòu)圖，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代數(shù)學名家蜂擁而證，正所謂花若芬芳蜂蝶自來.如圖，已知圓的方程為，直線與圓交于，，直線與圓交于，.原點在圓內(nèi).（1）求證：.（2）設交軸于點，交軸于點.求證：.變式7．（2024·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預測）已知橢圓的左?右頂點分別為點，，且，橢圓離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點，且斜率不為的直線交橢圓于，兩點，直線，的交于點，求證：點在直線上.變式8．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A，B，離心率為，點P為橢圓上一點．（1）求橢圓C的標準方程；（2）如圖，過點C(0，1)且斜率大于1的直線l與橢圓交于M，N兩點，記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2，若k1＝2k2，求直線l斜率的值．變式9．（2021秋·廣東深圳·高二?？计谥校┮阎獧E圓的右焦點是，過點F的直線交橢圓C于A，B兩點，若線段AB中點Q的坐標為．(1)求橢圓C的方程；(2)已知是橢圓C的下頂點，如果直線y=kx+1（k≠0）交橢圓C于不同的兩點M，N，且M，N都在以P為圓心的圓上，求k的值；(3)過點作一條非水平直線交橢圓C于R、S兩點，若A，B為橢圓的左右頂點，記直線AR、BS的斜率分別為k1、k2，則是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請說明理由．變式10．（2024·全國·高三專題練習）如圖，已知橢圓的離心率為，，分別是橢圓的左、右頂點，右焦點，，過且斜率為的直線與橢圓相交于，兩點，在軸上方．(1)求橢圓的標準方程；(2)記，的面積分別為，，若，求的值；(3)設線段的中點為，直線與直線相交于點，記直線，，的斜率分別為，，，求的值．變式11．（2024秋·福建莆田·高二莆田華僑中學校考期末）已知點在橢圓：上，為坐標原點，直線：的斜率與直線的斜率乘積為（1）求橢圓的方程；（2）不經(jīng)過點的直線：（且）與橢圓交于，兩點，關(guān)于原點的對稱點為（與點不重合），直線，與軸分別交于兩點，，求證：.變式12．（2022·全國·高三專題練習）極線是高等幾何中的重要概念，它是圓錐曲線的一種基本特征.對于圓，與點對應的極線方程為，我