第7講、函數(shù)的性質（學生版）

[在此處鍵入]第7講函數(shù)的性質知識梳理1、函數(shù)的單調性（1）單調函數(shù)的定義一般地，設函數(shù)的定義域為，區(qū)間：如果對于內的任意兩個自變量的值，當時，都有，那么就說在區(qū)間上是增函數(shù)．如果對于內的任意兩個自變量的值，，當時，都有，那么就說在區(qū)間上是減函數(shù)．=1\*GB3①屬于定義域內某個區(qū)間上；=2\*GB3②任意兩個自變量，且；=3\*GB3③都有或；=4\*GB3④圖象特征：在單調區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是下降的．（2）單調性與單調區(qū)間=1\*GB3①單調區(qū)間的定義：如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)在區(qū)間上具有單調性，稱為函數(shù)的單調區(qū)間．=2\*GB3②函數(shù)的單調性是函數(shù)在某個區(qū)間上的性質．（3）復合函數(shù)的單調性復合函數(shù)的單調性遵從“同增異減”，即在對應的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內層函數(shù)是增（減）函數(shù)，復合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內層函數(shù)是減（增）函數(shù)，復合函數(shù)是減函數(shù).2、函數(shù)的奇偶性函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)如果對于函數(shù)的定義域內任意一個，都有，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)關于軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)的定義域內任意一個，都有，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)關于原點對稱判斷與的關系時，也可以使用如下結論：如果或，則函數(shù)為偶函數(shù)；如果或，則函數(shù)為奇函數(shù)．注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個前提條件是：對于定義域內的任意一個，也在定義域內(即定義域關于原點對稱)．3、函數(shù)的對稱性(1)若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)關于對稱．(2)若函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)關于點對稱．(3)若，則函數(shù)關于對稱．(4)若，則函數(shù)關于點對稱．4、函數(shù)的周期性（1）周期函數(shù)：對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)，使得當取定義域內的任何值時，都有，那么就稱函數(shù)為周期函數(shù)，稱為這個函數(shù)的周期.（2）最小正周期：如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么稱這個最小整數(shù)叫做的最小正周期.【解題方法總結】1、單調性技巧（1）證明函數(shù)單調性的步驟①取值：設，是定義域內一個區(qū)間上的任意兩個量，且；②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；③定號：判斷差的正負或商與的大小關系；④得出結論．（2）函數(shù)單調性的判斷方法①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結論”進行判斷．②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調性．③直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調區(qū)間．（3）記住幾條常用的結論：①若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；②若和均為增(或減)函數(shù)，則在和的公共定義域上為增(或減)函數(shù)；③若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；④若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù)．2、奇偶性技巧(1)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關于原點對稱.(2)奇偶函數(shù)的圖象特征.函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關于軸對稱；函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關于原點中心對稱.(3)若奇函數(shù)在處有意義，則有；偶函數(shù)必滿足.(4)偶函數(shù)在其定義域內關于原點對稱的兩個區(qū)間上單調性相反；奇函數(shù)在其定義域內關于原點對稱的兩個區(qū)間上單調性相同.(5)若函數(shù)的定義域關于原點對稱，則函數(shù)能表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的和的形式.記，，則.(6)運算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運算函數(shù)是指兩個（或多個）函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運算所得的函數(shù)，如.對于運算函數(shù)有如下結論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.(7)復合函數(shù)的奇偶性原來：內偶則偶，兩奇為奇.(8)常見奇偶性函數(shù)模型奇函數(shù)：=1\*GB3①函數(shù)或函數(shù)．=2\*GB3②函數(shù)．=3\*GB3③函數(shù)或函數(shù)=4\*GB3④函數(shù)或函數(shù)．注意：關于=1\*GB3①式，可以寫成函數(shù)或函數(shù)．偶函數(shù)：=1\*GB3①函數(shù)．=2\*GB3②函數(shù)．=3\*GB3③函數(shù)類型的一切函數(shù)．④常數(shù)函數(shù)3、周期性技巧4、函數(shù)的的對稱性與周期性的關系（1）若函數(shù)有兩條對稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（2）若函數(shù)的圖象有兩個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（3）若函數(shù)有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且.5、對稱性技巧（1）若函數(shù)關于直線對稱，則．（2）若函數(shù)關于點對稱，則．（3）函數(shù)與關于軸對稱，函數(shù)與關于原點對稱．必考題型全歸納題型一：函數(shù)的單調性及其應用例1．已知函數(shù)的定義域是，若對于任意兩個不相等的實數(shù)，，總有成立，則函數(shù)一定是（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．增函數(shù) D．減函數(shù)例2．若定義在R上的函數(shù)f(x)對任意兩個不相等的實數(shù)a，b，總有>0成立，則必有（

）A．f(x)在R上是增函數(shù) B．f(x)在R上是減函數(shù)C．函數(shù)f(x)先增后減 D．函數(shù)f(x)先減后增例3．下列函數(shù)中，滿足“”的單調遞增函數(shù)是A． B．C． D．變式1．函數(shù)的單調遞增區(qū)間是（

）A． B．和C．和 D．和變式2．（江蘇省泰州市海陵區(qū)2024學年高三上學期期中數(shù)學試題）已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)的單調性，并利用定義證明；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．變式3．（2024·全國·高三專題練習）設，，證明：函數(shù)是x的增函數(shù)．變式4．（2024·上海靜安·高三?？计谥校┮阎瘮?shù)，且.(1)求的值，并指出函數(shù)的奇偶性；(2)在（1）的條件下，運用函數(shù)單調性的定義，證明函數(shù)在上是增函數(shù).【解題總結】函數(shù)單調性的判斷方法①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結論”進行判斷．②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調性．③直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調區(qū)間．題型二：復合函數(shù)單調性的判斷例4．函數(shù)的單調遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．例5．（陜西省寶雞市金臺區(qū)2024學年高三下學期期末數(shù)學試題）函數(shù)的單調遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．例6．（陜西省榆林市2024學年高三下學期階段性測試）函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【解題總結】討論復合函數(shù)的單調性時要注意：既要把握復合過程，又要掌握基本函數(shù)的單調性．一般需要先求定義域，再把復雜的函數(shù)正確地分解為兩個簡單的初等函數(shù)的復合，然后分別判斷它們的單調性，再用復合法則，復合法則如下：1、若，在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則為增函數(shù)；2、若，在所討論的區(qū)間上一個是增函數(shù)，另一個是減函數(shù)，則為減函數(shù)．列表如下：增增增增減減減增減減減增復合函數(shù)單調性可簡記為“同增異減”，即內外函數(shù)的單性相同時遞增；單性相異時遞減．題型三：利用函數(shù)單調性求函數(shù)最值例7．（河南省2024屆高三下學期仿真模擬考試數(shù)學試題）已知函數(shù)為定義在R上的單調函數(shù)，且，則在上的值域為______．例8．（上海市靜安區(qū)2024屆高三二模數(shù)學試題）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的值域為___________.例9．（河南省部分學校大聯(lián)考2024學年高三下學期3月質量檢測）已知函數(shù)且，若曲線在點處的切線與直線垂直，則在上的最大值為__________.變式5．（新疆烏魯木齊市第八中學2024屆高三上學期第一次月考）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則實數(shù)_______.【解題總結】利用函數(shù)單調性求函數(shù)最值時應先判斷函數(shù)的單調性，再求最值．常用到下面的結論：1、如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)在處有最大值．2、如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在處有最小值．3、若函數(shù)在上是嚴格單調函數(shù)，則函數(shù)在上一定有最大、最小值．4、若函數(shù)在區(qū)間上是單調遞增函數(shù)，則的最大值是，最小值是．5、若函數(shù)在區(qū)間上是單調遞減函數(shù)，則的最大值是，最小值是．題型四：利用函數(shù)單調性求參數(shù)的范圍例10．已知函數(shù)，滿足對任意的實數(shù)，且，都有，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．例11．（吉林省松原市2024學年高三上學期第一次月考）若函數(shù)（且）在區(qū)間內單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例12．（四川省廣安市2024學年高三上學期期末數(shù)學試題）已知函數(shù)在上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．變式6．（江西省臨川第一中學2024屆高三上學期期末考試數(shù)學（理）試題）已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式7．（天津市復興中學2024學年高三上學期期末數(shù)學試題）已知函數(shù)在上具有單調性，則實數(shù)k的取值范圍為（

）．A． B．C．或 D．或【解題總結】若已知函數(shù)的單調性，求參數(shù)的取值范圍問題，可利用函數(shù)單調性，先列出關于參數(shù)的不等式，利用下面的結論求解．1、若在上恒成立在上的最大值．2、若在上恒成立在上的最小值．題型五：基本初等函數(shù)的單調性例13．（2024·天津河西·天津市新華中學?？寄M預測）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，對任意，，且都有成立．若，，，則，，的大小關系是（

）A． B． C． D．例14．（多選題）（甘肅省慶陽市寧縣第一中學2024學年高三上學期期中數(shù)學試題）已知函數(shù)在區(qū)間上是偶函數(shù)，在區(qū)間上是單調函數(shù)，且，則（）A． B．C． D．例15．（2024屆北京市朝陽區(qū)高三第一次模擬考試數(shù)學試題）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調遞增的是（

）A． B． C． D．【解題總結】1、比較函數(shù)值大小，應將自變量轉化到同一個單調區(qū)間內，然后利用函數(shù)單調性解決.2、求復合函數(shù)單調區(qū)間的一般步驟為：①求函數(shù)定義域；②求簡單函數(shù)單調區(qū)間；③求復合函數(shù)單調區(qū)間(同增異減).3、利用函數(shù)單調性求參數(shù)時，通常要把參數(shù)視為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)圖像或單調性定義，確定函數(shù)單調區(qū)間，與已知單調區(qū)間比較，利用區(qū)間端點間關系求參數(shù).同時注意函數(shù)定義域的限制，遇到分段函數(shù)注意分點左右端點函數(shù)值的大小關系.題型六：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明例16．利用圖象判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)(2)(3)；(4)；(5).例17．（2024·北京·高三專題練習）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調遞增的是（

）A． B． C． D．例18．（多選題）（黑龍江省哈爾濱市第五中學校2024學年高三下學期開學檢測數(shù)學試題）設函數(shù)的定義域都為R，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)變式8．（北京市海淀區(qū)2024屆高三二模數(shù)學試題）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調遞增的是（

）A． B． C． D．【解題總結】函數(shù)單調性與奇偶性結合時，注意函數(shù)單調性和奇偶性的定義，以及奇偶函數(shù)圖像的對稱性.題型七：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)例19．（四川省成都市蓉城聯(lián)盟2024學年高三下學期第二次聯(lián)考）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則______．例20．（江西省部分學校2024屆高三下學期一輪復習驗收考試）若函數(shù)是偶函數(shù)，則__________．例21．（湖南省部分學校2024屆高三下學期5月聯(lián)數(shù)學試題）已知函數(shù)，若是偶函數(shù)，則______．變式9．若函數(shù)為偶函數(shù)，則__________.【解題總結】利用函數(shù)的奇偶性的定義轉化為，建立方程，使問題得到解決，但是在解決選擇題、填空題時還顯得比較麻煩，為了使解題更快，可采用特殊值法求解.題型八：已知函數(shù)的奇偶性求表達式、求值例22．（2024年高三數(shù)學押題卷五）已知函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)．若，則（

）A． B． C．0 D．例23．（廣東省湛江市2024屆高三二模數(shù)學試題）已知奇函數(shù)則__________．例24．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則函數(shù)的解析式為_________．變式10．設函數(shù)與的定義域是，函數(shù)是一個偶函數(shù)，是一個奇函數(shù)，且，則等于（

）A． B． C． D．【解題總結】抓住奇偶性討論函數(shù)在各個分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關于的方程，從而可得的解析式.題型九：已知奇函數(shù)+M例25．（寧夏銀川一中、昆明一中2024屆高三聯(lián)合二?？荚嚁?shù)學試題）已知函數(shù)，若，則（

）A． B．0 C．1 D．例26．（河南省濟洛平許2024屆高三第四次質量檢測數(shù)學試題）已知在R上單調遞增，且為奇函數(shù).若正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．例27．（重慶市巴蜀中學2024屆高三高考適應性月考數(shù)學試題）已知函數(shù)在區(qū)間的最大值是M，最小值是m，則的值等于(

)A．0 B．10 C． D．變式11．（福建省福州格致中學2024學年高三下學期期中考數(shù)學試題）已知函數(shù)，若，則（

）A．等于 B．等于 C．等于 D．無法確定【解題總結】已知奇函數(shù)+M，，則（1）（2）題型十：函數(shù)的對稱性與周期性例28．（多選題）（2024·山東煙臺·統(tǒng)考二模）定義在上的函數(shù)滿足，是偶函數(shù)，，則（

）A．是奇函數(shù) B．C．的圖象關于直線對稱 D．例29．（多選題）（2024·湖南·高三校聯(lián)考階段練習）已知定義在上的函數(shù)和的導函數(shù)分別是和，若，，且是奇函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A． B．的圖像關于點對稱C． D．例30．（多選題）（2024·河北·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，的定義域均為，導函數(shù)分別為，，若，，且，則（

）A．4為函數(shù)的一個周期 B．函數(shù)的圖象關于點對稱C． D．變式12．（多選題）（2024·山東濱州·統(tǒng)考二模）函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且滿足，函數(shù)的圖象關于點對稱，則（

）A．的圖象關于點對稱 B．8是的一個周期C．一定存在零點 D．【解題總結】（1）若函數(shù)有兩條對稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（2）若函數(shù)的圖象有兩個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（3）若函數(shù)有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且.題型十一：類周期函數(shù)例31．（2024·山西長治·高三山西省長治市第二中學校校考階段練習）定義域為的函數(shù)滿足，，若時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例32．（2024·江西南昌·高三?？计谥校┮阎x在上的函數(shù)滿足，且當時，.設在上的最大值為（），且數(shù)列的前項的和為.若對于任意正整數(shù)不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．例33．（2024·全國·高三專題練習）定義域為的函數(shù)滿足，當時，，若時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．變式13．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若函數(shù)有4個零點，則實數(shù)的取值范圍為B．關于的方程有個不同的解C．對于實數(shù)，不等式恒成立D．當時，函數(shù)的圖象與軸圍成的圖形的面積為【解題總結】1、類周期函數(shù)若滿足：或，則橫坐標每增加個單位，則函數(shù)值擴大倍．此函數(shù)稱為周期為的類周期函數(shù)．類周期函數(shù)圖象倍增函數(shù)圖象2、倍增函數(shù)若函數(shù)滿足或，則橫坐標每擴大倍，則函數(shù)值擴大倍．此函數(shù)稱為倍增函數(shù)．注意當時，構成一系列平行的分段函數(shù)，．題型十二：抽象函數(shù)的單調性、奇偶性、周期性例34．（安徽省蚌埠市2024學年高三上學期期末數(shù)學試題）已知定義在上的函數(shù)，滿足：①；②為奇函數(shù)；③，；④任意的，，.（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（2）判斷并證明函數(shù)在上的單調性.例35．（2024·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預測）設函數(shù)定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，，則下列結論錯誤的是（

）A． B．為奇函數(shù)C．在上是減函數(shù) D．方程僅有6個實數(shù)解例36．（2024·湖北·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，對任意，且，有，若，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．變式14．（四川省遂寧市2024學年高三上學期期末數(shù)學試題）定義在上的函數(shù)，對任意，滿足下列條件：①

②（1）是否存在一次函數(shù)滿足條件①②，若存在，求出的解析式；若不存在，說明理由.（2）證明：為奇函數(shù)；變式15．（安徽省蚌埠市2024學年高三上學期期末數(shù)學試題）已知定義在上的函數(shù)，滿足：①；②任意的，，.（1）求的值；（2）判斷并證明函數(shù)的奇偶性.變式16．（多選題）（2024·遼寧沈陽·高三沈陽二中?？奸_學考試）已知函數(shù)對任意都有，若的圖象關于直線對稱，且對任意的，，且，都有，則下列結論正確的是（

）．A．是偶函數(shù) B．的周期C． D．在單調遞減【解題總結】抽象函數(shù)的模特函數(shù)通常如下：(1)若，則(正比例函數(shù))(2)若，則(指數(shù)函數(shù))(3)若，則(對數(shù)函數(shù))(4)若，則(冪函數(shù))(5)