第79講、圓錐曲線中的圓問題（學生版）

第79講圓錐曲線中的圓問題知識梳理1、曲線的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是圓：．2、雙曲線的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是圓．3、拋物線的兩條互相垂直的切線的交點在該拋物線的準線上．4、證明四點共圓的方法：方法一：從被證共圓的四點中先選出三點作一圓，然后證另一點也在這個圓上，若能證明這一點，則可肯定這四點共圓．方法二：把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側，若能證明其頂角相等，則可肯定這四點共圓（根據圓的性質一一同弧所對的圓周角相等證）．方法三：把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其中一個外角等于其內對角時，則可肯定這四點共圓（根據圓的性質一一圓內接四邊形的對角和為，并且任何一個外角都等于它的內對角）．方法四：證明被證共圓的四點到某一定點的距離都相等，或證明被證四點連成的四邊形其中三邊中垂線有交點），則可肯定這四點共圓（根據圓的定義：平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡為圓）．必考題型全歸納題型一：蒙日圓問題例1．（2024·全國·高三專題練習）在學習數學的過程中，我們通常運用類比猜想的方法研究問題．(1)已知動點為圓外一點，過引圓的兩條切線、，、為切點，若，求動點的軌跡方程；(2)若動點為橢圓外一點，過引橢圓的兩條切線、，、為切點，若，求出動點的軌跡方程；(3)在（2）問中若橢圓方程為，其余條件都不變，那么動點的軌跡方程是什么（直接寫出答案即可，無需過程）．例2．（2022·全國·高三專題練習）在學習過程中，我們通常遇到相似的問題.（1）已知動點為圓：外一點，過引圓的兩條切線、，、為切點，若，求動點的軌跡方程；（2）若動點為橢圓：外一點，過引橢圓的兩條切線、，、為切點，若，猜想動點的軌跡是什么，請給出證明并求出動點的軌跡方程.例3．（2024·河南·校聯考模擬預測）在橢圓：（）中，其所有外切矩形的頂點在一個定圓：上，稱此圓為橢圓的蒙日圓.橢圓過，.(1)求橢圓的方程；(2)過橢圓的蒙日圓上一點，作橢圓的一條切線，與蒙日圓交于另一點，若，存在，證明：為定值.變式1．（2024秋·浙江寧波·高三期末）法國數學家加斯帕爾·蒙日被譽為畫法幾何之父.他在研究橢圓切線問題時發(fā)現了一個有趣的重要結論：一橢圓的任兩條互相垂直的切線交點的軌跡是一個圓，尊稱為蒙日圓，且蒙日圓的圓心是該橢圓的中心，半徑為該橢圓的長半軸與短半軸平方和的算術平方根.已知在橢圓中，離心率，左、右焦點分別是、，上頂點為Q，且，O為坐標原點.(1)求橢圓C的方程，并請直接寫出橢圓C的蒙日圓的方程；(2)設P是橢圓C外一動點（不在坐標軸上），過P作橢圓C的兩條切線，過P作x軸的垂線，垂足H，若兩切線斜率都存在且斜率之積為，求面積的最大值.變式2．（2024·吉林白山·統(tǒng)考二模）法國數學家加斯帕爾·蒙日創(chuàng)立的《畫法幾何學》對世界各國科學技術的發(fā)展影響深遠．在雙曲線-=1（a>b>0）中，任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是雙曲線的中心，半徑等于實半軸長與虛半軸長的平方差的算術平方根，這個圓被稱為蒙日圓．已知雙曲線C：-=1（a>b>0）的實軸長為6，其蒙日圓方程為x2+y2=1．(1)求雙曲線C的標準方程；(2)設D為雙曲線C的左頂點，直線l與雙曲線C交于不同于D的E，F兩點，若以EF為直徑的圓經過點D，且DG⊥EF于G，證明：存在定點H，使|GH|為定值．變式3．（2022秋·江蘇鹽城·高三校聯考階段練習）定義橢圓的“蒙日圓”的方程為，已知橢圓的長軸長為4，離心率為.(1)求橢圓的標準方程和它的“蒙日圓”E的方程；(2)過“蒙日圓”E上的任意一點M作橢圓的一條切線，A為切點，延長MA與“蒙日圓”E交于點，O為坐標原點，若直線OM，OD的斜率存在，且分別設為，證明：為定值.變式4．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率為．(1)求橢圓的標準方程；(2)若動點為橢圓外一點，且點到橢圓的兩條切線相互垂直，求點的軌跡方程；(3)若過橢圓上任意一點的切線與（2）中所求點的軌跡方程交于、兩點，求證：．變式5．（2019·云南昆明·高三云南師大附中?？茧A段練習）已知橢圓：的一個焦點為,離心率為.（1）求的標準方程；（2）若動點為外一點,且到的兩條切線相互垂直,求的軌跡的方程；（3）設的另一個焦點為,過上一點的切線與（2）所求軌跡交于點,,求證：.變式6．（2022·全國·高三專題練習）設橢圓的中心在原點，焦點在軸上，垂直軸的直線與橢圓相交于、兩點，當的周長取最大值時，．(1)求橢圓的方程；(2)過圓上任意一點作橢圓的兩條切線、，直線、與圓的另一交點分別為、,①證明：；②求面積的最大值．題型二：內圓與外圓問題例4．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓及圓，過點與橢圓相切的直線交圓于點，若，求橢圓的離心率．例5．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓和圓，，分別是橢圓的左、右兩焦點，過且傾斜角為的動直線交橢圓于，兩點，交圓于，兩點（如圖所示，點在軸上方）．當時，弦的長為．(1)求圓與橢圓的方程；(2)若，求直線的方程．例6．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓和圓分別是橢圓的左、右兩焦點，過且傾斜角為的動直線交橢圓于兩點，交圓于兩點（如圖所示），當時，弦的長為．（1）求圓和橢圓的方程（2）若點是圓上一點，求當成等差數列時，面積的最大值．變式7．（2017·上海嘉定·統(tǒng)考二模）如圖，已知橢圓過點兩個焦點為和.圓O的方程為.（1）求橢圓C的標準方程；（2）過且斜率為的動直線l與橢圓C交于A、B兩點，與圓O交于P、Q兩點（點A、P在x軸上方），當成等差數列時，求弦PQ的長.變式8．（2022·全國·高三專題練習）如圖，已知橢圓和圓（其中圓心為原點），過橢圓上異于上、下頂點的一點引圓的兩條切線，切點分別為．(1)求直線的方程；(2)求三角形面積的最大值．變式9．（2022·全國·高三專題練習）如圖，橢圓和圓，已知橢圓的離心率為，直線與圓相切．(1)求橢圓的標準方程；(2)橢圓的上頂點為，是圓的一條直徑，不與坐標軸重合，直線、與橢圓的另一個交點分別為、，求的面積的最大值及此時所在的直線方程．變式10．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓和圓，過橢圓上一點引圓的兩條切線，切點分別為．（Ⅰ）若圓過橢圓的兩個焦點，求橢圓的離心率的值；（Ⅱ）設直線與、軸分別交于點，問當點在橢圓上運動時，是否為定值？請證明你的結論．題型三：直徑為圓問題例7．（2024秋·湖南岳陽·高三?？茧A段練習）已知橢圓經過點，左，右焦點分別為，，為坐標原點，且．(1)求橢圓的標準方程；(2)設A為橢圓的右頂點，直線與橢圓相交于，兩點，以為直徑的圓過點A，求的最大值．例8．（2024秋·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習）已知橢圓過和兩點.

(1)求橢圓C的方程；(2)如圖所示，記橢圓的左、右頂點分別為A，B，當動點M在定直線上運動時，直線，分別交橢圓于兩點P和Q.（i）證明：點B在以為直徑的圓內；（ii）求四邊形面積的最大值.例9．（2024·山西大同·統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓的離心率為，且直線是拋物線的一條切線．(1)求橢圓的方程；(2)過點的動直線交橢圓于兩點，試問：在直角坐標平面上是否存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過定點？若存在，求出的坐標；若不存在，請說明理由．變式11．（2024秋·福建福州·高三閩侯縣第一中學校考階段練習）已知橢圓的離心率是，上、下頂點分別為，.圓與軸正半軸的交點為，且.(1)求的方程；(2)直線與圓相切且與相交于，兩點，證明：以為直徑的圓恒過定點.變式12．（2024秋·廣東廣州·高三廣州市第六十五中學校考階段練習）已知橢圓的左頂點為，上頂點為，右焦點為，為坐標原點，線段的中點為，且．(1)求方程；(2)已知點、均在直線上，以為直徑的圓經過點，圓心為點，直線、分別交橢圓于另一點、，證明直線與直線垂直．變式13．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，，A，B分別是C的右、上頂點，且，D是C上一點，周長的最大值為8.(1)求C的方程；(2)C的弦過，直線，分別交直線于M，N兩點，P是線段的中點，證明：以為直徑的圓過定點.變式14．（2024秋·全國·高三校聯考開學考試）在平面直角坐標系中，已知分別為橢圓的左、右焦點.為橢圓上的一個動點，的最大值為，且點到右焦點距離的最小值為，直線交橢圓于異于橢圓右頂點的兩個點.(1)求橢圓的標準方程；(2)若以為直徑的圓恒過點，求證：直線恒過定點，并求此定點的坐標.變式15．（2024秋·重慶·高三統(tǒng)考開學考試）已知、是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，且.(1)求橢圓的方程；(2)已知，兩點的坐標分別是，，若過點的直線與橢圓交于，兩點，且以為直徑的圓過點，求出直線的所有方程.變式16．（2022秋·廣東梅州·高三大埔縣虎山中學?？茧A段練習）如圖，橢圓的左焦點為，右焦點為，離心率，過的直線交橢圓于、兩點，且的周長為.

(1)求橢圓的方程；(2)設動直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點，則在軸上一定存在定點，使得以為直徑的圓恒過點，試求出點的坐標.題型四：四點共圓問題例10．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，已知，，動點P滿足，且.設動點P形成的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的標準方程；(2)過點的直線l與曲線C交于M，N兩點，試判斷是否存在直線l，使得A，B，M，N四點共圓.若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.例11．（2024秋·新疆烏魯木齊·高三烏魯木齊市十二中?？茧A段練習）已知拋物線上的點到其焦點的距離為．(1)求和的值；(2)若直線交拋物線于、兩點，線段的垂直平分線交拋物線于、兩點，求證：、、、四點共圓．例12．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，，左頂點為，且離心率為．(1)求C的方程；(2)直線交C于E，F兩點，直線AE，AF分別與y軸交于點M，N，求證：M，，N，四點共圓．變式17．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的右頂點為點A，直線l交C于M，N兩點，O為坐標原點．當四邊形AMON為菱形時，其面積為．(1)求C的方程；(2)若；是否存在直線l，使得A，M，O，N四點共圓？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．變式18．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，，左頂點為，且過點．(1)求C的方程；(2)過原點O且與x軸不重合的直線交C于E，F兩點，直線AE，AF分別與y軸交于點M，N，求證：M，，N，四點共圓．變式19．（2024·山東青島·山東省青島第五十八中學?？家荒＃E圓的離心率為，右頂點為A，設點O為坐標原點，點B為橢圓E上異于左、右頂點的動點，面積的最大值為．(1)求橢圓E的標準方程；(2)設直線交x軸于點P，其中，直線PB交橢圓E于另一點C，直線BA和CA分別交直線l于點M和N，若O、A、M、N四點共圓，求t的值．變式20．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓E：的離心