抽象函數(shù)的賦值計(jì)算及其性質(zhì)7類題型壓軸專練（老師版）

更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)抽象函數(shù)的賦值計(jì)算及其性質(zhì)7類題型壓軸專練為何把這個(gè)關(guān)于函數(shù)的小知識(shí)點(diǎn)單獨(dú)作為一個(gè)專題呢？因?yàn)榫褪沁@個(gè)小點(diǎn)已經(jīng)連續(xù)兩年出現(xiàn)在高考試卷上了！比如，今年（2023）年新高考Ⅰ卷多選次壓軸，第11道題，再比如，2022年新高考Ⅱ卷單選壓軸第8題，都以抽象函數(shù)命制的！想必接下來(lái)的各省市將大量出現(xiàn)這個(gè)題型！因此，有必要把這種抽象函數(shù)概括總結(jié)清楚。TOC\o"1-3"\n\h\z\u題型一抽象函數(shù)賦值計(jì)算題型二抽象函數(shù)的奇偶性題型三抽象函數(shù)的單調(diào)性題型四抽象函數(shù)的值域題型五抽象函數(shù)的對(duì)稱性題型六抽象函數(shù)的周期性題型七從解析式角度對(duì)抽象函數(shù)的再認(rèn)識(shí)1、余（正）弦型函數(shù)2、對(duì)數(shù)型函數(shù)3、指數(shù)型函數(shù)4、一次函數(shù)本號(hào)資料全部來(lái)源于微信公眾號(hào)#：數(shù)學(xué)第六感5、正切型函數(shù)6、其它函數(shù)抽象函數(shù)解題思路：主要考法四類題：賦值求值，證明單調(diào)性、證明奇偶性、解不等式①賦值求值：根據(jù)函數(shù)特性賦值來(lái)求某些函數(shù)的值。②證明單調(diào)性．③證明奇偶性：利用定義和賦值的方法找到。④解不等式：利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式。一、抽象函數(shù)的賦值法賦值法是求解抽象函數(shù)問(wèn)題最基本的方法，復(fù)制規(guī)律一般有以下幾種：1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解；2、通過(guò)的變換判定單調(diào)性；3、令式子中出現(xiàn)及判定抽象函數(shù)的奇偶性；4、換為確定周期性.二、判斷抽象函數(shù)單調(diào)性的方法：（1）湊：湊定義或湊已知,利用定義或已知條件得出結(jié)論;（2）賦值：給變量賦值要根據(jù)條件與結(jié)論的關(guān)系.有時(shí)可能要進(jìn)行多次嘗試.本#號(hào)資料全部來(lái)源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第*六感=1\*GB3①若給出的是“和型”抽象函數(shù)，判斷符號(hào)時(shí)要變形為：或;=2\*GB3②若給出的是“積型”抽象函數(shù)，判斷符號(hào)時(shí)要變形為：或.三、常見的抽象函數(shù)模型理論上，有多少種原函數(shù)就有多少種抽象函數(shù)與之對(duì)應(yīng)，但也不乏一種原函數(shù)可以與多種抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)，以及一個(gè)抽象函數(shù)可以表示多種原函數(shù)。這時(shí)，就會(huì)有同學(xué)問(wèn)了：既然一個(gè)抽象函數(shù)可能表示多種原函數(shù)，那么不就導(dǎo)致一道題可能出現(xiàn)多種答案了嗎？是的，這種這樣想是沒有錯(cuò)的，但是，有多種原函數(shù)的抽象函數(shù)題，除了給出抽象函數(shù)模型

，往往還會(huì)給出一個(gè)限制條件，比如

等等，這樣就限制了原函數(shù)的唯一性1、一次函數(shù)（1）

對(duì)于正比例函數(shù)

，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為

.（2）

對(duì)于一次函數(shù)

，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為

.2、二次函數(shù)（3）

對(duì)于二次函數(shù)

，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為3、冪函數(shù)（4）

對(duì)于冪函數(shù)

，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為或4、指數(shù)函數(shù)（重要）（5）

對(duì)于指數(shù)函數(shù)

，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為

或

.奇偶性證明：由得，判斷和1的大小關(guān)系5、對(duì)數(shù)函數(shù)（重要）（6）

對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)

，其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為

或補(bǔ)充：對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)

，其抽象函數(shù)還可以是奇偶性證明：只需構(gòu)造即可6、三角函數(shù)：三角函數(shù)注意系數(shù)的配湊，，，以下均以為例（7）

對(duì)于正弦函數(shù)

，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為注：

此抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)于正弦平方差公式：（8）

對(duì)于余弦函數(shù)

，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為注：

此抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)于余弦和差化積公式：（9）

對(duì)于余弦函數(shù)

，其抽象函數(shù)還可以是注：余弦積化和差公式：，2022新高考2卷T8用的就是這個(gè)模型（10）

對(duì)于正切函數(shù)

，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為注：

此抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)于正切函數(shù)和差角公式：題型一抽象函數(shù)賦值計(jì)算定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x,y∈R)，f(1)＝2，則f(3)=，f(-3)=.f(1+1)=f(1)+f(1)+2=6，f(2+1)=f(2)+f(1)+4=12易知f(0)=0，f(-1+1)=f(-1)+f(1)-2f(-1)=0f(-2)=2f(-1)+2=2f(-3)=f(-2)+f(-1)+4=6定義在(0,＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足f(xy)＝f(x)＋f(y)(x.y∈(0,＋∞))，已知f(8)＝3，則f(1)＝,f()＝f(8)＝f(2)+f(4)=f(2)+f(2)+f(2)f(2)=1=2f()設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且滿足下列兩個(gè)條件:①存在x1≠x2,使f(x1)≠f(x2);②對(duì)任意x,y∈R,有f(x＋y)＝f(x)f(y)，求f(0)的值【解答】解：（1）令x＝y(tǒng)＝0，則f(0)＝f(0)﹒f(0),可得f(0)＝0或1．若f(0)＝0，令y＝0，有f(x＋0)＝f(x)﹒f(0),即為f(x)＝0，與條件①矛盾，則f(0)＝1已知對(duì)所有的非負(fù)整數(shù)均有，若，則______．【答案】31【解析】令，則，可得，當(dāng)時(shí)，令，令，令，，則，可得，所以，令，，則，可得已知函數(shù)的定義域?yàn)椋遥?，則的值是（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【思路點(diǎn)撥】由賦值法先得，再由與關(guān)系列式求解．【詳解】中令，則，中令，，則，又中令，則，所以，中，令，則，再令，，則已知函數(shù)，任意，滿足，且，則的值為（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】C【思路點(diǎn)撥】抽象函數(shù)利用特殊值的思路可以得到函數(shù)在取奇數(shù)和偶數(shù)的時(shí)候的規(guī)律，然后可以得到函數(shù)值的和.【詳解】令，，則，所以；令，，則，所以；令，則，所以，.令，，則①，令，，則②，令，，則③，假設(shè)，那么由③可知，將，代入②式發(fā)現(xiàn)與矛盾，所以不成立，.同理可得當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)，.所以原式=題型二抽象函數(shù)的奇偶性（2023上·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考）（多選）定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意的，則下列結(jié)論一定正確的有（

）A． B．C．為上的增函數(shù) D．為奇函數(shù)【答案】ABD【思路點(diǎn)撥】對(duì)于A：令，結(jié)合題意運(yùn)算求解；對(duì)于D：令，根據(jù)題意結(jié)合奇函數(shù)的定義分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)奇函數(shù)的定義分析判斷；對(duì)于C：舉反例分析判斷.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的，對(duì)于選項(xiàng)A：令，則，解得，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)C：令，則，可得，且的定義域?yàn)?，所以為奇函?shù)，故D正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：例如滿足題意，但為常函數(shù)，不具有單調(diào)性，故C錯(cuò)誤；故選：ABD（多選）已知定義在上的函數(shù)滿足，且，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【思路點(diǎn)撥】由已知，利用賦值法計(jì)算判斷得解.【詳解】定義在上的函數(shù)滿足，令，得，而，則，A正確；令1，得，而，則，令，得，即，而，即，則，B正確；令，得，即有，因此，C錯(cuò)誤，D正確.已知函數(shù)f(x)為定義在R上的增函數(shù)，若對(duì)于任意的x,y∈R,都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．（1）求f(0),并證明f(x)為R上的奇函數(shù)；（2）若f(1)＝2，解關(guān)于x的不等式f(x)－f(3－x)＜4．[分析]（1）令x＝y(tǒng)＝0計(jì)算f(0)＝0，再令y＝－x即可得出f(x)＋f(－x)＝0，得出結(jié)論；（2）計(jì)算f(2)＝4，將不等式移項(xiàng)得出f(x)＜f(2)＋f(3－x)＝f(5－x),利用函數(shù)的單調(diào)性得出不等式解出x．本號(hào)資料全部來(lái)#源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感【解答】解：（1）令x＝y(tǒng)＝0，則f(0)＝f(0)＋f(0),∴f(0)＝0，令y＝－x,f(x)＋f(－x)＝0，∴f(－x)＝－f(x),∴f(x)為R上奇函數(shù)．(2)f(2)＝f(1)＋f(1)＝4，∵f(x)－f(3－x)＜4,∴f(x)＜f(2)＋f(3－x)＝f(5－x),∴x＜5－x,解得EQx＜\F(5,2)題型三抽象函數(shù)的單調(diào)性（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)郡中學(xué)?？迹ǘ噙x）已知函數(shù)是定義在R上的函數(shù).對(duì)任意，總有，，且時(shí)，恒成立.則（

）A．B．是偶函數(shù)C．在上單調(diào)遞減D．（注：）【答案】ACD【思路點(diǎn)撥】求得的值判斷選項(xiàng)A；利用函數(shù)奇偶性定義判斷選項(xiàng)B；利用函數(shù)單調(diào)性定義判斷選項(xiàng)C；求得的值判斷選項(xiàng)D.【詳解】由對(duì)任意，總有，令，則，則，令，則，則有，故則是奇函數(shù)，故選項(xiàng)B判斷錯(cuò)誤；又由，可得，則，故選項(xiàng)A判斷正確；設(shè)任意，，則，又，則，則，則在上單調(diào)遞減.故選項(xiàng)C判斷正確；，又由，可得則（多選）定義在上的函數(shù)，對(duì)于任意的都有；且；當(dāng)時(shí)，；則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．是奇函數(shù)C．在上單調(diào)遞增 D．的解集為【答案】ACD【思路點(diǎn)撥】對(duì)于A：利用賦值法求出；本號(hào)資料全部來(lái)源于微信公眾號(hào)：數(shù)#學(xué)第六感對(duì)于B：借助于賦值法，利用奇偶性的定義直接證明；對(duì)于C：利用單調(diào)性的定義進(jìn)行證明；對(duì)于D：利用賦值法求出，把化為，即可解得.【詳解】對(duì)于A：對(duì)于任意的都有，令，則有，所以.故A正確；對(duì)于B：對(duì)于任意的都有，令，則有，所以；令，則有，所以，故是偶函數(shù).故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：任取，不妨令，則有，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增.故C正確；對(duì)于D：由B的判斷過(guò)程，可知是偶函數(shù)；由C的推導(dǎo)過(guò)程，在上單調(diào)遞增.對(duì)于任意的都有，且，令可得：，令可得：.所以可化為：，即解得：，即的解集為.故D正確若定義在R上的函數(shù)f(x)對(duì)任意x1,x2∈R,都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1成立，且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞1.(1)求證:y＝f(x)－1為奇函數(shù);本號(hào)資料全部來(lái)源于微信*#公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感(2)求證:f(x)是R上的增函數(shù);本號(hào)資料全部來(lái)源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)*第六感(3)若f(4)＝5，解不等式f(3m－2)＜3.[解](1)證明：因?yàn)槎x在R上的函數(shù)f(x)對(duì)任意x1，x2∈R，都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1成立．所以令x1＝x2＝0，則f(0＋0)＝f(0)＋f(0)－1.即f(0)＝1.令x1＝x，x2＝－x，則f(x－x)＝f(x)＋f(－x)－1.所以[f(x)－1]＋[f(－x)－1]＝0，故y＝f(x)－1為奇函數(shù)．(2)證明：由(1)知y＝f(x)－1為奇函數(shù)，所以f(x)－1＝－[f(－x)－1]．任取x1，x2∈R，且x1＜x2，則x2－x1＞0.所以f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)－1＝f(x2)－[f(x1)－1]＝f(x2)－f(x1)＋1.因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞1.所以f(x2－x1)＝f(x2)－f(x1)＋1＞1，即f(x1)＜f(x2)，故f(x)是R上的增函數(shù)．(3)因?yàn)閒(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1，且f(4)＝5，所以f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，即f(2)＝3，由不等式f(3m－2)＜3，得f(3m－2)＜f(2)．由(2)知f(x)是R上的增函數(shù)，所以3m－2＜2，即3m－4＜0，即m＜eq\f(4,3).故不等式f(3m－2)＜3的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4,3))).（2023上·高一湖南師大附中?？迹┮阎B續(xù)函數(shù)滿足：①，則有，②當(dāng)時(shí)，，③，則以下說(shuō)法中正確的是（）A．B．C．在上的最大值是10D．不等式的解集為【答案】ACD【思路點(diǎn)撥】依題意令，求出，從而判斷A；令得到，再令，，即可判斷B；再利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C；依題意原不等式等價(jià)于，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，即可判斷D.【詳解】因?yàn)?，則有，令，則，則，故A正確；令，則，令代，則，即，即，故B錯(cuò)誤；設(shè)且，則，由，令，則，即，令，，則，即，因?yàn)闀r(shí)，，又，故，所以，所以，即在上單調(diào)遞減，又，所以，，又，所以，故在上的最大值為，故C正確；由，即，即，即，又因?yàn)?，即，所以，即，故，即，解得，即原不等式的解集為，故D正確已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足對(duì)任意，都有．(1)求證：是偶函數(shù)；(2)設(shè)時(shí)，求證：在上是減函數(shù)；【答案】（1）取得，即，取得，即，取，得，即是偶函數(shù)；（2）設(shè)，則，由時(shí)，得，則，即在上為減函數(shù)題型四抽象函數(shù)的值域已知函數(shù)對(duì)任意的，總有，若時(shí)，，且，則當(dāng)時(shí)，的最大值為（）A．0B．C．1D．2【答案】D【解析】令，則，得，令，則，所以，所以為奇函數(shù)，任取，且，則，，所以，所以，所以在上遞減，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為，因?yàn)?，所以，所以，故選：D已知連續(xù)函數(shù)滿足：①，則有，②當(dāng)時(shí)，，③，則在上的最大值是________【答案】10【解析】設(shè)且，則，由，令，則，即，令，，則，即，因?yàn)闀r(shí)，，又，故，所以，所以，即在上單調(diào)遞減，又，所以，，又，所以，故在上的最大值為題型五抽象函數(shù)的對(duì)稱性（2023上·重慶沙坪壩·高一重慶八中?？迹ǘ噙x）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，當(dāng)時(shí)，，且滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．為奇函數(shù)B．C．不等式的解集為D．【答案】AB【詳解】對(duì)于A中，令，可得，所以，令，得到，即，所以為奇函數(shù)，故A正確；對(duì)于B中，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，故B正確；對(duì)于C中，設(shè)，可得，所以，又因?yàn)?，所以，所以，即，所以在R上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，由，可得，所以，所以，得到，所以的解集為，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以，又，故，所以D錯(cuò)誤設(shè)為定義在整數(shù)集上的函數(shù)，，，，對(duì)任意的整數(shù)均有．則______．【答案】【思路點(diǎn)撥】采用賦值的方式可求得，令和可證得的對(duì)稱軸和奇偶性，由此可推導(dǎo)得到的周期性，利用周期性可求得函數(shù)值.【詳解】令，則，；令，，則，又，；令，則，關(guān)于直線對(duì)稱；令，則，不恒成立，恒成立，為奇函數(shù)，，，是周期為的周期函數(shù)，.題型六抽象函數(shù)的周期性已知函數(shù)不是常數(shù)函數(shù)，且滿足以下條件：①，其中；②，則（

）A．0 B．1 C．2 D．【答案】D【思路點(diǎn)撥】先令，得到，再令，得到，根據(jù)函數(shù)的周期性得到函數(shù)的周期為，即可求解.【詳解】由題意令，得，又不是常數(shù)函數(shù)，所以，再令，得，即，則，即，故，所以函數(shù)的周期為，所以已知函數(shù)定義域?yàn)椋瑵M足，則.【答案】【詳解】因?yàn)?，，令，可得，所以，，，所以，即函?shù)為周期函數(shù)，且周期為，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，則.設(shè)為定義在整數(shù)集上的函數(shù)，，，，對(duì)任意的整數(shù)均有．則．【答案】【思路點(diǎn)撥】采用賦值的方式可求得，令和可證得的對(duì)稱軸和奇偶性，由此可推導(dǎo)得到的周期性，利用周期性可求得函數(shù)值.【詳解】令，則，；令，，則，又，；令，則，關(guān)于直線對(duì)稱；令，則，不恒成立，恒成立，為奇函數(shù)，，，是周期為的周期函數(shù)，.（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，為偶函?shù)，則（

）A．為偶函數(shù) B．C． D．【答案】BCD【思路點(diǎn)撥】A選項(xiàng)，賦值法得到，進(jìn)而得到，為奇函數(shù)，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由為偶函數(shù)得到關(guān)于對(duì)稱，所以；C選項(xiàng)，由結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)，得到，C正確；D選項(xiàng)，推導(dǎo)出的一個(gè)周期為6，利用關(guān)系式得到，結(jié)合函數(shù)周期得到.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令，則，故，則，令，則，又不恒為0，故，所以為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以關(guān)于對(duì)稱，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，令，則，故，令，則，故，又為奇函數(shù)，故，所以，即，故C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)C可知，所以，故的一個(gè)周期為6，因?yàn)?，所以，?duì)于，令，得，則，令，得，則，令，得，令，得，令，得，所以，又，所以由的周期性可得：，故D正確.（多選）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，且，則以下結(jié)論一定正確的有（

）A． B．是偶函數(shù)C．關(guān)于中心對(duì)稱 D．【答案】BC【思路點(diǎn)撥】根據(jù)賦值法，可判斷或，進(jìn)而判斷A，根據(jù)賦值法結(jié)合奇偶性的定義可判斷C，根據(jù)偶函數(shù)即可判斷對(duì)稱性，根據(jù)對(duì)稱性以及奇偶性可得函數(shù)的周期性，進(jìn)而可判斷CD.【詳解】令，則或，故A錯(cuò)誤，若時(shí)，令，則，此時(shí)是偶函數(shù)，若時(shí)，令，則，此時(shí)既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)；因此B正確，令，則，所以關(guān)于中心對(duì)稱，故C正確，由關(guān)于中心對(duì)稱可得，結(jié)合是偶函數(shù)，所以，所以的周期為2，令，則，故，進(jìn)而，而，由A選項(xiàng)知或，所以或，故D錯(cuò)誤（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且，則（

）A． B．為奇函數(shù)C． D．【答案】ACD【思路點(diǎn)撥】A.通過(guò)賦值，求的值；B.賦值，即可判斷函數(shù)的奇偶性；C.賦值，利用函數(shù)的周期性，即可求和；D.通過(guò)多次賦值，可證明，即可判斷.【詳解】A.令，有，得，A正確；B.令，得，，則，函數(shù)的定義域?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；C.令，得，即，設(shè)，則，所以，所以函數(shù)的周期為2，，，…，，所以，，所以，故C正確，D.由，，，令，得，所以，將換成，得，①，將換成，得，②，將換成，換成，得,③,①+②-③,得，則，得，故D正確（多選）設(shè)是定義在上的函數(shù)，對(duì)，有，且，則（

）A．B．C．D．【答案】ACD【思路點(diǎn)撥】利用賦值法判斷函數(shù)的奇偶性和周期性，再結(jié)合假設(shè)法、函數(shù)的周期性逐一判斷即可.【詳解】A：在中，令，則有，在中，令，則有，因此本選項(xiàng)正確；B：若成立，即有，在中，令，則有，這與相矛盾，所以假設(shè)不成立，因此本選項(xiàng)不正確；C：在中，以代，得，以代，得，上面兩個(gè)等式相加，得，或，當(dāng)時(shí)，則有，顯然與矛盾，因此，于是有，因此函數(shù)的周期為，由，由，在中，令，得，令，得，由，于是有，因?yàn)?，所以由，于是，因此，，因此本選項(xiàng)正確；D：在中，令，所以有，因此有：因?yàn)椋?，，函?shù)的周期為，所以，因此本選項(xiàng)正確函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意，恒有，若，則，．【答案】,【思路點(diǎn)撥】取特殊值可得；取特殊值可得是周期為函數(shù)，計(jì)算出的值可得答案.【詳解】令，則，解得，令，則，因?yàn)?，所以；令，則，，令，則，，令，則，，，令，則，即，可得，令，則，令，則，可得，從而，所以，可得，所以，是周期為的函數(shù)，.故答案為：①；②0.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，為偶函?shù)，則（

）A．為偶函數(shù) B．C． D．【答案】BCD【思路點(diǎn)撥】A選項(xiàng)，賦值法得到，進(jìn)而得到，為奇函數(shù)，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由為偶函數(shù)得到關(guān)于對(duì)稱，所以；C選項(xiàng)，由結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)，得到，C正確；D選項(xiàng)，推導(dǎo)出的一個(gè)周期為6，利用關(guān)系式得到，結(jié)合函數(shù)周期得到.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令，則，故，則，令，則，又不恒為0，故，所以為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以關(guān)于對(duì)稱，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，令，則，故，令，則，故，又為奇函數(shù)，故，所以，即，故C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)C可知，所以，故的一個(gè)周期為6，因?yàn)?，所以，?duì)于，令，得，則，令，得，則，令，得，令，得，令，得，所以，又，所以由的周期性可得：，故D正確題型七從解析式角度對(duì)抽象函數(shù)的再認(rèn)識(shí)1、余（正）弦型函數(shù)定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意的，有，且.（1）求證：；（2）求證：是偶函數(shù).【答案】（1）證明見解析，（2）證明見解析【分析】（1）在中，令可證；（2）在中，令，利用偶函數(shù)的定義可證.【詳解】（1）證明：在中，令，得，又，所以.（2）證明：在中，令，得，又，所以，即，所以是定義在上的偶函數(shù).已知函數(shù)滿足：，則.【答案】【思路點(diǎn)撥】由已知等式聯(lián)想到三角公式，構(gòu)造函數(shù)求解.【詳解】由已知等式聯(lián)想到三角公式，注意它們結(jié)構(gòu)相似，通過(guò)嘗試和調(diào)整，構(gòu)造函數(shù)，則，故函數(shù)滿足題意，而函數(shù)是周期的函數(shù)，.2022新高考2卷T8已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【思路點(diǎn)撥】法一：根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)的一個(gè)周期為，求出函數(shù)一個(gè)周期中的的值，即可解出．【詳解】[方法一]：賦值加性質(zhì)因?yàn)椋羁傻?，，所以，令可得，，即，所以函?shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個(gè)周期為．因?yàn)?，，，，，所以一個(gè)周期內(nèi)的．由于22除以6余4，所以．故選：A．[方法二]：【最優(yōu)解】構(gòu)造特殊函數(shù)由，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式，可設(shè)，則由方法一中知，解得，取，所以，則，所以符合條件，因此的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故選：A．【整體點(diǎn)評(píng)】法一：利用賦值法求出函數(shù)的周期，即可解出，是該題的通性通法；法二：作為選擇題，利用熟悉的函數(shù)使抽象問(wèn)題具體化，簡(jiǎn)化推理過(guò)程，直接使用具體函數(shù)的性質(zhì)解題，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解.已知，都是定義在上的函數(shù)，對(duì)任意x，y滿足，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C． D．若，則【答案】D【思路點(diǎn)撥】利用賦值法結(jié)合題目給定的條件可判斷AC，取可判斷B，對(duì)于D，通過(guò)觀察選項(xiàng)可以推斷很可能是周期函數(shù)，結(jié)合的特殊性及一些已經(jīng)證明的結(jié)論，想到令和時(shí)可構(gòu)建出兩個(gè)式子，兩式相加即可得出，進(jìn)一步得出是周期函數(shù)，從而可求的值.【詳解】解：對(duì)于A，令，代入已知等式得，得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取，滿足及，因?yàn)椋缘膱D象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，，代入已知等式得，可得，結(jié)合得，，再令，代入已知等式得，將，代入上式，得，所以函數(shù)為奇函數(shù).令，，代入已知等式，得，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，分別令和，代入已知等式，得以下兩個(gè)等式：，，兩式相加易得，所以有，即：，有：，即：，所以為周期函數(shù)，且周期為3，因?yàn)椋?，所以，，所以，所以，故D正確設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)任意實(shí)數(shù)，有，且(1)求證：；(2)若時(shí)，，求證：在上單調(diào)遞減.【分析】（1）首先可得，然后分別令、可證明；（2）令可得，然后結(jié)合條件和單調(diào)性的定義可證明.（1）令，可得，由，解得，令可得，化簡(jiǎn)得，令可得所以，綜上，；（2）因?yàn)椋詴r(shí)，又因?yàn)?，所以時(shí)，時(shí)，任取，令可得，因?yàn)?，所以所以上式可化為，所以函?shù)在上單調(diào)遞減.（2023·重慶南開中學(xué)高一?？迹┰O(shè)的定義域是，在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)；且對(duì)任意，，若，則．(1)求證：函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)；(2)求證：對(duì)于任意的，．(3)若，解不等式．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）令可得，再令代入所給條件即可求解；（2）令，代入所給條件即可得證；（3）原不等式可化為，由二次不等式解法得出或，再由及函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】（1）令，則，即，因?yàn)榈亩x域是，在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，所以不恒為0，所以，即，再令，則，即，所以函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù).（2）令，則，所以，得證.（3）令，則，即，所以，由可得，即，解得或，所以或，因?yàn)樵趨^(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，所以或，解得或或，又，即，所以或或，所以不等式的解集為2、對(duì)數(shù)型函數(shù)已知函數(shù)f（x）滿足：①對(duì)，，；②．請(qǐng)寫出一個(gè)符合上述條件的函數(shù)f（x）＝______．【答案】（答案不唯一，符合條件即可）【解析】因?yàn)閷?duì)，，；所以在上可能為對(duì)數(shù)函數(shù)，故滿足條件①，又，所以，故符合上述條件的函數(shù)可能為：函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)于，，，且當(dāng)時(shí)，，證明：為減函數(shù).【詳解】（1）設(shè)，且，則，，因?yàn)?，所以，即為減函數(shù)已知函數(shù)的定義域是，對(duì)定義域內(nèi)的任意都有，且當(dāng)時(shí)，.(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)判斷的單調(diào)性并加以證明；【答案】(1)；；當(dāng)時(shí)，；；當(dāng)時(shí)，.(2)單調(diào)遞減.證明：即單調(diào)遞減已知定義在上的函數(shù)，滿足，而且當(dāng)時(shí)，有．（1）求證：在上是增函數(shù)；（2）判斷與的大小，并說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見解析，（2），理由見解析【解析】（1）運(yùn)用已給條件構(gòu)造出,代入題中的函數(shù)法則中進(jìn)行化簡(jiǎn),結(jié)合增函數(shù)的定義進(jìn)行判定.（2）結(jié)合條件中的函數(shù)法則,對(duì)與進(jìn)行化簡(jiǎn),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明其大小關(guān)系.【詳解】（1）任取且,則,有,由已知得,所以即,故在上是增函數(shù)；（2）當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)理由如下:又當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào),即,又函數(shù)在上是增函數(shù),所以即因此當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)．函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足對(duì)于任意，，有．(1)判斷的奇偶性并證明你的結(jié)論；(2)如果，，且在上是增函數(shù)，求的取值范圍．【答案】(1)為偶函數(shù)，證明見解析；(2)且.【分析】（1）令可得的值，令可得的值，再令，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義即可求證；（2）計(jì)算，根據(jù)偶函數(shù)和單調(diào)性可得，解不等式組即可求解.(1)為偶函數(shù)，證明如下：函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)閷?duì)于任意，，有，令可得，所以，令可得，所以，令，可得，所以，所以為偶函數(shù).(2)令可得，所以．由（1）知為偶函數(shù)，可得，

又因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以，解得：且，所以取值范圍是且.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足對(duì)任意，都有．（1）求證：是偶函數(shù)；（2）設(shè)時(shí)，①求證：在上是減函數(shù)；②求不等式的解集．【答案】（1）證明見解析（2）①證明見解析,②【分析】（1）函數(shù)性質(zhì)先計(jì)算，令即可證明（2）①設(shè)，則由通過(guò)性質(zhì)可得出即可證明②由是偶函數(shù)原不等式可得，再利用函數(shù)在上是減函數(shù)求解即可.【詳解】（1）取得，即，取得，即，取，得，即是偶函數(shù)．（2）①設(shè)，則，由時(shí)，得，則，即在上為減函數(shù)，②由是偶函數(shù)且在上是減函數(shù)，則不等式等價(jià)為，即得，得得，即或或，即不等式的解集為.3、指數(shù)型函數(shù)已知定義在上的函數(shù)，滿足，對(duì)于任意正實(shí)數(shù)、都有，當(dāng)時(shí)，，且.(1)求證：；(2)證明：在上為減函數(shù)；(3)若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）在等式中，令，可求得的值，然后令，可證得結(jié)論成立；（2）任取、且，則，可得出，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義可證得結(jié)論成立；（3）計(jì)算得出，利用函數(shù)的定義域與單調(diào)性可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】（1）證明：在等式中，令，，可得，所以，，對(duì)任意的，在等式中，令，可得.（2）證明：由題意可知，當(dāng)時(shí)，，且對(duì)任意的，，任取、且，則，所以，，所以，，所以，函數(shù)在上為減函數(shù).（3）解：因?yàn)椋瑒t，因?yàn)楹瘮?shù)在上為減函數(shù)，則，解得.已知定義在R上的函數(shù)滿足：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y均有，且，當(dāng)且.(1)判斷的奇偶性；(2)判斷在上的單調(diào)性，并證明；(3)若對(duì)任意，，，總有恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)奇函數(shù)(2)單調(diào)遞增，證明見詳解(3)或【分析】（1）根據(jù)題意，令，即可判斷；（2）根據(jù)題意，先證，恒成立，再結(jié)合定義法，即可證明單調(diào)性；本號(hào)資料全部來(lái)*源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感（3）根據(jù)題意，先根據(jù)單調(diào)性求出的最值，再將原不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)即可求解.【詳解】（1）根據(jù)題意，令，得，因?yàn)椋?，故結(jié)合定義域可知，為奇函數(shù).（2）在上單調(diào)遞增.證明：由題意，可知，本號(hào)資料全部來(lái)源于微*信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感假設(shè)，使得，則，而當(dāng)時(shí)，由題意知，因此矛盾，故，恒成立.設(shè)，且，則，因此，因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，，所以，又因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增.4、一次函數(shù)已知函數(shù)為定義在上的函數(shù)滿足以下兩個(gè)條件：（1）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，y恒有；本號(hào)資*料全部來(lái)源于微信公眾號(hào)：#數(shù)學(xué)第六感（2）在上單調(diào)遞減.請(qǐng)寫出滿足條件的一個(gè)___________.【答案】（答案不唯一）【解析】由（1）（2）可設(shè),由，可得，化簡(jiǎn)可得.故的解析式可為.取可得滿足條件的一個(gè)是定義在上的函數(shù)，對(duì)都有，當(dāng)時(shí)，，且．(1)求，的值；(2)猜測(cè)為奇函數(shù)還是偶函數(shù)并證明；(3)求在上的單調(diào)性并證明．【答案】(1)；(2)函數(shù)是奇函數(shù)，證明見解析(3)函數(shù)為減函數(shù)，證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，令，求得，結(jié)合，即可求得的值；（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和判定方法，即可求解；（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義和判定方法，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令，則，解得，因?yàn)?，所?（2）解：猜測(cè)：函數(shù)是奇函數(shù).證明如下：由（1）知，令，則，所以，所以，所以函數(shù)是奇函數(shù).（3）解：設(shè)，則，因?yàn)闀r(shí)，，又因?yàn)?，所以，所以，即，所以函?shù)在上為減函數(shù)定義在上的函數(shù)滿足對(duì)任意，，恒有，且時(shí)，有．(1)證明：為奇函數(shù)；(2)試判斷的單調(diào)性，并加以證明；【答案】(1)證明見解析(2)為上的增函數(shù)，證明見解析【詳解】（1）證明：取，得；再取，得，即，∴為上的奇函數(shù)；（2）為上的增函數(shù).證明如下：證明：任意取，且，則，∴，∵，∴，由已知得：，∴，即，∴為上的增函數(shù).已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有成立，且當(dāng)時(shí)，.(1)求的值;(2)判斷的單調(diào)性，并證明;(3)解關(guān)于的不等式:.【答案】(1)(2)是上的減函數(shù)，證明見解析【詳解】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有成立，令，則，所以.（2）解：函數(shù)為上的減函數(shù).證明:令，則，所以，故為奇函數(shù).任取，且，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，所以，即，所以是上的減函數(shù).已知定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件：①對(duì)任意，都有.②當(dāng)時(shí)，；(1)求；(2)判斷在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；【答案】(1)(2)在上為減函數(shù)，證明見解析(3)【分析】（1）令，可得答案；（2）在上為減函數(shù)，利用單調(diào)性的定義證明即可；【詳解】（1）令，，則，所以（2）在上為減函數(shù)，證明如下：設(shè)，則，則，又，則，所以，即，故在上為減函數(shù).已知函數(shù)定義域?yàn)椋液瘮?shù)同時(shí)滿足下列個(gè)條件：①對(duì)任意的實(shí)數(shù)，恒成立；②當(dāng)時(shí)，；③.(1)求及的值；(2)求證：函數(shù)既是上的奇函數(shù)，同時(shí)又是上的減函數(shù)；【答案】(1)，(2)證明見解析(3)【分析】（1）分別令和即可求解；（2）由奇偶性和單調(diào)性的定義求解即可；【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由題意得，解得，當(dāng)時(shí)，由題意，解得.（2）令，則，任取，則，即，所以函數(shù)是上的奇函數(shù)；任取，則，因?yàn)椋?，由②知，所以，即，所以函?shù)是上的減函數(shù).已知函數(shù)定義域?yàn)?，且函?shù)同時(shí)滿足下列個(gè)條件：①對(duì)任意的實(shí)數(shù)，恒成立；②當(dāng)時(shí)，；③.(1)求及的值；(2)求證：函數(shù)既是上的奇函數(shù)，同時(shí)又是上的增函數(shù)；(3)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）在等式中，令可求得的值，令，結(jié)合可求得的值；（2）在等式中令可證得函數(shù)為奇函數(shù)，然后任取、，并且，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可證得函數(shù)為上的增函數(shù)；（3）利用（2）中的結(jié)論將所求不等式變形為，可得出關(guān)于的不等式，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)、，恒成立，所以在上式中令得，即，又在上式中令，得.又，.（2）證明：在等式中令得.即，且定義域?yàn)?，則函數(shù)為奇函數(shù).又由已知可得：當(dāng)時(shí)，，任取、，并且，則，即，所以，即，則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù).（3）解：因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)、，恒成立，令，則，即，又因?yàn)椋?，又由?）知函數(shù)為上的奇函數(shù)，則，即，又因?yàn)?，所以，又由?）知，即，則，也即，又由（2）知函數(shù)為上的增函數(shù)，所以，即，解得或，故所求實(shí)數(shù)的取值范圍為.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足下列條件：（）．（）對(duì)于任意的，，總有．（）對(duì)于任意的，，，．則（Ⅰ）求及的值．（Ⅱ）求證：函數(shù)為奇函數(shù)．（Ⅲ）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）見解析；（3）.【分析】（Ⅰ）由題意，對(duì)于任意，都有，∴令，即可求解的值；（Ⅱ）令，得，再令，則，進(jìn)而得到，即可得到結(jié)論.（Ⅲ）∵對(duì)于任意的，可得為單調(diào)增函數(shù)，利用單調(diào)性把不等式轉(zhuǎn)化為，得∴，即可求解.【詳解】（Ⅰ）∵對(duì)于任意，都