函數(shù)奇偶性單調(diào)性等12類問題匯 總（老師版）

更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學函數(shù)奇偶性，單調(diào)性等12類問題匯總TOC\o"1-3"\n\h\z\u題型一求解析式題型二求定義域題型二值域問題題型三奇函數(shù)與偶函數(shù)混合求值，求解析題型四由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍（分式型，復雜根式型）題型五由單調(diào)性解函數(shù)不等式題型六解奇函數(shù)不等式（移項，結合圖像）題型七解偶函數(shù)不等式（加絕對值）題型八解分段函數(shù)不等式（畫圖）題型九利用單調(diào)性，奇偶性比大小題型十利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性求函數(shù)的最值題型十一函數(shù)圖像的識別題型十二畫函數(shù)圖像求函數(shù)解析式常用方法有：待定系數(shù)法，換元法，方程組法，還有一類題型是結合奇偶性已知半邊解析式求另一半二．函數(shù)的定義域：一般要注意分母和偶次根號的限制等等，由幾個式子構成的函數(shù)，則定義域是各部分定義域的交集．容易忽略的還有分數(shù)型指數(shù)冪盡量化成根式來觀察，比如求函數(shù)的定義域三．函數(shù)的值域：（1）本章主要探討復雜根式型函數(shù)和分式型函數(shù)兩種，指數(shù)型和對數(shù)型復合函數(shù)放在后面章節(jié)遇到復雜根式型函數(shù)一般考慮換元，遇到分式型函數(shù)一般分離常數(shù)，（2）若求某區(qū)間上的值域，需要先分析函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性，而不是比較區(qū)間兩端函數(shù)值本號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學#第六感(3)若函數(shù)在某區(qū)間上不單調(diào)，那么需要比較區(qū)間兩端的函數(shù)值從而得出最終的值域四．求函數(shù)單調(diào)區(qū)間：（1）先考慮函數(shù)的定義域，注意作答時寫單調(diào)區(qū)間不能用“∪”并集，而是用“，”逗號隔開（2）解答題求函數(shù)單調(diào)性用作差法，注意提公因式，比如（3）選填一般不用作差法而是通過邏輯上的關系直接判斷，比如：增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)，增函數(shù)－減函數(shù)=增函數(shù)等五．已知單調(diào)性求參數(shù)范圍：利用集合間的包含關系處理，在上單調(diào)，則區(qū)間是相應單調(diào)區(qū)間的子集，且需要注意端點的取舍六．解函數(shù)不等式：（1）先考慮函數(shù)的定義域，再結合奇偶性單調(diào)性脫掉“f”若是奇函數(shù)一般需要移項再脫“f”，若是偶函數(shù)一般脫“f”后加絕對值，再平方去絕對值（2）數(shù)形結合法，畫出函數(shù)的大致圖像七、函數(shù)圖象的平移，對稱，翻折（1）平移變換：左加右減，上加下減①進行上下平移a個單位； ②進行左右平移a個單位（2）對稱變換①關于y軸對稱； ②關于x軸對稱③關于原點軸對稱； ③關于直線x＝a對稱⑤關于y＝x對稱（3）的翻折變換①把x軸下方部分翻折到上方，x軸及上方部分不變②把y軸左側部分去掉，再把y軸右側部分翻折到左側，右側不變【練習熟練】要得到的圖像：第①步：；第②步：；第③步：本號*資料全部來源于微信公眾號*：數(shù)學第六感要得到的圖像：①；②；③要得到的圖像：①②要得到的圖像：①②七、復合函數(shù)問題：同增異減單調(diào)性：先看定義域，再拆分為內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)，利用同增異減來判斷復合函數(shù)的單調(diào)性復合函數(shù)的奇偶性：先看定義域是否關于原點對稱，再拆分為內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)，利用“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”進行判斷，即若內(nèi)層函數(shù)為偶函數(shù)，則復合函數(shù)為偶函數(shù)，若內(nèi)層函數(shù)為奇函數(shù)，則復合函數(shù)的奇偶性取決于外層函數(shù)的奇偶性，若外層函數(shù)為奇函數(shù)，則復合函數(shù)為奇函數(shù)，若外層函數(shù)為偶函數(shù)，則復合函數(shù)為偶函數(shù).八、函數(shù)圖象的識別對于函數(shù)圖象的識別，要抓住函數(shù)的性質(zhì),定性分析，一般有以下方法:(1)根據(jù)函數(shù)的定義域判斷圖象的左右位置;根據(jù)函數(shù)的值域判斷圖象的上下位置;(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷圖象的變化趨勢;(3)根據(jù)函數(shù)的周期性判斷圖象的循環(huán)往復﹔(4)根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷圖象的對稱性;(5)根據(jù)函數(shù)的特殊點排除不符合要求的圖象九、函數(shù)圖象的畫法及應用華羅庚先生曾說：數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休．在數(shù)學的學習和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象特征1．利用函數(shù)的圖象可以直觀觀察求函數(shù)值域、最值、單調(diào)性、奇偶性，漸近線等，重點是一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)及冪函數(shù)圖象．2．掌握簡單的基本函數(shù)圖象，提升直觀想象和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．畫函數(shù)圖象的主要方法有描點法和先研究函數(shù)性質(zhì)再根據(jù)性質(zhì)畫圖，一旦有了函數(shù)圖象，可以使問題變得直觀，但仍要結合代數(shù)運算才能獲得精確結果．本號資料全部來*源于微信公眾號：數(shù)學第六*感題型一求解析式建立方程組求解析式（2023上·浙江杭州·高一校聯(lián)考）已知定義在上的函數(shù)滿足，則函數(shù)的解析式.【答案】【思路點撥】根據(jù)已知把換成，建立方程組求解.【詳解】因為，把換成有：，聯(lián)立，解得.（2023上·廣東廣州·高一廣東廣雅中學?？迹┮阎?，則.【答案】【思路點撥】令，得到，進而求得函數(shù)的解析式.【詳解】令，則且，所以，所以函數(shù)的解析式為（2023上·廣東深圳·高一?？迹┮阎瘮?shù)滿足，且，則.【答案】【思路點撥】用替換,再解方程組可得答案.【詳解】由①，用替換，得②，①×2－②，得，得.待定系數(shù)法求解析式已知二次函數(shù)滿足，且.求的解析式【答案】【思路點撥】設，利用建立恒等式求解即可；【詳解】設二次函數(shù)（），因為，所以.由，得，得，所以，得，故.若二次函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)－f(x)＝2x,且f(0)＝2.(1)求f(x)的解析式；(2)若在區(qū)間[－1,1]上，不等式f(x)＞2x＋m恒成立，實數(shù)m的取值范圍.本號資料全部來源*于微信公眾號：#數(shù)學第六感【答案】（1）；（2）m＜0【分析】（2）轉(zhuǎn)化為在[-1,1]上恒成立問題，找其在[-1,1]上的最小值讓其大于0即【解答】解：（1），由f(0)＝1得c＝2，故．因為f(x＋1)－f(x)＝2x，所以即2ax＋a＋b＝2x，所以EQ\B\lc\{(\a\al(2a＝2,a＋b＝0))，∴EQ\B\lc\{(\a\al(a＝1,b＝－1))，所以（2）由題意得在[－1,1]上恒成立．即EQx\S\UP6(2)－3x＋1－m＞0在[－1,1]上恒成立．設g(x)＝其圖象的對稱軸為直線x＝EQ\F(3,2),所以g(x)在[－1,1]上遞減．故只需最小值g(1)＞0,即解得m＜0．已知一半求另一半解析式（2023上·湖南長沙·高一雅禮中學?？迹┰Of(x)是奇函數(shù)，當x＞0時，f(x)＝log2x，則當x＜0時，f(x)的表達式為．【答案】f(x)＝－log2(－x)【思路點撥】由題意結合奇函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的表達式即可.【詳解】設，則，結合奇函數(shù)的定義可知：若是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則當時，.【答案】【思路點撥】根據(jù)奇函數(shù)的定義進行求解即可.【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以當時，題型二求定義域抽象函數(shù)定義域已知定義域為，則的定義域為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為定義域為，所以函數(shù)的定義域為，所以，的定義域為需滿足，解得.所以，的定義域為，故選：A已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得，所以，所以．故選：D已知的定義域為，則的定義域為________.【答案】【解析】∵，∴，∴，∴.即的定義域為.函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是______．【答案】.【解析】因為函數(shù)的定義域是，所以，解得或，則函數(shù)的定義域是.復雜根式型函數(shù)定義域函數(shù)的定義域為()A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x>0，,2x－1≠0，))解得x<1且x≠eq\f(1,2).已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為______【答案】【解析】由函數(shù)的定義域是，得到，故即，解得:；所以原函數(shù)的定義域是：.函數(shù)的定義域為________【答案】【解析】題型二值域問題換元法求值域（2023上·湖南長沙·高一長郡中學?？迹┖瘮?shù)的值域為（

）A． B．C． D．【答案】A【思路點撥】設，化簡函數(shù)為，結合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】設，則，且，則函數(shù)可化為，所以函數(shù)的值域為（2023上·河北滄州·高一校聯(lián)考）函數(shù)的值域為（

）A． B．C． D．【答案】C【思路點撥】根據(jù)換元法以及二次函數(shù)的性質(zhì)求解結果.【詳解】令，則．設函數(shù)，當時，取最大值9．因為，所以．函數(shù)的值域為.函數(shù)的值域是．【答案】【思路點撥】通過變量代換將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)分析運算即可得解.【詳解】解：由題意，函數(shù)的定義域為，令，則，，函數(shù)轉(zhuǎn)化為，，∵，對稱軸為，最大值為，∴當時，，即值域為，∴函數(shù)的值域是.求函數(shù)的值域.【答案】．【思路點撥】令，（），從而把求值域問題轉(zhuǎn)化為求的值域問題，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解值域即可.【詳解】函數(shù)，令，（），那么，則函數(shù)轉(zhuǎn)化為，整理得：（），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知：的開口向上，對稱軸，故當時，函數(shù)取得最小值為，無最大值，即，所以函數(shù)的值域為.（2023·蘇州中學高一?？迹┖瘮?shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】C【思路點撥】令，，可得，利用函數(shù)單調(diào)性求值域.【詳解】令，，則，所以函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，時，有最小值，所以函數(shù)的值域為.分離常數(shù)求值域（2023上·廣西南寧·高一南寧三中校考）若，則函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】A【思路點撥】將函數(shù)變現(xiàn)為，結合反比例函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】因為，又因為，所以，所以，所以，所以函數(shù)，的值域為．已知值域求參數(shù)范圍（2023·襄陽市第一中月考）已知函數(shù)的值域為，求實數(shù)k的取值范圍．【答案】【思路點撥】根據(jù)函數(shù)的值域為，可得是函數(shù)的值域的子集，再分和兩種情況討論即可.【詳解】因為函數(shù)的值域為，所以是函數(shù)的值域的子集，當時，，符合題意，當時，則，解得，綜上所述，.若函數(shù)的值域為，則實數(shù)m的取值范圍是（

）．A． B．C． D．【答案】B【思路點撥】根據(jù)題意由二次函數(shù)值域利用判別式即可求得實數(shù)m的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)的值域為，所以能取遍所有大于或等于零的實數(shù)，本號資料全部來源#于微信公眾號：數(shù)學第六感即方程在實數(shù)范圍內(nèi)有解．所以，解得．（2023·山東省實驗中學高一校考）已知函數(shù)的定義域與值域均為，則實數(shù)的取值為（

）A．-4 B．-2 C．1 D．1【答案】A【思路點撥】依題意知的值域為，則方程的兩根為或，可得，，從而確定當時，取得最大值為，進而解得.【詳解】依題意，的值域為，且的解集為，故函數(shù)的開口向下，，則方程的兩根為或，則，，即，則，當時，取得最大值為，即，解得：.（2023上·寧波·余姚中學高一?？迹┮阎瘮?shù)的值域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】C【思路點撥】首先求出函數(shù)的定義域，再利用抽象函數(shù)的定義域求解【詳解】由值域為，得，故，即的定義域為，令得，故的定義域為（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)y＝的定義域為（－∞,＋∞），值域為[1，9]，則m的值為，n的值為．【答案】55【思路點撥】可將整理為,因為,由，則，即，則關于y的一元二次方程的兩根為1和9，利用韋達定理求解；同時,時也成立.【詳解】由,得,由，得若，則,即,由知，關于y的一元二次方程的兩根為1和9,故有，解得.當時,也符合題意,∴.題型三奇函數(shù)與偶函數(shù)混合求值，求解析已知分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，則（

）A．3 B．1 C． D．【答案】C【思路點撥】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可知，代入解析式中即可.【詳解】已知分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則【答案】【思路點撥】由已知，根據(jù)的奇偶性可得，進而求．【詳解】由題意，，∴，即，∴（2023上·廣東深圳·高一深圳中學?？迹┮阎头謩e是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【思路點撥】根據(jù)奇函數(shù)與偶函數(shù)的性質(zhì)即可代入和求解.【詳解】因為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以由有，又，所以，，所以．已知為R上的偶函數(shù)，為R上的奇函數(shù)，且，則f（2）=.【答案】【思路點撥】根據(jù)奇偶性構造方程組，解方程組即可求出結果.【詳解】由題意知，因為函數(shù)為R上的偶函數(shù)，為R上的奇函數(shù)，所以，所以，因此，兩式相加得，即.所以（2023上·湖南長沙·高一湖南師大附中?？迹┮阎瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【思路點撥】利用函數(shù)奇偶性的定義可得出、的方程組，解出函數(shù)的解析式，分析函數(shù)的單調(diào)性，結合可得出關于的不等式，即可得出原不等式解集.#本號資料全部來源于微信公眾號*：數(shù)學第六感【詳解】因為①，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則，即②，由①②可得，因為函數(shù)、均為上的增函數(shù)，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，由，可得，解得.因此，不等式的解集是.（2023上·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期末）已知，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且滿足．若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）本#號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學第六感A． B．C． D．【答案】B【思路點撥】首先利用方程組法求出、的解析式，再判斷的單調(diào)性，則問題轉(zhuǎn)化為恒成立，參變分離求出，即可得解.【詳解】因為，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，所以，，因為，①所以，所以，②①②得，，因為在定義域上單調(diào)遞增，在定義域上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，又，若恒成立，則恒成立，所以恒成立，所以恒成立，所以只需，因為，，所以（當且僅當，即時取等號），所以（當且僅當時，取等號），所以，所以的取值范圍為題型四由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍（分式型，復雜根式型）（2023上·湖南衡陽·高一衡陽市八中?？计谀┮阎瘮?shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．，， B．C．，， D．，，【答案】C【思路點撥】先用分離常數(shù)法得到，由單調(diào)性列不等式組，求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，必有，解可得：或，即的取值范圍為，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍為.【答案】【思路點撥】根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性同增異減求得的取值范圍.【詳解】依題意，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，解得，所以的取值范圍是.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【思路點撥】由題設，結合二次函數(shù)性質(zhì)確定開口和對稱軸，討論、，應用復合函數(shù)單調(diào)性判斷的增區(qū)間，結合已知求參數(shù)范圍.【詳解】由題設，對于，開口向上且對稱軸為，而對于在定義域上遞增，當，則定義域為，故在上遞減，在上遞增，此時在上遞增，結合題設遞增區(qū)間，有，顯然恒成立；本號資料全部#來源于微信公眾號：數(shù)學第六感當，則定義域為，故在上遞減，在上遞增，此時在上遞增，結合題設遞增區(qū)間，有，綜上，實數(shù)的取值范圍為.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】.【詳解】當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，符合題意；當時，函數(shù)圖象的對稱軸為直線，因為f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，得，所以；當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，符合題意．綜上，實數(shù)的取值范圍為.（2023上·江蘇無錫·高一校聯(lián)考）已知函數(shù)在上具有單調(diào)性，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【思路點撥】利用二次函數(shù)單調(diào)性，比較對稱軸與區(qū)間的位置關系即可解得實數(shù)的取值范圍是.【詳解】由題意可知，二次函數(shù)的對稱軸為，若在上單調(diào)遞增可知，解得；若在上單調(diào)遞減可知，解得；所以實數(shù)的取值范圍是.（2023上·陜西安康·高一統(tǒng)考）已知函數(shù)對任意兩個不相等的實數(shù)，都有不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【思路點撥】根據(jù)題意可知在上為增函數(shù)，令，那么問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上為增函數(shù)，且在上恒成立，討論是否為零，列出不等式求解即可.【詳解】因為對任意兩個不相等的實數(shù)，都有不等式成立，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，令，則函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，且在上恒成立，當時，，因為在時，，不合題意，舍去；當時，則，解得：，所以實數(shù)的取值范圍是.題型五由單調(diào)性解函數(shù)不等式（2023上·寧夏育才中學高一?？迹┖瘮?shù)的定義域為，且在定義域內(nèi)是增函數(shù)，若，則的取值范圍是．【答案】【思路點撥】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性逆用解抽象不等式.【詳解】由得，因為函數(shù)的定義域為，且在定義域內(nèi)是增函數(shù)，所以，解得，所以的取值范圍是.已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【思路點撥】由函數(shù)定義域及單調(diào)性建立不等式組求解即得.【詳解】由題意知，在其定義域上單調(diào)遞增，由，得，又，簡化不等式組為,解得，或.即實數(shù)的取值范圍是.（2023上·湖南常德·高一常德市一中?？迹┖瘮?shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若，則滿足的的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【思路點撥】方法一：不妨設，解即可得出答案.方法二：取，則有，又因為，所以與矛盾，即可得出答案.方法三：根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性可得，利用函數(shù)的單調(diào)性可得，解不等式即可求出答案.【詳解】［方法一］：特殊函數(shù)法由題意，不妨設，因為，所以，化簡得．故選：D.［方法二］：【最優(yōu)解】特殊值法假設可取，則有，又因為，所以與矛盾，故不是不等式的解，于是排除A、B、C．故選：D.［方法三］：直接法根據(jù)題意，為奇函數(shù)，若，則，因為在單調(diào)遞減，且，所以，即有：，解可得：（2023上·長郡中學校高一期末）（多選）已知函數(shù)是奇函數(shù)，下列選項正確的是（

）A．B．函數(shù)在上的值域為C．，且，恒有D．若，恒有充分不必要條件為【答案】ACD【思路點撥】對于A，根據(jù)可求的值，驗證即可；對于B，由，可得為增函數(shù)，從而可求值域；對于C，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；對于D，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可轉(zhuǎn)化為對于恒成立，求出其成立的充要條件，根據(jù)集合間的包含關系及充分不必要條件的定義即可判斷.【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，且定義域為，所以，解得.當時，，則，故函數(shù)是奇函數(shù)，故A正確；因為在上單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在上的值域為，故B錯誤；因為單調(diào)遞增，所以，且，恒有，故C正確；因為單調(diào)遞增，所以可轉(zhuǎn)化為，即對于恒成立.當時，不恒成立，不符合題意；當時，可得，解得.故，恒有的充要條件為.因為，所以，恒有充分不必要條件為，故D正確.已知函數(shù)是定義在上的單調(diào)函數(shù)，且對任意的實數(shù)，有，則不等式的解集是.【答案】【思路點撥】由題意可知，存在唯一實數(shù)，使得，則，可得出，利用函數(shù)單調(diào)性求出的值，令，分析函數(shù)的單調(diào)性，結合單調(diào)性可得出不等式的解集.【詳解】因為函數(shù)是定義在上的單調(diào)函數(shù)，則存在唯一實數(shù)，使得，又因為，則，則，所以，，因為函數(shù)、均為上的增函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，且，故，所以，，因為函數(shù)在上為增函數(shù)，設，其中，則函數(shù)在上為增函數(shù)，且，當時，由可得，則，當時，，，則恒成立，所以，不等式的解集為題型六解奇函數(shù)不等式（移項，結合圖像）（2023上·廣東深圳·高一深圳外國語學校?？迹┰O奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為奇函數(shù)在上為增函數(shù),所以在上也是增函數(shù),且,從而在定義域上的大致圖象為：所以的解為:,或設函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在(－∞，0)上是減函數(shù)，若f(－2)＝0，則xf(x)<0的解集為()A．(－1,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(0,2)【答案】C【解析】利用函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)f(x)的簡圖如圖，所以不等式xf(x)<0可化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,fx<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0，,fx>0，))由圖可知x>2或x<－2，故選C. 奇函數(shù)f(x)是定義在(－1,1)上的減函數(shù)，若f(m－1)＋f(3－2m)<0，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1,2)【詳解】原不等式化為f(m－1)<－f(3－2m)．因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(m－1)<f(2m－3)．因為f(x)是減函數(shù)，所以m－1>2m－3，所以m<2.又f(x)的定義域為(－1,1)，所以－1<m－1<1且－1<3－2m<1，所以0<m<2且1<m<2，所以1<m<2.綜上得1<m<2.故實數(shù)m的取值范圍是(1,2)．（2023下·重慶沙坪壩·高一重慶八中校考期中）已知是定義在R上的奇函數(shù)，當時，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【思路點撥】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及當時，，判斷函數(shù)單調(diào)性，作出其大致圖像，數(shù)形結合，結合對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，解不等式，即可求得答案.【詳解】由題意是定義在R上的奇函數(shù)，故，當時，，此時在上單調(diào)遞增，且過點，則當時，在上單調(diào)遞增，且過點，作出函數(shù)的大致圖像如圖：則由可得或，解得或，即的解集為（2023·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則的解集是.【答案】【思路點撥】利用奇偶性求出函數(shù)的解析式，分類討論即可求解.【詳解】當時，，所以，因為函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，所以，所以當時，，所以，要解不等式，只需或或，解得或或，綜上，不等式的解集為.（2023上·重慶沙坪壩·高一重慶八中?？迹┮阎嵌x在上的奇函數(shù)，當時，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【思路點撥】根據(jù)題意結合奇函數(shù)的性質(zhì)分析的符號，進而解不等式.【詳解】當時，令，可知：當時，；當時，；又因為是奇函數(shù)，可知：當時，；當時，；對于不等式，則或，可得或，所以不等式的解集為已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【思路點撥】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的表達式，分段討論解不等式即可得到結論．【詳解】解：∵是定義在上的奇函數(shù)，，當，，此時，∵是奇函數(shù)，，即，當，即時，不等式不成立；當，即時，，解得：當，即時，，解得，綜合得：不等式的解集為設f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≥0時，f（x）＝x2，若對于任意的，不等式恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是．【答案】【解析】解：當x≥0時，f（x）＝x2，∵函數(shù)是奇函數(shù)，∴當x＜0時，f（x）＝﹣x2∴f（x）＝∴f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，#本號*資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學第六感且滿足，∵不等式在恒成立，∴x＋t≥x在恒成立，即：在恒成立，∴，解得：，故答案為：．已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)．(1)用定義法證明函數(shù)在上是增函數(shù)；(2)解不等式．【答案】(1)證明見解析(2)【思路點撥】（1）對于任意的，且，利用作差法判斷的大小關系即可得證；（2）先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性結合函數(shù)的單調(diào)性即可得解.本號資料全部來源于微信公眾號#：數(shù)學第六感【詳解】（1）對于任意的，且，則：，∵，∴，，∴，∴，即，∴函數(shù)在上是增函數(shù)；（2）因為，所以是奇函數(shù)，則，即，所以，解得（浙江·高一期末）已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且(1)求實數(shù)a，b的值．(2)判斷在上的單調(diào)性，并用定義法證明．(3)解不等式：.【答案】(1)；(2)在上為增函數(shù)，證明見解析(3)【思路點撥】（1）根據(jù)題意列出方程組，求出；（2）利用定義法求解函數(shù)單調(diào)性步驟：取點，作差，變形判號，下結論；（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，結合函數(shù)定義域得到不等式組，求出解集.【詳解】（1）由題意得，解得，經(jīng)驗證滿足題設；（2）在上是增函數(shù)，證明如下：在上任取兩數(shù)且，則，因為，所以，，故，即，所以在上為增函數(shù)；（3）為奇函數(shù)，定義域為，由得，∵在上為增函數(shù)，∴，解得.（2022上·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，．(1)求在上的解析式；(2)判斷在的單調(diào)性，并給出證明．(3)若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)在上單調(diào)遞減，證明見解析(3)【思路點撥】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化求解即可；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行判斷、證明即可；（3）首先得到函數(shù)在上的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的取值特征，依題意可得，再分、、三種情況討論，結合函數(shù)的單調(diào)性計算可得.【詳解】（1）是定義在上的奇函數(shù)，，當時，．當時，則，則，則，，所以．（2）函數(shù)在上單調(diào)遞減，證明：設，則，，，，，則，即，即函數(shù)在上單調(diào)遞減．（3）由（2）同理可證在上單調(diào)遞增，又為上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當時，，因為，則，即，若，即時，，，恒成立，若，即時，，，不等式顯然不成立，當時，，，要使，則，解得，綜上可得，或，即實數(shù)的取值范圍為.題型七解偶函數(shù)不等式（加絕對值）（2023·深圳市高級中學高一?？迹┮阎嵌x在上的偶函數(shù)，且在上遞減，則不等式的解集是．【答案】【思路點撥】根據(jù)是定義在上的偶函數(shù)，將不等式轉(zhuǎn)化為，再利用其單調(diào)性求解.【詳解】解：因為是定義在上的偶函數(shù)，且在上遞減，所以在上遞增，不等式等價于，所以，解得，所以不等式的解集是.故答案為：（2023上·廣東深圳·高一?？迹┮阎嵌x在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則不等式的解集為【答案】【思路點撥】由函數(shù)為偶函數(shù)可將原不等化為，再根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，從而可求得結果.【詳解】因為是定義在上的偶函數(shù)，所以可化為，因為在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，解得，所以原不等式的解集為已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，則不等式的解集為．本號資料全部來源于微信公眾號#：數(shù)學*第六感【答案】【思路點撥】根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)得到，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性結合定義域得到或，解得答案.【詳解】是定義在上的偶函數(shù)，則，，在上為增函數(shù)，，故或，解得.（2023上·常德市一中高一?？迹┮阎己瘮?shù)在單調(diào)遞增，解不等式．【答案】不等式解集為【詳解】在單調(diào)遞增，又在R上為偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，，∴，解得或，∴不等式解集為.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則的解集為．【答案】【分析】由偶函數(shù)定義域的對稱性可求，從而可得在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，距離對稱軸越遠，函數(shù)值越小，將不等式轉(zhuǎn)化為，結合定義域列不等式組，即可得結論．【詳解】解：∵是定義在上的偶函數(shù)，∴，解得，∴函數(shù)的定義域為，∵在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞減，距離對稱軸越遠，函數(shù)值越小，由，可得，解得，故不等式的解集為．題型八解分段函數(shù)不等式（畫圖）（2023上·廣東深圳·高一深圳市高級中學?？迹┮阎瘮?shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖：根據(jù)函數(shù)圖象，及可知：，得或（2023蘇州中學高一?？迹┰O函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【思路點撥】根據(jù)題意，分和，兩種情況討論，分類列出不等式，即可求解.【詳解】由函數(shù)，當時，令，即，可得，解得，所以解集為；當時，令，即，可得，所以解集為，綜上可得，不等式的解集為.已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【思路點撥】對進行分類討論，通過解不等式求得的取值范圍.【詳解】當時，不成立.當時，，所以，解得.當時，，所以，解得.綜上所述，的取值范圍是.（2023上·廣東深圳·高一?？迹┮阎瘮?shù)，則不等式的解集為．【答案】【思路點撥】根據(jù)題意，分與兩種情況，解不等式，即可得到結果.【詳解】當時，，解得，則；當時，，即，解得，則，綜上，不等式的解集為.已知函數(shù),若，則的取值范圍是.【答案】【思路點撥】討論的范圍，把不等式具體化，解出不等式即可.【詳解】根據(jù)分段函數(shù)的定義可知，當時，不等式可化為，解得；當時，不等式可化為，解得；當，不等式可化為，無解.綜上知，的取值范圍為題型九利用單調(diào)性，奇偶性比大小本號資料全#部來源*于微信公眾號：數(shù)學第六感已知函數(shù)在上是偶函數(shù)，且在上是單調(diào)函數(shù)，若，則下列不等式一定成立的是（

）本號#資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學第六感A． B．C． D．【答案】D【詳解】函數(shù)在上是偶函數(shù)，且在上是單調(diào)函數(shù)，所以函數(shù)在，上也是單調(diào)函數(shù)，根據(jù)，可得函數(shù)在，上是單調(diào)增函數(shù)，故函數(shù)在，上是單調(diào)減函數(shù)，故（1）已知函數(shù)為偶函數(shù)，當時，恒成立，設，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】依題意，函數(shù)為偶函數(shù)，由于時，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，，由于，所以，所以.已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，設，若，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】∵函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，∴，，，，∵函數(shù)在上單調(diào)遞減，，∴，即.定義在R上的偶函數(shù)對都有，若，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由題意可知，任意，，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，，，所以，所以，再根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，可得.已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，當且時，恒成立，設，，，則的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由當且時，恒成立，得函數(shù)在上單調(diào)遞減，又函數(shù)的圖象關于直線對稱，則，，而，因此，所以.已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，當時，是減函數(shù)，若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先確定當時，是增函數(shù)，從而可得，再利用偶函數(shù)的定義，即可得到結論．【詳解】∵函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，當時，是減函數(shù)，∴當時，是增函數(shù)，∵，∴，∵函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，∴∴∴設函數(shù)，且，則．【答案】【分析】構造函數(shù)，可判斷該函數(shù)為奇函數(shù)且為增函數(shù)，故可求.【詳解】由于，于是函數(shù)是一個單調(diào)遞增的奇函數(shù)，而．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為10，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．【答案】-26【分析】構造，易知為奇函數(shù)，根據(jù)已知條件確定的最大值，再由奇函數(shù)的性質(zhì)判斷在的最小值，即可求在的最小值.【詳解】由題設，令，易知：且，∴為奇函數(shù)，又在上的最大值為10，∴在上的最大值為18，由奇函數(shù)對稱區(qū)間上單調(diào)性相同：在上的最小值為-18，∴在上的最小值為-26.設函數(shù)在區(qū)間上的最大值為M，最小值為N，則的值為．【答案】8【分析】化簡函數(shù)，設，，可得函數(shù)在上為奇函數(shù)，進而得到，進而求解即可.【詳解】由，設，，則，所以函數(shù)在上為奇函數(shù)，所以，由題意，得，所以.已知函數(shù)的最大值為，最小值為.【答案】18【分析】注意到，而為奇函數(shù)，據(jù)此可得答案.【詳解】，令，因，則為奇函數(shù).由題可得，又奇函數(shù)圖像關于原點對稱，則，得.題型十利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性求函數(shù)的最值若奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增且有最大值，則函數(shù)在區(qū)間上（

）A．單調(diào)遞增且最小值為 B．單調(diào)遞增且最大值為C．單調(diào)遞減且最小值為 D．單調(diào)遞減且最大值為【答案】A【詳解】因為是奇函數(shù)，所以的圖象關于原點對稱，又在區(qū)間上單調(diào)遞增且有最大值，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增且最小值為.已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，當x>0時，，若f(x)在上的最大值為m，最小值為n，求m＋n.解如圖，畫出f(x)在(0，＋∞)上的圖象，由圖知，當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，4))時，f(x)min＝f(1)＝－1，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝2，f(4)＝5，所以f(x)max＝f(4)＝5.又f(x)為奇函數(shù)，所以當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－4，－\f(1,4)))時，f(x)max＝f(－1)＝－f(1)＝1，f(x)min＝f(－4)＝－f(4)＝－5.本號資料全部來源于微信*公眾號：數(shù)學第六*感所以m＝1，n＝－5，故m＋n＝1－5＝－4.題型十一函數(shù)圖像的識別函數(shù)的圖象大致是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】求出函數(shù)的定義域，然后判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進行分析判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，因為，所以為奇函數(shù)，所以的圖象關于原點對稱，所以排除A，當時，，所以排除C，當時，，因為和在上遞增，所以在上遞增，所以排除B函數(shù)的部分圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和特殊區(qū)間的正負即可判斷求解.【詳解】因為定義域，且，所以是奇函數(shù)，則的圖象關于原點對稱，排除A，D；當時，，排除B.函數(shù)的圖象大致是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析函數(shù)的定義域與奇偶性，結合基本不等式以及排除法可得出合適的選項.【詳解】對任意的，，則函數(shù)的定義域為，又因為，故函數(shù)為奇函數(shù)，當時，，當且僅當時，等號成立，排除ABC選項.函數(shù)的圖像可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】當時，函數(shù)的定義域為，當時，函數(shù)的定義域為，其定義域都關于原點對稱，，即函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像關于原點對稱，故AC錯誤；由選項圖可知，都是討論的情況，當時，，對勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當時，，故B正確；對于D選項，由圖可知，.函數(shù)在和上單調(diào)遞增，若，在和上單調(diào)遞減，若，在和上單調(diào)遞增，故D錯誤函數(shù)，的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因為的定義域為，又，則為奇函數(shù)，排除選項A，而，排除選項B，當時，，則，排除選項D.函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【詳解】，函數(shù)定義域為，，函數(shù)為奇函數(shù)，排除CD，，排除B我國著名數(shù)學家華羅庚先生曾說：數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休．在數(shù)學的學習和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象特征，如函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】記，函數(shù)定義域為，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除BC，又當時，，排除D函數(shù)的部分圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【詳解】由已知，，則，故是奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，故C項錯誤；當時，，則，故AD項錯誤，應選B.又設，且，則，故，則有，即，故在上單調(diào)遞減.綜上，函數(shù)圖象的性質(zhì)與選項B中圖象表示函數(shù)的性質(zhì)基本一致.本號資料全部來源于微信公眾號：#數(shù)學第六感函數(shù)的圖象大致形狀是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】當時，可判斷C，D錯誤，當時可判斷A，B.【詳解】當時，，其在單調(diào)遞增，C，D錯誤；當時，，在單調(diào)遞減，B錯誤，A正確.函數(shù)的圖像為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】函數(shù)的定義域為，且，函數(shù)為奇函數(shù)，A選項錯誤；又當時，，C選項錯誤；當時，函數(shù)單調(diào)遞增，故B選項錯誤題型十二畫函數(shù)圖像已知函數(shù)f(x)＝|－x2＋2x＋3|.(1)畫出函數(shù)圖象并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四個不相等的實根}．解(1)當－x2＋2x＋3≥0時，得－1≤x≤3，函數(shù)y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，當－x2＋2x＋3<0時，得x<－1或x>3，函數(shù)y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－12＋4，－1≤x≤3，,x－12－4，x<－1或x>3))的圖象如圖所示，單調(diào)遞增區(qū)間為[－1,1]和[3，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)和(1,3)．(2)由題意可知，函數(shù)y＝f(x)與y＝m的圖象有四個不同的交點，則0＜m＜4.故集合M＝{m|0<m<4}．已知函數(shù).

(1)求的值；(2)畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若，求的取值范圍.【答案】(1)8(2)圖象見解析，減區(qū)間為，增區(qū)間為(3)【分析】（1）先得出，進而即可得出答案；（2）根據(jù)函數(shù)的圖象，直接寫出單調(diào)區(qū)間；（3）分別求出當時以及時，不等式的解，即可得出答案.【詳解】（1）由已知可得，，所以，.（2）如圖，作出函數(shù)的圖象

由圖象可知，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為（3）當時，由可得，，解得，所以；當時，由可得，，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解得，所以.綜上所得，的取值范圍.函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當時，．(1)求函數(shù)在R上的解析式；(2)在坐標系里畫出函數(shù)的圖象，并寫出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．

【答案】(1)(2)圖象見解析，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：，．【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，求解得出時，的解析式，即可得出答案；（2）根據(jù)函數(shù)圖象，即可得出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】（1）∵函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當時，有，，∴，∴.（2）函數(shù)的圖象為：

由圖象可得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：，．已知定義在上的奇函數(shù)滿足：當時，，當時，.(1)在平面直角坐標系中畫出函數(shù)在上的圖象，并寫出單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)求出的解析式.【答案】(1)圖象詳見解析，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性畫出圖象，并求得單調(diào)遞減區(qū)間.（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得的解析式.【詳解】（1）依題意可知，是奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，由此畫出的圖象如下圖所示，

由圖可知，的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）當時，，所以，所以.已知函數(shù)（xR）.(1)判斷函數(shù)的奇偶性并證明；(2)畫出函數(shù)圖象，寫出函數(shù)的值域.【答案】(1)函數(shù)為偶函數(shù)，證明見解析(2)圖象答案見解析，值域為【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義可得答案；（2）畫出圖象，利用圖象可得答案.【詳解】（1）函數(shù)為偶函數(shù)，因為xR，所以，所以函數(shù)為偶函數(shù).（2）畫出圖象為·函數(shù)的值域為.已知函數(shù)．

(1)的值；(2)記，畫出函數(shù)的圖象，寫出其單調(diào)遞減區(qū)間（無需證明）；【答案】(1)(2)圖象見解析；單調(diào)遞減區(qū)間，【分析】（1）根據(jù)題意，由函數(shù)解析式，代入計算，即可得到結果；（2）根據(jù)題意，求得函數(shù)的解析式，即可得到其單調(diào)減區(qū)間，以及其函數(shù)圖象.【詳解】（1）因為，則，所以.（2）