一元二次不等式與其他常見不等式解法15種常見考點（老師版）

更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學一元二次不等式與其他常見不等式解法15種常見考點考點1解不含參數(shù)的一元二次不等式1．（2024·陜西商洛·模擬預測）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解集合得：，再利用求根式函數(shù)定義域解集合得：，最后利用并集求出結(jié)果即可.【詳解】因為，，所以，故選：A.2．（2024·上?！じ呖颊骖}）已知則不等式的解集為．【答案】【分析】求出方程的解后可求不等式的解集.【詳解】方程的解為或，故不等式的解集為，故答案為：.3．（2024·湖南衡陽·三模）已知集合，集合，若，則．【答案】0或1【分析】先求出集合，再由可求出的值.【詳解】由，得，解得，因為，所以，所以，因為，且，所以或，故答案為：0或14．（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知集合，則（

）A．或 B．C． D．【答案】C【分析】先求出集合，再求兩集合的交集.【詳解】由，，或，所以或，因為，所以.故選：C.5．（2024·黑龍江牡丹江·模擬預測）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先解一元二次不等式求出集合，再求兩集合的交集即可.【詳解】解不等式可得，即；又，因此．故選：D6．（2024·西藏林芝·模擬預測）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式化簡集合A與B，然后利用交集運算求解即可.【詳解】因為，，所以.故選：C考點2解含有參數(shù)的一元二次不等式7．（2024·河北滄州·模擬預測）已知集合，．若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解絕對值不等式求出集合，由，得，由此能求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】由，解得，所以集合，由，可得，所以，因為，所以，當時，不符合題意，所以，因為，所以，即實數(shù)的取值范圍是．故選：B．8．（2025高三·全國·專題練習）解下列關于的不等式(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析(4)答案見解析【分析】（1）分，和討論即可；（2）計算得，分和或討論即可；（3）因式分解得，分，和討論即可；（4）分，兩大類討論即可.【詳解】（1）由，可得或，則：當時，原不等式解集為；當時，原不等式解集為；當時，原不等式解集為；（2）由對應函數(shù)開口向上，且，當，即時，恒成立，原不等式解集為；當，即或時，由，可得，所以原不等式解集為；綜上，解集為；或解集為.（3）由得或.當，即時，不等式解集為；當，即時，解集為；當，即時，解集為．綜上：時，不等式解集為；時，解集為；時，解集為．（4）①當時，；∴.②當時，由得或，（i）當即時，，（ⅱ）當即時，，（ⅲ）當即時，，綜上，當時，所求不等式的解集為.當時，所求不等式的解集為，當時，所求不等式的解集為，當時，所求不等式的解集為.9．（2023·湖南·模擬預測）若關于x的不等式的解集恰有50個整數(shù)元素，則a的取值范圍是，這50個整數(shù)元素之和為．【答案】或1625【分析】討論的范圍，解出不等式，結(jié)合題意確定的范圍及解集中的整數(shù)解，再利用等差數(shù)列求和公式求和即可.本號資料#全部來源于微信公眾號：數(shù)學第六感【詳解】不等式等價于不等式．當時，的解集為，不合題意；當時，的解集為，則50個整數(shù)解為，，…，5，6，所以，這50個整數(shù)元素之和為；當時，的解集為，則50個整數(shù)解為8，9，…，56，57，所以，這50個整數(shù)元素之和為．綜上，a的取值范圍是，這50個整數(shù)元素之和為或1625．故答案為：；或162510．（23-24高三下·陜西安康·階段練習）在區(qū)間內(nèi)隨機取一個實數(shù)，則關于的不等式僅有2個整數(shù)解的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用一元二次不等式解得，可得區(qū)間內(nèi)僅包含兩個整數(shù)，再利用幾何概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可得不等式等價于；因為，所以不等式的解集為；依題意可得區(qū)間內(nèi)僅有兩個整數(shù)，即包含兩個整數(shù)，可得；本號資料全部來源于微信公眾#號：數(shù)學第六感由幾何概型概率公式可得其概率為.故選：C11．（24-25高一上·上海·課后作業(yè)）解關于的不等式：（其中）．【答案】答案見解析.【分析】左邊進行因式分解，根據(jù)函數(shù)與不等式的關系，求出端點值，后將端點值比較大小，分類討論即可.【詳解】解：原不等式可化為．①若，即，此時原不等式的解集為或；②若，即，此時原不等式的解集為；③若，即，此時原不等式的解集為或．12．（21-22高一上·福建莆田·階段練習）已知函數(shù)本#號資料全部來源于微信公#眾號：數(shù)學第六感(1)求關于x的不等式的解集；(2)若在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)a的范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）因式分解，再討論二次方程兩根的大小關系求解即可；（2）參變分離可得在區(qū)間上恒成立，再換元令，根據(jù)基本不等式求解最值即可.*本號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學第*六感【詳解】（1）即，故：當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為.（2）在區(qū)間上恒成立，即，即在區(qū)間上恒成立.令，則在區(qū)間上恒成立.又，當且僅當，即，時取等號.故，故實數(shù)a的范圍是13．（23-24高一上·河南信陽·階段練習）已知：，：.本號資*料全部來源#于微信公眾號：數(shù)學第六感(1)若是真命題，求對應的取值范圍；(2)若是的必要不充分條件，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）解絕對值不等式即可得出答案；（2）由是的必要不充分條件，可得，解不等式即可得出答案.【詳解】（1）∵：是真命題，∴，∴，解得，∴的取值范圍是.（2）由（1）知：：，：即因為是的必要不充分條件，所以，解得：.綜上所述的取值范圍是.考點3分式不等式14．（2024·廣西貴港·模擬預測）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先解不等式求出兩個集合，再求出，然后求即可.【詳解】由，得，解得，所以，由，得或，所以，所以，所以．故選：B15．（24-25高一上·上?！卧獪y試）分式不等式的解集為．【答案】【分析】將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.【詳解】由，得，即，所以，解得，所以不等式的解集為.故答案為：16．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】求解一元二次不等式和分式不等式，由充分性、必要性的定義分析即得解本*號*資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學第六感【詳解】由，解得，由且，解得，故，充分性不成立；，必要性成立故是成立的必要不充分條件故選：B.17．（23-24高二下·山西呂梁·期末）已知，，則是的（

）條件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】首先解分式不等式求出命題，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】由，即，等價于，解得，所以，又，所以由推得出，故充分性成立；由推不出，故必要性不成立，所以是的充分不必要條件.故選：A18．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出集合，再求出其補集，然后求出集合，再由.【詳解】由，得，得，解得或，所以或，所以，由，得，所以，所以.故選：A考點4絕對值不等式19．（2024·全國·模擬預測）已知為實數(shù)集，集合，集合，則（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【分析】分別求解分式不等式和絕對值不等式，即可得出，進而根據(jù)補集以及并集的運算，得出答案.【詳解】由可得，，解得，或，所以，或.由可得，，解得，，所以，或.所以，或.故選：C．20．（2024·全國·模擬預測）已知集合，，則（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】先化簡集合A，B，再利用并集的運算求解.【詳解】解：因為，，所以．故選：B．21．（2024·上海·三模）已知集合，，則．【答案】【分析】首先解絕對值不等式與分式不等式求出集合、，再根據(jù)交集的定義計算可得.【詳解】由，即，解得，所以，由，即，等價于，解得或，所以，所以.故答案為：22．（2025·甘肅張掖·模擬預測）已知非空集合，若，則實數(shù)的取值范圍為（

）本*號資料全#部來源于微信公眾號：數(shù)學第六感A． B． C． D．【答案】D【分析】先確定集合，由確定的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意，，因為，所以，則，所以.故選：D考點5根式不等式23．（2024·山東泰安·模擬預測）若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出對應的集合，再用交集的定義求解即可.【詳解】由，解得，則，故.故選：.24．（2024·陜西西安·三模）若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求解根式不等式，化簡集合A，然后再根據(jù)集合交集運算規(guī)則即可求解.【詳解】依題意得，則．故選：C.25．（2024·陜西咸陽·模擬預測）已知集合，若，則的子集有（

）A．3個 B．4個 C．7個 D．8個【答案】B【分析】先將集合A化簡，求出集合C得解.【詳解】集合，因為，所以，其子集有4個.故選：B.26．（2024·陜西安康·模擬預測）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別解出集合、，得到，進而得到.【詳解】由題得，故，所以.故選：A.考點6指數(shù)不等式27．（2024·青海·模擬預測）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】通過將集合中的元素代入集合，看是否符合不等式，即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，，當時，，當時，，當時，，∴和滿足集合的要求，∴，故選：C.28．（2023·全國·模擬預測）設全集為，集合，則（

）A． B．C．或 D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合，再解一元二次不等式求出集合，最后根據(jù)并集、補集的定義計算可得.【詳解】解：由，即，所以，解得，所以，由，即，解得，所以，所以，所以；故選：B29．（2023·浙江寧波·二模）若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先解絕對值不等式求出集合、再解指數(shù)不等式求出集合，最后根據(jù)交集的定義計算可得.【詳解】由可得，解得，所以，由，可得，所以，即，所以.故選：B30．（23-24高一上·天津·期末）已知集合，，則【答案】【分析】化簡集合，，利用集合的交集的定義即可求.【詳解】因為，，所以.故答案為：31．（2024·全國·模擬預測）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別求解不等式，再由交集定義求解.【詳解】又，即，可得，又因為在上為增函數(shù)，由，可得，所以，，所以.故選：B.32．（2024·全國·模擬預測）設集合，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】利用絕對值不等式和指數(shù)不等式的解法結(jié)合集合的運算求解即可.【分析】或或，．所以．故選：B．考點7對數(shù)不等式33．（2024·北京·模擬預測）已知集合，，則=（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用對數(shù)不等式的解法及并集的定義即可求解.【詳解】由，得，解得，所以，所以.故選：C.34．（2024·湖北黃岡·模擬預測）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先分別求出，運用交集定義求出即可.【詳解】由得，解得，當時，，當時等號成立，所以，，則故選:C.35．（2023·全國·模擬預測）若集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由絕對值不等式及對數(shù)不等式求兩個集合，在用交集運算即可.【詳解】由題意得或，，所以．故選：C．36．（2023·湖北襄陽·模擬預測）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先解對數(shù)不等式求出集合，在根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出集合，最后根據(jù)并集的定義計算可得.【詳解】由，解得，所以，又，所以.故選：A37．（2024·福建南平·模擬預測）已知全集，集合，若，則的取值范圍是（

）本號資料全部來源#于微信公眾號：數(shù)學第六感A． B． C． D．【答案】D【分析】解不等式先求出集合，進而可得，再由，列不等式即可求出答案.【詳解】由，得，所以，則或，由，得，所以，又，所以，解得．故選：D．考點8高次不等式38．（2019·湖南長沙·模擬預測）設集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出集合S，然后直接進行集合的交集運算.本號資#料全部來源于微信#公眾號：數(shù)學第六感【詳解】或，則.故選：D【點睛】本題考查集合的基本運算及區(qū)間，涉及高次不等式，屬于基礎題.39．（2022·陜西咸陽·一模）使不等式成立的一個充分不必要條件是（

）A．且 B．C． D．【答案】D【分析】求解已知不等式，從集合的角度，以及充分性和必要性的定義，即可選擇.【詳解】因為，故不等式的解集為且，故不等式成立的一個充分不必要條件所構(gòu)成的集合應是且的真子集，顯然，滿足題意的只有.故選：D.40．（2025高三·全國·專題練習）解下列關于x的不等式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10).【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)【分析】（1）（2）兩題用一元二次不等式解法即可求解；（3）（4）（10）三題用解分式方程的解法即可求解；（5）（8）用解絕對值不等式的解法即可求解；（6）（7）（9）解高階不等式用穿針引線法可以求解；【詳解】（1）由，得，即，所以，所以不等式的解集為.（2）原不等式可化為或，所以解集為{或}.（3）由題得由可得：或，又，則得或，即不等式的解集為.（4）由，得，所以，解得或，所以不等式的解集為.（5）當，即時，，得，此時，，當，即時，，得，此時，，綜上所述，，即不等式的解集為.（6）原不等式可化為或，即或．由圖可知，原不等式的解集為或．（7）原不等式可化為，即，即或，即或．由圖可知，原不等式的解集為或.（8），令，則，原不等式為：，即，由，則或，即.（9）對于，當時，，原不等式等價于，等價于，解得或，即；當時，，原不等式成立，所以是原不等式的一個解；綜上，原不等式的解集為.（10）對于，變形為，即，與同解，，即.41．（2022·河北邯鄲·一模）已知集合，，則（

）A． B．或C．或 D．或【答案】D【分析】先化簡集合A，再去求即可解決.【詳解】由，得或，解之得或則或又則或或故選：D42．（2023·廣西·模擬預測）滿足不等式的整數(shù)解的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用穿針引線法解此不等式，計算出每個區(qū)間內(nèi)整數(shù)解的個數(shù)，相加即可求解【詳解】利用穿針引線法解不等式，在有個；在有個；…在有個.所以整數(shù)解的個數(shù)為：.故選：D考點9由一元二次不等式的解確定參數(shù)43．（2023·上海浦東新·模擬預測）設關于的不等式的解集為，則.本號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)#學第六感【答案】【分析】根據(jù)一元二次不等式與方程的關系求解.【詳解】因為關于的不等式的解集為，所以一元二次方程的兩個根為，所以根據(jù)韋達定理可得，解得，所以，故答案為:.44．（2024·浙江紹興·三模）若關于的不等式的解集為，則（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】由題得、為方程的根，利用韋達定理計算即可得解.【詳解】由已知可得、為方程的根，由韋達定理可得：，解得：故選：B45．（2024高三·全國·專題練習）關于的不等式的解集為，且，則．【答案】/【分析】先解二次不等式得到關于的表達式，再代入即可求得值.【詳解】因為由，得，解得，所以，，所以，所以．故答案為：.46．（2023·江西南昌·二模）已知關于x的不等式的解集為，則的解集為．【答案】【分析】由題意可得且方程的解為，再根據(jù)韋達定理求得的關系即可得解.【詳解】因為關于x的不等式的解集為，所以且方程的解為，則，所以，即，所以不等式的解集為．故答案為：．47．【多選】（23-24高二上·山東威?！て谀┮阎P于x的不等式的解集為，則下列選項中正確的是（

）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集為【答案】BD【分析】根據(jù)給定的解集，用表示出，再逐項判斷作答.【詳解】不等式的解集為，則是方程的根，且，則，即，A錯誤；不等式化為，解得，即不等式的解集是，B正確；，C錯誤；不等式化為，即，解得或，所以不等式的解集為，D正確.故選：BD48．（2023·河南·模擬預測）某同學解關于的不等式時，因弄錯了常數(shù)的符號，解得其解集為，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用根與系數(shù)關系、一元二次不等式的解求得的關系式，進而求得不等式的解集.【詳解】由題意可知，且，所以，所以化為，，解得.故選：C49．（23-24高三上·重慶榮昌·階段練習）已知關于不等式的解集為或．(1)求值；(2)當，且滿足時，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，得到和是方程的兩個實數(shù)根，結(jié)合韋達定理列出方程組，即可求解；本號資料全#部來#源于微信公眾號：數(shù)學第六感（2）由（1）得到，化簡，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】（1）解：因為不等式的解集為或，可得和是方程的兩個實數(shù)根，且，則，解得.（2）解：由（1）知，可得，因為，所以，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值為.50．（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解為，那么的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得出a、b、c的關系，代入新的一元二次不等式求解即可.【詳解】一元二次不等式的解為，所以的解為，且，由韋達定理得，代入得，故選：D.51．【多選】（23-24高一上·江蘇南京·期末）已知關于的不等式的解集是，則（

）A．B．C．D．不等式的解集是或【答案】ABD【分析】由一元二次不等式的解和韋達定理逐項判斷即可.【詳解】由題意可知，1，3是方程的兩個根，且，，A：由以上可知，故A正確；B：當時，代入方程可得，故B正確；本號資料*全部來源于微信公眾號：數(shù)學第六感C：因為，不等式的解集是，故將代入不等式左邊為，故C錯誤；D：原不等式可變?yōu)椋?，約分可得，解集為或，故D正確；本號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學第#六感故選：ABD52．（2024·福建南平·二模）關于的實系數(shù)二次不等式的解集為，若，，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】由已知可得是一元二次方程的根，進而可得，可得，可求的最小值.【詳解】因為關于的實系數(shù)二次不等式的解集為，所以是一元二次方程的根，所以，解得，所以，所以，所以當且僅當時取等號.所以的最小值為.故選：C.53．（2022·全國·模擬預測）若關于x的不等式的解集中恰有4個整數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】討論m與2的大小關系，求得不等式的解集，根據(jù)解集中恰有4個整數(shù)，確定m的取值范圍.【詳解】不等式即，當時，不等式解集為，此時要使解集中恰有4個整數(shù)，這四個整數(shù)只能是3,4,5,6，故，當時，不等式解集為，此時不符合題意；當時，不等式解集為，此時要使解集中恰有4個整數(shù)，這四個整數(shù)只能是，故，，故實數(shù)m的取值范圍為，故選：C54．（2022·天津和平·二模）已知不等式的解集中恰有五個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，結(jié)合已知分類討論進行求解即可.【詳解】，當時，原不等式化為，顯然，不符合題意；當時，不等式的解集為，其中解集中必有元素，若五個整數(shù)是時，可得，此時解集為空集，若五個整數(shù)是時，，此時解集為空集，若五個整數(shù)是時，，若五個整數(shù)是時，，此時解集為空集，若五個整數(shù)是時，，此時解集為空集；當時，不等式的解集為，其中解集中必有元素，若五個整數(shù)是時，可得，此時解集為空集，若五個整數(shù)是時，，此時解集為空集，若五個整數(shù)是時，，若五個整數(shù)是時，，此時解集為空集，五個整數(shù)是時，，此時解集為空集，故答案為：.【點睛】關鍵點睛：運用分類討論思想是解題的關鍵.55．（2024·廣東·一模）已知且，則“的解集為”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)一元二次不等式的解及充分條件、必要條件求解.【詳解】由題意，二次不等式的解集為，則等價于，即，即，當時，不能推出，所以“的解集為”是“”的充分不必要條件，故選：A56．（2020·河南鄭州·二模）已知函數(shù)，若關于x的不等式恰有1個整數(shù)解，則實數(shù)a的最大值是（

）A．2 B．3 C．5 D．8【答案】D【分析】畫出函數(shù)的圖象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用數(shù)形結(jié)合即可得出.【詳解】解：函數(shù)，如圖所示當時，，由于關于的不等式恰有1個整數(shù)解因此其整數(shù)解為3，又∴，，則當時，，則不滿足題意；當時，當時，，沒有整數(shù)解當時，，至少有兩個整數(shù)解綜上，實數(shù)的最大值為故選：D【點睛】方法點睛：處理方式主要是：先作出函數(shù)圖象，解含參一元二次不等式（將函數(shù)值整體看作變量），再通過數(shù)形結(jié)合與分類討論思想，討論整數(shù)解出現(xiàn)的情況，此外還需要特別注意端點位置的取舍.57．（23-24高一上·江蘇徐州·階段練習）若關于的不等式的解集為，則的取值范圍是．【答案】【分析】先根據(jù)一元二次不等式的解集得到對稱軸，然后根據(jù)端點得到兩個等式和一個不等式，求出的取值范圍，最后都表示成的形式即可.【詳解】因為不等式的解集為，所以二次函數(shù)的對稱軸為直線，且需滿足，即，解得，所以，所以，所以.故答案為：.【點睛】關鍵點睛：一元二次不等式的解決關鍵是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，求出對稱軸和端點的值，繼而用同一個變量來表示求解.考點10一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立問題58．（19-20高二上·安徽·階段練習）若命題：“，使”是假命題，則實數(shù)m的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)特稱命題的否定，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【詳解】由題意可知：命題：，.是真命題，①當時，結(jié)論顯然成立；②當時，則，解得；故答案為：.59．（24-25高一上·上?！るS堂練習）若關于x的不等式的解集為R，則實數(shù)k的取值范圍為．【答案】【分析】分和兩種情況討論即可.【詳解】①時，，原不等式可化為，解集為R成立；②時，解得，綜上，，即實數(shù)k的取值范圍為.故答案為：.60．（24-25高一上·上?！卧獪y試）不等式對恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】分和兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析討論即可得解.【詳解】當，即時，恒成立，當時，因為對恒成立，所以，解得，綜上，，即實數(shù)a的取值范圍為.故選：C61．（24-25高一上·上海·期中）關于x的一元二次不等式的解集為空集，則實數(shù)m的取值范圍為．【答案】【分析】利用判別式法求解.【詳解】解：因為關于x的一元二次不等式的解集為空集，所以，對恒成立，所以，解得，所以實數(shù)m的取值范圍為，故答案為：62．（23-24高一上·安徽淮北·階段練習）下列條件中，為“關于x的不等式對恒成立”的充分不必要條件的有（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出關于x的不等式對恒成立的充要條件，然后根據(jù)充分不必要條件的定義即可求解.【詳解】若關于x的不等式對恒成立，本號資料全部來源于微*信公*眾號：數(shù)學第六感當時，不等式等價于恒成立，故滿足要求，當時，原不等式恒成立當且僅當，解得，綜上所述，若關于x的不等式對恒成立，則當且僅當，而選項中只有是的充分不必要條件.故選：B.63．（2024高三·全國·專題練習）已知二次函數(shù)（，為實數(shù)）(1)若函數(shù)圖象過點，對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)圖象過點，對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知可得，由，恒成立列出不等式求解即得.（2）由對恒成立，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)求出答案即可.【詳解】（1）依題意，，即，由，恒成立，得，即，整理得，解得.所以實數(shù)的取值范圍是.（2）由（1）知，，由，得，即，依題意，對恒成立，令，則對，恒成立，于是，解得，所以實數(shù)的取值范圍是．考點11一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題64．（22-23高三下·黑龍江哈爾濱·開學考試）對任意的，不等式都成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分離參數(shù)得對任意的恒成立，則求出即可.【詳解】因為對任意的，都有恒成立，∴對任意的恒成立．設，，，當，即時，，∴實數(shù)a的取值范圍是.故選：D.65．（23-24高三上·河北邢臺·階段練習）已知函數(shù)，且.(1)求a的值；(2)當時，恒成立，求m的取值范圍.本#號資料全部來源于微信*公眾號：數(shù)學第六感【答案】(1)1(2)【分析】（1）根據(jù)，即可由對數(shù)運算代入求解.（2）根據(jù)一元二次不等式與二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）因為，所以,因為，所以，則.（2）由（1）可知，等價于.令，則，原不等式等價于在上恒成立，則，解得，故m的取值范圍為.66．【多選】（23-24高一上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期末）命題“”是真命題的一個充分不必要條件是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】先將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題求出的范圍，然后利用充分不必要條件的概念選擇答案.【詳解】，則對都成立，又，所以，觀察選項可得命題“”是真命題的一個充分不必要條件是BCD.故選：BCD.67．（2024·遼寧·三模）若“，使”是假命題，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為“在上恒成立”，再利用對勾函數(shù)的單調(diào)性求得最值，從而得解.【詳解】因為“，使”是假命題，所以“，”為真命題，其等價于在上恒成立，又因為對勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.68．（2023·陜西咸陽·模擬預測）已知命題：任意，使為真命題，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設，由題意可得任意，恒成立，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)列不等式求的取值范圍.【詳解】設，則，原命題等價于：任意，使為真命題，所以，其中設，則函數(shù)，的最大值為與中的較大者，所以，∴，解得，故選：C.69．【多選】（23-24高一上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習）設函數(shù)的定義域為，滿足，當時，，若對于任意的，都有，則實數(shù)的取值可以是（

）A．3 B． C． D．6【答案】AB【分析】根據(jù)，且當時，，作出函數(shù)的部分圖象，結(jié)合圖象即可求出實數(shù)的取值范圍，從而得出結(jié)論.【詳解】由函數(shù)的定義域為，滿足，當時，可得，當時，，，當時，，；作出函數(shù)的部分圖象如下圖所示：由類周期函數(shù)性質(zhì)可知，當時，恒成立；解方程可得或；又因為對于任意的，都有，利用圖象可知，因此選項AB符合題意.故選：AB70．（2024·陜西西安·模擬預測）當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】.【分析】根據(jù)題意分離參數(shù)，進而構(gòu)造函數(shù)求定區(qū)間的最值即可.【詳解】當時，不等式恒成立，所以當時，恒成立，則，令，則在單調(diào)遞增，所以，所以.故答案為：.71．（2024·陜西榆林·三模）已知，若當時，關于的不等式恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，易得的對稱軸為，則，進而可得出答案.【詳解】令，由題意可得，則，又因為，所以，函數(shù)的對稱軸為，則，即，即，結(jié)合，解得.故選：A.72．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，若對任意，則所有滿足條件的有序數(shù)對是．【答案】【分析】由題意可得，然后利用不等式的性質(zhì)對不等式組變形可求得結(jié)果.【詳解】因為對任意，所以必須滿足，即，由，得，解得，①，再由，得，解得，②，由①②得，所以，即，解得，經(jīng)檢驗，當，時，，則的最大值為，的最小值為，滿足任意，所以滿足條件的有序數(shù)對只有一對，故答案為：.考點12一元二次不等式在某區(qū)間上有解問題73．（22-23高二上·河南·開學考試）設a為實數(shù)，若關于x的不等式在區(qū)間上有實數(shù)解，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】參變分離，再根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合能成立問題求最值即可.【詳解】由題意，因為，故在區(qū)間上有實數(shù)解，則，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，故.故在區(qū)間上有實數(shù)解則.故選：A74．（2022·陜西寶雞·模擬預測）若存在實數(shù)，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分別在、和的情況下，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)討論得到結(jié)果.本號資料全部來源于微信公眾號*：數(shù)學第六感【詳解】①當時，不等式化為，解得：，符合題意；②當時，為開口方向向上的二次函數(shù)，只需，即；③當時，為開口方向向下的二次函數(shù)，則必存在實數(shù)，使得成立；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.故選：C.75．（2021·江蘇·二模）已知函數(shù).若存在使得不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，可判斷為奇函數(shù)且在遞增，由得，所以成立，分離參數(shù)利用最值求解即可．【詳解】解：，令，則又因為在遞增，所以，得則，所以又，使得，易知：，所以，故選：C．方法點睛：已知不等式能恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問題常用的方法：（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域或最值問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．76．（2022·四川雅安·模擬預測）已知關于的方程在上有實數(shù)根，且滿足，則的最大值是.【答案】2【分析】由題得，將代入，分離參數(shù)得，結(jié)合換元法和對勾函數(shù)性質(zhì)即可求解.【詳解】由可得，，整理得，令，因為，所以，不等式等價于，即，結(jié)合對勾函數(shù)性質(zhì)可知，（時取到），（時取到），所以，則的最大值是2.故答案為：277．（2023·河南·模擬預測）已知命題“，”為真命題，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題知時，，再根據(jù)二次函數(shù)求最值即可得答案.【詳解】解：因為命題“，”為真命題，所以，命題“，”為真命題，所以，時，，因為，，所以，當時，，當且僅當時取得等號.所以，時，，即實數(shù)的取值范圍是故選：C78．（2023·四川成都·模擬預測）若不等式在上有解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得在區(qū)間上有解，求出在區(qū)間上的最小值，即可得出實數(shù)的取值范圍．【詳解】因為關于的不等式在區(qū)間上有解，所以在區(qū)間上有解，設，，其中在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以有最小值為，所以實數(shù)的取值范圍是．故選：C．79．（18-19高二上·山東濰坊·階段練習）若兩個正實數(shù)x，y滿足，且不等式有解，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用均值不等式求出最小值，根據(jù)題意列不等式求解即可.【詳解】，要使得不等式有解，只需有解即可，解得或者，故選：D考點13一元二次方程根的分布問題80．（20-21高一上·浙江杭州·階段練習）關于x方程在內(nèi)恰有一解，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】討論，方程根的情況，結(jié)合根的分布列不等式，即可求的范圍.【詳解】當時，，不合題意；∴，令，有，，要使在內(nèi)恰有一個零點，∴即可，則，故選：B【點睛】本題考查了由一元二次方程根的分布求參數(shù)范圍，應用了分類討論的方法，屬于基礎題.81．（23-24高一上·天津南開·期中）已知函數(shù)．(1)不等式的解集為，求的取值范圍；(2)若函數(shù)的兩個零點在區(qū)間內(nèi)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）依題意可得恒成立，分、兩種情況討論；（2）分、兩種情況討論，結(jié)合二次方程根的分布得到方程組，解得即可.本號資料全部來源于微信公眾號：#數(shù)*學第六感【詳解】（1）因為不等式的解集為，所以恒成立，當，即時，則，解得，顯然不符合題意；當時，則需滿足，解得，即的取值范圍為（2）若函數(shù)的兩個零點在區(qū)間內(nèi)，顯然，當，則需滿足，即，解得，當，則需滿足，即，解得，綜上可得.82．（22-23高一上·湖南長沙·開學考試）若一元二次方程的兩個根都大于2，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】【分析】利用一元二次方程根的分布與系數(shù)的關系，二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】因為一元二次方程的兩個根都大于2，令，所以，解得，故實數(shù)a的取值范圍為83．（23-24高一上·重慶·期末）關于x的一元二次方程有一個根小于，另一個根大于1，則a的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像特征，滿足，即得a的取值范圍.【詳解】設，開口向上，由題意知，即，解得，所以．故答案為：．84．（23-24高二下·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期末）關于的方程滿足下列條件，求的取值范圍.(1)有兩個正根；(2)一個根大于1，一個根小于1；(3)一個根在內(nèi)，另一個根在內(nèi)；【答案】(1)；(2)(3).【分析】（1）根據(jù)韋達定理和根的判別式得到不等式，求出；（2）令，設的兩個根為，，故只需，求出答案；（3）根據(jù)方程一個根在內(nèi)，另一個根在內(nèi)，得到不等式，求出答案.【詳解】（1）令，設的兩個根為.由題得，解得.（2）令，設的兩個根為.若方程的一個根大于1，一個根小于1，由于，開口向上，故只需，解得.（3）令，設的兩個根為.若方程一個根在內(nèi)，另一個根在內(nèi)，結(jié)合開口向上，則，解得.85．（21-22高一上·遼寧沈陽·期中）已知關于x的方程有兩個正根，那么兩個根的倒數(shù)和最小值是（

）A．-2 B． C． D．1【答案】B【分析】由判別式可解得，由根與系數(shù)關系可得，由的范圍結(jié)合不等式的性質(zhì)變形可得答案．【詳解】由題意可得，解得或，設兩個為，，由兩根為正根可得，解得，綜上知，.故兩個根的倒數(shù)和為，，，，故，，故兩個根的倒數(shù)和的最小值是.故選：B86．（2022·安徽·模擬預測）在區(qū)間上任取兩個實數(shù)a，b，則方程有兩個不同的非負根的概率為（

）本號資料全部來源于微信*公眾號：數(shù)學第六感A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)方程有兩個不同的非負根，可得，在平面直角坐標系作出可行域，結(jié)合圖象，根據(jù)幾何概型即可得解.【詳解】解：因為方程有兩個不同的非負根，所以，則，如圖，作出不等式組所表示得平面區(qū)域為，在區(qū)間上任取兩個實數(shù)a，b，所表示得平面區(qū)域為正方形，，所以方程有兩個不同的非負根的概率為.故選：B.考點14一元二次不等式的實際應用87．（2022·上海·模擬預測）有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后超過100人患了流感，若設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，那么x滿足的不等關系為（

）A．x（1+x）≥100 B．1+x（1+x）＞100C．x+x（1+x）≥100 D．1+x+x（1+x）＞100【答案】D【分析】先求出第一輪后患了流感的人數(shù)，進一步求出經(jīng)過第二輪后患了流感的人數(shù).【詳解】若每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，則經(jīng)過第一輪后有（1+x）個人患了流感，經(jīng)過第二輪后有[（1+x）+x（1+x）]個人患了流感，∴x滿足的不等關系為（1+x）+x（1+x）＞100.故選：D．88．（2024高三·全國·專題練習）在鄉(xiāng)村振興的道路上，某地干部在幫扶走訪中得知某農(nóng)戶的實際情況后，為他家量身定制了致富計劃，政府無息貸款萬元給該農(nóng)戶養(yǎng)羊，每萬元可創(chuàng)造利潤萬元.進行技術指導后，養(yǎng)羊的投資減少了萬元，且每萬元創(chuàng)造的利潤變?yōu)樵瓉淼谋?現(xiàn)將養(yǎng)羊少投資的萬元全部投資網(wǎng)店，進行農(nóng)產(chǎn)品銷售，則每萬元創(chuàng)造的利潤為萬元，其中.(1)若進行技術指導后養(yǎng)羊的利潤不低于原來養(yǎng)羊的利潤，求的取值范圍;(2)若網(wǎng)店銷售的利潤始終不高于技術指導后養(yǎng)羊的利潤，求的最大值.【答案】(1).(2).【分析】（1）由題意，求解，又，解出的取值范圍.（2）由題意知網(wǎng)店銷售的利潤，養(yǎng)羊的利潤，得到恒成立，化簡利用基本不等式求得最值.【詳解】（1）由題意，得，整理得，解得，又，所以，故x的取值范圍為.（2）由題意知網(wǎng)店銷售的利潤為萬元，技術指導后，養(yǎng)羊的利潤為萬元，則恒成立.又，則恒成立.又，當且僅當時，等號成立，，即的最大值為6.5.89．（23-24高二上·山東泰安·階段練習）第一機床廠投資生產(chǎn)線500萬元，每萬元可創(chuàng)造利潤1.5萬元．該廠通過引進先進技術，在生產(chǎn)線的投資減少了萬元，且每萬元創(chuàng)造的利潤變?yōu)樵瓉淼谋叮F(xiàn)將在生產(chǎn)線少投資萬元全部投入生產(chǎn)線，且每萬元創(chuàng)造的利潤為萬元，其中．（1）若技術改進后生產(chǎn)線的利潤不低于原來生產(chǎn)線的利潤，求的取值范圍；（2）若生產(chǎn)線的利潤始終不高于技術改進后生產(chǎn)線的利潤，求的最大值．本號#資料全部來源于微#信公眾號：數(shù)學第六感【答案】（1）；（2）5.5．【分析】（1）由題意，生產(chǎn)線原利潤、改進后利潤分別為萬元，萬元，根據(jù)它們的不等關系即可求的取值范圍；（2）生產(chǎn)線的利潤為萬元，根據(jù)已知不等關系結(jié)合（1）有恒成立，應用基本不等式求的最大值.【詳解】解:（1）由題意，得，整理得，解得，又，故．（2）由題意知，生產(chǎn)線的利潤為萬元，技術改進后，生產(chǎn)線的利潤為萬元，則恒成立，又，∴恒成立，又，當且僅當時等號成立，∴，即的最大值為5.5．【點睛】本題考查了不等式的實