冪函數(shù)與二次函數(shù)方程與不等式（老師版）

更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)冪函數(shù)與二次函數(shù)，方程與不等式近4年考情（2020-2024）考題統(tǒng)計考點分析考點要求2020年天津卷第3題，5分從近五年全國卷的考查情況來看，本節(jié)內(nèi)容很少單獨命題，冪函數(shù)要求相對較低,常與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)綜合，比較冪值的大小，多以選擇題、填空題出現(xiàn).（1）冪函數(shù)的定義、圖像與性質(zhì)（2）三個二次之間的關(guān)系2020年江蘇卷第7題，5分2024年天津卷：第2題，5分2024年上海卷：第3題，5分模塊一模塊一總覽熱點題型解讀（目錄）TOC\o"1-3"\n\h\z\u【題型1】冪函數(shù)的定義及圖像【題型2】由冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小【題型3】冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用【題型4】三個“二次”關(guān)系的應(yīng)用【題型5】由一元二次不等式的解集求參數(shù)【題型6】解含參一元二次不等式【題型7】二次函數(shù)的圖象、單調(diào)性與最值【題型8】含參一元二次不等式恒成立問題（1）：判別式法【題型9】含參一元二次不等式恒成立問題（2）：參變分離法【題型10】含參一元二次不等式恒成立問題（3）：變更主元法解【題型11】一元二次不等式能成立問題（不等式有解）【題型12】一元二次方程根的分布模塊二模塊二核心題型·舉一反三【題型1】冪函數(shù)的定義及圖像1.冪函數(shù)的解析式冪函數(shù)的形式是(∈R)，其中只有一個參數(shù)，因此只需一個條件即可確定其解析式.2.冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)在區(qū)間(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”),在區(qū)間(1,+)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠離x軸.（多選題）（2024·新疆喀什·一模）若函數(shù)是冪函數(shù)，則實數(shù)m的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】是冪函數(shù)，則，解得或.【鞏固練習(xí)1】（2024·山東日照·二模）已知冪函數(shù)圖象過點，則函數(shù)的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)冪函數(shù)的解析式為，由于函數(shù)過點，故，解得，該冪函數(shù)的解析式為；故選：B【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)為冪函數(shù)，則（

）A．0 B． C． D．【答案】A【解析】由題意有，可得，其定義域為R，且，則函數(shù)為奇函數(shù)，所以.【題型2】由冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小在比較冪值的大小時，必須結(jié)合冪值的特點，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較，準(zhǔn)確掌握各個冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，而，所以a，b，c的大小關(guān)系為.【鞏固練習(xí)1】設(shè)，則大小關(guān)系是.【答案】【解析】因為在單調(diào)增，所以，即，因為在單調(diào)減，所以，即綜上，.【鞏固練習(xí)2】（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）已知冪函數(shù)f(x)=(m?1)xn的圖象過點(m,8)．設(shè)a=f20.3，b=f0.32，c=flog20.3A．b<c<a B．a(chǎn)<c<bC．a(chǎn)<b<c D．c<b<a【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義求出函數(shù)f(x)解析式，再利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小而得解.【解析】因冪函數(shù)f(x)=m?1xn的圖象過點m,8，則m?1=1于是得m=2，n=3，函數(shù)f(x)=x3，函數(shù)f(x)是而log20.3<0<0.3所以c<b<a.【鞏固練習(xí)3】（2024·河北衡水·三模）已知，，，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得或，由，得，由，得，∴當(dāng)，，同時成立時，取交集得【題型3】冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用緊扣冪函數(shù)的定義、圖像、性質(zhì)，特別注意它的單調(diào)性在不等式中的作用，這里注意為奇數(shù)時，為奇函數(shù)，為偶數(shù)時，為偶函數(shù).已知冪函數(shù)fx=xmnm,n∈ZA．m=?3,n=1 B．m=1,n=2C．m=2,n=3 D．m=1,n=3本號資料全部來源于微#信公眾號*：數(shù)學(xué)第六感【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合充分條件的定義進行判斷即可.【解析】當(dāng)m=?3,n=1時，fx因為函數(shù)fx=1x3所以fx當(dāng)m=1,n=2時，fx=x12所以fx當(dāng)m=2,n=3時，fx=x32所以fx當(dāng)m=1,n=3時，fx=x13所以fx【鞏固練習(xí)1】已知.若冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在上遞減，則.【答案】【解析】因為冪函數(shù)在上遞減，所以，又冪函數(shù)為奇函數(shù)，可知為奇數(shù)，即.【鞏固練習(xí)2】已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，下面給出的四個結(jié)論：①；②為奇函數(shù)；③在R上單調(diào)遞增；④，其中所有正確命題的序號為（

）A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③【答案】B【解析】對于①：由冪函數(shù)的定義可知，解得，將點代入函數(shù)得，解得，所以，故①錯誤；對于②：因為定義域為R，且，所以為奇函數(shù)，故②正確；對于③：由冪函數(shù)的圖象可知，在R上單調(diào)遞增，故③正確；對于④：因為，且在R上單調(diào)遞增，所以，故④錯誤，綜上可知，②③正確，①④錯誤.【鞏固練習(xí)3】（山東菏澤·三模）已知函數(shù)fx=x3+a?2xA．?2,4 B．?3,5 C．?52,2【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出參數(shù)a、b、c的值，從而得到函數(shù)解析式與定義域，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性與奇偶性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.【解析】因為函數(shù)fx=x所以?2c?1+c+3=0，解得c=2，又f?x即?x所以2a?2x2+2b=0，解得所以fx=x由y=x3與y=2x在定義域?5,5上單調(diào)遞增，所以fx則不等式f(2x+1)+fa+b+c>0，即f2x+1所以2x+1>?4?5≤2x+1≤5，解得?52【題型4】三個“二次”關(guān)系的應(yīng)用二次函數(shù)的圖象、一元二次方程的根與一元二次不等式與的解集的關(guān)系，可歸納為：若a<0時，可以先將二次項系數(shù)化為正數(shù)，對照上表求解．通過以上論述，可對“三個二次”的關(guān)系有一個較為全面的了解，在解題中，我們要不失時機的滲透“三個二次”三位一體的思維意識，實現(xiàn)“三個二次”之間的相互轉(zhuǎn)換，能自然規(guī)范的運用函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、等價轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想，提高數(shù)學(xué)解題思維水平。知識點詮釋：（1）一元二次方程的兩根是相應(yīng)的不等式的解集的端點的取值，是拋物線與軸的交點的橫坐標(biāo)；（2）表中不等式的二次系數(shù)均為正，如果不等式的二次項系數(shù)為負，應(yīng)先利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為正的形式，然后討論解決；（3）解集分三種情況，得到一元二次不等式與的解集．（2020·山東·高考真題）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖所示，則不等式aA．?2,1 B．?∞,?2∪1,+∞ C．?2,1 【分析】本題可根據(jù)圖像得出結(jié)果.【解析】結(jié)合圖像易知，不等式ax2【鞏固練習(xí)1】不等式的解集為，則函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】因為的解集為，所以方程的兩根分別為和1，且，則變形可得故函數(shù)的圖象開口向下，且與x軸的交點坐標(biāo)為和，故A選項的圖象符合.故選：A【鞏固練習(xí)2】關(guān)于x的不等式的解集為，且，則a=（）A． B． C． D．【分析】看問題：求實數(shù)a的值．（屬于求值問題）想方法：尋找等量關(guān)系建立關(guān)于所求量的方程，利用方程思想求解，看條件：的解集為，且，定措施：由題意知是方程的兩根，根據(jù)韋達定理及建關(guān)于a方程去求值?！敬鸢浮緼【解析】因為關(guān)于x的不等式的解集為，所以，又，所以，本#號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感解得，因為，所以.【題型5】由一元二次不等式的解集求參數(shù)本號資料#全部來源#于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感先判斷開口方向，再結(jié)合圖像，通過韋達定理列出參數(shù)相關(guān)的方程組已知關(guān)于x的一元二次不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A．或 B．或C． D．【答案】D【解析】因為關(guān)于x的一元二次不等式的解集為，所以且方程的解為，所以，所以，則不等式，即為不等式，則，解得，所以不等式的解集為.故選：D.（多選題）（2024·高一·江蘇·專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式的解集為或，則下列說法正確的是（

）A．B．不等式的解集為C．不等式的解集為D．【答案】AC【解析】關(guān)于的不等式的解集為，本號資料全部來源于微*信公*眾號：數(shù)學(xué)第六感所以二次函數(shù)的開口方向向上，即，故A正確；且方程的兩根為、4，由韋達定理得，解得.對于B，，由于，所以，所以不等式的解集為，故B不正確；對于C，因為，所以，即，所以，解得或，所以不等式的解集為，故C正確；對于D，，故D不正確.【鞏固練習(xí)1】（多選題）（2024·高一·湖南株洲·期中）已知不等式的解集為或，則下列結(jié)論正確的是（

）本#號資料全部來源于#微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感A．B．C．D．的解集為【答案】ABD【解析】因為不等式的解集為或，則，是方程的兩根，則，解得，故A正確，C錯誤；因為，故B正確；不等式可以化簡為，解得，故D正確；故選：ABD【鞏固練習(xí)2】（多選題）（2024·高一·山東聊城·期末）不等式的解集是，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】因為不等式的解集是，可得，且，所以，所以，所以A、C正確，D錯誤．因為二次函數(shù)的兩個零點為，且圖像開口向下，所以當(dāng)時，，所以B正確．【題型6】解含參一元二次不等式對于含參數(shù)的一元二次不等式，一般不會單獨考察，往往和導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性一起考察解法：若二次項系數(shù)為常數(shù)，則可先考慮分解因式，再對參數(shù)進行討論；若不易分解因式，則可對判別式分類討論，分類要不重不漏解關(guān)于的不等式：.【解析】不等式，即，當(dāng)時，原不等式即，解得，即不等式的解集為；當(dāng)時，解得或，即不等式的解集為或；當(dāng)時，解得或，即不等式的解集為或；綜上可得：當(dāng)時不等式的解集為，當(dāng)時不等式的解集為或，當(dāng)時不等式的解集為或.解關(guān)于x的不等式.【答案】答案見解析【解析】由題意可知，可化為（1）當(dāng)時，不等式化為，解得，（2）當(dāng)時，不等式化為，解得，（3）當(dāng)時，不等式化為，解得或，（4）當(dāng)時，不等式化為，解得，（5）當(dāng)時，不等式化為，解得或，綜上所述，時，不等式的解集為時，不等式的解集為；時，不等式的解集為；時，不等式的解集為；時，不等式的解集為;【鞏固練習(xí)1】解不等式【解析】即，當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為.【鞏固練習(xí)2】當(dāng)時，解關(guān)于的不等式.【解析】當(dāng)時，代入不等式可得，解得；當(dāng)時，化簡不等式可得即，由得不等式的解為，當(dāng)時，化簡不等式可得即，由得不等式的解為或，綜上可知，當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為或.【題型7】二次函數(shù)的圖象、單調(diào)性與最值解決二次函數(shù)的圖象、單調(diào)性與最值常用的方法是數(shù)形結(jié)合.已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線，因為函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則，解得.本號資料全部來源于#微信公眾號：*數(shù)學(xué)第六感因此，實數(shù)的取值范圍是.【鞏固練習(xí)1】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，令，即或，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)知：在上遞減，在上遞增本號資料全部來源于微信公眾#號：數(shù)學(xué)第六#感又在定義域上遞增，故的單調(diào)遞增區(qū)間為.【鞏固練習(xí)2】函數(shù)在上單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，則或或或解得或，即實數(shù)m得取值范圍為.【鞏固練習(xí)3】若函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】【解析】令，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，作出函數(shù)的大致圖象，由于函數(shù)在區(qū)間上有最大值，結(jié)合圖象，由題意可得，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是【題型8】含參一元二次不等式恒成立問題（1）：判別式法一元二次不等式在R上的恒成立問題與恒成立問題有關(guān)的詞有：“任意”、“全體實數(shù)”、“都”、“一切實數(shù)”等.方法是通過二次函數(shù)的圖像來理解.1.若ax2+bx+c>0恒成立，則a>0，Δ<0；本號資料*全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感2.若ax2+bx+c<0恒成立，則a<0，Δ<0；3.若ax2+bx+c≠0恒成立，則Δ<0.（多選），關(guān)于的不等式恒成立的一個必要不充分條件是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由，關(guān)于的不等式恒成立得，求得的取值范圍，然后根據(jù)充分條件與必要條件的概念判斷即可得出答案．【詳解】，關(guān)于的不等式恒成立，則，解得．對于A，因為，符合題意，故A正確；對于B，是充要條件，故B錯誤；對于C，因為，符合題意，故C正確；對于D，因為當(dāng)時，不一定成立，不符合題意，故D錯誤【鞏固練習(xí)1】若關(guān)于x的不等式對恒成立，則a的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)含參一元不等式恒成立對分類討論即可得a的取值集合．【詳解】當(dāng)時，不等式化為對恒成立；當(dāng)，要使得不等式對恒成立，則，解得綜上，a的取值集合為【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)，若對任意實數(shù)x，函數(shù)值恒小于0，則a的取值范圍是________【答案】【分析】根據(jù)給定條件，分段討論，再結(jié)合二次函數(shù)的圖象性質(zhì)列式求解作答.【詳解】當(dāng)時，恒成立，則；當(dāng)時，依題意，二次函數(shù)的圖象總在x軸下方，于是，解得，則【題型9】含參一元二次不等式恒成立問題（2）：參變分離法含參一元二次不等式在區(qū)間上的恒成立問題一般通過分離參數(shù)將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題參變分離法：如果能夠?qū)?shù)分離出來,建立起明確的參數(shù)和變量x的關(guān)系,，使得，等價于，，使得，等價于當(dāng)時，關(guān)于x的不等式恒成立，則的取值范圍是．【答案】【分析】參變分離得，再利用基本不等式求的最小值即可得答案．【詳解】關(guān)于x的不等式恒成立即，時恒成立，，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，．【鞏固練習(xí)1】若不等式在上有解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】將不等式在上有解，轉(zhuǎn)化為不等式在上有解求解.【詳解】因為不等式在上有解，所以不等式在上有解，令，則，所以，所以實數(shù)的取值范圍是【鞏固練習(xí)2】若不等式在時不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為________；若不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為________.【答案】,【解析】首先分離參數(shù)可得，然后結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)求得，從而可確定的取值范圍．【詳解】（1）因為不等式，所以在區(qū)間上恒成立，，當(dāng)x=1時取等號，故（2）不等式對一切恒成立，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，所以故實數(shù)的取值范圍是．【題型10】含參一元二次不等式恒成立問題（3）：變更主元法解變更主元：在有幾個變量的問題中,常常有一個變量處于主要地位,我們稱之為主元。在解含有參數(shù)的不等式時,有時若能換一個角度,變參數(shù)為主元,則可以得到意想不到的效果。本號資料#全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六*感已知時，不等式恒成立，則x的取值范圍為．【答案】【分析】由題意構(gòu)造函數(shù)關(guān)于a的函數(shù)，則可得，從而可求出x的取值范圍．本號資料全部來源于微信公眾號：*數(shù)學(xué)第六感【詳解】由題意，因為當(dāng)，不等式恒成立，可轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的函數(shù)，則對任意恒成立，則滿足，解得，即x的取值范圍為【鞏固練習(xí)1】若不等式對任意恒成立，實數(shù)x的取值范圍是．【答案】【分析】把題意轉(zhuǎn)化為，設(shè)，由一次函數(shù)的單調(diào)性列不等式組，即可求解．【詳解】可轉(zhuǎn)化為．設(shè)，則是關(guān)于m的一次型函數(shù)．要使恒成立，只需，解得．【鞏固練習(xí)2】函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是．【答案】【分析】采用變換主元的策略，看作關(guān)于的一次函數(shù)，利用端點函數(shù)值不小于0建立不等式組求解即可．【詳解】令，當(dāng)時，恒成立，只需即解得或．所以實數(shù)x的取值范圍是．故答案為：【題型11】一元二次不等式能成立問題（不等式有解）一元二次不等式有解問題一般可以結(jié)合函數(shù)圖像通過分析開口方向以及判別式正負來確定參數(shù)范圍已知命題“，”是假命題，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．答案：A【分析】先求出命題為真時實數(shù)的取值范圍，即可求出命題為假時實數(shù)的取值范圍.【詳解】若“，”是真命題，即判別式，解得：，所以命題“，”是假命題，則實數(shù)的取值范圍為：.【鞏固練習(xí)1】若不等式在上有解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】將不等式在上有解，轉(zhuǎn)化為不等式在上有解求解.【詳解】因為不等式在上有解，所以不等式在上有解，令，則，所以，所以實數(shù)的取值范圍是【鞏固練習(xí)2】已知命題：“，使得成立”是真命題，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】利用分離參數(shù)法得，只需求出不等式右邊的最大值即可．【詳解】，，設(shè)，對稱軸為，在上單調(diào)遞增，故，即，，，使得成立，，，，故【題型12】一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布問題，原理簡單，難點在于要有清晰的分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想.一般考慮以下幾方面：開口（若不能判定，則需分類討論，特別要注意二次項系數(shù)有可能等于零的情況

）.判定給定點處函數(shù)值的正負.（開口向上的二次函數(shù)若存在函數(shù)值小于零，則△＞0

恒成立）判定△符號.判定對稱軸的位置.

總之，耐心去分類討論（分類討論不容易失誤，一步到位往往會漏解或多解），借助圖象去分析就可以得到結(jié)論，無需記憶.（1）二元二次方程在上根的分布情況本#號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感①方程有兩個不等的實數(shù)根;②方程有兩個相等的實數(shù)根;③方程沒有實數(shù)根（2）一元二次方程的根的“0”分布①方程有兩個不等正根；②方程有兩個不等負根③方程有一正根和一負根,設(shè)兩根為（3）一元二次方程的根的“”分布①兩根都小于； ②兩根都大于 ③一根小于，一根大于 （4）一元二次方程根在區(qū)間的分布①兩根都在內(nèi) ②兩根都在外 ③兩根僅有一根在內(nèi) ④一根在內(nèi),另一根在內(nèi) 類型一：類型一：根的“0”分布關(guān)于x的方程至少有一個負實根，求的取值范圍．【解析】①當(dāng)時，解得，滿足條件；②當(dāng)時，顯然方程沒有零根，由，得設(shè)方程的兩個實數(shù)根為若方程有兩異號實根，則，解得；若方程有兩個負的實根，則，解得．綜上，若方程至少有一個負的實根，則．【鞏固練習(xí)】已知二次方程2m+1x2?2mx+解析方法一：當(dāng)2m+1>0時，若要滿足題意，