7.2.1復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算及其幾何意義課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

第七章復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義人教A版

數(shù)學(xué)

必修第二冊(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.掌握復(fù)數(shù)的加法、減法運(yùn)算法則.2.了解復(fù)數(shù)加法、減法運(yùn)算的幾何意義.3.能夠利用復(fù)數(shù)的加法、減法運(yùn)算法則及幾何意義解決問(wèn)題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)1

復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算1.復(fù)數(shù)加法、減法的運(yùn)算法則設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù),則有:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=

;

z1-z2=(a+bi)-(c+di)=

.

2.復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律設(shè)z1,z2,z3∈C,則有:交換律:z1+z2=

;

結(jié)合律:(z1+z2)+z3=

.

(a+c)+(b+d)i(a-c)+(b-d)iz2+z1z1+(z2+z3)過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫(huà)√,錯(cuò)誤的畫(huà)×)(1)兩個(gè)復(fù)數(shù)進(jìn)行加法或減法運(yùn)算后結(jié)果可能是實(shí)數(shù).(

)(2)實(shí)數(shù)加法的運(yùn)算律在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)仍適用.(

)(3)復(fù)數(shù)z1-z2=z1+.(

)2.(1)若z1=-2+4i,z2=3-2i,則z1+z2=

.

(2)[蘇教版教材例題](1-3i)-(2+5i)+(-4+9i)=

.

√√×1+2i-5+i解析

(1)z1+z2=(-2+4i)+(3-2i)=1+2i.(2)原式=(1-2-4)+(-3-5+9)i=-5+i.知識(shí)點(diǎn)2

復(fù)數(shù)加法、減法的幾何意義

過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫(huà)√,錯(cuò)誤的畫(huà)×)(1)兩個(gè)復(fù)數(shù)的和對(duì)應(yīng)的向量即為這兩個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)向量的和.(

)(2)兩個(gè)復(fù)數(shù)的差對(duì)應(yīng)的向量即為這兩個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)向量的差.(

)2.兩個(gè)復(fù)數(shù)的差的模的幾何意義是什么?√√提示

根據(jù)復(fù)數(shù)減法的幾何意義易知兩個(gè)復(fù)數(shù)的差的模即為這兩個(gè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算【例1】

(1)計(jì)算(2+4i)+(3-4i);(2)計(jì)算(-3-4i)+(2+i)-(1-5i);(3)已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z+1-3i=5-2i,求z.解

(1)原式=(2+3)+(4-4)i=5.(2)原式=(-3+2-1)+(-4+1+5)i=-2+2i.(3)(方法一)設(shè)z=x+yi(x,y∈R),因?yàn)閦+1-3i=5-2i,所以x+yi+(1-3i)=5-2i,即x+1=5且y-3=-2,解得x=4,y=1,所以z=4+i.(方法二)因?yàn)閦+1-3i=5-2i,所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i.規(guī)律方法

復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的方法技巧(1)可把復(fù)數(shù)運(yùn)算類(lèi)比實(shí)數(shù)運(yùn)算,若有括號(hào),先計(jì)算括號(hào)里面的;若沒(méi)有括號(hào),可以從左到右依次進(jìn)行.(2)當(dāng)利用交換律、結(jié)合律抵消掉某些項(xiàng)的實(shí)部或虛部時(shí),可以利用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算,注意正負(fù)號(hào)法則與實(shí)數(shù)相同,不能弄錯(cuò).變式訓(xùn)練1(1)計(jì)算(-4-6i)-(3+2i)+(5+4i)=

.

-2-4i解析

(-4-6i)-(3+2i)+(5+4i)=(-4-3+5)+(-6-2+4)i=-2-4i.(2)設(shè)m∈R,復(fù)數(shù)

+(m-15)i,z2=-2+m(m-3)i,若z1+z2是虛數(shù),求m的取值范圍.

∵z1+z2是虛數(shù),∴m2-2m-15≠0,且m+2≠0.∴m≠5,且m≠-3,且m≠-2,m∈R,即m的取值范圍為(-∞,-3)∪(-3,-2)∪(-2,5)∪(5,+∞).探究點(diǎn)二復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義規(guī)律方法

用復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義解題的策略向量加法、減法運(yùn)算的平行四邊形法則和三角形法則是復(fù)數(shù)加法、減法幾何意義的依據(jù).利用向量加法“首尾相接”和向量減法“指向被減向量”的特點(diǎn),在三角形內(nèi)可求得第三個(gè)向量及其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).注意向量

對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是zB-zA(終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)減去起點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)).變式訓(xùn)練2如圖所示,平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O,A,C分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)0,3+2i,-2+4i.求:探究點(diǎn)三復(fù)數(shù)模的最值(或范圍)問(wèn)題【例3】

(1)[2023河南開(kāi)封月考]設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),1≤|z|≤2,則|z+1|的取值范圍是

.

[0,3]解析

由復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義可知,1≤|z|≤2表示如圖所示的圓環(huán),而|z+1|表示復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A(a,b)與復(fù)數(shù)z1=-1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B(-1,0)之間的距離,即圓環(huán)內(nèi)及圓環(huán)邊界上的點(diǎn)到點(diǎn)B的距離d.由圖易知當(dāng)A與B重合時(shí),dmin=0,當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C(2,0)重合時(shí),dmax=3,∴0≤|z+1|≤3.(2)若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z++i|≤1,求|z|的最大值和最小值.變式探究(1)若本例(2)條件改為“設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z-3-4i|=1”,求|z|的最大值.解

因?yàn)閨z-3-4i|=1,所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以C(3,4)為圓心,半徑為1的圓上,由幾何性質(zhì)得|z|的最大值是(2)若本例(2)條件改為已知|z|=1且z∈C,求|z-2-2i|(i為虛數(shù)單位)的最小值.解

因?yàn)閨z|=1且z∈C,作圖如圖,所以|z-2-2i|的幾何意義為以O(shè)為圓心的單位圓上的點(diǎn)M到復(fù)平面上的點(diǎn)P(2,2)的距離,所以|z-2-2i|的最小值為|OP|-1=2-1.規(guī)律方法

復(fù)數(shù)模的問(wèn)題的求解策略|z1-z2|表示復(fù)平面內(nèi)z1,z2對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離.利用此性質(zhì),可把復(fù)數(shù)模的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題,從而進(jìn)行數(shù)形結(jié)合,把復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何圖形問(wèn)題求解.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算法則.(2)復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義.(3)復(fù)平面上兩點(diǎn)間的距離公式.2.方法歸納:類(lèi)比、數(shù)形結(jié)合.3.常見(jiàn)誤區(qū):忽略模的幾何意義.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)12345678910111213141516A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)一]若復(fù)數(shù)z1=-2+i,z2=1+2i,則復(fù)數(shù)z1-z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的象限是(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限C解析

z1-z2=(-2+i)-(1+2i)=(-2-1)+(i-2i)=-3-i,故z1-z2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,-1)在第三象限.12345678910111213141516C123456789101112131415163.[探究點(diǎn)三]設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z+3-i=-1+i,則|z|=(

)B12345678910111213141516A.2+4i B.-2+4i C.-4+2i D.4-2iD123456789101112131415165.[探究點(diǎn)三]如果復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z+2i|+|z-2i|=4,那么|z+i+1|的最小值是(

)A解析

設(shè)復(fù)數(shù)-2i,2i,-(1+i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z1,Z2,Z3,因?yàn)閨z+2i|+|z-2i|=4,|Z1Z2|=4,所以復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合為線段Z1Z2,如圖所示,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:動(dòng)點(diǎn)Z在線段Z1Z2上移動(dòng),求|ZZ3|的最小值.因此作Z3Z0⊥Z1Z2于Z0,則Z3與Z0的距離即為所求的最小值,|Z0Z3|=1.故選A.123456789101112131415166.[探究點(diǎn)一]若復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=-2+3i,則z1-z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第

象限.

一解析

∵z1=3+4i,z2=-2+3i,∴z1-z2=(3+4i)-(-2+3i)=5+i,∴z1-z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,1),位于第一象限.123456789101112131415167.[探究點(diǎn)一]計(jì)算:(1)(1+2i)+(7-11i)-(5+6i);(2)5i-[(6+8i)-(-1+3i)];(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R).解

(1)(1+2i)+(7-11i)-(5+6i)=(1+7-5)+(2-11-6)i=3-15i.(2)5i-[(6+8i)-(-1+3i)]=5i-(7+5i)=-7.(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+[b-(-3b)-3]i=-a+(4b-3)i(a,b∈R).12345678910111213141516B級(jí)關(guān)鍵能力提升練8.設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z-i|=1,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),則(

)A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1C123456789101112131415169.若|z|+z=3+i,則z=(

)C1234567891011121314151610.若|z+3i|=|z+4-i|,則|z|+|z-2|的最小值為(

)D1234567891011121314151611.在復(fù)平面內(nèi),點(diǎn)A,B,C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為i,1,4+2i,由A→B→C→D按逆時(shí)針順序作?ABCD,則

等于(

)B1234567891011121314151612.(多選題)已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z|=1,則|z-1-i|的可能取值有(

)A.0 B.1 C.2 D.3BC123456789101112131415162三12345678910111213141516(