1.3.1等比數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式（第2課時(shí)）課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

第一章數(shù)列3.1等比數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式第2課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第二冊(cè)目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)1.能夠根據(jù)等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式推出等比數(shù)列的常用性質(zhì).2.能夠運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題.3.能夠運(yùn)用等比數(shù)列的知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)

等比數(shù)列{an}的常用性質(zhì)1.若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),則

.

特例:若m+n=2p(m,n,p∈N+),則2.an=am·

(m,n∈N+).

3.在等比數(shù)列{an}中,每隔k項(xiàng)取出一項(xiàng),取出的項(xiàng)按原來(lái)順序組成新數(shù)列,該數(shù)列仍然是等比數(shù)列,公比為

.

4.數(shù)列{c·an}(c≠0),{|an|},{an·bn}({bn}也是等比數(shù)列),等也是等比數(shù)列.5.a1an=a2an-1=…=aman-m+1.注意等式成立的前提和角標(biāo)規(guī)律

此時(shí)ap是am和an的等比中項(xiàng)

am·an=ap·aqqn-mqn-m名師點(diǎn)睛等比數(shù)列{an}的增減性(1)當(dāng)q>1,a1>0或0<q<1,a1<0時(shí),{an}是遞增數(shù)列.(2)當(dāng)q>1,a1<0或0<q<1,a1>0時(shí),{an}是遞減數(shù)列.(3)當(dāng)q=1時(shí),{an}是常數(shù)列;當(dāng)q<0時(shí),{an}是擺動(dòng)數(shù)列.思考辨析1.[人教B版教材習(xí)題]如果等比數(shù)列{an}中公比q>1,那么{an}一定是遞增數(shù)列嗎?為什么?提示

不一定,比如公比為2的等比數(shù)列-1,-2,-4,-8,-16,….2.在等比數(shù)列{an}中,若am·an=ak·al,是否有m+n=k+l成立?提示

不一定成立,如數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2的常數(shù)列,公比為1,此時(shí)am·an=ak·al,但m+n=k+l不一定成立.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫(huà)√,錯(cuò)誤的畫(huà)×)(1)在等比數(shù)列{an}中,若公比q<0,則{an}一定不是遞增數(shù)列.(

)(2)若{an},{bn}都是等比數(shù)列,則{an+bn}是等比數(shù)列.(

)(3)若數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列,且公比相同,則{an}是等比數(shù)列.(

)(4)若數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且m+n=p(m,n,p∈N+),則am·an=ap.(

)√×××2.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且公比大于0,則“q>1”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的(

)A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件D解析

當(dāng)a1<0,q>1時(shí),數(shù)列{an}為遞減數(shù)列,即充分性不成立;當(dāng)數(shù)列{an}是遞增數(shù)列時(shí),可能是a1<0,0<q<1,即必要性不成立.故“q>1”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件.3.[2024陜西咸陽(yáng)期中]在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,a4a8a12=8,則log2a2+log2a14=

.

2重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣應(yīng)用【例1】

(1)已知在等比數(shù)列{an}中,若a3=2,a4a6=16,則

=(

)A.16 B.8 C.4 D.2C(2)已知等比數(shù)列{an}中,若a4=2,a7=8,求an.規(guī)律方法

1.應(yīng)用an=amqn-m,可以憑借任意已知項(xiàng)和公比直接寫(xiě)出通項(xiàng)公式,不必再求a1.2.等比數(shù)列的增減性由a1,q共同確定,但只要數(shù)列遞增或遞減,必有q>0.變式訓(xùn)練1已知等比數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=3,a1+a3+a5=21,則a3+a5+a7等于(

)A.21 B.42 C.63 D.84B解析

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則由a1=3,a1+a3+a5=21,得3(1+q2+q4)=21,解得q2=-3(舍去)或q2=2,于是a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42,故選B.探究點(diǎn)二等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用【例2】

(1)在等比數(shù)列{an}中,a1a2a3=2,an-2an-1an=4,且a1a2a3·…·an=64,則數(shù)列{an}有

項(xiàng).

12解析

由題意及等比數(shù)列的性質(zhì)得a1a2a3an-2an-1an=(a1an)3=8,即a1an=2,則a1a2a3·…·an=64=26=(a1an)6,故數(shù)列{an}有12項(xiàng).★(2)已知{an}為等比數(shù)列.①若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5;②若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.∵an>0,∴a3+a5>0,∴a3+a5=5.②根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì),得a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9,∴a1a2…a9a10=(a5a6)5=95,∴l(xiāng)og3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a9a10)=log395=10.規(guī)律方法

巧用等比數(shù)列的性質(zhì)解題

變式訓(xùn)練2(1)在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,若a6=3,則log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a11=(

)A.5 B.6 C.10 D.11D解析

因?yàn)閍6=3,且{an}為等比數(shù)列,所以a1a11=a2a10=a3a9=a4a8=a5a7==32,所以log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a11=log3(a1a2a3…a11)=log3311=11.故選D.★(2)(多選題)已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),公比為q,且a1>1,a8+a9>a8a9+1>2,記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為T(mén)n,則下列選項(xiàng)中正確的是(

)A.q>1 B.a8>1C.T16>1 D.T17>1BC解析

由a8+a9>a8a9+1,得(a8-1)(1-a9)>0,即a8,a9中一個(gè)大于1,另一個(gè)小于1.∵等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),公比為q,即q>0,∴數(shù)列{an}要么是遞增數(shù)列,要么是遞減數(shù)列,而a1>1,∴綜上可知,a8>1>a9,即數(shù)列{an}為遞減數(shù)列且0<q<1.∵T16=a1·a2·…·a16=(a8a9)8,又a8a9>1,∴T16>1,而T17=(a9)17<1,故選BC.探究點(diǎn)三由等比數(shù)列衍生的新數(shù)列【例3】

已知在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,則a4a5a6等于(

)D解析

∵{an}為等比數(shù)列,∴a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9也成等比數(shù)列,∴(a4a5a6)2=(a1a2a3)(a7a8a9)=5×10.又?jǐn)?shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù),∴a4a5a6=5.規(guī)律方法

借助新數(shù)列與原數(shù)列的關(guān)系,整體代換可以減少運(yùn)算量.變式訓(xùn)練3在等比數(shù)列{an}中,若a12=4,a18=8,則a36為(

)A.32 B.64

C.128

D.256B解析

由等比數(shù)列的性質(zhì)可知,a12,a18,a24,a30,a36成等比數(shù)列,且

=2,故a36=4×24=64.探究點(diǎn)四等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用【例4】

某人買(mǎi)了一輛價(jià)值13.5萬(wàn)元的新車(chē),專(zhuān)家預(yù)測(cè)這種車(chē)每年按10%的速度貶值.(1)用一個(gè)式子表示n(n∈N+)年后這輛車(chē)的價(jià)值.(2)如果他打算用滿(mǎn)4年時(shí)賣(mài)掉這輛車(chē),他能得到多少錢(qián)?解

(1)n年后車(chē)的價(jià)值依次設(shè)為a1,a2,a3,…,an,由題意,得a1=13.5×(1-10%),a2=13.5×(1-10%)2,….由等比數(shù)列定義,知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,∴n年后車(chē)的價(jià)值為an=13.5×0.9n萬(wàn)元.(2)由(1)得a4=13.5×0.94=8.857

35(萬(wàn)元),∴用滿(mǎn)4年時(shí)賣(mài)掉這輛車(chē),能得到8.857

35萬(wàn)元.規(guī)律方法

等比數(shù)列應(yīng)用題的關(guān)注點(diǎn)(1)常見(jiàn)類(lèi)型:增長(zhǎng)率問(wèn)題、銀行利率問(wèn)題、數(shù)值增減問(wèn)題等.(2)關(guān)鍵:建立數(shù)學(xué)模型,即將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列的問(wèn)題.(3)步驟構(gòu)造數(shù)列→判斷數(shù)列→尋找條件→建立方程→求解方程→正確解答變式訓(xùn)練4《九章算術(shù)》中有一題:今有牛、馬、羊食人苗,苗主貴之粟五斗,羊主曰:“我羊食半馬”,馬主曰:“我馬食半牛”,今欲衰償之,問(wèn)各出幾何?其意:今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗,苗主人要求賠償五斗粟,羊主人說(shuō):“我羊所吃的禾苗只有馬的一半”,馬主人說(shuō):“我馬所吃的禾苗只有牛的一半”.則牛主人比羊主人多賠償粟的斗數(shù)是(

)B解析

由題意,羊、馬、牛的主人需賠償?shù)乃谝来纬傻缺葦?shù)列{an},且公比q=2,因?yàn)橐还操r償五斗粟,所以a1+a2+a3=5,即a1+a1q+a1q2=5,即7a1=5,本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣應(yīng)用.(2)等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用.(3)等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用.2.方法歸納:化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)學(xué)建模.3.常見(jiàn)誤區(qū):等比數(shù)列性質(zhì)的錯(cuò)用,例如誤用為a6=a2·a4.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)1234567891011121314151617A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練181920D12345678910111213141516171819202.[探究點(diǎn)二]在等比數(shù)列{an}中,a2,a18是方程x2+6x+4=0的兩根,則a4a16+a10=(

)A.6 B.2 C.2或6 D.-2B12345678910111213141516171819203.[探究點(diǎn)三·2024深圳期末]在等比數(shù)列{an}中,a2+a3+a4+a5=243,a5+a6+a7+a8=72,則a7+a8+a9+a10=(

)C12345678910111213141516171819204.[探究點(diǎn)四]一個(gè)蜂巢里有1只蜜蜂,第1天它飛出去找回了5個(gè)小伙伴;第2天,6只蜜蜂飛出去,各自找回了5個(gè)伙伴,…,如果這個(gè)找伙伴的過(guò)程持續(xù)下去,第6天所有的蜜蜂都?xì)w巢后,蜂巢中一共有蜜蜂(

)A.65只

B.66只

C.216只

D.36只B解析

設(shè)第n天蜜蜂歸巢后,蜂巢中共有an只蜜蜂,則a1=6,a2=5a1+a1=6a1,a3=5a2+a2=6a2,…,∴{an}是首項(xiàng)為6,公比為6的等比數(shù)列.∴a6=a1·q6-1=66.12345678910111213141516171819205.[探究點(diǎn)二]已知等比數(shù)列{an}中,有a3a11=4a7,數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,且b7=a7,則b5+b9=

.

8解析

由等比數(shù)列的性質(zhì),得a3a11==4a7.∵a7≠0,∴a7=4,∴b7=a7=4.再由等差數(shù)列的性質(zhì)知b5+b9=2b7=8.12345678910111213141516171819206.[探究點(diǎn)二]公比不為1的等比數(shù)列{an}滿(mǎn)足a5a6+a4a7=18,若a1am=9,則m的值為(

)A.8 B.9 C.10 D.11C解析

由題意得,2a5a6=18,a5a6=9,∵a1am=9,∴a1am=a5a6,∴m=10,故選C.12345678910111213141516171819207.[探究點(diǎn)二]在等比數(shù)列{an}中,a6a12=6,a4+a14=5,則

=

.

12345678910111213141516171819208.[探究點(diǎn)二]在1與2之間插入6個(gè)正數(shù),使這8個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,則插入的6個(gè)數(shù)的積為

.

8解析

設(shè)這8個(gè)數(shù)組成的等比數(shù)列為{an},則a1=1,a8=2.插入的6個(gè)數(shù)的積為a2a3a4a5a6a7=(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)=(a1a8)3=23=8.12345678910111213141516171819209.[探究點(diǎn)二、三]在等比數(shù)列{an}中,an>0,n∈N+,公比q∈(0,1),且a1a5+2a3a5+a2a8=25,又a3與a5的等比中項(xiàng)為2.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=log2an,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.1234567891011121314151617181920解

(1)∵a1a5+2a3a5+a2a8=25,又∵an>0,∴a3+a5=5.①∵a3與a5的等比中項(xiàng)為2,∴a3a5=4.②∵q∈(0,1),∴a3>a5.∴由①②解得a3=4,a5=1.1234567891011121314151617181920(2)∵bn=log2an=5-n,∴bn+1-bn=-1,b1=4.∴數(shù)列{bn}是以b1=4為首項(xiàng),-1為公差的等差數(shù)列,123456789101112131415161718192010.[探究點(diǎn)二](1)設(shè){an}為公比q>1的等比數(shù)列,若a2023和a2024是方程4x2-8x+3=0的兩根,求a2033+a2034的值;(2)在等比數(shù)列{an}中,已知a4a7=-512,a3+a8=124,且公比q為整數(shù),求通項(xiàng)公式an.1234567891011121314151617181920解

在等比數(shù)列{an}中,由a4a7=-512,得a3a8=-512,又a3+a8=124,解得a3=-4,a8=128或a3=128,a8=-4,故an=-4×(-2)n-3=-(-2)n-1.123456789101112131415161718192011.[探究點(diǎn)二]已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,a3+a7=20,a1a9=64,求a11的值.1234567891011121314151617181920B級(jí)關(guān)鍵能力提升練12.已知等比數(shù)列{an}共有10項(xiàng),其中奇數(shù)項(xiàng)之積為2,偶數(shù)項(xiàng)之積為64,則其公比是(

)C123456789101112131415161718192013.已知在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,lg(a3a8a13)=6,則a1a15的值為(

)A.100 B.-100C.10000 D.-10000C123456789101112131415161718192014.在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,則n等于(

)A.12 B.13 C.14 D.15C123456789101112131415161718192015.(多選題)已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,且a1,a2,a5成等比數(shù)列,則下列說(shuō)法正確的是(

)A.若a1>0,則S4>a8 B.若a1>0,則S4≤a8C.若a1<0,則S4>a8 D.若a1<0,則S4<a8AD解析

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d≠0,∵a1,a2,a5成等比數(shù)列,則

=a1a5,可得(a1+d)2=a1(a1+4d),整理得d2=2a1d,由d≠0,則d=2a1,則S4-a8=(4a1+6d)-(a1+7d)=3a1-d=3a1-2a1=a1,對(duì)于A,B,若a1>0,即S4-a8=a1>0,故S4>a8,A正確,B錯(cuò)誤;對(duì)于C,D,若a1<0,即S4-a8=a1<0,故S4<a8,D正確,C錯(cuò)誤.故選AD.1234567891011121314151617181920123456789101112131415161718192016.(多選題)[2024江蘇揚(yáng)州檢測(cè)]已知等比數(shù)列{an},則下面式子對(duì)任意正整數(shù)k都成立的是(

)A.ak·ak+1>0 B.ak·ak+2>0C.ak·ak+1·ak+2>0 D.ak·ak+1·ak+2·ak+3>0BD解析

對(duì)于A,當(dāng)q<0時(shí),ak·ak+1<0,A不