4.4數(shù)學(xué)歸納法（課件）高二數(shù)學(xué)課件（人教A版2019選擇性）

像這樣，由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，通常叫做歸納法。

一個(gè)盒子里一共裝了8支粉筆，老師從中一支一支拿出，（1）老師拿出了5支，剛好都是白色的，于是甲同學(xué)歸納出結(jié)論：盒子中都是白色粉筆；（2）老師拿出了8支，乙同學(xué)發(fā)現(xiàn)都是白色的，于是歸納出結(jié)論：盒子中都是白色粉筆。不完全歸納法考察全體對(duì)象,得到一般結(jié)論的推理方法考察部分對(duì)象,得到一般結(jié)論的推理方法完全歸納法問題1：復(fù)習(xí)歸納法：結(jié)論一定可靠結(jié)論不一定可靠考察全體對(duì)象,得到一般結(jié)論的推理方法考察部分對(duì)象,得到一般結(jié)論的推理方法歸納法又可分為完全歸納法和不完全歸納法

由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法

可從簡(jiǎn)單情形出發(fā)觀察、歸納、猜想(不完全歸納法)

其中道理可用于數(shù)學(xué)證明──數(shù)學(xué)歸納法.多米諾骨牌動(dòng)畫演示返回這種一種嚴(yán)格的證明方法──數(shù)學(xué)歸納法.(歸納奠基）數(shù)學(xué)歸納法:

由(1)、(2)知，對(duì)于一切n≥n0的自然數(shù)n都成立！(歸納遞推）注意:運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證題,以上兩步缺一不可.驗(yàn)證n=n0時(shí)命題成立若當(dāng)n=k(kn0)時(shí)命題成立,

證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．一般地證明一個(gè)與正整數(shù)

1.（歸納奠基)證明當(dāng)2.（歸納遞推）假設(shè)當(dāng)有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：取第一個(gè)值

時(shí)命題成立；時(shí)命題成立，時(shí)命題也成立.證明當(dāng)例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=12=1,右邊=1等式成立(2)假設(shè)當(dāng)n=k()時(shí)等式成立,即那么,當(dāng)n=k+1時(shí)即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立.根據(jù)(1)和(2),可知等式對(duì)任何都成立.即n=k+1時(shí)等式成立.所以等式對(duì)一切自然數(shù)均成立.【總結(jié)提升】問題1：甲同學(xué)猜想用數(shù)學(xué)歸納法證明步驟如下：證明：假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即那么上述證法是正確的嗎？為什么？結(jié)論1：第一步是遞推的基礎(chǔ)，缺少了第一步就失去了保證，不要誤認(rèn)為第一步是一個(gè)簡(jiǎn)單的驗(yàn)證，可有可無(wú).問題2：乙同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明如采用下面證法，對(duì)嗎？為什么？結(jié)論2：在第二步中,證明n=k+1命題成立時(shí),必須用到n=k命題成立這一歸納假設(shè),否則就打破數(shù)學(xué)歸納法步驟之間的邏輯嚴(yán)密關(guān)系,造成推理無(wú)效.例1:用數(shù)學(xué)歸納法證明1+3+5+……+(2n-1)=n2(n∈N

）.

證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左＝1，右＝12＝1∴n=1時(shí)，等式成立

(2)假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即1+3+5+…+(2k

1)=k2

那么，當(dāng)n=k+1時(shí)左＝1+3+5+…+(2k

1)＋[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2=右即n=k+1時(shí)等式成立由(1)、(2)可知等式對(duì)任何nN*都成立遞推基礎(chǔ)遞推依據(jù)CB1.驗(yàn)證是基礎(chǔ)找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)，有些問題中驗(yàn)證的初始值不一定是1.2．遞推是關(guān)鍵數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)在于遞推，所以從“k”到“k＋1”的過(guò)程中，要正確分析式子項(xiàng)數(shù)的變化，關(guān)鍵是弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，弄清由n＝k到n＝k＋1時(shí)，等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)、增加怎樣的項(xiàng).[跟蹤訓(xùn)練]（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)于足夠大的自然數(shù)n，總有2n＞n3”時(shí)，驗(yàn)證第一步不等式成立所取的第一個(gè)值n0最小應(yīng)當(dāng)是________．解析：∵210＝1024＞103,29＝512＜93，∴n0最小應(yīng)為10.答案：101．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的證明形式記P(n)是一個(gè)關(guān)于正整數(shù)n的命題．我們可以把用數(shù)學(xué)歸納法證明的形式改寫如下：條件：(1)

為真；(2)若

(k∈N*，k≥n0)為真，則

也為真．結(jié)論：

為真．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式P(n0)P(k)P(k＋1)P(n)2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法中的兩個(gè)步驟在數(shù)學(xué)歸納法的兩步中，第一步驗(yàn)證(或證明)了當(dāng)

時(shí)結(jié)論成立，即命題

；第二步是證明一種

關(guān)系，實(shí)際上是要證明一個(gè)新命題：若P(k)為真，則P(k＋1)也為真．完成這兩步，就有______真，P(n0＋1)真，……，P(k)真，P(k＋1)真……，從而完成證明．n＝n0P(n0)為真遞推P(n0)2(2k＋1)歸納—猜想—證明用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式往往比證明恒等式難度更大一些，方法更靈活些，用數(shù)學(xué)歸納法證明的第二步，即已知f(k)＞g(k)，求證f(k＋1)＞g(k＋1)時(shí)應(yīng)注意靈活運(yùn)用證明不等式的一般方法(比較法、分析法、綜合法)．具體證明過(guò)程中要注意以下兩點(diǎn)：(1)先湊假設(shè)，作等價(jià)變換；(2)瞄準(zhǔn)當(dāng)n＝k＋1時(shí)的遞推目標(biāo)，有目的地放縮、分析直到湊出結(jié)論.由歸納假設(shè)，上式中的兩項(xiàng)均能被a2＋a＋1整除，故當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題成立．由(1)(2)知，對(duì)任意n∈N*，命題成立．故f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k(k－1)＋2＋2k＝k(k－1＋2)＋2＝(k＋1)[(k＋1)－1]＋2(部分)，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題也成立．根據(jù)(1)(2)知，n個(gè)符合條件的平面把空間分成f(n)＝n(n－1)＋2部分．1.數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟：若n=k(k≥n0)時(shí)命題成立，證明n=k+1時(shí)命題也成立.

驗(yàn)證n=n0時(shí)命題成立.命題對(duì)從n0開始所有的正整數(shù)n都成立.歸納奠基歸納遞推兩個(gè)步驟一個(gè)結(jié)論缺一不可2.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納