7.2.3同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式課件高一數(shù)學人教B版

第七章三角函數(shù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式人教B版

數(shù)學

必修第三冊課程標準1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:sin2α+cos2α=1,

=tanα及其證明.2.會利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進行化簡、求值及恒等式證明.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗收·課堂達標檢測基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點同角三角函數(shù)的基本關(guān)系名師點睛1.基本關(guān)系成立的前提是“同角”,它揭示了同角而不同名的三角函數(shù)關(guān)系,公式中的角可以是具體的數(shù)值,也可以是變量,可以是單項式表示的角,也可以是多項式表示的角.2.這里的“同角”應作廣義上的理解,即“同角”的概念與角的表達形式無3.sin2α是(sin

α)2的簡寫,讀作“sin

α的平方”,不能將sin2α寫成sin

α2,前者是α的正弦的平方,后者是α2的正弦,兩者是不同的.4.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形(1)sin2α=1-cos2α;(2)cos2α=1-sin2α;(3)1=sin2α+cos2α;(4)(sin

α+cos

α)2=1+2sin

αcos

α;(5)(sin

α-cos

α)2=1-2sin

αcos

α.過關(guān)自診1.sin22023°+cos22023°=(

)

A.0 B.1C.2023 D.2023°2.若sinθ+cosθ=0,則tanθ=

.

解析

由平方關(guān)系知sin22

023°+cos22

023°=1.B-1重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求值角度1.根據(jù)已知三角函數(shù)值求另外兩個三角函數(shù)值

解

因為α為第一象限角,所以cos

α>0.規(guī)律方法

利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式解決給值求值問題的方法(1)已知sin

θ(或cos

θ)求tan

θ常用以下方式求解(2)若沒有給出角α是第幾象限角,則應分類討論,先由已知三角函數(shù)的值推出α的終邊可能在的象限,再分類求解.變式訓練1已知tanα=,求sinα,cosα的值.角度2.弦化切求值

分析由于已知條件為正切,所求式為正、余弦,故應想辦法將切化正、余弦,或?qū)⑾一?這是一種分析綜合的思想);若切化弦,應把條件tan

α=代入所求式,消去其中一種函數(shù),再進一步求值;若弦化切,應把所求式化成用tan

α表示的式子,代入化簡即可.規(guī)律方法

已知角α的正切值,求由sin

α和cos

α構(gòu)成的代數(shù)式的值(1)對分式齊次式,因為cos

α≠0,一般可在分子和分母中同時除以cosnα,使所求代數(shù)式化成關(guān)于tan

α的代數(shù)式,從而得解;(2)對整式(一般是指關(guān)于sin2α,cos2α)齊次式,把分母看為“1”,用sin2α+cos2α替換“1”,從而把問題轉(zhuǎn)化成分式齊次式,在分子和分母中同時除以cos2α,即可得關(guān)于tan

α的代數(shù)式,從而得解.角度3.“sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα”三者間的“知一求二”規(guī)律方法

已知sin

α±cos

α,sin

αcos

α求值問題,一般利用三角恒等式,采用整體代入的方法求解.涉及的三角恒等式有:(1)(sin

θ+cos

θ)2=1+2sin

θcos

θ;(2)(sin

θ-cos

θ)2=1-2sin

θcos

θ;(3)(sin

θ+cos

θ)2+(sin

θ-cos

θ)2=2;(4)(sin

θ-cos

θ)2=(sin

θ+cos

θ)2-4sin

θcos

θ.ABD探究點二利用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡【例4】

[人教A版教材習題]化簡:(1)cosθtanθ;(3)(1+tan2α)cos2α.規(guī)律方法

三角函數(shù)式化簡的常用方法(1)化切為弦,即把正切函數(shù)化為正弦、余弦函數(shù),從而減少函數(shù)名稱,達到化簡的目的.(2)對于含有根號的,常把根號里面的部分化成完全平方式,然后去根號達到化簡的目的.(3)對于化簡含高次的三角函數(shù)式,往往借助于因式分解,或構(gòu)造sin2α+cos2α=1,以降低函數(shù)次數(shù),達到化簡的目的.探究點三利用同角三角函數(shù)關(guān)系式證明規(guī)律方法

1.證明恒等式的常用思路:(1)從一邊證到另一邊,一般由繁到簡;(2)左右開弓,即證左邊、右邊都等于第三者;(3)比較法(作差法,作商法).2.常用的技巧:(1)巧用“1”的代換;(2)化切為弦;(3)多項式運算技巧的應用(分解因式).變式訓練5[北師大版教材習題]求證:(1)sin4α-cos4α=sin2α-cos2α;(2)sin4x+sin2xcos2x+cos2x=1.證明

(1)sin4α-cos4α=(sin2α-cos2α)·(sin2α+cos2α)=sin2α-cos2α.(2)sin4x+sin2xcos2x+cos2x=sin2x(sin2x+cos2x)+cos2x=sin2x+cos2x=1.成果驗收·課堂達標檢測1234567891011121314151617A級必備知識基礎(chǔ)練181920A1234567891011121314151617181920B1234567891011121314151617181920C1234567891011121314151617181920ABD1234567891011121314151617181920ABD123456789101112131415161718192012345678910111213141516171819207.[探究點一(角度2)·2023湖南新邵期末]已知tanα=-4,則

的值為

.

212345678910111213141516171819201234567891011121314151617181920123456789101112131415161718192010.[探究點三·北師大版教材習題]求證:(1)tan2θ-sin2θ=tan2θsin2θ;(2)(cosα-1)2+sin2α=2-2cosα;(3)sin4x+cos4x=1-2sin2xcos2x.(2)(cos

α-1)2+sin2α=cos2α-2cos

α+1+sin2α=2-2cos

α.(3)sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=1-2sin2xcos2x.1234567891011121314151617181920B級關(guān)鍵能力提升練B1234567891011121314151617181920A1234567891011121314151617181920BD1234567891011121314151617181920選項正確的是(

)A.m=8B.m=0或m=8C.sinθ>cosθACD123456789101112131415161718192012345678910111213141516171819201234567891011121314151617181920123456789101112131415161718C級學科素養(yǎng)創(chuàng)新練192017.若θ∈(0,),記P=cos2θ-sin2θ,Q=cos3θ-sin3θ,R=cos4θ-sin4θ,則P,Q,R的大小關(guān)系為

.

P=R<Q解析

R=cos4θ-sin4θ=(cos2θ+sin2θ)·(cos2θ-sin2θ)=cos2θ-sin2θ=P,P-Q=cos2θ-sin2θ-(cos3θ-sin3θ)=(cos

θ-sin

θ)(cos

θ+sin

θ)-(cos

θ-sin

θ)(1+cos

θsin

θ)=(cos

θ-sin

θ)(cos

θ+sin

θ-1-cos

θsin

θ)=(cos

θ-sin

θ)(cos

θ-1)(1-sin

θ),因為θ∈(0,),所以cos

θ-sin

θ>0,cos

θ-1<0,1-sin

θ>0,所以P-Q<0,即P<Q,所以P,Q,R的大小關(guān)系為P=R<Q.1234567891011121314151617181920整理得m2+1=(m-2)2=m2-4m+4,12345678910111213141516171819201234567891011121314151617181920C級學科素養(yǎng)創(chuàng)新練19.已知第一象限角α的頂點在坐標原點,始邊與x軸正半軸重合,終邊經(jīng)過點P(m,m+1),且cosα=.(1)求m及tanα的值;(2)求sinα(sinα+cosα)的值.1234567891011121