2023-2024學(xué)年江蘇省無錫市江陰市三校高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2江蘇省無錫市江陰市三校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，每題5分，計40分）1.物體運動的方程為，則時的瞬時速度為（）A.5 B.25 C.125 D.625〖答案〗C〖解析〗物體運動的方程為，則，代入，得時的瞬時速度為.故選：C2.某同學(xué)逛書店，發(fā)現(xiàn)3本喜歡的書，若決定至少買其中的兩本，則購買方案有（）A.4種 B.6種 C.7種 D.9種〖答案〗A〖解析〗買兩本，有種方案；買三本，有1種方案；因此共有方案(種)．故選：A.3.若函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)，定義域為，，令，解得，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：C.4.已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，所以，又，故曲線在點處的切線的方程為，即.故選：A.5.若，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得．因為，所以．故選：C．6.有4位游客來某地旅游，若每人只能從此處甲、乙、丙三個不同景錄點中選擇一處游覽，則每個景點都有人去游覽的概率為A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，4為游客到甲乙丙三個不同的景點游覽的不同的方法，其中每個景點都有人去游覽共有中不同的方法，即可求解概率.詳析：由題意，4為游客到甲乙丙三個不同的景點游覽，共有中不同的方法，其中每個景點都有人去游覽共有中不同的方法，所以所求概率為，故選D.7.已知，則的大關(guān)系為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，則，當(dāng)時，，在上遞增；當(dāng)時，，在上遞減,故.則，即；由可知，故.故選：B.8.若函數(shù)，在其定義域上只有一個零點，則整數(shù)a的最小值為（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗C〖解析〗根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增，，根據(jù)零點存在定理，在存在唯一零點，則當(dāng)時，無零點時，，令，則，時，則；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，于是時，有最小值依題意，，解得，所以最小整數(shù)為故選：C二、多選題（本大題共3小題，每題6分，計18分）9.關(guān)于，則（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗令，則，即，故A正確；令，則，即，所以，故B錯誤；根據(jù)二項式展開式的通項公式：，故C錯誤；令，則，令，則，兩式相加可得，①兩式相減可得，②②①可得，所以，故D正確.故選：AD10.下列正確的是（）A.由數(shù)字1，2，3，4能夠組成24個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)B.由數(shù)字1，2，3，4，能夠組成16個沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)C.由數(shù)字1，2，3，4能夠組成64個三位密碼D.由數(shù)字1，2，3，4能夠組成28個比320大的三位數(shù)〖答案〗ACD〖解析〗由數(shù)字1，2，3，4能夠組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有個，故A正確；若三個數(shù)是偶數(shù)，則個位可以是2，4，則共有沒有重復(fù)數(shù)字有個，故B錯誤；數(shù)字1，2，3，4能夠組成三位密碼有個，故C正確；若三位數(shù)比320大，則百位是4時，有個，若百位是3，則十位可以是2，3，4時，個位可以是1，2，3，4，共有個，則比320大的三位數(shù)有個，故D正確．故選：ACD．11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)有極小值B.函數(shù)在處切線的斜率為4C.當(dāng)時，恰有三個實根D.若時，，則的最小值為2〖答案〗AD〖解析〗由題意可得：，令，解得；令，解得或；則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可知的極大值為，極小值為，且當(dāng)x趨近于，趨近于，當(dāng)x趨近于，趨近于，可得的圖象如下：對于選項A：可知極小值為，故A正確；對于選項B：因為，所以函數(shù)在處切線的斜率為，故B錯誤；對于選項C：對于方程根的個數(shù)，等價于函數(shù)與的交點個數(shù)，由圖象可知：時，恰有三個實根，故C錯誤；對于選項D：若時，，則，所以的最小值為2，故D正確；故選：AD.三、填空題（本大題共3小題，每題5分，計15分）12.計算：___________.（用數(shù)字作答）〖答案〗65〖解析〗因為，所以.故〖答案〗為：6513.已知隨機變量的分布列如下，則______.〖答案〗9〖解析〗，，所以.故〖答案〗為：.14.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有個不同實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗當(dāng)時，，則，令，解得，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，根據(jù)題意可作出圖象如下：若關(guān)于的方程恰有4個不同實數(shù)根，令，，則有兩個不等實數(shù)根，故與都有2個交點，或者與有1個交點，與有3個交點；當(dāng)與都有2個交點，根據(jù)圖象可得，不滿足，舍去；當(dāng)與有1個交點，與有3個交點，則，當(dāng)時，，解得，故，解得或，舍去；故，兩個實數(shù)根的范圍為，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為．故〖答案〗為：．四、解答題（本大題共5小題，計77分）15.已知函數(shù)，當(dāng)時，取得極值．（1）求的〖解析〗式；（2）求在區(qū)間上的最值．解：（1）依題意可得，又當(dāng)時，取得極值，所以，即；解得；所以；（2）由（1）可知，令，可得或，當(dāng)變化時，的變化情況如下表所示：單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增因此，在區(qū)間上，的最小值為，最大值為.16.已知在的展開式中，前3項的系數(shù)成等差數(shù)列，求：（1）展開式中二項式系數(shù)最大的項；（2）展開式中系數(shù)最大的項．解：（1）的展開式的通項為，（，1，…，n），因為前3項系數(shù)成等差數(shù)列，所以，化簡得，解得或（舍）．展開式共有9項，二項式系數(shù)最大的項為.（2）由（1）知，展開式的通項為，（，1，…，8），設(shè)第項的系數(shù)最大，則，即，解得，則或，所以展開式的第3項與第4項系數(shù)最大，即和.17.“國家反詐中心”APP集合報案助手、舉報線索、風(fēng)險查詢、詐騙預(yù)警、騙局曝光、身份核實等多種功能于一體，是名副其實的“反詐戰(zhàn)艦”.2021年該APP于各大官方應(yīng)用平臺正式上線，某地組織全體村民下載注冊，并組織了一場線下反電信詐騙問卷測試，隨機抽取其中100份問卷，統(tǒng)計測試得分（滿分100分），將數(shù)據(jù)按照，，…，，分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求a的值及這100份問卷的平均分（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值代替）；（2）若界定問卷得分低于70分的村民“防范意識差”，不低于90分的村民“防范意識強”．現(xiàn)從樣本的“防范意識差”和“防范意識強”村民中采用分層抽樣的方法抽取7人開座談會，再從這7人中隨機抽取3人，記抽取的3人中“防范意識強”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）由頻率分布直方圖可得，，解得．100份問卷的平均分為：（分）．（2）從樣本的“防范意識差”和“防范意識強”村民中采用分層抽樣的方法抽取7人，則“防范意識差”的人數(shù)為，“防范意識強”的人數(shù)為．則的所有可能的值為0，1，2．則，，，故的分布列為012.18.6位同學(xué)報名參加2022年杭州亞運會4個不同的項目（記為）的志愿者活動，每位同學(xué)恰報1個項目.（1）6位同學(xué)站成一排拍照，如果甲乙兩位同學(xué)必須相鄰，丙丁兩位同學(xué)不相鄰，求不同的排隊方式有多少種？（2）若每個項目至少需要一名志愿者，求一共有多少種不同報名方式？（3）若每個項目只招一名志愿者，且同學(xué)甲不參加項目，同學(xué)乙不參加項目，求一共有多少種不同錄用方式？解：（1）根據(jù)題意先把甲乙看成整體，與除了甲、乙、丙、丁之外的兩人進(jìn)行排列，再把丙丁插空進(jìn)行排列，所以共有.（2）先分為4組，則按人數(shù)可分為1，1，1，3和1，1，2，2兩種分組方式，共有種；再分到4個項目，即可得共有；（3）先考慮全部，則共有種排列方式，其中甲參加項目共有種，同學(xué)乙參加項目共有種；甲參加項目同時乙參加項目共有種，根據(jù)題意減去不滿足題意的情況共有種.19.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)b的取值范圍；（3）設(shè)是函數(shù)的兩個極值點，證明：.解：（1），定義域為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，在上遞增，上遞減；當(dāng)時，，若，即時，，所以在上單調(diào)遞增；若，即時，令，得，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，∴在上遞增，在上遞減，當(dāng)時，時，，當(dāng)時，，∴在上遞增，上遞減，綜上所述，當(dāng)時，在上遞增，上遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上遞增，在上遞減；當(dāng)時，在上遞增，上遞減；（2），∵函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，∴在上有解，∵，設(shè)，則，當(dāng)時，顯然在上有解；當(dāng)時，，，由韋達(dá)定理知，，所以必有一個正根，滿足條件，當(dāng)時，有，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍為；（3）由題意可知，，∵有兩個極值點，∴是的兩個根，則，

∴，∴要證，即證，即證，即證，即證，令，則證明，令，則，∴在上單調(diào)遞增，則，即，所以原不等式成立.江蘇省無錫市江陰市三校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，每題5分，計40分）1.物體運動的方程為，則時的瞬時速度為（）A.5 B.25 C.125 D.625〖答案〗C〖解析〗物體運動的方程為，則，代入，得時的瞬時速度為.故選：C2.某同學(xué)逛書店，發(fā)現(xiàn)3本喜歡的書，若決定至少買其中的兩本，則購買方案有（）A.4種 B.6種 C.7種 D.9種〖答案〗A〖解析〗買兩本，有種方案；買三本，有1種方案；因此共有方案(種)．故選：A.3.若函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)，定義域為，，令，解得，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：C.4.已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，所以，又，故曲線在點處的切線的方程為，即.故選：A.5.若，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得．因為，所以．故選：C．6.有4位游客來某地旅游，若每人只能從此處甲、乙、丙三個不同景錄點中選擇一處游覽，則每個景點都有人去游覽的概率為A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，4為游客到甲乙丙三個不同的景點游覽的不同的方法，其中每個景點都有人去游覽共有中不同的方法，即可求解概率.詳析：由題意，4為游客到甲乙丙三個不同的景點游覽，共有中不同的方法，其中每個景點都有人去游覽共有中不同的方法，所以所求概率為，故選D.7.已知，則的大關(guān)系為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，則，當(dāng)時，，在上遞增；當(dāng)時，，在上遞減,故.則，即；由可知，故.故選：B.8.若函數(shù)，在其定義域上只有一個零點，則整數(shù)a的最小值為（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗C〖解析〗根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增，，根據(jù)零點存在定理，在存在唯一零點，則當(dāng)時，無零點時，，令，則，時，則；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，于是時，有最小值依題意，，解得，所以最小整數(shù)為故選：C二、多選題（本大題共3小題，每題6分，計18分）9.關(guān)于，則（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗令，則，即，故A正確；令，則，即，所以，故B錯誤；根據(jù)二項式展開式的通項公式：，故C錯誤；令，則，令，則，兩式相加可得，①兩式相減可得，②②①可得，所以，故D正確.故選：AD10.下列正確的是（）A.由數(shù)字1，2，3，4能夠組成24個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)B.由數(shù)字1，2，3，4，能夠組成16個沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)C.由數(shù)字1，2，3，4能夠組成64個三位密碼D.由數(shù)字1，2，3，4能夠組成28個比320大的三位數(shù)〖答案〗ACD〖解析〗由數(shù)字1，2，3，4能夠組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有個，故A正確；若三個數(shù)是偶數(shù)，則個位可以是2，4，則共有沒有重復(fù)數(shù)字有個，故B錯誤；數(shù)字1，2，3，4能夠組成三位密碼有個，故C正確；若三位數(shù)比320大，則百位是4時，有個，若百位是3，則十位可以是2，3，4時，個位可以是1，2，3，4，共有個，則比320大的三位數(shù)有個，故D正確．故選：ACD．11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)有極小值B.函數(shù)在處切線的斜率為4C.當(dāng)時，恰有三個實根D.若時，，則的最小值為2〖答案〗AD〖解析〗由題意可得：，令，解得；令，解得或；則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可知的極大值為，極小值為，且當(dāng)x趨近于，趨近于，當(dāng)x趨近于，趨近于，可得的圖象如下：對于選項A：可知極小值為，故A正確；對于選項B：因為，所以函數(shù)在處切線的斜率為，故B錯誤；對于選項C：對于方程根的個數(shù)，等價于函數(shù)與的交點個數(shù)，由圖象可知：時，恰有三個實根，故C錯誤；對于選項D：若時，，則，所以的最小值為2，故D正確；故選：AD.三、填空題（本大題共3小題，每題5分，計15分）12.計算：___________.（用數(shù)字作答）〖答案〗65〖解析〗因為，所以.故〖答案〗為：6513.已知隨機變量的分布列如下，則______.〖答案〗9〖解析〗，，所以.故〖答案〗為：.14.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有個不同實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗當(dāng)時，，則，令，解得，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，根據(jù)題意可作出圖象如下：若關(guān)于的方程恰有4個不同實數(shù)根，令，，則有兩個不等實數(shù)根，故與都有2個交點，或者與有1個交點，與有3個交點；當(dāng)與都有2個交點，根據(jù)圖象可得，不滿足，舍去；當(dāng)與有1個交點，與有3個交點，則，當(dāng)時，，解得，故，解得或，舍去；故，兩個實數(shù)根的范圍為，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為．故〖答案〗為：．四、解答題（本大題共5小題，計77分）15.已知函數(shù)，當(dāng)時，取得極值．（1）求的〖解析〗式；（2）求在區(qū)間上的最值．解：（1）依題意可得，又當(dāng)時，取得極值，所以，即；解得；所以；（2）由（1）可知，令，可得或，當(dāng)變化時，的變化情況如下表所示：單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增因此，在區(qū)間上，的最小值為，最大值為.16.已知在的展開式中，前3項的系數(shù)成等差數(shù)列，求：（1）展開式中二項式系數(shù)最大的項；（2）展開式中系數(shù)最大的項．解：（1）的展開式的通項為，（，1，…，n），因為前3項系數(shù)成等差數(shù)列，所以，化簡得，解得或（舍）．展開式共有9項，二項式系數(shù)最大的項為.（2）由（1）知，展開式的通項為，（，1，…，8），設(shè)第項的系數(shù)最大，則，即，解得，則或，所以展開式的第3項與第4項系數(shù)最大，即和.17.“國家反詐中心”APP集合報案助手、舉報線索、風(fēng)險查詢、詐騙預(yù)警、騙局曝光、身份核實等多種功能于一體，是名副其實的“反詐戰(zhàn)艦”.2021年該APP于各大官方應(yīng)用平臺正式上線，某地組織全體村民下載注冊，并組織了一場線下反電信詐騙問卷測試，隨機抽取其中100份問卷，統(tǒng)計測試得分（滿分100分），將數(shù)據(jù)按照，，…，，分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求a的值及這100份問卷的平均分（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值代替）；（2）若界定問卷得分低于70分的村民“防范意識差”，不低于90分的村民“防范意識強”．現(xiàn)從樣本的“防范意識差”和“防范意識強”村民中采用分層抽樣的方法抽取7人開座談會，再從這7人中隨機抽取3人，記抽取的3人中“防范意識強”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）由頻率分布直方圖可得，，解得．100份問卷的平均分為：（分）．（2）從樣本的“防范意識差”和“防范意識強”村民中采用分層抽樣的方法抽取7人，則“防范意識差”的人數(shù)為，“防范意識強”的人數(shù)為．則的所有可能的值為0，1，2．則，，，故的分布列為012.18.6位同學(xué)報名參加2022年杭州亞