2023-2024學(xué)年江蘇省徐州市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省徐州市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為.故選：A.2.某圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2，圓心角為π的扇形，則該圓錐的高為（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗依題意，圓錐的母線長(zhǎng)，設(shè)圓錐的底面圓半徑為，依題意，，解得，所以圓錐的高.故選：B.3.已知一組數(shù)據(jù)4，8，9，3，3，5，7，9，則（）A.這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為8 B.這組數(shù)據(jù)沒有眾數(shù)C.這組數(shù)據(jù)的極差為5 D.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A，給定數(shù)據(jù)由小到大排列為3，3，4，5，7，8，9，9，而，所以這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是3和9，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，這組數(shù)據(jù)的極差為6，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，D正確.故選：D.4.已知，是兩條不重合的直線，，是兩個(gè)不重合的平面，則使得成立的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A：若，，則或，若，又，則與可能平行、相交（不垂直）、異面（不垂直）、相交垂直、異面垂直，若，又，則與可能平行、異面（不垂直）、異面垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，，，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，，則，又，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，，則與可能平行或相交（不垂直）或垂直或，又，此時(shí)不能保證成立，如，此時(shí)與可能平行、異面（不垂直）、異面垂直，故D錯(cuò)誤.故選：C.5.將撲克牌4種花色的K，Q共8張洗勻，若甲已抽到了2張K后未放回，則乙抽到2張Q的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗甲抽到了2張K后未放回，則乙從余下6張牌中任取2張有種方法，抽到2張Q有種方法，所以乙抽到2張Q的概率為.故選：B.6.以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形稱為“勒洛三角形”．在如圖所示的勒洛三角形中，已知，點(diǎn)在上，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，垂直于方向?yàn)檩S，建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，所以，即，且，所以，所?故選：A.7.已知，，，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由得，兩邊平方得：，①由得，兩邊平方得：，②①+②得：，因?yàn)?，所以，由可得：，即，所以，又，所以，所以，故A錯(cuò)誤；由，兩邊平方得，③由得，兩邊平方得：，④③+④得：，因?yàn)椋?，故，由，，可得，故C正確，D錯(cuò)誤；綜上不是定值，故B錯(cuò)誤.故選：C.8.在矩形中，，，將沿對(duì)角線折起，使到，形成三棱錐，則異面直線與所成角的范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題可知，四邊形是矩形，，所以初始狀態(tài)時(shí)直線與直線所成的角為，已知矩形中，，，，翻折過程中，如下圖，因?yàn)椋?，則與平面不垂直，因?yàn)?，，所以異面直線與不垂直，翻折過程中，當(dāng)平面與平面重合時(shí)，與所成銳角為異面直線與所成角的臨界值，如下圖：因?yàn)榫匦沃校?，，，，所以，同理，所以，即異面直線與所成角的臨界值為，所以異面直線與所成角的范圍為.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.盒子里有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中不放回地依次取出2個(gè)球，設(shè)事件“兩個(gè)球顏色相同”，“第1次取出的是紅球”，“第2次取出的是紅球”，“兩個(gè)球顏色不同”．則（）A.與互為對(duì)立事件 B.與互斥C.A與B相互獨(dú)立 D.〖答案〗AD〖解析〗依題意可設(shè)個(gè)紅球?yàn)?，，?個(gè)白球?yàn)?，，則樣本空間為：，共個(gè)基本事件，事件，共個(gè)基本事件，事件，共個(gè)基本事件，事件，，共個(gè)基本事件，事件，共個(gè)基本事件，對(duì)于A，顯然、不可能同時(shí)發(fā)生，且與中一定有一個(gè)會(huì)發(fā)生，所以與互為對(duì)立事件，故A正確；對(duì)于B：注意到，則與不互斥，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，則，故與不獨(dú)立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，故D正確.故選：AD.10.已知，，，，則下列說法正確的是（）A.為純虛數(shù) B.C.的最大值為 D.若，則〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A：因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，，所以，故B正確；對(duì)于C：設(shè)，則，又，所以，所以點(diǎn)為以為圓心，為半徑的圓上的點(diǎn)，所以，表示點(diǎn)與點(diǎn)的距離，因?yàn)?，所以，故C正確；對(duì)于D：設(shè)所對(duì)應(yīng)的向量為，所對(duì)應(yīng)的向量為，因?yàn)?，則，所以，所以，所以，所以，即，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.在正四棱臺(tái)中，，，，點(diǎn)E在內(nèi)部（含邊界），則（）A.平面 B.二面角的大小為C.該四棱臺(tái)外接球的體積為 D.的最小值為〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，如圖1，設(shè)底面對(duì)角線交于點(diǎn)，由棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征易知與的延長(zhǎng)線必交于一點(diǎn)，故共面，又面面，而面面，面面，故，即；由，，，得，，即；所以四邊形是平行四邊形，故，而面，面，所以平面，故A正確；對(duì)于B，正四棱臺(tái)中，為中點(diǎn)，，則，由，則有，所以二面角平面角為，，，為正三角形，所以二面角的大小為，故B正確；對(duì)于C，如圖2，設(shè)為的中點(diǎn)，為正四棱臺(tái)外接球的球心，設(shè)外接球的半徑為，則，在等腰梯形中，易得，為方便計(jì)算，不妨設(shè)，則由，即，得，又，解得，即與重合，故，故球的體積為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由圖2易得，，，面，故面，不妨設(shè)落在圖3(在外)處，過作，交于，則面，面，故，故在中，（直角邊小于斜邊）；同理，，所以，故動(dòng)點(diǎn)只有落在上，才有可能取得最小值；再看圖4，由AB選項(xiàng)可知，，，和都為正三角形，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，可知，即與重合時(shí)，有最小值，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，則________．〖答案〗1〖解析〗向量，，則，所以.故〖答案〗為：1.13.已知，且，則________．〖答案〗或〖解析〗，解得：或，因?yàn)?，所以?故〖答案〗為：或.14.在中，，分別在邊上，且平分，平分，若，則________，________．〖答案〗〖解析〗設(shè)三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊的長(zhǎng)度分別為，則由角平分線定理可得，結(jié)合知，；同理有，，故，而，故，故由可得，即，從而，故，由于題目中的條件和所求的量均只涉及線段間的長(zhǎng)度比，故可以不妨設(shè)，從而，展開，合并同類項(xiàng)，即得，由于，故，從而，所以，同時(shí)，之前得到的又等價(jià)于，故，所以，從而，這就得到，故，假設(shè)，則，矛盾，故，從而由上面已經(jīng)得到的，就有，故，結(jié)合和就有，這就得到，所以，這就得到，最后，設(shè)，則，且，故，所以，即，從而或，而，故，所以，即，由于，故，而，故，從而，又因?yàn)椋?，所以，故，從而，這得到，故，從而由知，將弧度轉(zhuǎn)換為角度，就得到.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量，．（1）若，求；（2）若，且，求．解：（1）因?yàn)?，且，所以，則，所以.（2）因?yàn)椋?，所以，則，所以，則，所以，又，所以，所以，所以.16.2024年4月25日，搭載神舟十八號(hào)載人飛船的長(zhǎng)征二號(hào)F遙十八運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射，航天員葉光富、李聰、李廣蘇開始了他們的太空征程．為紀(jì)念中國(guó)航天事業(yè)所取得的成就，發(fā)掘并傳承中國(guó)航天精神，某市隨機(jī)抽取2000名學(xué)生進(jìn)行了航天知識(shí)競(jìng)賽，將成績(jī)（滿分：150分）整理后分成五組，從左到右依次記為[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）補(bǔ)全頻率分布直方圖，并估計(jì)這2000名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)、求85%分位數(shù)（求平均值時(shí)同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）現(xiàn)從以上各組中采用分層抽樣的方法抽取200人，若第三組中被抽取的學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為94，方差為1，第四組中被抽取的學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為124，方差為2，求這200人中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[90，130）的學(xué)生成績(jī)的方差．解：（1）頻率為，所以該組數(shù)據(jù)的縱坐標(biāo)為，補(bǔ)齊的直方圖如圖：平均數(shù)為，因?yàn)榍叭M的頻率之和，而前四組的頻率之和，所以第分位數(shù)為第四組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)即.（2）設(shè)第三組的平均數(shù)是，權(quán)重為，方差為，設(shè)第四組的平均數(shù)是，權(quán)重為，方差為，兩組的平均數(shù)是，方差為，由直方圖可知?jiǎng)t，，則，根據(jù)分層抽樣方差公式得：.17.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）若點(diǎn)D在邊BC上，且，，求的值．解：（1）在中，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，，結(jié)合題意知，所以，所以，因?yàn)椋?（2）因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，化?jiǎn)得，因?yàn)?，所以，所?18.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，平面平面，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱PD，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段AF上．（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）設(shè)直線與平面，平面，平面所成的角分別為，，，求的最大值．解：（1）連接，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌鏋榱庑?，且，所以、為等邊三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平?（2）因?yàn)槠矫妫矫?，所以，，又，，，所以，所以，又，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即，解得，即點(diǎn)到平面的距離.（3）連接，，則且，又平面，所以平面，則為直線與平面所成的角，即，所以，取的中點(diǎn)，連接，則且，又為中點(diǎn)，所以，又，所以，由平面，平面，所以，，又，平面，所以平面，則平面，又，平面，所以平面，連接，，則為直線與平面所成的角，即，所以，為直線與平面所成的角，即，所以，所以，又，設(shè)，，所以，所以，令，則，所以，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)取得最大值，且最大值為，所以.19.在平面直角坐標(biāo)系中，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)點(diǎn)稱為整點(diǎn)，對(duì)于任意相鄰三點(diǎn)都不共線的有序整點(diǎn)列：，，，…，與；，，，…，，其中，若同時(shí)滿足：①兩點(diǎn)列的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別相同；②，其中，2，3，…，，則稱與互為正交點(diǎn)列．（1）求：，，的正交點(diǎn)列；（2）判斷：，，，是否存在正交點(diǎn)列？并說明理由；（3）證明：，，都存在整點(diǎn)列無正交點(diǎn)列．解：（1）設(shè)點(diǎn)列，，的正交點(diǎn)列是，，，由正交點(diǎn)列的定義可知，，設(shè)，，由正交點(diǎn)列的定義可知，即，解得，所以點(diǎn)列，，的正交點(diǎn)列是，，.（2）由題可得，設(shè)點(diǎn)列，，，是點(diǎn)列，，，的正交點(diǎn)列，則可設(shè)，，，，因?yàn)榕c，與相同，所以有，因?yàn)?，，，得方程，顯然不成立，所以有序整點(diǎn)列，，，不存在正交點(diǎn)列.（3），，都存在整點(diǎn)列無正交點(diǎn)列，，，設(shè)，其中，是一對(duì)互質(zhì)整數(shù)，，若有序整點(diǎn)列，，，是點(diǎn)列，，，正交點(diǎn)列，則，則有，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，取，，由于，，，是整點(diǎn)列，所以有，，等式（2*）中左邊是3的倍數(shù)，右邊等于1，等式不成立，所以該點(diǎn)列，，，無正交點(diǎn)列；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，取，，，，由于，，，是整點(diǎn)列，所以有，，等式（2*）中左邊是3的倍數(shù)，右邊等于1，等式不成立，所以該點(diǎn)列，，，無正交點(diǎn)列，綜上所述，，，都存在無正交點(diǎn)列的有序整數(shù)點(diǎn)列.江蘇省徐州市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為.故選：A.2.某圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2，圓心角為π的扇形，則該圓錐的高為（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗依題意，圓錐的母線長(zhǎng)，設(shè)圓錐的底面圓半徑為，依題意，，解得，所以圓錐的高.故選：B.3.已知一組數(shù)據(jù)4，8，9，3，3，5，7，9，則（）A.這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為8 B.這組數(shù)據(jù)沒有眾數(shù)C.這組數(shù)據(jù)的極差為5 D.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A，給定數(shù)據(jù)由小到大排列為3，3，4，5，7，8，9，9，而，所以這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是3和9，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，這組數(shù)據(jù)的極差為6，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，D正確.故選：D.4.已知，是兩條不重合的直線，，是兩個(gè)不重合的平面，則使得成立的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A：若，，則或，若，又，則與可能平行、相交（不垂直）、異面（不垂直）、相交垂直、異面垂直，若，又，則與可能平行、異面（不垂直）、異面垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，，，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，，則，又，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，，則與可能平行或相交（不垂直）或垂直或，又，此時(shí)不能保證成立，如，此時(shí)與可能平行、異面（不垂直）、異面垂直，故D錯(cuò)誤.故選：C.5.將撲克牌4種花色的K，Q共8張洗勻，若甲已抽到了2張K后未放回，則乙抽到2張Q的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗甲抽到了2張K后未放回，則乙從余下6張牌中任取2張有種方法，抽到2張Q有種方法，所以乙抽到2張Q的概率為.故選：B.6.以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形稱為“勒洛三角形”．在如圖所示的勒洛三角形中，已知，點(diǎn)在上，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，垂直于方向?yàn)檩S，建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，所以，即，且，所以，所?故選：A.7.已知，，，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由得，兩邊平方得：，①由得，兩邊平方得：，②①+②得：，因?yàn)椋?，由可得：，即，所以，又，所以，所以，故A錯(cuò)誤；由，兩邊平方得，③由得，兩邊平方得：，④③+④得：，因?yàn)?，所以，故，由，，可得，故C正確，D錯(cuò)誤；綜上不是定值，故B錯(cuò)誤.故選：C.8.在矩形中，，，將沿對(duì)角線折起，使到，形成三棱錐，則異面直線與所成角的范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題可知，四邊形是矩形，，所以初始狀態(tài)時(shí)直線與直線所成的角為，已知矩形中，，，，翻折過程中，如下圖，因?yàn)?，所以，則與平面不垂直，因?yàn)?，，所以異面直線與不垂直，翻折過程中，當(dāng)平面與平面重合時(shí)，與所成銳角為異面直線與所成角的臨界值，如下圖：因?yàn)榫匦沃校?，，，，所以，同理，所以，即異面直線與所成角的臨界值為，所以異面直線與所成角的范圍為.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.盒子里有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中不放回地依次取出2個(gè)球，設(shè)事件“兩個(gè)球顏色相同”，“第1次取出的是紅球”，“第2次取出的是紅球”，“兩個(gè)球顏色不同”．則（）A.與互為對(duì)立事件 B.與互斥C.A與B相互獨(dú)立 D.〖答案〗AD〖解析〗依題意可設(shè)個(gè)紅球?yàn)椋?，?個(gè)白球?yàn)?，，則樣本空間為：，共個(gè)基本事件，事件，共個(gè)基本事件，事件，共個(gè)基本事件，事件，，共個(gè)基本事件，事件，共個(gè)基本事件，對(duì)于A，顯然、不可能同時(shí)發(fā)生，且與中一定有一個(gè)會(huì)發(fā)生，所以與互為對(duì)立事件，故A正確；對(duì)于B：注意到，則與不互斥，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，則，故與不獨(dú)立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，故D正確.故選：AD.10.已知，，，，則下列說法正確的是（）A.為純虛數(shù) B.C.的最大值為 D.若，則〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A：因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，，所以，故B正確；對(duì)于C：設(shè)，則，又，所以，所以點(diǎn)為以為圓心，為半徑的圓上的點(diǎn)，所以，表示點(diǎn)與點(diǎn)的距離，因?yàn)?，所以，故C正確；對(duì)于D：設(shè)所對(duì)應(yīng)的向量為，所對(duì)應(yīng)的向量為，因?yàn)?，則，所以，所以，所以，所以，即，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.在正四棱臺(tái)中，，，，點(diǎn)E在內(nèi)部（含邊界），則（）A.平面 B.二面角的大小為C.該四棱臺(tái)外接球的體積為 D.的最小值為〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，如圖1，設(shè)底面對(duì)角線交于點(diǎn)，由棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征易知與的延長(zhǎng)線必交于一點(diǎn)，故共面，又面面，而面面，面面，故，即；由，，，得，，即；所以四邊形是平行四邊形，故，而面，面，所以平面，故A正確；對(duì)于B，正四棱臺(tái)中，為中點(diǎn)，，則，由，則有，所以二面角平面角為，，，為正三角形，所以二面角的大小為，故B正確；對(duì)于C，如圖2，設(shè)為的中點(diǎn)，為正四棱臺(tái)外接球的球心，設(shè)外接球的半徑為，則，在等腰梯形中，易得，為方便計(jì)算，不妨設(shè)，則由，即，得，又，解得，即與重合，故，故球的體積為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由圖2易得，，，面，故面，不妨設(shè)落在圖3(在外)處，過作，交于，則面，面，故，故在中，（直角邊小于斜邊）；同理，，所以，故動(dòng)點(diǎn)只有落在上，才有可能取得最小值；再看圖4，由AB選項(xiàng)可知，，，和都為正三角形，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，可知，即與重合時(shí)，有最小值，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，則________．〖答案〗1〖解析〗向量，，則，所以.故〖答案〗為：1.13.已知，且，則________．〖答案〗或〖解析〗，解得：或，因?yàn)?，所以?故〖答案〗為：或.14.在中，，分別在邊上，且平分，平分，若，則________，________．〖答案〗〖解析〗設(shè)三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊的長(zhǎng)度分別為，則由角平分線定理可得，結(jié)合知，；同理有，，故，而，故，故由可得，即，從而，故，由于題目中的條件和所求的量均只涉及線段間的長(zhǎng)度比，故可以不妨設(shè)，從而，展開，合并同類項(xiàng)，即得，由于，故，從而，所以，同時(shí)，之前得到的又等價(jià)于，故，所以，從而，這就得到，故，假設(shè)，則，矛盾，故，從而由上面已經(jīng)得到的，就有，故，結(jié)合和就有，這就得到，所以，這就得到，最后，設(shè)，則，且，故，所以，即，從而或，而，故，所以，即，由于，故，而，故，從而，又因?yàn)?，故，所以，故，從而，這得到，故，從而由知，將弧度轉(zhuǎn)換為角度，就得到.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量，．（1）若，求；（2）若，且，求．解：（1）因?yàn)椋遥?，則，所以.（2）因?yàn)椋?，所以，則，所以，則，所以，又，所以，所以，所以.16.2024年4月25日，搭載神舟十八號(hào)載人飛船的長(zhǎng)征二號(hào)F遙十八運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射，航天員葉光富、李聰、李廣蘇開始了他們的太空征程．為紀(jì)念中國(guó)航天事業(yè)所取得的成就，發(fā)掘并傳承中國(guó)航天精神，某市隨機(jī)抽取2000名學(xué)生進(jìn)行了航天知識(shí)競(jìng)賽，將成績(jī)（滿分：150分）整理后分成五組，從左到右依次記為[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）補(bǔ)全頻率分布直方圖，并估計(jì)這2000名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)、求85%分位數(shù)（求平均值時(shí)同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）現(xiàn)從以上各組中采用分層抽樣的方法抽取200人，若第三組中被抽取的學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為94，方差為1，第四組中被抽取的學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為124，方差為2，求這200人中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[90，130）的學(xué)生成績(jī)的方差．解：（1）頻率為，所以該組數(shù)據(jù)的縱坐標(biāo)為，補(bǔ)齊的直方圖如圖：平均數(shù)為，因?yàn)榍叭M的頻率之和，而前四組的頻率之和，所以第分位數(shù)為第四組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)即.（2）設(shè)第三組的平均數(shù)是，權(quán)重為，方差為，設(shè)第四組的平均數(shù)是，權(quán)重為，方差為，兩組的平均數(shù)是，方差為，由直方圖可知?jiǎng)t，，則，根據(jù)分層抽樣方差公式得：.17.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）若點(diǎn)D在邊BC上，且，，求的值．解：（1）在中，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，，結(jié)合題意知，所以，所以，因?yàn)椋?（2）因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，化?jiǎn)得，因?yàn)?，所以，所?18.如圖，在