2023-2024學(xué)年浙江省北斗聯(lián)盟高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2浙江省北斗聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1．本卷共四頁(yè)滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘；2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3．所有〖答案〗必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效：4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.一、單選題（每小題5分共40分）1.集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，則，故B正確.故選：B2.已知空間兩條不同直線，兩個(gè)不同平面，下列命題正確的是（）①，則②，則③，則④，則A.①③ B.②④ C.①③④ D.①④〖答案〗C〖解析〗若，由線面垂直的性質(zhì)，垂直同一個(gè)平面的兩條直線平行，則，故①正確；若，則或與相交或異面，故②錯(cuò)誤；若，由垂直同一條直線的兩個(gè)平面平行，則，故③正確；若，由線面垂直和線面平行的性質(zhì)可得，故④正確.故選：C.3.已知非零向量，，則“兩向量，數(shù)量積大于0”是“兩向量，夾角是銳角”的（）條件A.必要 B.充分 C.充要 D.既不充分也不必要〖答案〗A〖解析〗因?yàn)榉橇阆蛄?，，所以?dāng)兩向量，數(shù)量積大于0時(shí)，兩向量，夾角是銳角或是零度的角，而當(dāng)兩向量，夾角是銳角時(shí)，兩向量，數(shù)量積大于0，所以“兩向量，數(shù)量積大于0”是“兩向量，夾角是銳角”的必要不充分條件.故選：A4.東陽(yáng)市一米陽(yáng)光公益組織主要進(jìn)行“敬老”和“助學(xué)”兩項(xiàng)公益項(xiàng)目，某周六，組織了七名大學(xué)生開(kāi)展了“筑夢(mèng)前行，陽(yáng)光助學(xué)”活動(dòng)后，大家合影留念，其中米一同學(xué)想與佳艷?劉西排一起，且要排在她們中間，則全部排法有（）種.A.120 B.240 C.480 D.720〖答案〗B〖解析〗因?yàn)槊滓煌瑢W(xué)想與佳艷?劉西排一起，所以捆綁在一起，與剩余4個(gè)同學(xué)作為5個(gè)元素全排列有種，又因?yàn)槊滓煌瑢W(xué)想與佳艷?劉西排一起，且在他們中間，則佳艷?劉西全排列有種，所以全部排法有：種，故選：B5.已知等差數(shù)列，前項(xiàng)和為是方程兩根，則（）A.2020 B.2022 C.2023 D.2024〖答案〗D〖解析〗因?yàn)槭欠匠虄筛?，所以，所?故選：D6.空間點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意得，所以，所以，所以點(diǎn)A到直線BC的距離.故選：D.7已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，，所以是第四象限角，所以，而，故，化?jiǎn)得，而，代入得，解得(正根舍去)，故B正確.故選：B8.三棱錐中，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗中，，由余弦定理得；設(shè)底面的外心為，外接圓的半徑為；由正弦定理，則；連結(jié)，此時(shí)的外接球的球心在上，利用直角可得：，設(shè)的外接球的半徑為；此時(shí)，在直角中，，即，解得；所以，三棱錐的外接球的表面積.故選：.二、多選題（每小題6分，共18分，多選．錯(cuò)選0分少選則根據(jù)比例得分）9.已知直線和直線，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則表示與軸平行或重合的直線B.直線可以表示任意一條直線C.若，則D.若，則〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，斜率為0，與軸平行或重合，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，斜率不存在，當(dāng)時(shí)，斜率存在，能表示任意直線，故B正確；對(duì)于C，若，且或，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則由可得斜率之積為-1，故，若，可得，此時(shí)滿(mǎn)足，此時(shí)兩條直線一條斜率為0，一條斜率不存在，故，故D正確.故選：ABD.10.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)積為，且滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.存在最大值〖答案〗ACD〖解析〗由已知，又，，所以，，A正確，B錯(cuò)誤；，，所以，C正確；因?yàn)榍遥缘缺葦?shù)列遞減數(shù)列，于是，則的最大值為，D正確.故選：ACD11.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)不恒為零，滿(mǎn)足等式，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.在定義域上單調(diào)遞增C.是偶函數(shù) D.函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，令得，即，A正確；對(duì)于B，若在定義域上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，令，得，即，與在定義域上單調(diào)遞增矛盾，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若偶函數(shù)，則，且，因?yàn)椋?，所以，即，得或，又，所以恒成立，矛盾，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，記，則所以，令解得或，因?yàn)椴缓銥榱?，所以在兩邊異?hào)，所以為的極值點(diǎn)，所以函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，D正確.故選：AD三、填空題（每小題5分共15分）12.復(fù)數(shù)，則的虛部為_(kāi)_____．〖答案〗1〖解析〗因?yàn)?，所以，，故的虛部?.故〖答案〗為：113.一學(xué)校對(duì)高二女生身高情況進(jìn)行采樣調(diào)查，抽取了10個(gè)同學(xué)的身高：161，160，152，155，170，157，178，175，172，162，則估計(jì)這些女生的上四分位數(shù)是______〖答案〗172〖解析〗10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列為：，，上四分位數(shù)是第8個(gè)數(shù)據(jù)，即172.故〖答案〗為：172.14.在中，，，，為邊上一點(diǎn)，，，，則的最小值為_(kāi)_____〖答案〗〖解析〗因?yàn)闉檫吷弦稽c(diǎn)，過(guò)作交于，則，當(dāng)在之間時(shí)，無(wú)法構(gòu)成，此時(shí)如圖所示，所以在的延長(zhǎng)線上，可得，所以，，因?yàn)?，所以，，而在中，，，可得，，在中，由正弦定理得，即，可得，，所以，，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，此時(shí)解得，所以的最小值為.故〖答案〗為：.四、解答題（共77分）15.函數(shù)，求的最大值和最小值解：，又時(shí)遞減，時(shí)遞增，且，，，16.如圖多面體，底面為菱形，，，，平面平面.（1）求證：；（2）求平面與平面所成銳角的余弦值.解：（1）在中，，由，，所以，由余弦定理可得，所以，所以，即，又，，又平面平面，且平面平面，平面，平面，又平面，，在菱形中，又，平面，平面，平面，.（2）菱形中，所以為等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，所以，又，所以，又平面，以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，，設(shè)，則，又，所以，所以，即，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，取，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面所成銳角的余弦值為.17.（1）求圓和圓的公切線（2）若與拋物線相交，求弦長(zhǎng)解：（1）當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)公切線為，因?yàn)榕c兩圓相切，所以，解得.切線當(dāng)斜率不存在時(shí)，也符合題意，綜上：公切線為：或；（2）當(dāng)切線和時(shí)經(jīng)檢驗(yàn)無(wú)交點(diǎn)，當(dāng)切線為時(shí)，求得弦長(zhǎng)為1，當(dāng)切線為時(shí)，代入，得：，由韋達(dá)定理得，所以由弦長(zhǎng)公式得：，，綜上：弦長(zhǎng)為1或18.在高等數(shù)學(xué)中對(duì)于二階線性遞推式求數(shù)列通項(xiàng)，有一個(gè)特殊的方法特征根法：我們把遞推數(shù)列的特征方程寫(xiě)為①，若①有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則可令；若①有兩個(gè)相同的實(shí)根，則可令，再根據(jù)求出，代入即可求出數(shù)列的通項(xiàng).（1）斐波那契數(shù)列（Fibonaccisequence），又稱(chēng)黃金分割數(shù)列，因出自于意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的一道兔子繁殖問(wèn)題而得名.斐波那契數(shù)列指的是形如的數(shù)列，這個(gè)數(shù)列的前兩項(xiàng)為1，從第三項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，請(qǐng)求出斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列中，數(shù)列滿(mǎn)足，數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）易知斐波那契數(shù)列對(duì)應(yīng)的特征方程為，解得兩個(gè)實(shí)根分別為，令，代入可得，解得，所以斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）易知數(shù)列對(duì)應(yīng)的特征方程為，解得，所以令，代入，解得，所以，所以，所以是公差為1的等差數(shù)列，，所以，所以19.已知點(diǎn)為焦點(diǎn)在軸上的等軸雙曲線上的一點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）已知直線且交雙曲線右支于兩點(diǎn)，直線分別交該雙曲線斜率為正的漸近線于兩點(diǎn)，設(shè)四邊形和三角形的面積分別為和，求的取值范圍.解：（1）設(shè)等軸雙曲線方程為，代入點(diǎn)可得，所以，所以雙曲線方程為.（2）因?yàn)?，所以，又，所以，設(shè)直線，聯(lián)立，可得，因?yàn)槭请p曲線右支的兩點(diǎn)，所以，解得.又因?yàn)殡p曲線斜率為正的漸近線為，直線，可得，同理可得，而，所以，即，所以.浙江省北斗聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1．本卷共四頁(yè)滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘；2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3．所有〖答案〗必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效：4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.一、單選題（每小題5分共40分）1.集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，則，故B正確.故選：B2.已知空間兩條不同直線，兩個(gè)不同平面，下列命題正確的是（）①，則②，則③，則④，則A.①③ B.②④ C.①③④ D.①④〖答案〗C〖解析〗若，由線面垂直的性質(zhì)，垂直同一個(gè)平面的兩條直線平行，則，故①正確；若，則或與相交或異面，故②錯(cuò)誤；若，由垂直同一條直線的兩個(gè)平面平行，則，故③正確；若，由線面垂直和線面平行的性質(zhì)可得，故④正確.故選：C.3.已知非零向量，，則“兩向量，數(shù)量積大于0”是“兩向量，夾角是銳角”的（）條件A.必要 B.充分 C.充要 D.既不充分也不必要〖答案〗A〖解析〗因?yàn)榉橇阆蛄浚?，所以?dāng)兩向量，數(shù)量積大于0時(shí)，兩向量，夾角是銳角或是零度的角，而當(dāng)兩向量，夾角是銳角時(shí)，兩向量，數(shù)量積大于0，所以“兩向量，數(shù)量積大于0”是“兩向量，夾角是銳角”的必要不充分條件.故選：A4.東陽(yáng)市一米陽(yáng)光公益組織主要進(jìn)行“敬老”和“助學(xué)”兩項(xiàng)公益項(xiàng)目，某周六，組織了七名大學(xué)生開(kāi)展了“筑夢(mèng)前行，陽(yáng)光助學(xué)”活動(dòng)后，大家合影留念，其中米一同學(xué)想與佳艷?劉西排一起，且要排在她們中間，則全部排法有（）種.A.120 B.240 C.480 D.720〖答案〗B〖解析〗因?yàn)槊滓煌瑢W(xué)想與佳艷?劉西排一起，所以捆綁在一起，與剩余4個(gè)同學(xué)作為5個(gè)元素全排列有種，又因?yàn)槊滓煌瑢W(xué)想與佳艷?劉西排一起，且在他們中間，則佳艷?劉西全排列有種，所以全部排法有：種，故選：B5.已知等差數(shù)列，前項(xiàng)和為是方程兩根，則（）A.2020 B.2022 C.2023 D.2024〖答案〗D〖解析〗因?yàn)槭欠匠虄筛?，所以，所以，所?故選：D6.空間點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意得，所以，所以，所以點(diǎn)A到直線BC的距離.故選：D.7已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，，所以是第四象限角，所以，而，故，化?jiǎn)得，而，代入得，解得(正根舍去)，故B正確.故選：B8.三棱錐中，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗中，，由余弦定理得；設(shè)底面的外心為，外接圓的半徑為；由正弦定理，則；連結(jié)，此時(shí)的外接球的球心在上，利用直角可得：，設(shè)的外接球的半徑為；此時(shí)，在直角中，，即，解得；所以，三棱錐的外接球的表面積.故選：.二、多選題（每小題6分，共18分，多選．錯(cuò)選0分少選則根據(jù)比例得分）9.已知直線和直線，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則表示與軸平行或重合的直線B.直線可以表示任意一條直線C.若，則D.若，則〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，斜率為0，與軸平行或重合，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，斜率不存在，當(dāng)時(shí)，斜率存在，能表示任意直線，故B正確；對(duì)于C，若，且或，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則由可得斜率之積為-1，故，若，可得，此時(shí)滿(mǎn)足，此時(shí)兩條直線一條斜率為0，一條斜率不存在，故，故D正確.故選：ABD.10.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)積為，且滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.存在最大值〖答案〗ACD〖解析〗由已知，又，，所以，，A正確，B錯(cuò)誤；，，所以，C正確；因?yàn)榍遥缘缺葦?shù)列遞減數(shù)列，于是，則的最大值為，D正確.故選：ACD11.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)不恒為零，滿(mǎn)足等式，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.在定義域上單調(diào)遞增C.是偶函數(shù) D.函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，令得，即，A正確；對(duì)于B，若在定義域上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，令，得，即，與在定義域上單調(diào)遞增矛盾，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若偶函數(shù)，則，且，因?yàn)?，所以，所以，即，得或，又，所以恒成立，矛盾，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，記，則所以，令解得或，因?yàn)椴缓銥榱?，所以在兩邊異?hào)，所以為的極值點(diǎn)，所以函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，D正確.故選：AD三、填空題（每小題5分共15分）12.復(fù)數(shù)，則的虛部為_(kāi)_____．〖答案〗1〖解析〗因?yàn)椋?，，故的虛部?.故〖答案〗為：113.一學(xué)校對(duì)高二女生身高情況進(jìn)行采樣調(diào)查，抽取了10個(gè)同學(xué)的身高：161，160，152，155，170，157，178，175，172，162，則估計(jì)這些女生的上四分位數(shù)是______〖答案〗172〖解析〗10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列為：，，上四分位數(shù)是第8個(gè)數(shù)據(jù)，即172.故〖答案〗為：172.14.在中，，，，為邊上一點(diǎn)，，，，則的最小值為_(kāi)_____〖答案〗〖解析〗因?yàn)闉檫吷弦稽c(diǎn)，過(guò)作交于，則，當(dāng)在之間時(shí)，無(wú)法構(gòu)成，此時(shí)如圖所示，所以在的延長(zhǎng)線上，可得，所以，，因?yàn)?，所以，，而在中，，，可得，，在中，由正弦定理得，即，可得，，所以，，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，此時(shí)解得，所以的最小值為.故〖答案〗為：.四、解答題（共77分）15.函數(shù)，求的最大值和最小值解：，又時(shí)遞減，時(shí)遞增，且，，，16.如圖多面體，底面為菱形，，，，平面平面.（1）求證：；（2）求平面與平面所成銳角的余弦值.解：（1）在中，，由，，所以，由余弦定理可得，所以，所以，即，又，，又平面平面，且平面平面，平面，平面，又平面，，在菱形中，又，平面，平面，平面，.（2）菱形中，所以為等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，所以，又，所以，又平面，以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，，設(shè)，則，又，所以，所以，即，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，取，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面所成銳角的余弦值為.17.（1）求圓和圓的公切線（2）若與拋物線相交，求弦長(zhǎng)解：（1）當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)公切線為，因?yàn)榕c兩圓相切，所以，解得.切線當(dāng)斜率不存在