高中數(shù)學(xué) 2.2 第2課時(shí) 反證法練習(xí) 新人教A版選修1-2

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)2.2第2課時(shí)反證法練習(xí)新人教A版選修1-2一、選擇題1．命題“三角形中最多只有一個(gè)內(nèi)角是直角”的結(jié)論的否定是()A．有兩個(gè)內(nèi)角是直角 B．有三個(gè)內(nèi)角是直角C．至少有兩個(gè)內(nèi)角是直角 D．沒(méi)有一個(gè)內(nèi)角是直角[答案]C[解析]“最多只有一個(gè)”的含義是“有且僅有一個(gè)或者沒(méi)有”，因此它的反面應(yīng)是“至少有兩個(gè)”．2．實(shí)數(shù)a、b、c不全為0等價(jià)于()A．a(chǎn)、b、c均不為0 B．a(chǎn)、b、c中至多有一個(gè)為0C．a(chǎn)、b、c中至少有一個(gè)為0 D．a(chǎn)、b、c中至少有一個(gè)不為0[答案]D[解析]“不全為0”的含義是至少有一個(gè)不為0，其否定應(yīng)為“全為0”．[點(diǎn)評(píng)]要與“a、b、c全不為0”加以區(qū)別，“a、b、c全不為0”是指a、b、c中沒(méi)有一個(gè)為0，其否定應(yīng)為“a、b、c中至少有一個(gè)為0”．3．如果兩個(gè)數(shù)之和為正數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)()A．一個(gè)是正數(shù)，一個(gè)是負(fù)數(shù) B．都是正數(shù)C．不可能有負(fù)數(shù) D．至少有一個(gè)是正數(shù)[答案]D[解析]兩個(gè)數(shù)的和為正數(shù)，可以是一正一負(fù)，也可以是一正一為0，還可以是兩正，但不可能是兩負(fù)．4．若P是兩條異面直線(xiàn)l、m外的任意一點(diǎn)，則()A．過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線(xiàn)與l、m都平行B．過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線(xiàn)與l、m都垂直C．過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線(xiàn)與l、m都相交D．過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線(xiàn)與l、m都異面[答案]B[解析]對(duì)于A，若存在直線(xiàn)n，使n∥l且n∥m，則有l(wèi)∥m，與l，m異面矛盾；對(duì)于C，過(guò)點(diǎn)P與l，m都相交的直線(xiàn)不一定存在，反例如圖(l∥α)；對(duì)于D，過(guò)點(diǎn)P與l，m都異面的直線(xiàn)不唯一．5．設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c滿(mǎn)足a＋b＋c＝1，則a、b、c中至少有一個(gè)數(shù)不小于()A．0 B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．1[答案]B[解析]三個(gè)數(shù)a、b、c的和為1，其平均數(shù)為eq\f(1,3)，故三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)大于或等于eq\f(1,3).假設(shè)a、b、c都小于eq\f(1,3)，則a＋b＋c<1與已知矛盾．6．若a>b>0，則下列不等式中總成立的是()A．a(chǎn)＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a) B．eq\f(b,a)>eq\f(b＋1,a＋1)C．a(chǎn)＋eq\f(1,a)>b＋eq\f(1,b) D．eq\f(2a＋b,a＋2b)>eq\f(a,b)[答案]A[解析]可通過(guò)舉反例說(shuō)明B、C、D均是錯(cuò)誤的，或直接論證A選項(xiàng)正確．二、填空題7．“x＝0且y＝0”的否定形式為_(kāi)_______．[答案]x≠0或y≠0[解析]“p且q”的否定形式為“?p或?q”．8．和兩條異面直線(xiàn)AB、CD都相交的兩條直線(xiàn)AC、BD的位置關(guān)系是________．[答案]異面[解析]假設(shè)AC與BD共面于平面α，則A、C、B、D都在平面α內(nèi)，∴AB?α，CD?α，這與AB、CD異面相矛盾，故AC與BD異面．9．在空間中有下列命題：①空間四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線(xiàn)，則這四點(diǎn)必共面；②空間四點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)不共線(xiàn)，則這四點(diǎn)不共面；③垂直于同一直線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行；④兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形．其中真命題是________．[答案]①[解析]四點(diǎn)中若有三點(diǎn)共線(xiàn)，則這條直線(xiàn)與另外一點(diǎn)必在同一平面內(nèi)，故①真；四點(diǎn)中任何三點(diǎn)不共線(xiàn)，這四點(diǎn)也可以共面，如正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，故②假；正方體交于同一頂點(diǎn)的三條棱所在直線(xiàn)中，一條與另兩條都垂直，故③假；空間四邊形ABCD中，可以有AB＝CD，AD＝BC，例如將平行四邊形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)BD折起構(gòu)成空間四邊形，這時(shí)它的兩組對(duì)邊仍保持相等，故④假．三、解答題10．實(shí)數(shù)a、b、c、d滿(mǎn)足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1.求證：a、b、c、d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)．[解析]假設(shè)a、b、c、d都是非負(fù)數(shù)．則1＝(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd，即ac＋bd≤1.這與已知ac＋bd>1矛盾，所以假設(shè)不成立．故a、b、c、d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)．[點(diǎn)評(píng)]該命題中含有“至少”字樣，故想到用反證法來(lái)證明，又因?yàn)橐阎杏衋c＋bd>1這一條件，要想構(gòu)造出ac＋bd，需用(a＋b)乘以(c＋d).一、選擇題11．(·山東青島二中高二期中)用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)大于60°”，反證假設(shè)正確的是()A．假設(shè)三內(nèi)角都大于60°B．假設(shè)三內(nèi)角都不大于60°C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60°D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60°[答案]B12．設(shè)a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，則“PQR>0”是P、Q、R同時(shí)大于零的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件[答案]C[解析]若P>0，Q>0，R>0，則必有PQR>0；反之，若PQR>0，也必有P>0，Q>0，R>0.因?yàn)楫?dāng)PQR>0時(shí)，若P、Q、R不同時(shí)大于零，則P、Q、R中必有兩個(gè)負(fù)數(shù)，一個(gè)正數(shù)，不妨設(shè)P<0，Q<0，R>0，即a＋b<c，b＋c<a，兩式相加得b<0，這與已知b∈R＋矛盾，因此必有P>0，Q>0，R>0.13．若x、y>0且x＋y>2，則eq\f(1＋y,x)和eq\f(1＋x,y)的值滿(mǎn)足()A．eq\f(1＋y,x)和eq\f(1＋x,y)中至少有一個(gè)小于2 B．eq\f(1＋y,x)和eq\f(1＋x,y)都小于2C．eq\f(1＋y,x)和eq\f(1＋x,y)都大于2 D．不確定[答案]A[解析]假設(shè)eq\f(1＋x,y)≥2和eq\f(1＋y,x)≥2同時(shí)成立．因?yàn)閤>0，y>0，∴1＋x≥2y且1＋y≥2x，兩式相加得1＋x＋1＋y≥2(x＋y)，即x＋y≤2，這與x＋y>2相矛盾，因此eq\f(1＋y,x)和eq\f(1＋x,y)中至少有一個(gè)小于2.14．下面的四個(gè)不等式：①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；②a(1－a)≤eq\f(1,4)；③eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2；④(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.其中恒成立的有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)[答案]C[解析]∵a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，a(1－a)－eq\f(1,4)＝－a2＋a－eq\f(1,4)＝－(a－eq\f(1,2)2)≤0，(a2＋b2)·(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2≥a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)只有當(dāng)eq\f(b,a)＞0時(shí)，才有eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2成立，∴應(yīng)選C.二、填空題15．用反證法證明命題：“若a、b是實(shí)數(shù)，且|a－1|＋|b－1|＝0，則a＝b＝1”時(shí)，應(yīng)作的假設(shè)是________．[答案]假設(shè)a≠1或b≠1[解析]結(jié)論“a＝b＝1”的含義是a＝1且b＝1，故其否定應(yīng)為“a≠1或b≠1”．16．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎(jiǎng)，有人走訪了四位歌手，甲說(shuō)：“是乙或丙獲獎(jiǎng)．”乙說(shuō)：“甲、丙都未獲獎(jiǎng)．”丙說(shuō)：“我獲獎(jiǎng)了．”丁說(shuō)：“是乙獲獎(jiǎng)．”四位歌手的話(huà)只有兩名是對(duì)的，則獲獎(jiǎng)的歌手是________．[答案]丙[解析]若甲獲獎(jiǎng)，則甲、乙、丙、丁說(shuō)的都是錯(cuò)的，同理可推知乙、丙、丁獲獎(jiǎng)的情況，最后可知獲獎(jiǎng)的歌手是丙．三、解答題17已知非零實(shí)數(shù)a、b、c構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列，求證：eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)不能構(gòu)成等差數(shù)列．[解析]假設(shè)eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)能構(gòu)成等差數(shù)列，則eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)，于是得bc＋ab＝2ac.①而由于a、b、c構(gòu)成等差數(shù)列，即2b＝a＋c.②所以由①②兩式得，(a＋c)2＝4ac，即(a－c)2＝0，于是得a＝b＝c，這與a，b，c構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列矛盾．故假設(shè)不成立，因此eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)不能構(gòu)成等差數(shù)列．18．用反證法證明：已知a、b均為有理數(shù)，且eq\r(a)和eq\r(b)都是無(wú)理數(shù)，求證：eq\r(a)＋eq\r(b)是無(wú)理數(shù)．[解析]解法一：假設(shè)eq\r(a)＋eq\r(b)為有理數(shù)，令eq\r(a)＋eq\r(b)＝t，則eq\r(b)＝t－eq\r(a)，兩邊平方，得b＝t2－2teq\r(a)＋a，∴eq\r(a)＝eq\f(t2＋a－b,2t).∵a、b、t均為有理數(shù)，∴eq\f(t2＋a－b,2t)也是有理數(shù)．即eq\r(a)為有理數(shù)，這與已知eq\r(a)為無(wú)理數(shù)矛盾．故假設(shè)不成立．∴eq\r(a)＋eq\r(b)一定是無(wú)理數(shù)．解法二：假設(shè)eq\r(a)＋eq\r(b)為有理數(shù)，則(eq\r(a)＋eq\r(b))(eq\r(a)－eq\r(b))＝a－b.由a>0，b>0，得eq\r(a)＋eq\r(b)>0.∴eq\r(a)－eq\r(b)＝eq\f(a－b,\r(