高中數(shù)學(xué) 3.2 第1課時(shí)基礎(chǔ)鞏固 北師大版選修2-2

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)3.2第1課時(shí)基礎(chǔ)鞏固北師大版選修2-2一、選擇題1．質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度v(單位：m/s)是時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)，且v＝v(t)，則v′(1)表示()A．t＝1s時(shí)的速度 B．t＝1s時(shí)的加速度C．t＝1s時(shí)的位移 D．t＝1s時(shí)的平均速度[答案]B[解析]v(t)的導(dǎo)數(shù)v′(t)表示t時(shí)刻的加速度．2．某汽車啟動(dòng)階段的路程函數(shù)為s(t)＝2t3－5t2(t表示時(shí)間)，則t＝2時(shí)，汽車的加速度是()A．14 B．4C．10 D．6[答案]A[解析]速度v(t)＝s′(t)＝6t2－10t.所以加速度a(t)＝v′(t)＝12t－10，當(dāng)t＝2時(shí)，a(t)＝14，即t＝2時(shí)汽車的加速度為14.3．下列四個(gè)命題：①曲線y＝x3在原點(diǎn)處沒有切線；②若函數(shù)f(x)＝eq\r(x)，則f′(0)＝0；③加速度是動(dòng)點(diǎn)位移函數(shù)s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)；④函數(shù)y＝x5的導(dǎo)函數(shù)的值恒非負(fù)．其中真命題的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4[答案]A[解析]①中y′＝3x2，x＝0時(shí)，y′＝0，∴y＝x3在原點(diǎn)處的切線為y＝0；②中f(x)在x＝0處導(dǎo)數(shù)不存在；③中s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)為瞬時(shí)速度；④中y′＝5x4≥0.所以命題①②③為假命題，④為真命題．二、填空題4．人體血液中藥物的質(zhì)量濃度c＝f(t)(單位：mg/mL)隨時(shí)間t(單位：min)變化，若f′(2)＝0.3，則f′(2)表示________．[答案]服藥后2分鐘時(shí)血液中藥物的質(zhì)量濃度以每分鐘0.3mg/mL的速度增加．5．假設(shè)某國家在20年間的平均通貨膨脹率為5%，物價(jià)p(單位：元)與時(shí)間t(單位：年)有如下函數(shù)關(guān)系：p(t)＝p0(1＋5%)t，其中p0為t＝0時(shí)的物價(jià)．假定某種商品的p0＝1，那么在第10個(gè)年頭，這種商品價(jià)格上漲的速度大約是________元/年(精確到0.01)．[答案]0.08[解析]因?yàn)閜0＝1，所以p(t)＝(1＋5%)t＝1.05t，在第10個(gè)年頭，這種商品價(jià)格上漲的速度，即為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在t＝10時(shí)的函數(shù)值．因?yàn)閜′(t)＝(1.05t)′＝1.05t·ln1.05，所以p′(10)＝1.0510×ln1.05≈0.08(元/年)．因此，在第10個(gè)年頭，這種商品的價(jià)格約以0.08元/年的速度上漲．三、解答題6．某機(jī)械廠生產(chǎn)某種機(jī)器配件的最大生產(chǎn)能力為每日100件，假設(shè)日產(chǎn)品的總成本C(元)與日產(chǎn)量x(件)的函數(shù)關(guān)系式為C(x)＝eq\f(1,4)x2＋60x＋2050.求：(1)日產(chǎn)量75件時(shí)的總成本和平均成本；(2)當(dāng)日產(chǎn)量由75件提高到90件，總成本的平均改變量；(3)當(dāng)日產(chǎn)量為75件時(shí)的邊際成本．[解析](1)當(dāng)x＝75時(shí)，C(75)＝eq\f(1,4)×752＋60×75＋2050＝7956.25(元)，∴eq\f(C75,75)≈106.08(元/件)．故日產(chǎn)量75件時(shí)的總成本和平均成本分別為7956.25元，106.08元/件．(2)當(dāng)日產(chǎn)量由75件提高到90件時(shí)，總成本的平均改變量eq\f(ΔC,Δx)＝eq\f(C90－C75,90－75)＝101.25(元/件)．(3)當(dāng)日產(chǎn)量為75件時(shí)的邊際成本∴C′(x)＝eq\f(1,2)x＋60，∴C′(75)＝97.5(元).一、選擇題1．一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為s＝1－t＋t2，(s的單位是s，t的單位是s)，那么物體在3s末的瞬時(shí)速度是()A．7米/秒 B．6米/秒C．5米/秒 D．8米/秒[答案]C[解析]s′(t)＝2t－1，∴s′(3)＝2×3－1＝5.2．如果質(zhì)點(diǎn)A按規(guī)律s＝3t2運(yùn)動(dòng)，則在t＝3時(shí)的瞬時(shí)速度為()A．6 B．18C．54 D．81[答案]B[解析]瞬時(shí)速度v＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(33＋Δt2－3×32,Δt)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))3(6＋Δt)＝18.3．如圖，設(shè)有定圓C和定點(diǎn)O，當(dāng)l從l0開始在平面上繞O勻速旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角度不超過90°)時(shí)，它掃過的圓內(nèi)陰影部分的面積S是時(shí)間t的函數(shù)，它的圖像大致是()[答案]D[解析]由于是勻速旋轉(zhuǎn)，所以陰影部分的面積在開始和最后時(shí)段緩慢增加，而中間時(shí)段相對(duì)增速較快．選項(xiàng)A表示面積的增速是常數(shù)，與實(shí)際不符；選項(xiàng)B表示最后時(shí)段面積的增速較快，也與實(shí)際不符；選項(xiàng)C表示開始時(shí)段和最后時(shí)段面積的增速比中間時(shí)段快，與實(shí)際不符；選項(xiàng)D表示開始和最后時(shí)段面積的增速緩慢，中間時(shí)段增速較快．符合實(shí)際．[點(diǎn)評(píng)]函數(shù)變化的快慢可通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)體現(xiàn)出來，導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值越大，函數(shù)變化越快，函數(shù)圖像就比較“陡峭”，反之，函數(shù)圖像就“平緩”一些．4．設(shè)一輛轎車在公路上做加速直線運(yùn)動(dòng)，假設(shè)速度v(單位：m/s)與時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)關(guān)系為v＝v(t)＝t3＋3t，則t＝t0s時(shí)轎車的加速度為()m/s2A．teq\o\al(3,0)＋3t0 B．3teq\o\al(2,0)＋3C．3teq\o\al(3,0)＋3t0 D．teq\o\al(3,0)＋3[答案]B[解析]∵v′(t)＝3t2＋3，則當(dāng)t＝t0s時(shí)的速度變化率為v′(t0)＝3teq\o\al(2,0)＋3(m/s2)．即t＝t0s時(shí)轎車的加速度為(3teq\o\al(2,0)＋3)m/s2.[點(diǎn)評(píng)]運(yùn)動(dòng)方程s＝s(t)的導(dǎo)數(shù)表示的是t時(shí)刻時(shí)的瞬時(shí)速度，速度方程v＝v(t)的導(dǎo)數(shù)表示的是t時(shí)刻時(shí)的加速度．5．(·湖北理)設(shè)球的半徑為時(shí)間t的函數(shù)R(t)．若球的體積以均勻速度C增長(zhǎng)，則球的表面積的增長(zhǎng)速度與球半徑()A．成正比，比例系數(shù)為C B．成正比，比例系數(shù)為2C．成反比，比例系數(shù)為C D．成反比，比例系數(shù)為2[答案]D[解析]本題主要考查導(dǎo)數(shù)的有關(guān)應(yīng)用．根據(jù)題意，V＝eq\f(4,3)πR3(t)，S＝4πR2(t)，球的體積增長(zhǎng)速度為V′＝4πR2(t)·R′(t)球的表面積增長(zhǎng)速度S′＝2·4πR(t)·R′(t)，又∵球的體積以均勻速度C增長(zhǎng)，∴球的表面積的增長(zhǎng)速度與球半徑成反比，比例系數(shù)為2C二、填空題6．一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，如果由始點(diǎn)起經(jīng)過ts后的位移為s＝3t2＋t，則速度v＝10時(shí)的時(shí)刻t＝________.[答案]eq\f(3,2)[解析]s′＝6t＋1，則v(t)＝6t＋1，設(shè)6t＋1＝10，則t＝eq\f(3,2).7．原油是工業(yè)的血液，它通過處理可變?yōu)楦鞣N工業(yè)原料和燃料．要從原油提取各種原料需要將原油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第xh時(shí)，原油溫度(單位：℃)為f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．計(jì)算第6h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率為________，其意義為________________________________________________________________________．[答案]5在第6h附近時(shí)，原油溫度約以5℃/h的速度上升[解析]f′(x)＝2x－7，則f′(6)＝2×6－7＝5.在第6h附近時(shí)，原油溫度大約以5℃/h的速度上升三、解答題8．如圖所示，為甲、乙兩化工廠在某一時(shí)間段的排污量與時(shí)間的關(guān)系圖示(其中W1(t)，W2(t)分別表示甲、乙兩工廠的排污量)，試比較哪個(gè)工廠的治污效果好？[分析]取區(qū)間[x0，x0＋Δx]，則由|eq\f(Δy,Δx)|＝|eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)|來比較治污效果的好杯．[解析]觀察圖形，單位時(shí)間內(nèi)，W1(t)中|eq\f(Δy,Δt)|比較大，而W2(t)中|eq\f(Δy,Δt)|比較小，工廠甲比工廠乙的平均治污染率大，從而判定工廠甲治污效果更好．[點(diǎn)評(píng)]從“陡峭”的程度上也可形象說明，W1(t)圖形更加“陡峭”，因而當(dāng)Δt相同時(shí)，Δy＝f(t0＋Δt)－f(t0)的值比W2(t)更大些．9．一杯80℃的熱紅茶置于20℃的房間里，它的溫度會(huì)逐漸下降．溫度T(單位：℃)與時(shí)間t(單位：min)間的關(guān)系，由函數(shù)T＝f(t)給出．請(qǐng)問：(1)f′(t)的符號(hào)是什么？為什么？(2)f′(3)＝－4的實(shí)際意義是什么？如果f(3)＝65℃，你能畫出函數(shù)在點(diǎn)t＝3min時(shí)圖像的大致形狀嗎？[解析](1)f′(t)是負(fù)數(shù)．因?yàn)閒′(t)表示溫度隨時(shí)間的變化率，而溫度是逐漸下降的，所以f′(t)為負(fù)數(shù)．(2)f′(3)＝－4表明在3min附近時(shí)，溫度約以4℃/min的速度下降，如圖所示．10．當(dāng)銷售量為x，總利潤(rùn)為L(zhǎng)＝L(x)時(shí)，稱L′(x)為銷售量為x時(shí)的邊際利潤(rùn)，它近似等于銷售量為x時(shí)，再多銷售一個(gè)單位產(chǎn)品所增加或減少的利潤(rùn)．某糕點(diǎn)加工廠生產(chǎn)A類糕點(diǎn)的總成本函數(shù)和總收入函數(shù)分別是C(x)＝100＋2x＋0.02x2，R(x)＝7