蘇教版（2019）選擇性必修第一冊《3.1 橢圓》同步練習(xí)卷

蘇教版（2019）選擇性必修第一冊《3.1橢圓》2023年同步練習(xí)卷一、選擇題1．橢圓上任一點P到點Q（1，0）的距離的最小值為（）A． B． C．2 D．2．已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上、下頂點分別為A，B，若四邊形AF2BF1是正方形且面積為4，則橢圓C的方程為（）A． B． C． D．3．橢圓+＝1的焦點F1，F(xiàn)2，點P為其上的動點，當(dāng)∠F1PF2為鈍角時，點P橫坐標(biāo)的取值范圍是（）A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，） D．（﹣，）4．已知橢圓上一點P，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，若△F1PF2為直角三角形，則滿足條件的點P有（）A．3個 B．4個 C．6個 D．8個5．已知F1，F(xiàn)2是橢圓的左，右焦點，過F2的直線與橢圓交于P，Q兩點，PQ⊥PF1，且|QF1|＝2|PF1|，則△PF1F2與△QF1F2的面積之比為（）A．2﹣ B．﹣1 C．+1 D．2+6．過點M（﹣2，0）的直線m與橢圓+y2＝1交于P1、P2兩點，線段P1P2的中點為P，設(shè)直線m的斜率為k1（k≠0），直線OP的斜率為k2，則k1k2的值為（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣7．如圖所示，已知橢圓C：＝1（a＞b＞0），⊙O：x2+y2＝b2，點A、F分別是橢圓C的左頂點和左焦點，點P是⊙O上的動點，且為定值，則橢圓C的離心率為（）A． B． C． D．8．已知橢圓+＝1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為A、B，點C為橢圓上異于長軸端點的任意一點，在△ABC中，若＞3，則橢圓離心率的取值范圍為（）A．（，1） B．（0，） C．（，1） D．（0，）二、多選題（多選）9．如圖所示，“嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點第三次變軌進入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月飛行，若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸的長，下列式子中正確的是（）A．a(chǎn)1+c1＝a2+c2 B．a(chǎn)1﹣c1＝a2﹣c2 C．c1a2＞a1c2 D．（多選）10．設(shè)橢圓的方程為，斜率為k的直線不經(jīng)過原點O，而且與橢圓相交于A，B兩點，M為線段AB的中點．下列結(jié)論正確的是（）A．若點M坐標(biāo)為（1，1），則直線方程為2x+y﹣3＝0 B．直線AB與OM垂直 C．若直線方程為y＝x+2，則 D．若直線方程為y＝x+1，則點M坐標(biāo)為（多選）11．已知橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，P是圓x2+y2＝a2上且不在x軸上的一點，△PF1F2的面積為b2，設(shè)C的離心率為e，∠F1PF2＝θ，則（）A．|PF1|+|PF2|＞2a B． C． D．tanθ＝2三、填空題12．已知橢圓C：+＝1的左、右頂點分別為A、B，點P橢圓C上不同于A、B兩點的動點，若直線PA斜率的取值范圍是[1，2]，則直線PB斜率的取值范圍是．13．已知橢圓C：的右焦點為F，過點F作圓x2+y2＝b2的切線，若兩條切線互相垂直，則C的離心率為．四、解答題14．已知橢圓x2+（m+3）y2＝m（m＞0）的離心率e＝，求m的值及橢圓的長軸長，短軸長、焦點坐標(biāo)及頂點坐標(biāo)．15．已知點A（0，﹣2），橢圓的長軸長是短軸長的2倍，F(xiàn)是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點．（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)過點A（0，﹣2）的動直線l與橢圓E相交于P，Q兩點．當(dāng)△OPQ的面積最大時，求直線l的方程．16．已知橢圓的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，短軸兩個端點為A，B，且四邊形F1AF2B是邊長為2的正方形．（1）求橢圓C的方程；（2）已知圓的方程是x2+y2＝a2+b2，過圓上任一點P作橢圓C的兩條切線l1與l2，求證：l1⊥l2．17．已知橢圓，過F（2，0）的直線l交橢圓于A，B兩點，點C在直線x＝3上，若△ABC為正三角形，求△ABC的面積．

蘇教版（2019）選擇性必修第一冊《3.1橢圓》2023年同步練習(xí)卷參考答案與試題解析一、選擇題1．【分析】設(shè)出P的坐標(biāo)，利用點在橢圓上，結(jié)合兩點間距離公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)求解最小值即可．【解答】解：設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，n），有，＝．故選：B．2．【分析】由四邊形AF2BF1是正方形且面積為4可得b，c的值，再由a，b，c之間的關(guān)系求出a的值，進而求出橢圓的面積．【解答】解：由AF2BF1是正方形可得b＝c，再由AF2BF1的面積為4可得?2c?2b＝4，即bc＝2，又a2＝b2+c2，解得：a2＝4，b2＝2，所以橢圓的方程為：+＝1；故選：A．3．【分析】設(shè)P（x，y），根據(jù)橢圓方程求得兩焦點坐標(biāo)，根據(jù)∠F1PF2是鈍角推斷出+＜F1代入P坐標(biāo)求得x和y的不等式關(guān)系，求得x的范圍．【解答】解：如圖，設(shè)P（x，y），則F1（﹣，0），F(xiàn)2（，0），且∠F1PF2是鈍角?＜?（x+）2+y2+（x﹣）2+y2＜20?x2+5+y2＜10?x2+4（1﹣）＜5?x2＜．所以﹣＜x＜．故選：C．4．【分析】本題中當(dāng)橢圓短軸的端點與兩焦點的張角小于90°時，∠P為直角的情況不存在，此時等價于橢圓的離心率小于；當(dāng)橢圓短軸的端點與兩焦點的張角等于90°時，符合要求的點P有兩個，即短軸的兩個端點，此時等價于橢圓的離心率等于；當(dāng)橢圓短軸的端點與兩焦點的張角大于90°時，根據(jù)橢圓關(guān)于y軸對稱這個的點P有兩個．【解答】解：當(dāng)∠F1為直角時，根據(jù)橢圓的對稱性，這樣的點P有兩個；同理當(dāng)∠F2為直角時，這樣的點P有兩個；由于橢圓的短軸端點與兩個焦點所張的角最大，這里這個角恰好是直角，這時這樣的點P也有兩個．故符合要求的點P有六個．故選：C．5．【分析】可設(shè)|PF1|＝t，|QF1|＝2|PF1|＝2t，運用橢圓的定義可得|PF2|＝2a﹣t，|QF2|＝2a﹣2t，結(jié)合勾股定理和三角形的面積公式，計算可得所求比值．【解答】解：可設(shè)|PF1|＝t，|QF1|＝2|PF1|＝2t，在直角三角形F1PQ中，sin∠PQF1＝＝，可得∠PQF1＝30°，由橢圓的定義可得|PF2|＝2a﹣t，|QF2|＝2a﹣2t，|PQ|＝4a﹣3t，由|PQ|2+|PF1|2＝|QF1|2，即（4a﹣3t）2+t2＝4t2，即有4a﹣3t＝t，解得t＝a，則△PF1F2與△QF1F2的面積之比為＝＝＝2+，（或△PF1F2與△QF1F2的面積之比為＝＝＝2+）故選：D．6．【分析】點斜式寫出直線m的方程，代入橢圓的方程化簡，利用根與系數(shù)的關(guān)系及中點公式求出P的橫坐標(biāo)，再代入直線m的方程求出P的縱坐標(biāo)，進而求出直線OP的斜率k2，計算k1k2的值．【解答】解：過點M（﹣2，0）的直線m的方程為y﹣0＝k1（x+2），代入橢圓的方程化簡得（2+1）x2+8x+8﹣2＝0，∴x1+x2＝，∴P的橫坐標(biāo)為，P的縱坐標(biāo)為k1（x1+2）＝，即點P（，），直線OP的斜率k2＝，∴k1k2＝﹣．故選：D．7．【分析】設(shè)P（x1，y1），由是常數(shù)，得，然后利用，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x1的方程，由系數(shù)相等可得a，c的關(guān)系式，從而求得橢圓C的離心率．【解答】解：設(shè)F（﹣c，0），c2＝a2﹣b2，設(shè)P（x1，y1），要使得是常數(shù)，則有，λ是常數(shù)，∵，∴，比較兩邊系數(shù)得b2+a2＝λ（b2+c2），a＝λc，故c（b2+a2）＝a（b2+c2），即2ca2﹣c3＝a3，即e3﹣2e+1＝0，即（e﹣1）（e2+e﹣1）＝0，又0＜e＜1，∴．故選：D．8．【分析】根據(jù)正弦定理及橢圓的幾何性質(zhì)，即可求解．【解答】解：∵橢圓+＝1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為A、B，又點C為橢圓上異于長軸端點的任意一點，∴在△ABC中，根據(jù)正弦定理及橢圓的幾何性質(zhì)可得：＝＝＞3，∴，∴e＜，又e∈（0，1），∴橢圓離心率的取值范圍為（0，），故選：D．二、多選題9．【分析】根據(jù)圖象可知a1＞a2，c1＞c2，進而根據(jù)基本不等式的性質(zhì)可知a1+c1＞a2+c2；進而判斷AD不正確；根據(jù)a1﹣c1＝|PF|，a2﹣c2＝|PF|可知a1﹣c1＝a2﹣c2，可判斷BC正確；【解答】解：如圖可知：a1＞a2，c1＞c2，∴a1+c1＞a2+c2，∴A不正確；∵a1﹣c1＝|PF|，a2﹣c2＝|PF|，∴a1﹣c1＝a2﹣c2，∴B正確；a1+c2＝a2+c1，可得（a1+c2）2＝（a2+c1）2，﹣+2a1c2＝﹣+2a2c1，即+2a1c2＝+2a2c1，∵b1＞b2，∴c1a2＞a1c2，∴C正確；可得，D不正確；故選：BC．10．【分析】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），利用點差法求得OM的斜率，可得AB的斜率，得到直線方程判斷A；設(shè)M（m，n），將A，B的坐標(biāo)代入橢圓方程，兩式相減，運用平方差公式和中點坐標(biāo)公式、斜率公式，可判斷B；聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用弦長公式可判斷C；聯(lián)立直線y＝x+1與橢圓方程，運用韋達定理和中點坐標(biāo)公式，可判斷D．【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（1，1），由，，兩式相減可得，①可得kABkOM＝﹣2，且kOM＝1，可得kAB＝﹣2，則直線方程為y﹣1＝﹣2（x﹣1），即2x+y﹣3＝0，故A正確；設(shè)M（m，n），由m＝，n＝，代入①式可得kABkOM＝﹣2，故B錯誤；由，可得3x2+4x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣，則|AB|＝＝，故C正確；由，可得3x2+2x﹣3＝0，得x1+x2＝﹣，則中點M（﹣，），故D錯誤．故選：AC．11．【分析】由題意畫出圖形，由橢圓定義及三角形兩邊之和大于第三邊判斷A；設(shè)出P的參數(shù)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積運算判斷B；求出三角形PF1F2的面積范圍，結(jié)合已知列式求得橢圓離心率的范圍判斷C；由數(shù)量積及三角形面積公式求得tanθ判斷D．【解答】解：如圖所示，連接PF1，PF2，設(shè)PF2交橢圓與Q，則|QF1|+|QF2|＝2a，所以|PF1|+|PF2|＝|PF1|+|PQ|+|QF2|＞|QF1|+|QF2|＝2a，故A正確；設(shè)P（acosα，asinα），F(xiàn)1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），所以，，所以＝a2﹣c2＝b2＜ab，故B錯誤；設(shè)P（xP，yP），則?ac，又△PF1F2的面積為b2，所以b2≤ac，即a2﹣c2≤ac，所以e2+e﹣1≥0，又0＜e＜1，所以e∈[，1），故C正確；由＝|＝b2，兩式作商可得tanθ＝2，故D正確；故選：ACD．三、填空題12．【分析】首先證明結(jié)論：設(shè)橢圓（a＞b＞0）的左右頂點分別為A（﹣a，0），B（a，0），P（x0，y0）為橢圓上不同于A，B的任意一點，則kPA?kPB＝，再由直線PA斜率的取值范圍求得直線PB斜率的取值范圍．【解答】解：設(shè)橢圓（a＞b＞0）的左右頂點分別為A（﹣a，0），B（a，0），P（x0，y0）為橢圓上不同于A，B的任意一點，則，，∴，由P在橢圓上，得，則．由橢圓C：+＝1，得，∵kPA∈[1，2]，∴∈[﹣，﹣]．故答案為：[﹣，﹣]．13．【分析】由題意畫出圖形，推出，兩邊平方后結(jié)合隱含條件得答案．【解答】解：如圖，由題意橢圓C：的右焦點為F，過點F作圓x2+y2＝b2的切線，若兩條切線互相垂直，可得：，則2b2＝c2，即2（a2﹣c2）＝c2，則2a2＝3c2，∴e＝．故答案為：．四、解答題14．【分析】先求出a，b，c，由e＝，得＝，求出m的值，從而求出橢圓的方程，及橢圓的長軸長，短軸長、焦點坐標(biāo)及頂點坐標(biāo)．【解答】解：橢圓方程可化為+＝1，因為m﹣＝＞0，所以m＞，即a2＝m，b2＝，c＝＝，由e＝，得＝，解得m＝1，所以a＝1，b＝，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+＝1，所以橢圓的長軸長為2，短軸長為1，焦點坐標(biāo)為（，0），四個頂點的坐標(biāo)分別為A1（﹣1，0），A2（1，0），B1（0，﹣），B2（0，）．15．【分析】（1）通過長軸長是短軸長的2倍，得到a、b關(guān)系，通過直線AF的斜率為，求出a、c，結(jié)合a2＝b2+c2，即可求E的方程；（2）設(shè)直線l：y＝kx﹣2，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）將y＝kx﹣2代入橢圓方程，利用Δ＞0，求出k的范圍，利用弦長公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面積表達式，利用換元法以及基本不等式求出最值，然后求解直線方程．【解答】解：（1）設(shè)F（c，0），由條件知?c＝．又a2＝b2+c2，可得b2＝1，a2＝4，∴橢圓E的方程：．（2）依題意當(dāng)l⊥x軸不合題意，故設(shè)直線l：y＝kx﹣2，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）將y＝kx﹣2代入橢圓E的方程：．得（1+4k2）x2﹣16kx+12＝0，當(dāng)Δ＝16（4k2﹣3）＞0，即k2．，從而|PQ|＝|x1﹣x2|＝．又點O到直線PQ的距離d＝．所以△OPQ的面積s△OPQ＝|PQ|＝設(shè)＝t，則t＞0，∴．當(dāng)且僅當(dāng)t＝2，k＝±等號成立，且滿足Δ＞0，所以當(dāng)△OPQ的面積最大時，l的方程為：y＝x﹣2或y＝﹣x﹣2．16．【分析】（1）由題意可得：a＝2，b＝c，a2+b2＝c2，解出即可得出．（2）設(shè)P（x0，y0），若過點P的切線斜率都存在，設(shè)其方程為y﹣y0＝k（x﹣x0），與橢圓方程聯(lián)立化為：，根據(jù)直線與橢圓相