蘇教版（2019）選擇性必修第一冊(cè)《3.3 拋物線》同步練習(xí)卷

蘇教版（2019）選擇性必修第一冊(cè)《3.3拋物線》2023年同步練習(xí)卷一、選擇題1．若拋物線y2＝2px（p＞0）上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離是點(diǎn)A到y(tǒng)軸距離的3倍，則p等于（）A．2 B．4 C．6 D．82．已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|＝10，則線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為（）A．8 B．6 C．4 D．23．已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，P為拋物線的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，且P的縱坐標(biāo)為正數(shù)，Q是直線PF與拋物線C的一個(gè)交點(diǎn)，若，則直線PF的方程為（）A．x﹣y﹣2＝0 B．x+y﹣2＝0 C．x±y﹣2＝0 D．不確定4．如圖，圓F：（x﹣1）2+y2＝1和拋物線y2＝4x，過F的直線與拋物線和圓依次交于A、B、C、D四點(diǎn)，求|AB|?|CD|的值是（）A．3 B．2 C．1 D．無法確定5．已知：M＝{（x，y）|y≥x2}，N{（x，y）|x2+（y﹣a）2≤1}，則使M∩N＝N成立的充要條件是（）A．a(chǎn)≥ B． C．a(chǎn)≥1 D．0＜a＜1二、多選題（多選）6．已知拋物線C：y2＝4x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P為直線x＝﹣2上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則（）A．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1） B．拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝﹣1 C．直線AB一定過拋物線的焦點(diǎn) D．OP⊥AB（多選）7．已知點(diǎn)F是拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)，AB，CD是經(jīng)過點(diǎn)F的弦且AB⊥CD，直線AB的斜率為k，且k＞0，C，A兩點(diǎn)在x軸上方，則下列結(jié)論中一定成立的是（）A． B．若，則 C． D．四邊形ACBD面積的最小值為16p2三、填空題8．已知傾斜角是60°的直線l過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則弦長|AB|＝．9．如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a，b（a＜b）．原點(diǎn)O為AD的中點(diǎn)，拋物線y2＝2px（p＞0）經(jīng)過C、F兩點(diǎn)，且拋物線的焦點(diǎn)在直線y＝3x﹣6上，則b的值為．10．某學(xué)習(xí)小組研究一種衛(wèi)星接收天線（如圖①所示），發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚焦到焦點(diǎn)處（如圖②所示），已知接收天線的口徑（直徑）為4.8m，深度為1m，則該拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為m．11．已知F是拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，P是拋物線在x軸上方一點(diǎn)，以P為圓心，|PF|為半徑的圓被y軸截得的弦長為2，則圓P的方程為．四、解答題12．已知拋物線y2＝6x的弦AB過點(diǎn)P（4，2）且OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求弦AB的長．13．已知過點(diǎn)A（4，4）的拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)為F，直線AF與拋物線的另一交點(diǎn)為B，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）求直線A′B與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)．14．已知拋物線E：y2＝2px（p＞0）恰好經(jīng)過等腰梯形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)，AB∥CD，AD的延長線與拋物線E的準(zhǔn)線的交點(diǎn)．（1）求拋物線E的方程；（2）證明：BD經(jīng)過拋物線E的焦點(diǎn)．15．已知過拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)，斜率為的直線交拋物線于（1）求該拋物線的方程；（2）在拋物線C上求一點(diǎn)D，使得點(diǎn)D直線y＝x+3的距離最短．16．圓x2+y2＝4上一點(diǎn)（x0，y0）處的切線交拋物線y2＝8x于A，B兩點(diǎn)，且滿足∠AOB＝90°，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求x0．

蘇教版（2019）選擇性必修第一冊(cè)《3.3拋物線》2023年同步練習(xí)卷參考答案與試題解析一、選擇題1．【分析】根據(jù)拋物線的定義及題意可知3x0＝x0+，得出x0求得p，可得答案．【解答】解：由題意，3x0＝x0+，∴x0＝，∴＝32，∵p＞0，∴p＝8，故選：D．2．【分析】先根據(jù)拋物線方程求出p的值，再由拋物線的性質(zhì)可得到答案．【解答】解：∵拋物線y2＝4x，∴p＝2，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)F的直線與拋物線相交于M，N兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為x1，x2，利用拋物線定義，MN中點(diǎn)橫坐標(biāo)為x0＝（x1+x2）＝（|MN|﹣p）＝4，則AB中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是：4．故選：C．3．【分析】利用拋物線的定義，結(jié)合，P的縱坐標(biāo)為正數(shù)求出直線的斜率，即可求出直線PF的方程．【解答】解：拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)F（2，0），設(shè)Q到準(zhǔn)線l的距離為d，則|QF|＝d∵，∴||＝d，∵P的縱坐標(biāo)為正數(shù)，∴直線的傾斜角為135°，∴直線的斜率為﹣1，∴直線的方程為x+y﹣2＝0．故選：B．4．【分析】可分兩類討論，若直線的斜率不存在，則直線方程為x＝1，代入拋物線方程和圓的方程，可直接得到ABCD四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而|AB||CD|＝1．若直線的斜率存在，設(shè)為直線方程為y＝k（x﹣1），不妨設(shè)A（x1，y1），D（x2，y2），過AB分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，由拋物線的定義，|AF|＝x1+1，|DF|＝x2+1，把直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去y可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，利用韋達(dá)定理及|AB|＝|AF|﹣|BF|＝x1，|CD|＝|DF|﹣|CF|＝x2，可求|AB||CD|的值．【解答】解：若直線的斜率不存在，則直線方程為x＝1，代入拋物線方程和圓的方程，可直接得到ABCD四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2）（1，1）（1，﹣1）（1，﹣2），所以|AB|＝1，|CD|＝1，從而|AB||CD|＝1．若直線的斜率存在，設(shè)為k，因?yàn)橹本€過拋物線的焦點(diǎn)（1，0），則直線方程為y＝k（x﹣1），不妨設(shè)A（x1，y1），D（x2，y2），過AB分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，由拋物線的定義，|AF|＝x1+1，|DF|＝x2+1，把直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去y可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，由韋達(dá)定理有x1x2＝1而拋物線的焦點(diǎn)F同時(shí)是已知圓的圓心，所以|BF|＝|CF|＝R＝1從而有|AB|＝|AF|﹣|BF|＝x1，|CD|＝|DF|﹣|CF|＝x2．所以|AB||CD|＝x1x2＝1故選：C．5．【分析】由題意確定E，F(xiàn)所表示的圖形，及其幾何意義：是a為何值時(shí)，動(dòng)圓進(jìn)入?yún)^(qū)域E，并被E所覆蓋．然后根據(jù)已知條件解答即可．【解答】解：∵E為拋物線y＝x2的內(nèi)部（包括周界），F(xiàn)為動(dòng)圓x2+（y﹣a）2＝1的內(nèi)部（包括周界）．該題的幾何意義是a為何值時(shí)，動(dòng)圓進(jìn)入?yún)^(qū)域E，并被E所覆蓋．∵a是動(dòng)圓圓心的縱坐標(biāo)，顯然結(jié)論應(yīng)是a≥c（c∈R+），故可排除（B），（D），而當(dāng)a＝1時(shí)，E∩F≠F，（可驗(yàn)證點(diǎn)（0，1）到拋物線上點(diǎn)的最小距離為）．故選：A．二、多選題6．【分析】根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，結(jié)合一元二次方程根的判別式進(jìn)行判斷即可．【解答】解：由題意可得F（1，0），拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝﹣1，A錯(cuò)誤，B正確；設(shè)P（﹣2，m），顯然直線PA存在斜率且不為零，設(shè)為k1，方程為y﹣m＝k1（x+2），與拋物線方程聯(lián)立，得k1y2﹣4y+8k1+4m＝0，因?yàn)镻A是該拋物線的切線，所以Δ＝（﹣4）2﹣4k1（8k1+4m）＝0，∴2+k1m﹣1＝0，且A的縱坐標(biāo)為：﹣＝，代入拋物線方程中可得A的橫坐標(biāo)為：，設(shè)直線PB存在斜率且不為零，設(shè)為k2，同理可得：2+k2m﹣1＝0，且B的縱坐標(biāo)為：﹣＝，橫坐標(biāo)為，k1、k2是方程2k2+km﹣1＝0的兩個(gè)不等實(shí)根，所以k1+k2＝﹣，k1?k2＝﹣，因?yàn)閗AB?kOP＝?＝?＝?＝﹣1，所以O(shè)P⊥AB，因此選項(xiàng)D正確：由上可知：AB的斜率為，直線AB的方程為：y﹣＝（x﹣），∴y﹣2mk1＝2x﹣2，由于2+k1m﹣1＝0，∴k1m＝1﹣2，所以有（k1﹣2）y﹣2（1﹣2）＝2x﹣2，∴（1﹣2）y＝2k1（x﹣2），所以直線AB一定過（2，0），顯然該點(diǎn)不是拋物線的焦點(diǎn)，因此選項(xiàng)C不正確，故選：BD．7．【分析】由題意設(shè)直線AB的斜率，可得CD的斜率，設(shè)直線AB的方程，與拋物線聯(lián)立求出兩根之和，再由拋物線的性質(zhì)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離可得弦長|AB|的值，同理可得|CD|的值，進(jìn)而可得+的值為定值，判斷出A正確，由拋物線的性質(zhì)可得AF?BF的表達(dá)式，將兩根之和及兩根之積代入，可得k的值為，判斷出B不正確；求出的數(shù)量積與斜率無關(guān)，可得的數(shù)量積與之相等，判斷出C正確；求出四邊形ABCD的面積，由均值不等式可得面積的最小值，判斷出D不正確．【解答】解：由題意顯然直線AB，CD的斜率存在且不為0設(shè)直線AB的斜率為k，因?yàn)锳B⊥CD，所以直線CD的斜率為﹣，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由拋物線的方程可得焦點(diǎn)F（，0），則直線AB的方程為y＝k（x﹣），k＞0，聯(lián)立，整理可得：k2x2﹣p（k2+2）+k2p2＝0，則x1+x2＝p?，x1x2＝p2，所以弦長|AB|＝x1+x2+p＝p?+p＝；同理可得：|CD|＝2p（1+k2），則有+＝，故A正確；B中，若，則（x1+）（x2+）＝x1x2+（x1+x2）+＝p2，所以+?+＝，解得k＝，所以B不正確；C中，＝x1x2+y1y2＝x1x2﹣2p＝﹣2p?＝﹣p2，與斜率k無關(guān)，同理可得＝﹣p2，故＝，所以C正確；S四邊形ABCD＝|AB|?|CD|＝??2p（1+k2）＝2p2（k2++2）≥2p2（2+2）＝8p2，當(dāng)且僅當(dāng)k2＝，即k＝±1時(shí)取等號(hào)，所以D不正確；故選：AC．三、填空題8．【分析】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），利用拋物線的性質(zhì)，求出|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+x2+2，再結(jié)合韋達(dá)定理求出即可．【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），A，B到準(zhǔn)線的距離分別為dA，dB，由拋物線的定義可知|AF|＝dA＝x1+1，|BF|＝dB＝x2+1，于是|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+x2+2，由已知得拋物線的焦點(diǎn)為F（1，0），斜率k＝tan60°＝，所以直線AB方程為y＝（x﹣1），將y＝（x﹣1）代入方程y2＝4x，化簡得3x2﹣10x+3＝0．由求根公式得x1+x2＝，于是|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+x2+2＝+2＝，故答案為：．9．【分析】可先由圖中的點(diǎn)與拋物線的位置關(guān)系，寫出C，F(xiàn)兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再將坐標(biāo)代入拋物線方程中，消去參數(shù)p后，得到a，b的關(guān)系式，再根據(jù)拋物線的拋物線的焦點(diǎn)在直線y＝3x﹣6上值求出p的值，問題得以解決．【解答】解：由題可得C（，﹣a），F(xiàn)（+b，b），則，解得，由拋物線的焦點(diǎn)在直線y＝3x﹣6上，∵焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），∴0＝﹣6，解得p＝4，∴a＝4，∴b＝＝4（+1）故答案為：4（+1）10．【分析】先設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px（p＞0），將點(diǎn)（1，2.4）代入拋物線方程求得p，進(jìn)而求得拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離．【解答】解：設(shè)拋物線方程為y2＝2px（p＞0），點(diǎn)（1，2.4）在拋物線y2＝2px上，∴2.42＝2p×1．∴p＝2.88，∴＝1.44．∴該拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為1.44m．故答案為：1.44．11．【分析】推導(dǎo)出F（1，0），準(zhǔn)線x＝﹣1，設(shè)圓P與y軸交于M，N，且MN＝2，圓P與準(zhǔn)線x＝﹣1相切于點(diǎn)A，連結(jié)AP，交MN于O，則AP＝MP＝r（r是圓P的半徑），OA＝1，OM＝，由MP2＝OP2+OM2，求出r＝3，P（2，2），由上能求出圓P的方程．【解答】解：∵F是拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，P是拋物線在x軸上方一點(diǎn)，∴F（1，0），準(zhǔn)線x＝﹣1，P是拋物線在x軸上方一點(diǎn)，以P為圓心，|PF|為半徑的圓被y軸截得的弦長為2，則圓P與y軸交于M，N，且MN＝2，圓P與準(zhǔn)線x＝﹣1相切于點(diǎn)A，連結(jié)AP，交MN于O，則AP＝MP＝r（r是圓P的半徑），OA＝1，OM＝，∵M(jìn)P2＝OP2+OM2，∴r2＝（r﹣1）2+5，解得r＝3，∴P（2，2），∴圓P的方程為（x﹣2）2+（y﹣2）2＝9．故答案為：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝9．四、解答題12．【分析】設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立化為一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合OA⊥OB，得到x1x2+y1y2＝0從而求得k值，確定直線方程，求弦長．【解答】解：直線AB的斜率一定存在，設(shè)為k（k≠0）則AB方程為y﹣2＝k（x﹣4），y﹣2＝k（x﹣4）與y2＝6x聯(lián)立消去x整理得ky2﹣6y+12﹣24k＝0設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）∴y1y2＝，∵OA⊥OB∴＝0，即x1x2+y1y2＝0∴y1y2+（）÷36＝0∵y1y2≠0∴y1y2＝﹣36∴＝﹣36，解得k＝﹣1，∴AB所在直線的方程為y﹣2＝﹣（x﹣4），即x+y﹣6＝0，所以弦AB的長＝＝6．13．【分析】（Ⅰ）由A的坐標(biāo)滿足拋物線的方程，解得p；（Ⅱ）聯(lián)立拋物線的方程和直線AF的方程，求得B的坐標(biāo)，再求得A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，可得直線A'B的方程，令y＝0，可得所求交點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（Ⅰ）把A（4，4）代入拋物線方程y2＝2px，可得16＝8p，解得p＝2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知拋物線方程為y2＝4x，且焦點(diǎn)F（1，0），∴直線AF的方程為，即4x﹣3y﹣4＝0，與y2＝4x聯(lián)立，消去x得y2﹣3y﹣4＝0，解得y＝4或﹣1，∴B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣1，代入y2＝4x，得，∴B（，﹣1），而A（4，4）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'（4，﹣4），∴A'B的方程為，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣1，所以直線A'B與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，0）．14．【分析】（1）由已知可得M為拋物線E的準(zhǔn)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，從而求得p，則拋物線方程可求；（2）分別設(shè)出A，B，D的坐標(biāo)，再設(shè)出AD的方程，由拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得A，D橫坐標(biāo)的乘積，設(shè)BD的方程，與拋物線方程聯(lián)立，再由根與系數(shù)的關(guān)系可得BD與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則結(jié)論得證．【解答】（1）解：