廣西百色市平果市鋁城中學(xué)2025屆高三上學(xué)期開學(xué)收心考試 數(shù)學(xué)試卷含答案

2024年高三上學(xué)期開學(xué)收心數(shù)學(xué)考試卷姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．函數(shù)的零點為（

）A． B．2 C． D．2．“”是“為第一象限角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．在中，已知，且的周長為16，則頂點的軌跡方程是（）A． B．C． D．4．在正方體中，P為的中點，E為的中點，F(xiàn)為的中點，O為EF的中點，直線PE交直線于點Q，直線PF交直線于點R，則（

）A． B．C． D．5．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α、?是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若α∥?，mα，n?，則m∥nC．若α?=m，nα，n⊥m，則n⊥?D．若m⊥α，m∥n，n?，則α⊥?6．已知點在拋物線上，是拋物線的焦點，點為直線上的動點，則的最小值為（

）A．8 B． C． D．7．在《周易》中，長橫“”表示陽爻，兩個短橫“”表示陰爻.有放回地取陽爻和陰爻三次合成一卦，共有種組合方法，這便是《系辭傳》所說“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”.有放回地取陽爻和陰爻一次有2種不同的情況，有放回地取陽爻和陰爻兩次有四種情況，有放回地取陽爻和陰爻三次，八種情況.所謂的“算卦”，就是兩個八卦的疊合，即共有放回地取陽爻和陰爻六次，得到六爻，然后對應(yīng)不同的解析.在一次所謂“算卦”中得到六爻，這六爻恰好有三個陽爻三個陰爻的概率是（

）A． B． C． D． E．均不是8．已知，不等式，對滿足當(dāng)且時恒成立，則的最大值為（

）A．1 B．2 C．e D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，答案有兩個選項只選一個對得3分，錯選不得分；答案有三個選項只選一個對得2分，只選兩個都對得4分，錯選不得分．9．若正實數(shù)，滿足，則下列說法正確的是（

）A．有最大值 B．有最大值C．有最小值4 D．有最小值10．下列命題正確的是（

）A．已知變量，的線性回歸方程，且，則B．?dāng)?shù)據(jù)4，6，7，7，8，9，11，14，15，19的分位數(shù)為11C．已知隨機變量最大，則的取值為3或4D．已知隨機變量，則11．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且為奇函數(shù)，，．下列說法正確的是（

）A．3是函數(shù)的一個周期B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)是偶函數(shù)D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知隨機變量服從，若，則.13．設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，若，，，則．14．如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，三棱錐的體積為，則三棱錐外接球的表面積為．四．解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．在中，分別為角所對的邊.在①；②；③這三個條件中任選一個，作出解答.（1）求角的值；（2）若為銳角三角形，且，求的面積的取值范圍.16．某校舉行“學(xué)習(xí)二十大，奮進(jìn)新征程”知識競賽，知識競賽包含預(yù)賽和決賽.(1)下表為某10位同學(xué)預(yù)賽成績：得分939495969798人數(shù)223111求該10位同學(xué)預(yù)賽成績的上四分位數(shù)（第75百分位數(shù)）和平均數(shù)；(2)決賽共有編號為的5道題，學(xué)生甲按照的順序依次作答，答對的概率依次為，各題作答互不影響，若累計答錯兩道題或五道題全部答完則比賽結(jié)束，記為比賽結(jié)束時學(xué)生甲已作答的題數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.17．已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求證：．18．如圖，沿等腰直角三角形的中位線將平面折起，使得平面平面得到四棱錐.（1）求證:平面平面;（2）若，過的中點的平面與平面平行，試求平面與四棱錐各個面的交線所圍成的多邊形的面積與的面積之比．19．如圖，一塊正中間鏤空的橫桿放置在平面直角坐標(biāo)系的軸上（橫桿上鏤空的凹槽與軸重合，凹槽很窄），橫桿的中點與坐標(biāo)原點重合.短桿的一端用鉸鏈固定在原點處，另一短桿與短桿在處用鉸鏈連接.當(dāng)短桿沿處的栓子在橫桿上鏤空的凹槽內(nèi)沿軸左右移動時，處裝有的筆芯在平面直角坐標(biāo)系上畫出點運動的軌跡（連接桿可以繞固定點旋轉(zhuǎn)一周，被橫桿遮擋的部分忽略不計）.已知，.（1）求曲線的方程.（2）過點作直線與曲線交于，兩點，試問在軸上是否存在定點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.1．A【分析】由函數(shù)單調(diào)性及，求出答案.【詳解】在上單調(diào)遞增，又，故函數(shù)的零點為.故選：A2．B【分析】根據(jù)充分必要的定義，結(jié)合正切函數(shù)，即可判斷選項.【詳解】若，則，，為第一象限或第三象限角，反過來，若為第一象限角，則，所以“”是“為第一象限角”的必要不充分條件.故選：B3．C【解析】由周長得到，利用橢圓定義寫出點的軌跡方程.【詳解】由條件可知，，，點是以為焦點的橢圓，除去左右頂點，并且，，頂點的軌跡方程是.故選：C4．B【分析】先以，，為基底，表示出，然后解向量方程組，用表示出，，，再由，，與的關(guān)系可得.【詳解】記，，，則，解得又所以整理得．故選：B5．D【分析】根據(jù)空間直線、平面間的位置關(guān)系判斷．【詳解】若m∥α，n∥α，可以相交、平行或異面，A錯；若α∥?，mα，n?，則可能平行也可能異面，B錯；若α?=m，nα，n⊥m，如果有，則有，如果沒有，則與不一定垂直，C錯；若m⊥α，m∥n，則，又n?，則α⊥?，D正確．故選：D．6．D【分析】根據(jù)題意，求得拋物線的焦點為，設(shè)點關(guān)于的對稱點為，得出，得到當(dāng)且僅當(dāng)點為直線與的交點時，取得最小值，結(jié)合兩點間距離公式，即可求解.【詳解】由拋物線，可得焦點為，準(zhǔn)線方程為，如圖所示，設(shè)點關(guān)于的對稱點為，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)點為直線與的交點時，取得最小值，則，即的最小值為.故選：D.7．B【分析】由題意，基本事件的總數(shù)為，這六爻恰好有三個陽爻包含基本事件數(shù)為，由此能求出這六爻恰好有三個陽爻三個陰爻的概率.【詳解】在一次所謂“算卦”中得到六爻，基本事件的總數(shù)為，這六爻恰好有三個陽爻包含的基本事件數(shù)為，所以這六爻恰好有三個陽爻三個陰爻的概率是.故選：B.8．C【分析】由，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性化簡后求解，【詳解】，則當(dāng)時，，時，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)且時，，得，即在且時恒成立，令，則，當(dāng)時，，時，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，故的最大值為，故選：C9．ABC【分析】利用基本不等式可判斷A的正誤，利用A的結(jié)果可判斷BC的正誤，利用反例可判斷D是錯誤的，故可得正確的選項.【詳解】因為正實數(shù)a，b滿足，所以，所以，故當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故有最大值，A正確；由A可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故有最大值，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故有最小值4，C正確；取，此時，所以的最小值不是，故D錯誤，ABC..ABC..10．ACD【分析】根據(jù)回歸直線方程必過樣本中心點求出，即可判斷A，根據(jù)百分位數(shù)計算規(guī)則判斷B，根據(jù)二項分布的概率公式及組合數(shù)的性質(zhì)判斷C，根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)判斷D.【詳解】對于A：因為回歸直線方程必過樣本中心點，所以，解得，故A正確；對于B：因為，所以分位數(shù)為從小到大排列的第八個數(shù)，即為，故B錯誤；對于C：因為，所以，（且），由組合數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)或時取得最大值，則當(dāng)或時最大，故C正確；對于D：因為且，所以，則，故D正確.故選：ACD11．ACD【分析】根據(jù)可得即可確定周期求解選項A；根據(jù)為奇函數(shù)，可得即可求解選項B；根據(jù)題設(shè)條件可得即可求解選項C；利用函數(shù)的周期性和函數(shù)值可求解選項D.【詳解】對A，因為，所以，即，所以3是函數(shù)的一個周期，A正確；對B，因為為奇函數(shù)，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，B錯誤；對C，因為，所以，即，即，所以函數(shù)是偶函數(shù)，C正確；對D，，所以，所以，D正確；故選:ACD.12．##【分析】利用正態(tài)曲線的對稱性可求得的值.【詳解】因為，則.故答案為：.13．【分析】先根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求正弦值，再應(yīng)用正弦定理即可.【詳解】因為，所以，因為，所以，因為，所以．故答案為：14．【分析】以A為坐標(biāo)原點建立空間坐標(biāo)系，根據(jù)條件求出C坐標(biāo)，因為為直角三角形，故球心O在過BD中點且與面ABD垂直的方向上，設(shè)球心O坐標(biāo)，根據(jù)求得O坐標(biāo)，可求得外接球的表面積.【詳解】過作面于，則三棱錐的體積為，所以，取中點，連接，，因為為等邊三角形，所以，又面，面，所以，又，所以面，面，所以，在中，所以以，為軸，垂直于，方向為軸，建立如圖所示空間坐標(biāo)系，設(shè)球心，在面的投影為，由得，所以為的外接圓圓心，所以為斜邊的中點，故設(shè)由得，解得，所以，故外接球的表面積為，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題直接求球心或半徑有一定的難度，先是確定球心在過面的外心且與面垂直的線上，設(shè)球心的坐標(biāo)，利用球心到各頂點的距離相等求出坐標(biāo)，從而求得球的半徑.15．條件選擇見解析；（1）；（2）.【解析】（1）選擇條件①，利用正弦定理化簡已知條件，再利用兩角和的正弦公式化簡得，根據(jù)三角形內(nèi)角性質(zhì)得出且，即可求出角的值；選擇條件②，根據(jù)向量的數(shù)量積公式以及三角形的面積公式，化簡得出，即可求出角的值；選擇條件③，根據(jù)兩角和的正弦公式和輔助角公式，化簡的出，從而可求出角的值；（2）根據(jù)題意，利用正弦定理邊角互化得出，，再根據(jù)三角形面積公式化簡得出，由為銳角三角形，求出角的范圍，從而得出的面積的取值范圍.【詳解】解：（1）選①，由正弦定理得：，∴，∵，∴，∴，∵，∴；選②，∴，∴，∵，∴，則，∴；選③，得，∴，∴，∵，∴，∴，∴.（2）已知為銳角三角形，且，由正弦定理得：，∴，，∴，∵為銳角三角形，∴，∴，∴.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查正弦定理的邊角互化、兩角和的正弦公式、輔助角公式、向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查三角形的面積公式以及三角形內(nèi)角的性質(zhì)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求區(qū)間內(nèi)的最值從而求出三角形的面積的取值范圍是解題的關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想和化簡運算能力.16．(1)上四分位數(shù)：96，平均數(shù)：(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：【分析】（1）直接利用百分位數(shù)的求解步驟即可求出上四分位數(shù)，再利用平均數(shù)的計算公式即可計算平均數(shù)；（2）找出的所有可能取值，然后分別求出其概率，即可列出分布列，進(jìn)而求出數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）因為，所以上四分位數(shù)為第八個成績，為96；平均數(shù)為.（2）由題意可知的取值為，所以，，，，所以的分布列為：2345.17．（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)后由幾何意義求出函數(shù)在點處的切線方程（2）由化簡得，由導(dǎo)數(shù)可知存在極小值點，即最小值，即可證明原不等式．【詳解】（1）依題意，，故．有，故所求切線方程為，即．（2）由得整理得，化簡得，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，即恒成立，所以恒成立．【點睛】對于恒成立問題，常用到以下兩個結(jié)論：（1）

恒成立；（2）恒成立．18．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由面面垂直性質(zhì)定理及面面垂直判定定理可證；（2）由題可得平面與四棱錐各個面的交線所圍成的多邊形為直角梯形，求面積即得.【詳解】由題設(shè)知，平面平面根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得平面由根據(jù)線面垂直的判定定理得平面又平面平面平面.如圖，設(shè)平面與平面、平面、平面、平面的交線分別為平面平面.是的中點，故是的中點，同理為的中點，為的中點，平面與四棱錐各個面的交線所圍成的多邊形是四邊形.由于點分別為的中點，，又，故，由知又四邊形是直角梯形.，則，故四邊形的面積是，的面積是平面與四棱錐各個面的交線所圍成的多邊形的面積與的面積之比為.19．（1）；（2）存在，定點.【分析】（1）設(shè)，點用表示，消參得到軌跡方程；（2）設(shè)直線與橢圓聯(lián)立，得到根與系數(shù)關(guān)系，若存在軸上的定點滿足，即得進(jìn)而得，代入韋達(dá)定理整理得定點坐標(biāo)【詳解】（1）設(shè)，點.過點作的垂線，垂足為，過點作的垂線，垂足為，則.由題意可得，