上海市控江中學2024-2025學年高三上學期9月月考數(shù)學試卷

2024-2025學年上海市控江中學高三年級上學期9月月考數(shù)學試卷2024.9一?填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應在答題紙相應編號的空格內(nèi)直接填寫結果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得0分.1.準線方程是的拋物線的標準方程為__________.2.若集合，則__________.3.函數(shù)的最小正周期為__________.4.已知事件與事件互斥，且，則__________.5.在四面體中，若底面的一個法向量，且，則定點到底面的距離為__________.6.計算：__________.7.一工廠生產(chǎn)了某種產(chǎn)品16800件，他們來自甲?乙?丙3條生產(chǎn)線，為檢查這批產(chǎn)品的質量，決定采用分層抽樣的方法進行抽樣.已知甲?乙?丙3條生產(chǎn)線抽取的個體數(shù)組成一個等差數(shù)列，則乙生產(chǎn)線生產(chǎn)了__________件產(chǎn)品.8.已知向量，向量，則向量在向量上的投影為__________.9.已知圓錐的母線與底面所成的角為，體積為，則圓錐的底面半徑為__________.10.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，（是常數(shù)），則__________.11.已知復平面上一個動點對應復數(shù)，若，其中是虛數(shù)單位，則向量掃過的面積為__________.12.設是由正整數(shù)組成且項數(shù)為的數(shù)列，滿足當，都有，已知，則數(shù)列任意相鄰兩項的差的絕對值不超過1，若對于中任意序數(shù)不同的兩項和，在剩下的項中總存在序數(shù)不同的兩項和，使得，則的最小值為__________.二?選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13?14題每題4分，第15?16題每題5分）每題有且只有一個正確選項.考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.13.如果，則下列不等式中一定成立的是（）A.B.C.D.14.函數(shù)在定義域上是（）A.嚴格增的奇函數(shù)B.嚴格增的偶函數(shù)C.嚴格減的奇函數(shù)D.嚴格減的偶函數(shù)15.教材在推導向量的數(shù)量積的坐標表示公式“（其中，）”的過程中，運用了以下哪些結論作為推理的依據(jù)（）①向量坐標的定義；②向量數(shù)量積的定義；③向量數(shù)量積的交換律；④向量數(shù)量積對數(shù)乘的結合律；⑤向量數(shù)量積對加法的分配律.A.①③④B.②④⑤C.①②③⑤D.①②③④⑤16.已知棱長均為1的正棱柱有個頂點，從中任取兩個頂點作為向量的起點與終點，設底面的一條棱為.若集合，則當中的元素個數(shù)最少時，的值為（）A.3B.4C.6D.8三?解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）記，其中為實常數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若函數(shù)的圖像經(jīng)過點，求該函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.18.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）甲?乙兩人每下一盤棋，甲獲勝的概率是0.4，甲不輸?shù)母怕蕿?.9.（1）若甲?乙兩人下一盤棋，求他們下成和棋的概率；（2）若甲?乙兩人連下兩盤棋，假設兩盤棋之間的勝負互不影響，求甲至少獲勝一盤的概率.19.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）如圖，已知和都是直角梯形，，，二面角的平面角為.設分別為的中點.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）已知雙曲線的左?右焦點分別為為雙曲線右支上一點.（1）求雙曲線的離心率；（2）設過點和的直線與雙曲線的右支有另一交點為，求的取值范圍；（3）過點分別作雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為兩點，是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由.21.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）已知函數(shù)，其中.（1）當時，判斷的單調性；（2）若在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實數(shù)的取值范圍；（3）設函數(shù)，當時，若，任意，總有成立，求實數(shù)的取值范圍.2024—2025學年上海市控江中學高三年級上學期9月月考數(shù)學試卷2024.9一?填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應在答題紙相應編號的空格內(nèi)直接填寫結果，1-6題每個空格填對得4分，7—12題每個空格填對得5分，否則一律得0分.1.【答案】【解析】拋物線的定義.2.【答案】【解析】解得，所以.3.【答案】2【解析】.4.【答案】0.7【解析】因為互斥，所以.5.【答案】【解析】.6.【答案】2【解析】.7.【答案】5600【解析】設甲?乙?丙三條生產(chǎn)線分別生產(chǎn)件產(chǎn)品，則，解得.8.【答案】【解析】由公式可得向量在向量上的投影為.9.【答案】【解析】設底面半徑為，因為圓錐的母線與底面所成的角為，所以圓錐的高所以，解得.10.【答案】【解析】，所以.11.【答案】【解析】由題意可得，對應的區(qū)域是以為圓心，2為半徑圓以及內(nèi)部構成的圓面，而向量掃過的面除了圓面以外還包括圓外的一部分，如圖所示，因此掃過的面積等于，與圓相切于兩點，所以，則，且，所以，所以掃過的面積等于.12.【答案】5454【解析】因為數(shù)列任意相鄰兩項的差的絕對值不超過，所以，又是由正整數(shù)組成且項數(shù)為的增數(shù)列，所以或，當時，，此時，這與在剩下的項中總存在序數(shù)不同的兩項和，使得矛盾，所以，類似的，必有，由得前6項任意兩項之和小于等于3時，均符合，要最小，則每項盡可能小，且值要盡量小，則，同理，，當中間各項為公差為1的等差數(shù)列時，可使得值最小，且滿足已知條件.由對稱性得最后6項為，則的最小值.二?選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13?14題每題4分，第15?16題每題5分）每題有且只有一個正確選項.考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.13.【答案】D【解析】因為為嚴格增函數(shù)，所以，故選D.14.【答案】A【解析】令，則，所以為奇函數(shù)，又，為嚴格增函數(shù)，故選A.15.【答案】D【解析】向量的坐標表示用了①，運算用了②，用了③的展開運算用了④⑤，其中為軸和軸的單位向量，故選D.16.【答案】B【解析】如圖，設所在的直線為軸，過點且與垂直的直線為軸，過點且與平面垂直的直線為，建立如圖所示的空間直角坐標系.則，得，設，則，因為該幾何體為正棱柱，所以上下底面的各對應點的橫坐標相同，當時，該幾何體為正三棱柱，做出底面的示意圖（圖一）則，所以，即，共5個元素當，該幾何體為正方體，做出其底面的示意圖（圖二），則，所以，即，共3個元素，當，該幾何體為正六棱柱，作出其底面的示意圖（圖三），則，所以，即，共9個元素，當時，該幾何體為正八棱柱，做出其底面的示意圖（圖四），則，所以，即，共9個元素，故選B.三?解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17.【答案】（1）；（2）最大值1，最小值【解析】（1）所以，函數(shù)的最小正周期.（2）.令，則.當或，即或時，.當，即時，.18.【答案】（1）0.5；（2）0.64【解析】（1）用表示甲獲勝，用表示和棋，用表示甲不輸.所以.因為和棋與獲勝是互斥的，由概率的可加性，得.由題意，，因此.所以，甲?乙兩人下一盤棋，他們下成和棋的概率為0.5（2）用分別表示甲在第局獲勝，用分別表示甲在第局平，用分別表示甲在第局輸.則.用表示甲?乙兩人連下兩盤棋，甲至少獲勝一盤.則包含下列5種情況：，則.所以，若甲?乙兩人連下兩盤棋，甲至少獲勝一盤的概率為0.64.19.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）過點分別做直線的垂線并分別交于點.四邊形和都是直角梯形，，，由平面幾何知識易知，，則四邊形和四邊形是矩形，在和，，且，平面是二面角的平面角，則，是正三角形，由平面，得平面平面，是的中點，，又平面平面，可得，而平面，而平面.（2）因為平面，過點做平行線，所以以點為原點，?所在直線分別為軸?軸?軸建立空間直角坐標系，設，則，設平面的法向量為由，得，取，設直線與平面所成角為，20.【答案】（1）2；（2）；（3）不存在，見解析【解析】（1）由題，，因此雙曲線的離心率為（2）法一：當直線斜率不存在時，設直線為，則得，此時當直線斜率存在時，設直線方程為：，設則聯(lián)立方程得：.則由題意得，因而的取值范圍為法二：由題意，直線不與軸重合，因而設方程為：，設則聯(lián)立方程得：由題意，直線與雙曲線恒有交點，且交點均在右支上，則，由，得，因而的取值范圍為（3）由題，漸近線方程為，設點則（點到直線距離公式給2分，絕對值轉化2分）因而不存在點，使得成