1.1.1數(shù)列的概念課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

第一章數(shù)列1.1數(shù)列的概念北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第二冊(cè)目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)1.通過日常生活和數(shù)學(xué)中的實(shí)例,了解數(shù)列的概念和表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式).2.理解數(shù)列的通項(xiàng)公式,并會(huì)用通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的任何一項(xiàng).3.對(duì)于比較簡(jiǎn)單的數(shù)列,會(huì)根據(jù)其前幾項(xiàng)寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)1

數(shù)列及其有關(guān)概念具有次序性,與集合中的元素性質(zhì)不同

1.按一定次序排列的一列數(shù)叫作數(shù)列,數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫作這個(gè)數(shù)列的

.數(shù)列中的每一項(xiàng)都和它的序號(hào)有關(guān),各項(xiàng)依次叫作這個(gè)數(shù)列的

,

,…,

,…,其中數(shù)列的第1項(xiàng)也叫數(shù)列的

,第n項(xiàng)也叫數(shù)列的

.

2.數(shù)列的一般形式可以寫成

,或簡(jiǎn)記為數(shù)列

.

項(xiàng)第1項(xiàng)第2項(xiàng)第n項(xiàng)

首項(xiàng)

通項(xiàng)a1,a2,a3,…,an,…

{an}名師點(diǎn)睛1.數(shù)列是按一定的“次序”排列的一列數(shù),有序性是數(shù)列的基本屬性.數(shù)相同而順序不同的兩個(gè)數(shù)列是不相同的數(shù)列,例如1,2,3與3,2,1就是不同的數(shù)列.2.符號(hào){an}和an是不同的概念,{an}表示一個(gè)數(shù)列,而an表示數(shù)列中的第n項(xiàng).思考辨析1.數(shù)列與集合之間有怎樣的區(qū)別與聯(lián)系?提示

(1)集合中的元素具有確定性、無序性、互異性,而數(shù)列中的項(xiàng)具有確定性、有序性、可重復(fù)性;(2)集合中的元素可以是數(shù),也可以是點(diǎn)、方程以及其他事物等,但數(shù)列中的每一項(xiàng)必須是數(shù);(3)數(shù)列{an}不是集合,它是數(shù)列的一個(gè)整體符號(hào),{an}表示數(shù)列a1,a2,a3,…,an,…,而an表示數(shù)列的第n項(xiàng).2.數(shù)學(xué)中有著許許多多神奇的數(shù)字,例如1,3,6,10,15,…這樣的數(shù)字被稱為三角形數(shù),這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形(如圖1).同樣1,4,9,16,25,…這樣的數(shù)字被稱為正方形數(shù),這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個(gè)正方形(如圖2).圖1圖2兩組圖形的點(diǎn)數(shù)可以各自構(gòu)成一列數(shù),這些數(shù)能否調(diào)換順序?提示

每列數(shù)的每個(gè)數(shù)字的位置都是有順序的,是不能調(diào)換順序的,若調(diào)換順序,就會(huì)得到一列新的數(shù).自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)

0,0,0,6不是一個(gè)數(shù)列.(

)(2)數(shù)列0,1,3與數(shù)列3,1,0是同一個(gè)數(shù)列.(

)(3)數(shù)列1,3,5,7,…的首項(xiàng)是1.(

)××√2.[人教B版教材習(xí)題]已知數(shù)列{an}為2,4,8,16,…,寫出a1,a2,a3.解

a1=2,a2=4,a3=8.知識(shí)點(diǎn)2

數(shù)列的分類

分類標(biāo)準(zhǔn)名稱含義按項(xiàng)的個(gè)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列思考辨析如何區(qū)分一個(gè)數(shù)列是有窮數(shù)列還是無窮數(shù)列?提示

根據(jù)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)進(jìn)行區(qū)分,如果數(shù)列中項(xiàng)數(shù)是有限個(gè),則為有窮數(shù)列;項(xiàng)數(shù)是無限個(gè),則為無窮數(shù)列.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1){0,1,2,3,4,5}是有窮數(shù)列.(

)(2)按從小到大排列的所有自然數(shù)構(gòu)成一個(gè)無窮數(shù)列.(

)(3)-2,-1,1,3,-2,4,3是一個(gè)項(xiàng)數(shù)為5的數(shù)列.(

)(4)數(shù)列1,2,3,4,…,2n是無窮數(shù)列.(

)×√××2.(多選題)下列說法正確的是(

)A.數(shù)列1,2,3,4,5,6與數(shù)列1,2,5,6,3,4是同一個(gè)數(shù)列B.數(shù)列1,2,3,4,5,6可以表示為{1,2,3,4,5,6}C.0,2,4,6,8是有窮數(shù)列D.1,1,1,1,1,…是一個(gè)數(shù)列CD解析

兩個(gè)數(shù)列只有數(shù)字相同,數(shù)字的排列順序也相同時(shí),才是同一個(gè)數(shù)列,故A不正確;數(shù)列與集合不同,數(shù)列不能表示成集合的形式,故B不正確;數(shù)列0,2,4,6,8的項(xiàng)數(shù)確定了,所以該數(shù)列是有窮數(shù)列,故C正確;根據(jù)數(shù)列定義知D正確.故選CD.知識(shí)點(diǎn)3

數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)式子表示成

an=f(n),那么這個(gè)式子就叫作這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式,數(shù)列的通項(xiàng)公式就是相應(yīng)函數(shù)的解析式.

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)名師點(diǎn)睛1.數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上是一個(gè)以正整數(shù)集N+(或其子集){1,2,…,n}為定義域的函數(shù)表達(dá)式.2.并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式.3.同一數(shù)列的通項(xiàng)公式,其表達(dá)形式可以是不唯一的,例如數(shù)列-1,1,-1,1,-1,1,…的通項(xiàng)公式可以寫成an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cos

nπ等.思考辨析若數(shù)列{an}的前5項(xiàng)為4,6,8,10,12,能否用一個(gè)式子表示數(shù)列中的每一項(xiàng)?試寫出這個(gè)關(guān)系式.提示

能,an=2n+2,n∈N+.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式就是相應(yīng)函數(shù)的解析式.(

)(2)每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式.(

)(3)數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式是唯一的.(

)√××2.[2024湖南長(zhǎng)沙期末]已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為,則a4=(

)

A.1 B. C.0 D.-1A3.若數(shù)列{an}中,an=2n,則16是這個(gè)數(shù)列的(

)A.第16項(xiàng) B.第8項(xiàng)C.第4項(xiàng)

D.第2項(xiàng)解析

令an=2n=16,得n=4.C重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一數(shù)列的概念與分類【例1】

下列說法正確的是(

)B.數(shù)列{an}的前4項(xiàng)為1,2,3,4,則第5項(xiàng)一定是5C.-1,1,3,5,…是數(shù)列D.數(shù)列0,2,4,6,8,…是有窮數(shù)列C解析

A中,-4,5,2,是數(shù)列;B中,數(shù)列的第5項(xiàng)不一定是5;D中,數(shù)列應(yīng)為無窮數(shù)列;很明顯C正確.規(guī)律方法

1.數(shù)列{an}表示數(shù)列a1,a2,a3,…,an,…,不是表示一個(gè)集合,與集合表示有本質(zhì)的區(qū)別.2.如果組成數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同,那么它們就是不同的數(shù)列.3.同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn).4.數(shù)列是有窮數(shù)列還是無窮數(shù)列,要根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)的有限性或無限性來判斷.變式訓(xùn)練1以下說法正確的是(

)A.同一數(shù)列的任意兩項(xiàng)均不可能相同B.數(shù)列中的項(xiàng)與順序無關(guān)C.數(shù)列0,2,4,6,…可記為{2n}D.數(shù)列0,1,2,3,4,5,6,7,…的第8項(xiàng)為7D解析

A錯(cuò)誤,例如無窮個(gè)3構(gòu)成的數(shù)列3,3,…,3,…;B錯(cuò)誤,數(shù)列中的項(xiàng)與順序有關(guān);C錯(cuò)誤,數(shù)列0,2,4,6,…的首項(xiàng)為0,數(shù)列{2n}的首項(xiàng)為2.故選D.探究點(diǎn)二由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式【例2】

寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù):(4)9,99,999,9999,….(3)數(shù)列中的每一項(xiàng)均由三部分組成,分母是從1開始的奇數(shù)列,其通項(xiàng)公式為2n-1;分子的前一部分是從2開始的自然數(shù)的平方,其通項(xiàng)公式為(n+1)2,分子的后一部分是減去一個(gè)自然數(shù),其通項(xiàng)公式為n,綜合可得原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為(4)an=10n-1.規(guī)律方法

用觀察法求數(shù)列的通項(xiàng)公式的一般規(guī)律(1)一般數(shù)列通項(xiàng)公式的求法(2)對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況,可先觀察其絕對(duì)值,再用(-1)k處理符號(hào)問題.(3)對(duì)于項(xiàng)周期出現(xiàn)的數(shù)列,可考慮拆成幾個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)列和的形式,或者利用周期函數(shù),如三角函數(shù)等.變式訓(xùn)練2寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù):(2)1,-3,5,-7,9,…;(3)7,77,777,7777,….解

(1)這個(gè)數(shù)列前4項(xiàng)的分母都是序號(hào)數(shù)乘以比序號(hào)數(shù)大1的數(shù),并且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù),偶數(shù)項(xiàng)為正,所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為(2)數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值為1,3,5,7,9,…是連續(xù)的正奇數(shù),其通項(xiàng)公式為2n-1;考慮(-1)n+1具有轉(zhuǎn)換符號(hào)的作用,所以數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(-1)n+1(2n-1).探究點(diǎn)三數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用【例3】

已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=n2-7n+6.(1)這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)是多少?(2)150是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)?若是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng),它是第幾項(xiàng)?解

(1)∵an=n2-7n+6,∴a4=42-7×4+6=-6.(2)令an=n2-7n+6=150,即n2-7n-144=0,解得n=16或n=-9(舍去),∴150是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng),是第16項(xiàng).規(guī)律方法

數(shù)列中項(xiàng)的判定方法

變式訓(xùn)練3已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=.(1)寫出數(shù)列的前3項(xiàng).(2)是不是它的項(xiàng)?如果是,是第幾項(xiàng)?本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)數(shù)列的概念與分類.(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式.2.方法歸納:觀察法、歸納法.3.常見誤區(qū):忽視數(shù)列中項(xiàng)的順序性.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)12345678910111213141516A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)一](多選題)下列敘述不正確的是(

)A.同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可能重復(fù)出現(xiàn)B.數(shù)列的通項(xiàng)公式是定義域?yàn)檎麛?shù)集N+的函數(shù)C.任何數(shù)列的通項(xiàng)公式都存在D.數(shù)列的通項(xiàng)公式是唯一的BCD解析

選項(xiàng)A顯然正確;數(shù)列的通項(xiàng)公式的定義域是正整數(shù)集N+或其子集,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;并不是所有數(shù)列都有通項(xiàng)公式,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;數(shù)列-1,1,-1,1,…的通項(xiàng)公式可以寫成an=(-1)n,也可以寫成an=(-1)n+2,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選BCD.12345678910111213141516C123456789101112131415163.[探究點(diǎn)三]已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-n-50,n∈N+,則-8是該數(shù)列的(

)A.第5項(xiàng) B.第6項(xiàng)C.第7項(xiàng) D.非任何一項(xiàng)C解析

解n2-n-50=-8,得n=7或n=-6(舍去).123456789101112131415164.[探究點(diǎn)三]已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為,n∈N+,則該數(shù)列的前4項(xiàng)依次為(

)A.1,0,1,0 B.0,1,0,1A123456789101112131415165.[探究點(diǎn)二·2024山東濱州月考]已知一數(shù)列:0,2,-6,12,-20,30,…,則該數(shù)列的通項(xiàng)可以表示為

.

(-1)n×(n2-n)解析

0=(-1)1×(12-1),2=(-1)2×(22-2),-6=(-1)3×(32-3),…30=(-1)6×(62-6),…,故該數(shù)列的通項(xiàng)可以表示為(-1)n×(n2-n).123456789101112131415166.[探究點(diǎn)二]根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng),寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.(1)-1,7,-13,19,…;(2)0.8,0.88,0.888,….解

(1)符號(hào)問題可通過(-1)n或(-1)n+1表示,其各項(xiàng)的絕對(duì)值的排列規(guī)律為后面的數(shù)的絕對(duì)值總比前面數(shù)的絕對(duì)值大6,故通項(xiàng)公式為an=(-1)n(6n-5).123456789101112131415167.[探究點(diǎn)三]已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-n2+n+110.(1)20是不是{an}中的一項(xiàng)?(2)當(dāng)n取何值時(shí),an=0.解

(1)令an=-n2+n+110=20,即n2-n-90=0,∴(n+9)(n-10)=0,解得n=10或n=-9(舍去).∴20是數(shù)列{an}的第10項(xiàng).(2)令an=-n2+n+110=0,即n2-n-110=0,∴(n-11)(n+10)=0,解得n=11或n=-10(舍去),∴當(dāng)n=11時(shí),an=0.12345678910111213141516B級(jí)關(guān)鍵能力提升練C123456789101112131415169.(多選題)下列選項(xiàng)中能滿足數(shù)列1,0,1,0,1,0…的通項(xiàng)公式的有(

)ACD1234567891011121314151612345678910111213141516A1234567891011121314151611.如圖是由7個(gè)有公共頂點(diǎn)O的直角三角形構(gòu)成的圖案,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把圖中的直角三角形繼續(xù)作下去,記OA1,OA2,…,OAn,…的長(zhǎng)度構(gòu)成數(shù)列{an},則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為(

)A.an=n,n∈N+D.an=n2,n∈N+C1234567891011121314151612.(多選題)大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論,主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理,數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過程中曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和,是中國(guó)傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題,其前10項(xiàng)依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,則下列說法正確的是(

)A.此數(shù)列的第20項(xiàng)是200B.此數(shù)列的第19項(xiàng)是182D.84不是此數(shù)列中的項(xiàng)AC123456789101112131415161234567891011121314151613.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,n∈N+,則a1=

;an+1=

.

11234567891011121314151614.323是數(shù)列{n