4.2.3二項(xiàng)分布與超幾何分布課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版選擇性

第四章概率與統(tǒng)計(jì)4.2.3二項(xiàng)分布與超幾何分布人教B版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第二冊(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型,掌握二項(xiàng)分布,并能利用它們解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.2.理解超幾何分布的意義,能夠利用超幾何分布的概率公式解決實(shí)際問(wèn)題.3.通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),體會(huì)模型化思想在解決問(wèn)題中的作用,感受概率在生活中的作用,提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)一

n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布1.n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在相同條件下重復(fù)n次伯努利試驗(yàn)時(shí),人們總是約定這n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的,此時(shí)這n次伯努利試驗(yàn)也常稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).2.二項(xiàng)分布一般地,如果一次伯努利試驗(yàn)中,出現(xiàn)“成功”的概率為p,記q=1-p,且n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)“成功”的次數(shù)為X,則X的取值范圍是{0,1,…,k,…,n},而且P(X=k)=

,k=0,1,…,n.

因此X的分布列如下表所示.上述X的分布列第二行中的概率值都是二項(xiàng)展開(kāi)式

中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值,因此稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布,記作X~

.

B(n,p)名師點(diǎn)睛1.二項(xiàng)分布是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在k取遍0,1,2,…,n各種情況下的一個(gè)分布列.2.在X~B(n,p)中,X可以取0,1,2,…,n中的任意值,而在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,X卻是一個(gè)具體結(jié)果;注意掌握表示符號(hào)n,p的具體含義,并習(xí)慣用符號(hào)表示具體的分布列.3.兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布在參數(shù)n=1時(shí)的特殊情況.過(guò)關(guān)自診1.設(shè)隨機(jī)變量X~B(6,),則P(X=3)等于(

)A2.某電子管的正品率為,次品率為,現(xiàn)對(duì)該批電子管進(jìn)行測(cè)試,那么在三次測(cè)試中恰有一次測(cè)到正品的概率是(

)C知識(shí)點(diǎn)二

超幾何分布1.定義一般地,若有總數(shù)為N件的甲、乙兩類物品,其中甲類有M件(M<N),從所有物品中隨機(jī)取出n件(n≤N),則這n件中所含甲類物品數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,X能取不小于t且不大于s的所有自然數(shù),其中s是M與n中的較小者,t在n不大于乙類物品件數(shù)(即n≤N-M)時(shí)取0,否則t取n減乙類物品件數(shù)之差(即t=n-(N-M)),而且P(X=k)=

,k=t,t+1,…,s,這里的X稱為服從參數(shù)N,n,M的超幾何分布,記作X~

.

H(N,n,M)2.超幾何分布列如果X~H(N,n,M)且n+M-N≤0,則X能取所有不大于s的自然數(shù),此時(shí)X的分布列如下表所示.名師點(diǎn)睛判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從超幾何分布,應(yīng)看三點(diǎn):(1)總體是否可分為兩類明確的對(duì)象.(2)是否為不放回抽樣.(3)隨機(jī)變量是否為樣本中其中一類個(gè)體的個(gè)數(shù).過(guò)關(guān)自診1.[2023福建漳州高二期中]盒中有4個(gè)白球,5個(gè)紅球,從中任取3個(gè)球,則恰好取出2個(gè)紅球的概率是(

)C解析

設(shè)取出紅球的個(gè)數(shù)為X,則X~H(9,3,5),2.有8件產(chǎn)品,其中3件是次品,從中任取3件,若X表示取得次品的件數(shù),則P(X≤1)等于(

)B重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率的求法【例1】

[人教A版教材例題]將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復(fù)拋擲10次,求:(1)恰好出現(xiàn)5次正面朝上的概率;(2)正面朝上出現(xiàn)的頻率在[0.4,0.6]內(nèi)的概率.解

設(shè)A=“正面朝上”,則P(A)=0.5.用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),則X~B(10,0.5).(1)恰好出現(xiàn)5次正面朝上等價(jià)于X=5,于是(2)正面朝上出現(xiàn)的頻率在[0.4,0.6]內(nèi)等價(jià)于4≤X≤6,于是規(guī)律方法

n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率求法的三個(gè)步驟(1)判斷:依據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特征,判斷所給試驗(yàn)是否為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn);(2)分拆:判斷所求事件是否需要拆分;(3)計(jì)算:就每個(gè)事件依據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求解,最后利用互斥事件概率加法公式計(jì)算.變式訓(xùn)練1某籃球運(yùn)動(dòng)員投籃的命中率為0.7,現(xiàn)投了8次球,求下列事件的概率:(1)恰有4次投中的概率為

;(2)至少有4次投中的概率為

;(3)至多有4次投中的概率為

.(結(jié)果保留三位小數(shù))

0.1360.9420.194解析

(1)某籃球運(yùn)動(dòng)員投籃的命中率為0.7,現(xiàn)投了8次球,恰有4次投中的概率為(2)至少有4次投中的概率為(3)至多有4次投中的概率為探究點(diǎn)二二項(xiàng)分布【例2】

某公司招聘員工,先由兩位專家面試,若兩位專家都同意通過(guò),則視作通過(guò)初審予以錄用;若這兩位專家都未同意通過(guò),則視作未通過(guò)初審不予錄用;當(dāng)這兩位專家意見(jiàn)不一致時(shí),再由第三位專家進(jìn)行復(fù)審,若能通過(guò)復(fù)審則予以錄用,否則不予錄用.設(shè)應(yīng)聘人員獲得每位初審專家通過(guò)的概率均為,復(fù)審能通過(guò)的概率為,各專家評(píng)審的結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求某應(yīng)聘人員被錄用的概率;(2)若4人應(yīng)聘,設(shè)X為被錄用的人數(shù),試求隨機(jī)變量X的分布列.解

設(shè)“兩位專家都同意通過(guò)”為事件A,“只有一位專家同意通過(guò)”為事件B,“通過(guò)復(fù)審”為事件C.(1)設(shè)“某應(yīng)聘人員被錄用”為事件D,則D=A∪(BC),所以X的分布列為

規(guī)律方法

1.當(dāng)X服從二項(xiàng)分布時(shí),應(yīng)弄清X~B(n,p)中的試驗(yàn)次數(shù)n與成功概率p.2.解決二項(xiàng)分布問(wèn)題的關(guān)鍵對(duì)于公式P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)必須在滿足“獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)”時(shí)才能運(yùn)用,否則不能應(yīng)用該公式.變式訓(xùn)練2為增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì),某學(xué)校組織體育社團(tuán),某班級(jí)有4人積極報(bào)名參加籃球和足球社團(tuán),每人只能從兩個(gè)社團(tuán)中選擇其中一個(gè)社團(tuán),大家約定:每個(gè)人通過(guò)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己參加哪個(gè)社團(tuán),擲出點(diǎn)數(shù)為5或6的人參加籃球社團(tuán),擲出點(diǎn)數(shù)小于5的人參加足球社團(tuán).(1)求這4人中恰有1人參加籃球社團(tuán)的概率;(2)用ξ,η分別表示這4人中參加籃球社團(tuán)和足球社團(tuán)的人數(shù),記隨機(jī)變量X為ξ和η之差的絕對(duì)值,求隨機(jī)變量X的分布列.探究點(diǎn)三超幾何分布【例3】

老師要從10篇課文中隨機(jī)抽3篇不同的課文讓同學(xué)背誦,規(guī)定至少要背出其中2篇才能及格.某位同學(xué)只能背誦其中的6篇,求:(1)抽到他能背誦的課文的數(shù)量的分布列;(2)他能及格的概率.規(guī)律方法

求超幾何分布列的步驟(1)驗(yàn)證隨機(jī)變量是否服從超幾何分布,并確定參數(shù)N,M,n;(2)確定X的所有可能取值;(3)利用超幾何分布公式計(jì)算P(X=k);(4)寫出分布列(用表格或式子表示).變式訓(xùn)練3在箱子中有10個(gè)小球,其中有3個(gè)紅球,3個(gè)白球,4個(gè)黑球.從這10個(gè)球中任取3個(gè).求:(1)取出的3個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)X的分布列;(2)取出的3個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)多于白球個(gè)數(shù)的概率.

解

(1)由題意知X的所有可能取值為0,1,2,3,且X服從參數(shù)為N=10,M=3,n=3的超幾何分布,故X的分布列為

(2)設(shè)“取出的3個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)多于白球個(gè)數(shù)”為事件A,“恰好取出1個(gè)紅球和2個(gè)黑球”為事件A1,“恰好取出2個(gè)紅球”為事件A2,“恰好取出3個(gè)紅球”為事件A3,由于事件A1,A2,A3彼此互斥,且A=A1+A2+A3,所以取出的3個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)多于白球個(gè)數(shù)的概率為

探究點(diǎn)四概率的綜合應(yīng)用【例4】

甲、乙兩隊(duì)參加奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽,每隊(duì)3人,每人回答一個(gè)問(wèn)題,答對(duì)者為本隊(duì)贏得一分,答錯(cuò)得零分.假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為,乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為,且各人回答正確與否相互之間沒(méi)有影響.用ξ表示甲隊(duì)的總得分.(1)求隨機(jī)變量ξ的分布列;(2)用A表示“甲、乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于3”這一事件,用B表示“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”這一事件,求P(AB).所以ξ的分布列為

(2)用C表示“甲隊(duì)得2分,乙隊(duì)得1分”這一事件,用D表示“甲隊(duì)得3分,乙隊(duì)得0分”這一事件,所以AB=C∪D,且C,D互斥,變式探究

在本例條件下,試求事件“甲、乙兩隊(duì)總得分之和大于4”的概率.解

用E表示“甲、乙兩隊(duì)總得分之和大于4”這一事件,包括“總得分之和等于5”與“總得分之和等于6”.變式訓(xùn)練4某學(xué)校為了解學(xué)生課后進(jìn)行體育運(yùn)動(dòng)的情況,對(duì)該校學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,獲得20名學(xué)生一周進(jìn)行體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間數(shù)據(jù)如表,其中運(yùn)動(dòng)時(shí)間在(7,11]的學(xué)生稱為運(yùn)動(dòng)達(dá)人.分組區(qū)間(單位:小時(shí))(1,3](3,5](5,7](7,9](9,11]人數(shù)13475(1)從上述抽取的學(xué)生中任取2人,設(shè)X為運(yùn)動(dòng)達(dá)人的人數(shù),求X的分布列;(2)以頻率估計(jì)概率,從該校學(xué)生中任取2人,設(shè)Y為運(yùn)動(dòng)達(dá)人的人數(shù),求Y的分布列.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)12345678910111213141516A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)二·2023吉林長(zhǎng)春校級(jí)月考]下列例子中隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布的個(gè)數(shù)為(

)①某同學(xué)投籃的命中率為0.6,他10次投籃中命中的次數(shù)ξ;②某射手擊中目標(biāo)的概率為0.9,從開(kāi)始射擊到擊中目標(biāo)所需的射擊次數(shù)ξ;③從裝有5個(gè)紅球,5個(gè)白球的袋中,有放回地摸球,直到摸出白球?yàn)橹?摸到白球時(shí)的摸球次數(shù)ξ;④有一批產(chǎn)品共有N件,其中M件為次品,采用不放回抽取方法,ξ表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù).A.0 B.1 C.2 D.3B123456789101112131415162.[探究點(diǎn)一]某學(xué)校成立了A,B,C三個(gè)課外學(xué)習(xí)小組,每位學(xué)生只能申請(qǐng)進(jìn)入其中一個(gè)學(xué)習(xí)小組學(xué)習(xí).申請(qǐng)其中任意一個(gè)學(xué)習(xí)小組是等可能的,則該校的任意4位學(xué)生中,恰有2人申請(qǐng)A學(xué)習(xí)小組的概率是(

)D解析

設(shè)每位學(xué)生申請(qǐng)課外學(xué)習(xí)小組為一次試驗(yàn),這是4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),記“申請(qǐng)A學(xué)習(xí)小組”為事件A,則P(A)=,由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式可知,恰有2人申請(qǐng)A學(xué)習(xí)小組的概率是故選D.123456789101112131415163.[探究點(diǎn)四](多選題)某射手射擊1次,擊中目標(biāo)的概率是0.9,他連續(xù)射擊4次,且他各次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒(méi)有影響.則下列四個(gè)選項(xiàng)中,正確的是(

)A.他第3次擊中目標(biāo)的概率是0.9B.他恰好擊中目標(biāo)3次的概率是0.93×0.1C.他至少擊中目標(biāo)1次的概率是1-0.14D.他恰好有連續(xù)2次擊中目標(biāo)的概率為3×0.93×0.1AC123456789101112131415164.[探究點(diǎn)三·2023四川綿陽(yáng)高二期中]在含有3件次品的10件產(chǎn)品中,任取4件,X表示取到的次品數(shù),則P(X=2)=

.

123456789101112131415165.[探究點(diǎn)二·人教A版教材習(xí)題]雞接種一種疫苗后,有80%不會(huì)感染某種病毒.如果5只雞接種了疫苗,求:(1)沒(méi)有雞感染病毒的概率;(2)恰好有1只雞感染病毒的概率.解

設(shè)5只接種疫苗的雞中感染病毒的只數(shù)為X,則X~B(5,0.2).(1)P(X=0)=×0.85=0.327

68.(2)P(X=1)=×0.2×0.84=0.409

6.12345678910111213141516B級(jí)關(guān)鍵能力提升練6.已知某射擊運(yùn)動(dòng)員,每次擊中目標(biāo)的概率都是0.8,則該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊4次,至少擊中3次的概率為(

)A.0.85 B.0.8192B解析

因?yàn)槟成鋼暨\(yùn)動(dòng)員,每次擊中目標(biāo)的概率都是0.8,則該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊4次看作4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),則至少擊中3次的概率(0.8)3(1-0.8)+0.84=0.819

2.123456789101112131415167.(多選題)在4件產(chǎn)品中,有一等品2件,二等品1件(一等品與二等品都是正品),次品1件,現(xiàn)從中任取2件,則下列說(shuō)法正確的是(

)BD123456789101112131415168.(多選題)某城鎮(zhèn)小汽車的普及率為75%,即平均每100個(gè)家庭有75個(gè)家庭擁有小汽車,若從該城鎮(zhèn)中任意選出5個(gè)家庭,則下列結(jié)論成立的是(

)ACD123456789101112131415169.(多選題)若隨機(jī)變量ξ~B(5,),則P(ξ=k)最大時(shí),k的值可以為(

)A.1 B.2C.4 D.5AB1234567891011121314151610.(多選題)一袋中有6個(gè)大小相同的黑球,編號(hào)為1,2,3,4,5,6,還有4個(gè)同樣大小的白球,編號(hào)為7,8,9,10,現(xiàn)從中任取4個(gè)球,則下列結(jié)論中正確的是(

)A.取出的最大號(hào)碼X服從超幾何分布B.取出的黑球個(gè)數(shù)Y服從超幾何分布C.取出2個(gè)白球的概率為D.若取出一個(gè)黑球記2分,取出一個(gè)白球記1分,則總得分最大的概率為BD1234567891011121314151611.數(shù)學(xué)老師從6道習(xí)題中隨機(jī)抽3道讓同學(xué)檢測(cè),規(guī)定至少要解答正確2道題才能及格.某同學(xué)只能求解其中的4道題,則他能及格的概率是

.

1234567891011121314151612.兩名學(xué)生一起去一家單位應(yīng)聘,面試前單位負(fù)責(zé)人對(duì)他們說(shuō):“我們要從面試的人中招聘3人,你們倆同時(shí)被招聘進(jìn)來(lái)的概率是

.”若每個(gè)參加面試的人被招聘的可能性相同,則根據(jù)這位負(fù)責(zé)人的話,可以推斷出參加面試的人數(shù)為

.

211234567891011121314151613.箱中裝有4個(gè)白球和m(m∈N+)個(gè)黑球.規(guī)定取出一個(gè)白球得2分,取出一個(gè)黑球得1分,現(xiàn)從箱中任取3個(gè)球,假設(shè)每個(gè)球被取出的可能性都相等.記隨機(jī)變量X為取出的3個(gè)球所得分?jǐn)?shù)之和.(1)若P(X=6)=,求m的值;(2)當(dāng)m=3時(shí),求X的分布列.

123456789101112131415161234567891011121314151614.[人教A版教材例題改編]一個(gè)袋子中有100個(gè)大小相同的球,其中有40個(gè)黃球、60個(gè)白球,從中隨機(jī)地摸出20個(gè)球作為樣本.用X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù).分別就有放回摸球和不放回摸球,求X的分布列.