2020-2021學(xué)年重慶市縉云教育聯(lián)盟高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題解析版

PAGE試卷第=2頁，總=sectionpages33頁2021學(xué)年重慶市縉云教育聯(lián)盟高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，集合，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出集合,然后再求交集.【詳解】集合由，得，所以所以故選：A2．已知實(shí)數(shù)滿足關(guān)系：，記滿足上述關(guān)系的的集合為，則函數(shù)的最小值為A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：由已知條件可得，根據(jù)基本不等式，，得到不等式，解得，，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，即恒成立，當(dāng)時(shí)，那么恒成立，說明是單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，，故選D.【解析】1.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；2.基本不等式的應(yīng)用.【方法點(diǎn)睛】本題主要考察了導(dǎo)數(shù)與基本不等式的綜合應(yīng)用，屬于中檔題型，第一個(gè)要解決的是函數(shù)的定義域，所以根據(jù)基本不等式，得到函數(shù)的定義域，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，涉及了二次求導(dǎo)的問題，一次求導(dǎo)后，不易得到函數(shù)的單調(diào)性，所以需要二次求導(dǎo)，得到一次導(dǎo)的最小值，再判斷函數(shù)的單調(diào)性,最后求最值.3．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過F作過第一象限的漸近線的垂線，垂足為M，交另一條漸近線于點(diǎn)N，若，則E的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用直線的垂直關(guān)系得到過F與第一象限的漸近線垂直的直線方程，分別代入兩漸近線方程，得到關(guān)于M,N的縱坐標(biāo)的方程，利用得到M,N的縱坐標(biāo)的關(guān)系，兩者聯(lián)系，得到關(guān)于a,b的方程，化為a,c的方程，即可求得離心率.【詳解】雙曲線的漸近線方程為,過與此漸近線垂直的直線方程為：,聯(lián)立求得,，①代入漸近線中，得到,,②，∵，∴,∴，整理得：,結(jié)合，整理可得，即離心率.故選：B.4．已知焦點(diǎn)在x軸上且離心率為的橢圓E，其對稱中心是原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與E交于A，B兩點(diǎn)，且，則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，，利用，得到，再由橢圓的離心率為，設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由A，B兩點(diǎn)在橢圓上，得到求解.【詳解】設(shè)，，則由，可得，解得，，即.因?yàn)闄E圓的離心率為，所以可設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，消去，的平方項(xiàng)，得，由，即，解得，又，所以，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是由A，B兩點(diǎn)在橢圓上，得到，進(jìn)而由橢圓的范圍求得m的范圍而得解.5．有下列命題：①“或”是“”的必要不充分條件；②已知命題p：對任意負(fù)實(shí)數(shù)x，都有，則是：存在非負(fù)實(shí)數(shù)x，滿足；③已知數(shù)列與滿足，則“數(shù)列為等差數(shù)列”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的充分不必要條件；④已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為1.其中所有真命題的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】①分別進(jìn)行充分性和必要性判斷即可，②根據(jù)全稱量詞命題否定判斷即可，③根據(jù)等差數(shù)列的定義結(jié)合充分條件和必要條件的定義分別進(jìn)行判斷即可，④由題意求出的最小值即可判斷．【詳解】解：①若“或”則“”的逆否命題為：若，則且；前者推不出后者，但是后者能夠推出前者，所以，是且的必要不充分條件，故①是真命題，②已知命題p：對任意負(fù)實(shí)數(shù)x，都有，則是：存在負(fù)實(shí)數(shù)x，滿足，故②是假命題，③若數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則當(dāng)時(shí)，，為常數(shù)，則數(shù)列為等差數(shù)列，即充分性成立，若數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為b，則時(shí)，為常數(shù)，則無法推出為常數(shù)，即無法判斷數(shù)列為等差數(shù)列，即必要性不成立，即“數(shù)列為等差數(shù)列”是“數(shù)列為等差數(shù)列”充分不必要條件，故③正確，④由題意可知，b2＝1，∴.設(shè)，，，且，，令，，∴，∴的最小值為1，故④正確，①③④正確，故選：B.6．三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，則頂點(diǎn)在底面的射影為的（）A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】D【分析】畫出圖象，做平面于，連接并延長交于，由題意可得：，所以平面，所以，又因?yàn)槠矫妫?，所以平面，同理，即可得?【詳解】如圖：做平面于，連接并延長交于，連接并延長交于，由題意可得：，所以平面，所以，又因?yàn)槠矫?，，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，同理：，故為的垂?故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了空間線面關(guān)系，主要是垂直關(guān)系，考查了空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.7．設(shè)圓，直線，點(diǎn)，存在點(diǎn)，使（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合圖形可知時(shí)滿足題意，代入，解不等式即可.【詳解】如圖，當(dāng)直線與圓相切，為切點(diǎn)時(shí)，，取得最大值，此時(shí)當(dāng)時(shí)可得所以滿足題意的條件為：即，又，所以即，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】處理直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達(dá)，則用幾何法；若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達(dá)較繁瑣，則用代數(shù)法．8．將參加數(shù)學(xué)競賽決賽的500名同學(xué)編號為：001，002，，500，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為50的樣本，且隨機(jī)抽的號碼為003，這500名學(xué)生分別在三個(gè)考點(diǎn)考試，從001到200在第一考點(diǎn)，從201到352在第二考點(diǎn)，從353到500在第三考點(diǎn)，則第二考點(diǎn)被抽中的人數(shù)為（）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】B【分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的方法要求，確定分段間隔，根據(jù)隨機(jī)抽的號碼為003，計(jì)算出從201到352抽的人數(shù)即可得出結(jié)果.【詳解】系統(tǒng)抽樣的分段間隔為，在隨機(jī)抽樣中，首次抽到003號，以后每隔10個(gè)號抽到一個(gè)人，故在201至352號中共抽中15人，其編號分別為：203,213,223,233,243,253,263,273,283,293,303,313,323,333,343.

故選：B.二、多選題9．下列命題正確的是（）A．已知，則“”是“”的充分不必要條件B．根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖判斷出兩個(gè)變量線性相關(guān)，由最小二乘法求得其回歸直線方程為，若樣本中心點(diǎn)為，則C．若隨機(jī)變量，且，則D．已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，，則不等式的解集為【答案】AB【分析】由充分不必要條件的定義判斷A，由線性回歸直線方程判斷B，由二項(xiàng)分頁的期望與方差判斷C，由函數(shù)的奇偶性單調(diào)性及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷D．【詳解】A．，由能得出，但時(shí)，不一定成立，充分不必要條件是成立的，A正確；B．由得，B正確；C．，，，所以，C錯(cuò)誤；D．由題意，，D錯(cuò)；故選：AB．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查命題的真假判斷．解本題需掌握各個(gè)命題所涉及的知識與性質(zhì)應(yīng)用，充分必要條件的定義，線性回歸直線一定過中心點(diǎn)，，則，以及，還需掌握奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)．10．在含有3件次品的50件產(chǎn)品中，任取2件，則下列說法正確的是（）A．恰好取到一件次品有不同取法B．至少取到一件次品有不同取法C．兩名顧客恰好一人買到一件次品一人買到一件正品有不同取法D．把取出的產(chǎn)品送到檢驗(yàn)機(jī)構(gòu)檢查能檢驗(yàn)出有次品的有不同種方式【答案】AC【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)是否正確，綜合即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對于A：在含有3件次品的10件產(chǎn)品中，任取2件，恰好取到1件次品包含的基本事件個(gè)數(shù)為，A正確，對于B：至少取到1件次品包括兩種情況：只抽到一件次品，抽到兩件次品，所以共有至少取到一件次品有，B錯(cuò)誤，對于C：兩名顧客恰好一人買到一件次品一人買到一件正品有不同取法，C正確，對于D：有次品即可，所以把取出的產(chǎn)品送到檢驗(yàn)機(jī)構(gòu)檢查能檢驗(yàn)出有次品的有，D錯(cuò)誤.故選：AC.11．已知函數(shù)滿足，且在上有最大值，無最小值，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．若，則C．的最小正周期為4 D．在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)最少為1010個(gè)【答案】AC【分析】解：對A，根據(jù)正弦函數(shù)圖象的對稱性可判斷；對B，令代入，以及，即可求出，進(jìn)而求得；對C，根據(jù)，即可求出最小正周期；對D，由可得函數(shù)在區(qū)間上的長度恰好為個(gè)周期，令，即可判斷．【詳解】解：對A，的區(qū)間中點(diǎn)為，根據(jù)正弦曲線的對稱性知，故A正確；對B，若，則，在上有最大值，無最小值，，則，，故B錯(cuò)誤；對C，，又在上有最大值，無最小值，，(其中)，解得：，，故C正確；對D，當(dāng)時(shí)，區(qū)間的長度恰好為個(gè)周期，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在開區(qū)間上零點(diǎn)個(gè)數(shù)至多為個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對關(guān)于三角函數(shù)命題的真假問題，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用特殊值法以及三角函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．發(fā)現(xiàn)土星衛(wèi)星的天文學(xué)家喬凡尼卡西尼對把卵形線描繪成軌道有興趣.像笛卡爾卵形線一樣，笛卡爾卵形線的作法也是基于對橢圓的針線作法作修改，從而產(chǎn)生更多的卵形曲線.卡西尼卵形線是由下列條件所定義的：曲線上所有點(diǎn)到兩定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離之積為常數(shù).已知：曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1(-1，0)和F2(1，0）的距離的積等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，則下列命題中正確的是（）A．曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn)B．曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱C．曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對稱D．若點(diǎn)在曲線C上，則的面積不大于【答案】BCD【分析】動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)題意可得曲線的方程為，對各個(gè)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證，即可得出結(jié)論．【詳解】由題意設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即，若曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn)，將點(diǎn)代入曲線C的方程中可得與已知矛盾，故曲線C不過坐標(biāo)原點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；把方程中的x被代換，y被代換，方程不變，故曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，故B正確；因?yàn)榘逊匠讨械膞被代換，方程不變，故此曲線關(guān)于y軸對稱，把方程中的y被代換，方程不變，故此曲線關(guān)于x軸對稱，故曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，故C正確；若點(diǎn)P在曲線C上，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故的面積不大于，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查圓錐曲線新定義，軌跡方程的求法，關(guān)鍵是讀懂題意，并能正確運(yùn)用新定義是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題型.三、填空題13．已知函數(shù)，求曲線過點(diǎn)處的切線方程________.【答案】或【分析】先判斷點(diǎn)不在函數(shù)圖像上，設(shè)出切點(diǎn)，求導(dǎo)求得斜率，寫出切線方程，將點(diǎn)代入，得到關(guān)于的方程，解得，即可得切線方程.【詳解】顯然點(diǎn)不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)為，由的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，切線的方程為，代入點(diǎn)，可得，化為，解得或，則切線的方程為或，故答案為：或.14．關(guān)于函數(shù)有如下四個(gè)命題：①是的周期；②的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；③的圖象關(guān)于對稱；④的最大值為.其中所有真命題是___________.（填命題序號）【答案】①③④【分析】利用函數(shù)的周期性定義、奇偶性定義以及對稱性逐一驗(yàn)證①、②、③；令，將函數(shù)化為，利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷④即可.【詳解】，①是真命題；，，②是假命題；，③是真命題；令，則，故，故函數(shù)可看作，當(dāng)時(shí)，，④是真命題.故答案為：①③④15．已知橢圓長軸的右端點(diǎn)為A，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)若橢圓上不存在點(diǎn)P，使AP垂直PO，則橢圓的離心率的最大值為____________.【答案】【分析】由垂直，可得點(diǎn)滿足方程，代入橢圓得在，上有解，據(jù)此能求出橢圓的離心率的范圍．其補(bǔ)集即為不存在點(diǎn)P，使AP垂直PO時(shí)的離心率，可得離心率的最大值．【詳解】設(shè)點(diǎn)，假設(shè)AP垂直PO，

根據(jù)題意得，點(diǎn)P在圓上，，整理得，即解得，或（舍去）又因?yàn)椋?/p>

，化簡得：，，又因?yàn)?，?/p>

若橢圓上不存在點(diǎn)P，使AP垂直PO，橢圓離心率的取值范圍為．

即橢圓離心率的最大值為．

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的離心率的取值范圍的求法，考查滿足AP垂直PO的點(diǎn)P的軌跡方程，一元二次方程的根，屬于中檔題．16．已知向量，若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______．【答案】【詳解】試題分析：,．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)等價(jià)于在上恒成立．即在區(qū)間上恒成立．令,所以,令得,令得．所以函數(shù)在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增．所以,,所以．所以．【解析】導(dǎo)數(shù)求最值．四、解答題17．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求角C的大??；（2）若，，的周長為12，求的面積.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）已知等式結(jié)合余弦定理，二倍角的正弦公式可求得；（2）由余弦定理及可求得，再由三角形面積公式計(jì)算．【詳解】（1）由余弦定理知，，因?yàn)?，所以，?又，所以或，所以或.（2）由（1）及，得，因?yàn)椋?，所以，由余弦定理知，，即，所以，所以的面積.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查余弦定理、三角形面積公式，考查二倍角公式．解題關(guān)鍵是由已知條件的形式，確定先用余弦定理進(jìn)行公式變形，再由三角公式求得角．18．已知數(shù)列滿足：，且對任意的，都有1，成等差數(shù)列.（1）證明數(shù)列等比數(shù)列；（2）已知數(shù)列前n和為，條件①：，條件②：，請?jiān)跅l件①②中僅選擇一個(gè)條件作為已知條件來求數(shù)列前n和.【答案】（1）證明見解析；（2）答案不唯一，具體見解析.【分析】（1）由條件得，利用等比數(shù)列定義可得證.（2）選條件①得，選條件②得利用錯(cuò)位相減法可得解.【詳解】（1）由條件可知，即，∴，且∴是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴，∴（2）條件①：，利用錯(cuò)位相減法:化簡得條件②：利用錯(cuò)位相減法:化簡得【點(diǎn)睛】錯(cuò)位相減法求和的方法：如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解;在寫“”與“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式19．已知中，，，，分別取邊，的中點(diǎn)，，將沿折起到的位置，設(shè)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，棱上的點(diǎn)滿足.（1）求證：平面；（2）試探究在的折起過程中，是否存在一個(gè)位置，使得三棱錐的體積為18，若存在，求出二面角的大小，若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，或.【分析】（1）首先根據(jù)題意易證，，從而得到四邊形為平行四邊形，即，再利用線面平行的判定即可證明平面.（2）首先根據(jù)題意易證是二面角的平面角，在面內(nèi)作于，利用三棱錐等體積轉(zhuǎn)化得到，從而得到到的距離，即可得到二面角的大小.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，，如圖所示：∵為棱的中點(diǎn)，∴且，而中，，為邊，的中點(diǎn)，則，且，∴，即.且，∴四邊形為平行四邊形，∴.∵平面，平面∴平面.（2）在中，，，；所以在立體圖中，，，，∴是二面角的平面角，且平面，∵平面，∴平面平面在面內(nèi)作于，如圖所示：則平面，∴為三棱錐的高.，，∴，所以到的距離，當(dāng)為銳角時(shí)，，∴，所以符合要求的的位置存在且二面角的大小為或.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查線面平行的證明和二面角的求法，解決本題的關(guān)鍵為利用等體積轉(zhuǎn)化法得到，從而得到，考查學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.20．某市高考模擬考試數(shù)學(xué)試卷解答題的網(wǎng)上評卷采用“雙評仲裁”的方式：兩名老師獨(dú)立評分，稱為一評和二評，當(dāng)兩者所評分?jǐn)?shù)之差的絕對值小于或等于1分時(shí)，取兩者平均分為該題得分；當(dāng)兩者所評分?jǐn)?shù)之差的絕對值大于1分時(shí)，再由第三位老師評分，稱之為仲裁，取仲裁分?jǐn)?shù)和一、二評中與之接近的分?jǐn)?shù)的平均分為該題得分；當(dāng)一、二評分?jǐn)?shù)和仲裁分?jǐn)?shù)差值的絕對值相同時(shí)，取仲裁分?jǐn)?shù)和一、二評中較高的分?jǐn)?shù)的平均分為該題得分．有的學(xué)生考試中會(huì)做的題目答完后卻得不了滿分，原因多為答題不規(guī)范，比如：語言不規(guī)范、缺少必要文字說明、卷面字跡不清、得分要點(diǎn)缺失等等，把這樣的解答稱為“缺憾解答”．該市教育研訓(xùn)部門通過大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，滿分為12分的題目，這樣的“缺憾解答”，閱卷老師所評分?jǐn)?shù)及各分?jǐn)?shù)所占比例如表：教師評分11109分?jǐn)?shù)所占比例將這個(gè)表中的分?jǐn)?shù)所占比例視為老師對滿分為12分題目的“缺憾解答”所評分?jǐn)?shù)的概率，且一、二評與仲裁三位老師評分互不影響．已知一個(gè)同學(xué)的某道滿分為12分題目的解答屬于“缺憾解答”．（1）求該同學(xué)這個(gè)題目需要仲裁的概率；（2）求該同學(xué)這個(gè)題目得分的分布列及數(shù)學(xué)期望（精確到整數(shù)）．【答案】（1）；（2）答案見解析.【分析】（1）首先設(shè)表示事件：“該同學(xué)這個(gè)解答題需要仲裁”，設(shè)一評、二評所打分?jǐn)?shù)分別為，，由題設(shè)知事件的所有可能情況有：，或，由此能求出該同學(xué)這個(gè)題目需要仲裁的概率．（2）隨機(jī)事件的可能取值為9，9.5，10，10.5，11，設(shè)仲裁所打分?jǐn)?shù)為，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列和數(shù)學(xué)期望．【詳解】（1）記表示事件：“該同學(xué)這個(gè)解答題需要仲裁”，設(shè)一評、二評所打分?jǐn)?shù)分別為，，由題設(shè)知事件的所有可能情況有：，或，（A）．（2）隨機(jī)事件的可能取值為9，9.5，10，10.5，11，設(shè)仲裁所打分?jǐn)?shù)為，則，，，，，的分布列為：99.51010.511．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：概率問題一般都是背景習(xí)題，所以第一步注意審題，避免因?qū)忣}不清楚，造成錯(cuò)誤，第二個(gè)錯(cuò)誤就是寫隨機(jī)變量時(shí)，要做到準(zhǔn)確，并理解每一個(gè)事件表示的意義，才能正確求概率，屬于中檔題．21．已知拋物線：（）焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于，點(diǎn).（1）若過點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線交于點(diǎn).記點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求的值；（2）若，點(diǎn)在曲線上且線段，中點(diǎn)均在拋物線上，記線段的中點(diǎn)為，