2021-2022學(xué)年新教材人教A版必修第二冊-8.6.2-直線與平面垂直一-作業(yè)

三十直線與平面垂直(一)【根底全面練】(25分鐘50分)一、選擇題(每題5分，共20分)1．如圖，α∩β＝l，點A，C∈α，點B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直線l與直線AC的關(guān)系是()A．異面B．平行C．垂直D．不確定【解析】選C.因為BA⊥α，α∩β＝l，l?α，所以BA⊥l，同理BC⊥l，又BA∩BC＝B，所以l⊥平面ABC.因為AC?平面ABC，所以l⊥AC.2．如圖，P為△ABC所在平面α外一點，PB⊥α，PC⊥AC，那么△ABC的形狀為()A.銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不確定【解析】選B.由PB⊥α，AC?α得PB⊥AC，又AC⊥PC，PC∩PB＝P，所以AC⊥平面PBC，AC⊥BC.3．空間四邊形ABCD的四邊相等，那么它的兩對角線AC，BD的關(guān)系是()A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交【解析】選C.取BD中點O，連接AO，CO，那么BD⊥AO，BD⊥CO，所以BD⊥平面AOC，所以BD⊥AC，又BD，AC異面．所以AC，BD不相交．【加固訓(xùn)練】如下圖，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA與BD的位置關(guān)系是()A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直【解析】選C.連接AC，因為ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，那么BD⊥MC.因為AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA?平面AMC，所以MA⊥BD.顯然直線MA與直線BD不共面，因此直線MA與BD的位置關(guān)系是垂直但不相交．4．(2021·赤峰高一檢測)正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱AB上的點，且AB＝4EB，那么直線C1E與平面ADD1AA．eq\f(\r(2),8)B．eq\f(\r(2),4)C．eq\f(\r(2),16)D．eq\r(17)【解析】選A.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1因為平面AA1D1D∥平面BB1C所以直線C1E與平面ADD1A1所成角等于直線C1E與平面BCC1B1因為EB⊥平面BB1C1C那么∠EC1B即為直線C1E與平面BCC1B1所成的角．設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4a那么EB＝a，BC1＝4eq\r(2)所以tan∠EC1B＝eq\f(a,4\r(2)a)＝eq\f(\r(2),8).即直線C1E與平面ADD1A1所成角的正切值為eq\f(\r(2),8).二、填空題(每題5分，共10分)5．(2021·宜興高一檢測)將一本書翻開后豎立在桌面上(如圖)，那么書脊所在直線AB與桌面的位置關(guān)系為________．【解析】設(shè)桌面所在平面為平面α，由AB⊥BC，AB⊥BE，且BC?平面α，BE?平面α，且BC∩BE＝B，可得AB⊥平面α.答案：垂直6．如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為2eq\r(2)，那么AC1與面ABB1A1所成的角為________．【解析】取A1B1中點D，連接C1D，AD，因為正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為2eq\r(2)，所以C1D⊥A1B1，C1D⊥AA1，因為A1B1∩AA1＝A1，所以C1D⊥平面ABB1A1所以AC1與面ABB1A1所成的角為∠DAC1因為C1D＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，AD＝eq\r(〔2\r(2)〕2＋12)＝3，所以tan∠DAC1＝eq\f(C1D,AD)＝eq\f(\r(3),3)，所以∠DAC1＝eq\f(π,6).所以AC1與面ABB1A1所成的角為eq\f(π,6).答案：eq\f(π,6)三、解答題(每題10分，共20分)7．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，AC與BD交于點O.求證：BD⊥平面PAC.【證明】因為ABCD為菱形，所以BD⊥AC，又因為PA⊥平面ABCD，所以BD⊥PA，PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.8．如圖，在四棱錐S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.求證：SD⊥平面SAB.【證明】因為AB∥CD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，所以底面ABCD為直角梯形，AD＝eq\r(〔2－1〕2＋22)＝eq\r(5).因為側(cè)面SAB為等邊三角形，所以SA＝SB＝AB＝2.又SD＝1，所以AD2＝SA2＋SD2，所以SD⊥SA.連接BD，那么BD＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，所以BD2＝SD2＋SB2，所以SD⊥SB.又SA∩SB＝S，所以SD⊥平面SAB.【加固訓(xùn)練】如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點，S是△ABC所在平面外一點，且SA＝SB＝SC.(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)假設(shè)AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.【解析】(1)因為SA＝SC，D是AC的中點，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD，又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因為AB＝BC，D為AC的中點，所以BD⊥AC，由(1)知SD⊥BD，又因為SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.【綜合突破練】(20分鐘40分)一、選擇題(每題5分，共10分)1．如圖，空間四邊形ABCD中，各條棱都相等，那么AB所在直線與平面BCD所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(3),3)B．eq\f(1,3)C．eq\f(\r(6),3)D．1【解析】選A.因為空間四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD，所以四面體ABCD為正四面體，所以點A在平面BCD上的投影為正三角形BCD的中心O，連接AO，BO，那么∠ABO為AB所在直線與平面BCD所成角，令A(yù)B＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD＝a，那么BO＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),3)a，在Rt△ABO中，cos∠ABO＝eq\f(BO,AB)＝eq\f(\f(\r(3),3)a,a)＝eq\f(\r(3),3).2．(多項選擇題)如下圖，在四個正方體中，EF是正方體的一條體對角線，點M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出EF⊥平面MNP的圖形為()【解析】選AD.對于AD.根據(jù)正方體的性質(zhì)可得：EF⊥MN，EF⊥MP，可得EF⊥平面MNP.而BC無法得出EF⊥平面MNP.二、填空題(每題5分，共10分)3．四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA＝AB＝4，那么直線PB與平面PAC所成角為________．【解析】連接BD交AC于點O，連接PO.因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD又底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC，因為PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.那么PO為PB在平面PAC上的射影．所以∠BPO為直線PB與平面PAC所成的角．因為PA＝AB＝4，所以O(shè)A＝OB＝2eq\r(2)，PO＝eq\r(42＋〔2\r(2)〕2)＝2eq\r(6).所以tan∠BPO＝eq\f(2\r(2),2\r(6))＝eq\f(\r(3),3)，得∠BPO＝30°.所以直線PB與平面PAC所成的角為30°.答案：30°4．正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AA1，AB的中點，那么EF與直線AC1所成角的大小為________；EF與對角面BDD1B1【解析】由正方體的性質(zhì)知，B1C1⊥平面ABB1A所以B1C1⊥EF，連接AB1，A1因為四邊形ABB1A1所以AB1⊥A1B，因為E，F(xiàn)分別是AA1，AB的中點，所以EF∥A1B，所以AB1⊥EF，又B1C1∩AB1＝B1，B1C1，AB1?平面AB1所以EF⊥平面AB1C1，所以EF⊥AC1即EF與直線AC1所成角的大小為eq\f(π,2).取B1D1的中點O，連接OA1，OB，那么A1O⊥B1D1，因為BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1因為B1D1∩BB1＝B1，B1D1、BB1?平面BDD1B1，所以A1O⊥平面BDD1B1，因為EF∥A1B，所以EF與面BDD1B1所成的角也為A1B與面BDD1B1所成的角，即∠A1BO，在Rt△A1BO中，sin∠A1BO＝eq\f(A1O,A1B)＝eq\f(1,2)，所以EF與面BDD1B1所成角的正弦值為eq\f(1,2).答案：eq\f(π,2)eq\f(1,2)三、解答題(每題10分，共20分)5．如下圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1＝2.點D，D1分別是棱AC，A1C(1)求證：D，B，B1，D1四點共面；(2)求直線BC1與平面DBB1D1所成角的大?。窘馕觥?1)因為點D，D1分別是棱AC，A1C1的中點，所以DD1∥CC1因為CC1∥BB1，所以DD1∥BB1，所以D、B、B1、D1四點共面．(2)作C1F⊥B1D1因為BB1⊥平面A1B1C1，C1F?平面A1B1所以直線BB1⊥直線C1F因為C1F⊥直線B1D1且BB1與B1D1相交于B1，所以直線C1F⊥平面DBB1D1，所以∠C1BF即為直線BC1與平面DBB1D在直角△C1BF中，BC1＝2eq\r(2)，C1F＝eq\f(2\r(5),5)，sin∠C1BF＝eq\f(\r(10),10).6.如下圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CE⊥AB1求證：(1)CD⊥AA1；(2)AB1⊥平面CED.【證明】(