2022屆天津市紅橋區(qū)高三下學期一模數(shù)學試題解析版

紅橋區(qū)高三下學期一模數(shù)學試題數(shù)學參考公式：柱體的體積公式，其中S表示柱體的底面積，h表示柱體的高．錐體的體積公式，其中S表示錐體的底面積，h表示錐體的高．球的體積公式，其中R表示球的半徑．第Ⅰ卷一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.2.設，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.4.已知，，，則（）A. B.C. D.5.已知盒中裝有大小、質量完全相同的2個黑球，3個紅球，現(xiàn)從盒中隨機抽取2個球，則取出的兩個球顏色相同的概率為（）A B. C. D.6.將函數(shù)的圖象向右平移個單位，所得圖象對應的函數(shù)（）A.在區(qū)間上單調遞增 B.在區(qū)間上單調遞減C.在區(qū)間上單調遞增 D.在區(qū)間上單調遞減7.【陜西省西安市長安區(qū)第一中學上學期期末考】已知雙曲線的左焦點為，點在雙曲線的漸近線上，是邊長為2的等邊三角形（為原點），則雙曲線的方程為（）A. B. C. D.8.設，，若，則的最小值為（）A.6 B.9 C. D.189.如圖，四邊形ABCD中，，，，，，M，N分別是線段AB，AD上的點且，則的最大值為（）A. B. C. D.1第Ⅱ卷二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分．10.是虛數(shù)單位，復數(shù)_____________．11.一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1、、3，則此球的體積為______．12.在的二項展開式中，的系數(shù)為___________．13.圓在點P（1，）處的切線方程為_____．14.從8名老師和6名學生中選出5名代表，要求老師和學生各至少一名，則不同的選法共有______種．15.已知，設函數(shù)，若關于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為_____.三、解答題：本大題共5個小題，共75分．解答寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16.在中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知，，．（1）求b的值；（2）求；（3）求的值．18.如圖，正四棱柱中，，點E在上且．（1）證明：平面BED；（2）求異面直線BE與所成角大??；（3）求二面角余弦值．20.已知橢圓的一個頂點為，右焦點為F，且，其中O為原點．（1）求橢圓的方程；（2）已知點P滿足，點B在橢圓C上（B異于橢圓頂點），直線AB與以P為圓心的圓相切與點Q，且Q為線段AB的中點，求直線AB的方程．22.已知是等差數(shù)列，其前項和為，是等比數(shù)列，且，，．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求．24已知函數(shù)，，.（Ⅰ）若曲線與曲線相交，且在交點處有相同的切線，求的值及該切線的方程；（Ⅱ）設函數(shù),當存在最小值時，求其最小值的解析式；（Ⅲ）對（Ⅱ）中的，證明：當時，.高三數(shù)學參考公式：柱體的體積公式，其中S表示柱體的底面積，h表示柱體的高．錐體的體積公式，其中S表示錐體的底面積，h表示錐體的高．球的體積公式，其中R表示球的半徑．第Ⅰ卷一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【1題答案】【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意求出集合，在和集合取交集即可.【詳解】因為集合，，所以，所以，故選：C.2.設，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【2題答案】【答案】A【解析】【詳解】由題意得，不等式，解得或，所以“”是“”的充分而不必要條件，故選A．考點：充分不必要條件的判定．3.函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.【3題答案】【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)零點存在性定理判斷即可【詳解】函數(shù)是上的連續(xù)增函數(shù),,可得,所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間是.故選：C4.已知，，，則（）A. B.C. D.【4題答案】【答案】B【解析】【分析】利用進行分段，結合指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的知識求得正確答案.【詳解】，，，所以.故選：B5.已知盒中裝有大小、質量完全相同的2個黑球，3個紅球，現(xiàn)從盒中隨機抽取2個球，則取出的兩個球顏色相同的概率為（）A. B. C. D.【5題答案】【答案】D【解析】【分析】結合古典概型的概率計算公式以及組合數(shù)的計算公式，計算出所求的概率.【詳解】依題意，取出的兩個球顏色相同的概率為.故選：D6.將函數(shù)的圖象向右平移個單位，所得圖象對應的函數(shù)（）A.在區(qū)間上單調遞增 B.在區(qū)間上單調遞減C.在區(qū)間上單調遞增 D.在區(qū)間上單調遞減【6題答案】【答案】A【解析】【分析】先求得圖象變換后函數(shù)的解析式，然后根據(jù)三角函數(shù)單調區(qū)間的求法，求得正確答案.【詳解】函數(shù)的圖象向右平移個單位得，，所以的單調遞增區(qū)間為，同理可求得的單調減區(qū)間為，令，得的單調遞增區(qū)間為，所以A選項正確，B選項錯誤.令，得的單調減區(qū)間為，所以C選項錯誤，令得的單調遞增區(qū)間為，所以D選項錯誤.故選：A7.【陜西省西安市長安區(qū)第一中學上學期期末考】已知雙曲線的左焦點為，點在雙曲線的漸近線上，是邊長為2的等邊三角形（為原點），則雙曲線的方程為（）A. B. C. D.【7題答案】【答案】D【解析】【詳解】由題意結合雙曲線的漸近線方程可得：，解得：，雙曲線方程為：.本題選擇D選項.【考點】雙曲線的標準方程【名師點睛】利用待定系數(shù)法求圓錐曲線方程是高考常見題型，求雙曲線方程最基礎的方法就是依據(jù)題目的條件列出關于的方程，解方程組求出，另外求雙曲線方程要注意巧設雙曲線（1）雙曲線過兩點可設為，（2）與共漸近線的雙曲線可設為，（3）等軸雙曲線可設為等，均為待定系數(shù)法求標準方程.8.設，，若，則的最小值為（）A.6 B.9 C. D.18【8題答案】【答案】B【解析】【分析】依題意可得，再利用乘“1”法及基本不等式計算可得；詳解】解：，，且，且，，當且僅當，即且時取等號，故的最小值為9；故選：B9.如圖，四邊形ABCD中，，，，，，M，N分別是線段AB，AD上的點且，則的最大值為（）A. B. C. D.1【9題答案】【答案】A【解析】【分析】首先求得以及，然后結合二次函數(shù)的性質求得的最大值.【詳解】設，由于，所以，依題意四邊形ABCD中，，，，，設，則，所以，所以，由得，所以，在三角形中，由余弦定理得，依題意，設，則，其中，所以，當時等號成立.所以的最大值為.故選：A第Ⅱ卷二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分．10.是虛數(shù)單位，復數(shù)_____________．【10題答案】【答案】【解析】【分析】利用復數(shù)的除法化簡可得結果.【詳解】.故答案：.11.一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1、、3，則此球的體積為______．【11題答案】【答案】【解析】【分析】求得長方體外接球的半徑，從而求得球的體積.【詳解】長方體外接球的直徑為，所以外接球半徑，所以球的體積為.故答案為：12.在的二項展開式中，的系數(shù)為___________．【12題答案】【答案】【解析】【詳解】試題分析：因為，所以由得，因此的系數(shù)為考點：二項式定理【方法點睛】1．求特定項系數(shù)問題可以分兩步完成：第一步是根據(jù)所給出的條件（特定項）和通項公式，建立方程來確定指數(shù)（求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數(shù)，且n≥r）；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項的系數(shù)．2．有理項是字母指數(shù)為整數(shù)的項．解此類問題必須合并通項公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其為整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解．13.圓在點P（1，）處的切線方程為_____．【13題答案】【答案】x－y＋2＝0【解析】【詳解】圓，點在圓上，∴其切線方程為，整理得：．14.從8名老師和6名學生中選出5名代表，要求老師和學生各至少一名，則不同的選法共有______種．【14題答案】【答案】1940【解析】【分析】間接求，用總數(shù)減去不符合要求的選法即可求解【詳解】不考慮限制要求，所有不同的選法有全選教師的選法有，全選學生的選法有所以至少一名教師一名學生的選法有故答案為：15.已知，設函數(shù)，若關于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為_____.【15題答案】【答案】【解析】【分析】對函數(shù)分成兩段進行求解，當時，二次函數(shù)的對稱軸，分成和兩種情況討論；當時，采用參變分離，構造函數(shù)求最值.【詳解】（1）當時，，過定點，對稱軸為，當時，，解得：，所以；當時，在單調遞減，且，所以；所以在恒成立，可得.（2）當時，恒成立，即恒成立，令，則，當時，，所以在單調遞增，當時，，所以在單調遞減，所以.綜合（1）（2）可得：.【點睛】本題研究二次函數(shù)在的最小值時，利用函數(shù)恒過定點，使討論的過程更簡潔，即只要研究對稱軸和兩種情況.三、解答題：本大題共5個小題，共75分．解答寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16.在中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知，，．（1）求b的值；（2）求；（3）求的值．【16題答案】【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理求得，利用余弦定理求得.（2）利用正弦定理求得.（3）先求得，進而求得.【小問1詳解】由，得，即，且，所以；因為，且，解得.【小問2詳解】為銳角，，因為，，解得；【小問3詳解】因為，，所以，，又因為.18.如圖，正四棱柱中，，點E在上且．（1）證明：平面BED；（2）求異面直線BE與所成角的大小；（3）求二面角的余弦值．【18題答案】【答案】（1）證明見解析（2）90°（3）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法來證得平面BED.（2）利用向量法求得異面直線BE與所成角.（3）利用向量法求得二面角余弦值.【小問1詳解】以D為坐標原點，射線DA為x軸的正半軸，建立如圖所示空間直角坐標系．依題設，，，，．，，，．因，，故，，又，所以平面DBE．【小問2詳解】，，則，所以異面直線BE與所成角為90°；【小問3詳解】設向量是平面的法向量，則，．故，．令，則，，．設二面角的平面角為，由圖可知，為銳角，．20.已知橢圓的一個頂點為，右焦點為F，且，其中O為原點．（1）求橢圓的方程；（2）已知點P滿足，點B在橢圓C上（B異于橢圓的頂點），直線AB與以P為圓心的圓相切與點Q，且Q為線段AB的中點，求直線AB的方程．【20題答案】【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓的方程.（2）設出直線的方程并與橢圓的方程聯(lián)立，求得的的坐標，進而求得點的坐標，結合列方程，化簡求得直線的斜率，從而求得直線的方程.【小問1詳解】由已知可得，又，得，因為，所以，橢圓；【小問2詳解】因為，所以，設直線AB的方程為，則，可得，解得，，則，又Q為線段AB的中點，，則，，且，由，解得，，直線AB的方程為，．22.已知是等差數(shù)列，其前項和為，是等比數(shù)列，且，，．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求．【22題答案】【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列求和公式和等比數(shù)列通項公式可構造方程求得公差和公比，由此可得所求通項公式；（2）由（1）可求得，采用分組求和法和錯位相減法求解即可得到結果.【小問1詳解】設等差數(shù)列公差為，等比數(shù)列公比為，，解得：，；又，即，，解得：，.【小問2詳解】由（1）得：，；設…①，…②，①②得：；令…③，…④，③④得：，，，；設…⑤，…⑥，⑤⑥得：，；24.已知函數(shù)，，.（Ⅰ）若曲線與曲線相交，且在交點處有相同的切線，求的值及該切線的方程；（Ⅱ）設函數(shù),當存在最小值時，求其最小值的解析式；（Ⅲ）對（Ⅱ）中的，證明：當時，.【24題答案】【答案】（Ⅰ）a=切線的方程為（Ⅱ）（Ⅲ）證明見解析【解析】【分析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）=,=(x>0),由已知得解得a=，x=e2,∴兩條曲線交點的坐標為(e2,e)切線的斜率為k=f’(e2)=∴切線的方程為y－e=(x－e2)(II)由條件知h(x)=–alnx(x＞