近五年2024-2025高考數(shù)學(xué)真題分類匯編09計(jì)數(shù)原理含解析

九、計(jì)數(shù)原理一、單選題1．（2024·全國(guó)（理））將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（）A． B． C． D．2．（2024·全國(guó)（文））將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.83．（2024·全國(guó)（理））將5名北京冬奧會(huì)志愿者安排到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只安排到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少安排1名志愿者，則不同的安排方案共有（）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種4．（2024·海南）要支配3名學(xué)生到2個(gè)鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去一個(gè)村，每個(gè)村里至少有一名志愿者，則不同的支配方法共有（）A．2種 B．3種 C．6種 D．8種5．（2024·北京）在的綻開式中，的系數(shù)為（）．A． B．5 C． D．106．（2024·海南）6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館支配1名，乙場(chǎng)館支配2名，丙場(chǎng)館支配3名，則不同的支配方法共有（）A．120種 B．90種C．60種 D．30種7．（2024·全國(guó)（文））如圖，將鋼琴上的12個(gè)鍵依次記為a1，a2，…，a12.設(shè)1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，則稱ai，aj，ak為原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，則稱ai，aj，ak為原位小三和弦．用這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個(gè)數(shù)之和為（）A．5 B．8 C．10 D．158．（2024·全國(guó)（理））的綻開式中x3y3的系數(shù)為（）A．5 B．10C．15 D．209．（2024·全國(guó)（文））兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是A． B． C． D．10．（2024·全國(guó)（理））（1+2x2）（1+x）4的綻開式中x3的系數(shù)為A．12 B．16 C．20 D．2411．（2024·全國(guó)（理））我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的改變．每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“——”和陰爻“——”，如圖就是一重卦．在全部重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是A． B． C． D．12．（2024·全國(guó)（理））的綻開式中的系數(shù)為A．10 B．20 C．40 D．8013．（2017·全國(guó)（理））(+)(2-)5的綻開式中33的系數(shù)為A．-80 B．-40 C．40 D．8014．（2017·全國(guó)（理））（2017新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ理科）綻開式中的系數(shù)為A．15 B．20C．30 D．3515．（2017·全國(guó)（理））支配3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的支配方式共有A．12種 B．18種 C．24種 D．36種16．（2017·全國(guó)（理））支配3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的支配方式共有A．12種 B．18種 C．24種 D．36種17．（2024·浙江）已知多項(xiàng)式，則___________，___________.18．（2024·浙江）設(shè)，則________；________．19．（2024·浙江）在二項(xiàng)式的綻開式中，常數(shù)項(xiàng)是________；系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是_______.20．（2017·浙江）已知多項(xiàng)式2=，則=________________，=________.二、填空題21．（2024·天津）在的綻開式中，的系數(shù)是_________．22．（2024·全國(guó)（理））的綻開式中常數(shù)項(xiàng)是__________（用數(shù)字作答）．23．（2024·全國(guó)（理））4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參與垃圾分類宣揚(yáng)活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少支配1名同學(xué)，則不同的支配方法共有__________種.24．（2024·天津（理））綻開式中的常數(shù)項(xiàng)為________.25．（2024·上海）在的二項(xiàng)綻開式中，常數(shù)項(xiàng)的值為__________26．（2024·上海）首屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)在上海實(shí)行，某高校擬派4人參與連續(xù)5天的志愿者活動(dòng)，其中甲連續(xù)參與2天，其他人各參與1天，則不同的支配方法有_____種（結(jié)果用數(shù)值表示）27．（2024·上海）在的二項(xiàng)綻開式中，項(xiàng)的系數(shù)為.（結(jié)果用數(shù)值表示）．28．（2024·浙江）從1，3，5，7，9中任取2個(gè)數(shù)字，從0，2，4，6中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成___________個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).(用數(shù)字作答)29．（2024·浙江）二項(xiàng)式的綻開式的常數(shù)項(xiàng)是___________．30．（2024·天津（理））在二項(xiàng)式的綻開式中，的系數(shù)為__________．31．（2024·全國(guó)（理））從位女生，位男生中選人參與科技競(jìng)賽，且至少有位女生入選，則不同的選法共有_____________種．（用數(shù)字填寫答案）32．（2017·天津（理））用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有___________個(gè).（用數(shù)字作答）33．（2017·山東（理））已知的綻開式中含有項(xiàng)的系數(shù)是54，則n=_____________.34．（2017·浙江）從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人，副隊(duì)長(zhǎng)1人，一般隊(duì)員2人，組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有__________種不同的選法．（用數(shù)字作答）四、解答題35．（2024·江蘇）設(shè).已知.（1）求n的值；（2）設(shè)，其中，求的值.近五年（2017-2025）高考數(shù)學(xué)真題分類匯編九、計(jì)數(shù)原理（答案解析）1．C【分析】采納插空法，4個(gè)1產(chǎn)生5個(gè)空，分2個(gè)0相鄰和2個(gè)0不相鄰進(jìn)行求解.【解析】將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，可利用插空法，4個(gè)1產(chǎn)生5個(gè)空，若2個(gè)0相鄰，則有種排法，若2個(gè)0不相鄰，則有種排法，所以2個(gè)0不相鄰的概率為.故選：C.2．C【解析】解：將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，可以是：，共10種排法，其中2個(gè)0不相鄰的排列方法為：，共6種方法，故2個(gè)0不相鄰的概率為，故選：C.3．C【分析】先確定有一個(gè)項(xiàng)目中安排2名志愿者，其余各項(xiàng)目中安排1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.【解析】依據(jù)題意，有一個(gè)項(xiàng)目中安排2名志愿者，其余各項(xiàng)目中安排1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個(gè)小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個(gè)元素，四個(gè)項(xiàng)目看成四個(gè)不同的位置，四個(gè)不同的元素在四個(gè)不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，依據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的安排方案，故選：C.4．C【分析】首先將3名學(xué)生分成兩個(gè)組，然后將2組學(xué)生支配到2個(gè)村即可.【解析】第一步，將3名學(xué)生分成兩個(gè)組，有種分法其次步，將2組學(xué)生支配到2個(gè)村，有種支配方法所以，不同的支配方法共有種故選：C5．C【分析】首先寫出綻開式的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合通項(xiàng)公式確定的系數(shù)即可.【解析】綻開式的通項(xiàng)公式為：，令可得：，則的系數(shù)為：.故選：C.【小結(jié)】二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類問(wèn)題可以分兩步完成：第一步依據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來(lái)確定指數(shù)(求解時(shí)要留意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等)；其次步是依據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng)．6．C【分析】分別支配各場(chǎng)館的志愿者，利用組合計(jì)數(shù)和乘法計(jì)數(shù)原理求解.【解析】首先從名同學(xué)中選名去甲場(chǎng)館，方法數(shù)有；然后從其余名同學(xué)中選名去乙場(chǎng)館，方法數(shù)有；最終剩下的名同學(xué)去丙場(chǎng)館.故不同的支配方法共有種.故選：C【小結(jié)】本小題主要考查分步計(jì)數(shù)原理和組合數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.7．C【分析】依據(jù)原位大三和弦滿意，原位小三和弦滿意從起先，利用列舉法即可解出．【解析】依據(jù)題意可知，原位大三和弦滿意：．∴；；；；．原位小三和弦滿意：．∴；；；；．故個(gè)數(shù)之和為10．故選：C．【小結(jié)】本題主要考查列舉法的應(yīng)用，以及對(duì)新定義的理解和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8．C【分析】求得綻開式的通項(xiàng)公式為（且），即可求得與綻開式的乘積為或形式，對(duì)分別賦值為3，1即可求得的系數(shù)，問(wèn)題得解.【解析】綻開式的通項(xiàng)公式為（且）所以的各項(xiàng)與綻開式的通項(xiàng)的乘積可表示為：和在中，令，可得：，該項(xiàng)中的系數(shù)為，在中，令，可得：，該項(xiàng)中的系數(shù)為所以的系數(shù)為故選：C【小結(jié)】本題主要考查了二項(xiàng)式定理及其綻開式的通項(xiàng)公式，還考查了賦值法、轉(zhuǎn)化實(shí)力及分析實(shí)力，屬于中檔題.9．D【分析】男女生人數(shù)相同可利用整體發(fā)分析出兩位女生相鄰的概率，進(jìn)而得解.【解析】?jī)晌荒型瑢W(xué)和兩位女同學(xué)排成一列，因?yàn)槟猩团藬?shù)相等，兩位女生相鄰與不相鄰的排法種數(shù)相同，所以兩位女生相鄰與不相鄰的概率均是．故選D．【小結(jié)】本題考查常見(jiàn)背景中的古典概型，滲透了數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．實(shí)行等同法，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想解題．10．A【分析】本題利用二項(xiàng)綻開式通項(xiàng)公式求綻開式指定項(xiàng)的系數(shù)．【解析】由題意得x3的系數(shù)為，故選A．【小結(jié)】本題主要考查二項(xiàng)式定理，利用綻開式通項(xiàng)公式求綻開式指定項(xiàng)的系數(shù)．11．A【分析】本題主要考查利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理與排列組合計(jì)算古典概型問(wèn)題，滲透了傳統(tǒng)文化、數(shù)學(xué)計(jì)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，“重卦”中每一爻有兩種狀況，基本領(lǐng)件計(jì)算是住店問(wèn)題，該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻是相同元素的排列問(wèn)題，利用干脆法即可計(jì)算．【解析】由題知，每一爻有2種狀況，一重卦的6爻有狀況，其中6爻中恰有3個(gè)陽(yáng)爻狀況有，所以該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率為=，故選A．【小結(jié)】對(duì)利用排列組合計(jì)算古典概型問(wèn)題，首先要分析元素是否可重復(fù)，其次要分析是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題．本題是重復(fù)元素的排列問(wèn)題，所以基本領(lǐng)件的計(jì)算是“住店”問(wèn)題，滿意條件事務(wù)的計(jì)算是相同元素的排列問(wèn)題即為組合問(wèn)題．12．C【解析】分析：寫出，然后可得結(jié)果解析：由題可得令,則所以故選C.小結(jié)：本題主要考查二項(xiàng)式定理，屬于基礎(chǔ)題．13．C【解析】，由綻開式的通項(xiàng)公式可得：當(dāng)時(shí)，綻開式中的系數(shù)為；當(dāng)時(shí)，綻開式中的系數(shù)為，則的系數(shù)為.故選C.14．C【解析】因?yàn)椋瑒t綻開式中含的項(xiàng)為，綻開式中含的項(xiàng)為，故的系數(shù)為，選C.小結(jié):對(duì)于兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的問(wèn)題，用第一個(gè)二項(xiàng)式中的每項(xiàng)乘以其次個(gè)二項(xiàng)式的每項(xiàng)，分析含的項(xiàng)共有幾項(xiàng)，進(jìn)行相加即可.這類問(wèn)題的易錯(cuò)點(diǎn)主要是未能分析清晰構(gòu)成這一項(xiàng)的詳細(xì)狀況，尤其是兩個(gè)二項(xiàng)綻開式中的不同.15．D【解析】4項(xiàng)工作分成3組,可得：=6，支配3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，可得：種．故選D.16．D【解析】4項(xiàng)工作分成3組,可得：=6，支配3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，可得：種．故選D.17．;.【分析】依據(jù)二項(xiàng)綻開式定理，分別求出的綻開式，即可得出結(jié)論.【解析】，，所以，，所以.故答案為：.18．【分析】利用二項(xiàng)式綻開式的通項(xiàng)公式計(jì)算即可.【解析】的通項(xiàng)為，令，則，故；.故答案為：；.【點(diǎn)晴】本題主要考查利用二項(xiàng)式定理求指定項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，是一道基礎(chǔ)題.19．【分析】本題主要考查二項(xiàng)式定理、二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)，屬于常規(guī)題目.從寫出二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)入手，依據(jù)要求，考察的冪指數(shù)，使問(wèn)題得解.【解析】的通項(xiàng)為可得常數(shù)項(xiàng)為，因系數(shù)為有理數(shù)，，有共5個(gè)項(xiàng)【小結(jié)】此類問(wèn)題解法比較明確，首要的是要精確記憶通項(xiàng)公式，特殊是“冪指數(shù)”不能記混，其次，計(jì)算要細(xì)心，確保結(jié)果正確.20．164【解析】由二項(xiàng)式綻開式可得通項(xiàng)公式為：，分別取和可得，取，可得．【小結(jié)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于簡(jiǎn)潔題．二項(xiàng)綻開式定理的問(wèn)題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．21．10【分析】寫出二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式，整理后令的指數(shù)為2，即可求出．【解析】因?yàn)榈木`開式的通項(xiàng)公式為，令，解得．所以的系數(shù)為．故答案為：．【小結(jié)】本題主要考查二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．22．【分析】寫出二項(xiàng)式綻開通項(xiàng)，即可求得常數(shù)項(xiàng).【解析】其二項(xiàng)式綻開通項(xiàng)：當(dāng)，解得的綻開式中常數(shù)項(xiàng)是：.故答案為：.【小結(jié)】本題考查二項(xiàng)式定理，利用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)綻開式中的指定項(xiàng)，解題關(guān)鍵是駕馭的綻開通項(xiàng)公式，考查了分析實(shí)力和計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.23．【分析】依據(jù)題意，有且只有2名同學(xué)在同一個(gè)小區(qū)，利用先選后排的思想，結(jié)合排列組合和乘法計(jì)數(shù)原理得解.【解析】4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參與垃圾分類宣揚(yáng)活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少支配1名同學(xué)先取2名同學(xué)看作一組，選法有：現(xiàn)在可看成是3組同學(xué)安排到3個(gè)小區(qū)，分法有：依據(jù)分步乘法原理，可得不同的支配方法種故答案為：.【小結(jié)】本題主要考查了計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是駕馭分步乘法原理和捆綁法的運(yùn)用，考查了分析實(shí)力和計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.24．【分析】依據(jù)二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式得出通項(xiàng)，依據(jù)方程思想得出的值，再求出其常數(shù)項(xiàng)．【解析】，由，得，所以的常數(shù)項(xiàng)為.【小結(jié)】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，牢記常數(shù)項(xiàng)是由指數(shù)冪為0求得的．25．15【分析】寫出二項(xiàng)綻開式通項(xiàng)，通過(guò)得到，從而求得常數(shù)項(xiàng).【解析】二項(xiàng)綻開式通項(xiàng)為：當(dāng)時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為：本題正確結(jié)果：【小結(jié)】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.26．24【分析】首先支配甲，可知連續(xù)天的狀況共有種，其余的人全排列，相乘得到結(jié)果.【解析】在天里，連續(xù)天的狀況，一共有種剩下的人全排列：故一共有：種【小結(jié)】本題考查基礎(chǔ)的排列組合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于對(duì)排列組合問(wèn)題中的特殊元素，要優(yōu)先考慮，然后再考慮一般元素.27．21.【分析】利用二項(xiàng)式綻開式的通項(xiàng)公式求得綻開式中x2的系數(shù)．【解析】二項(xiàng)式（1+x）7綻開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=?xr，令r=2，得綻開式中x2的系數(shù)為=21．故答案為21．【小結(jié)】求二項(xiàng)綻開式有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)求綻開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第r＋1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出r值即可.(2)已知綻開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第r＋1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出r值，最終求出其參數(shù).28．1260.【解析】分析:按是否取零分類探討，若取零，則先排首位，最終依據(jù)分類與分步計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù).解析：若不取零，則排列數(shù)為若取零，則排列數(shù)為因此一共有個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).小結(jié)：求解排列、組合問(wèn)題常用的解題方法：(1)元素相鄰的排列問(wèn)題——“捆邦法”；(2)元素相間的排列問(wèn)題——“插空法”；(3)元素有依次限制的排列問(wèn)題——“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問(wèn)題——間接法.29．7【解析】分析:先依據(jù)二項(xiàng)式綻開式的通項(xiàng)公式寫出第r+1項(xiàng)，再依據(jù)項(xiàng)的次數(shù)為零解得r，代入即得結(jié)果.解析：二項(xiàng)式的綻開式的通項(xiàng)公式為,令得，故所求的常數(shù)項(xiàng)為小結(jié)：求二項(xiàng)綻開式有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略：(1)求綻開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可.(2)已知綻開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)的值，再由通項(xiàng)寫出第項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出值，最終求出特定項(xiàng)的系數(shù).30．.【分析】由題意結(jié)合二項(xiàng)式定理綻開式的通項(xiàng)公式得到的值，然后求解的