2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)模塊綜合測評B含解析北師大版必修2

PAGE1-模塊綜合測評(B)(時間：120分鐘，滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．關(guān)于空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的一點P(1,2,3)有下列說法：①OP的中點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，\f(3,2)))；②點P關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為(－1，－2，－3)；③點P關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的點的坐標(biāo)為(1,2，－3)；④點P關(guān)于xOy平面對稱的點的坐標(biāo)為(1,2，－3)．其中正確說法的個數(shù)是()A．2B．3C．4D．1A[①明顯正確；點P關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為(1，－2，－3)，故②錯；點P關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的點的坐標(biāo)為(－1，－2，－3)，故③錯；④明顯正確．]2．直線的方程為x－eq\r(3)y＋2018＝0，則直線的傾斜角為()A．30°B．60°C．120°D．150°A[設(shè)直線的傾斜角為α，則tanα＝eq\f(\r(3),3)，又α∈[0°，180°)，∴α＝30°.選A.]3．直線ax－y＋2a＝0與圓x2＋y2A．相離B．相切C．相交D．不確定C[將直線ax－y＋2a＝0化為點斜式得y＝a(x＋2)，知該直線過定點(－2,0)．又(－2)2＋02<9，故該定點在圓x2＋y2＝9的內(nèi)部，所以直線ax－y＋2a＝0與圓x2＋y4．已知正方體外接球的體積是eq\f(32,3)π，那么正方體的棱長等于()A．2eq\r(2)B.eq\f(2\r(2),3)C.eq\f(4\r(2),3)D.eq\f(4\r(3),3)D[設(shè)正方體的棱長為a，球的半徑為R，則eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π，∴R＝2.又∵eq\r(3)a＝2R＝4，∴a＝eq\f(4\r(3),3).]5．如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，P為BD上隨意一點，則肯定有(A．PC1與AA1異面B．PC1與A1AC．PC1與平面AB1D1相交D．PC1與平面AB1D1平行D[連BC1和DC1(圖略)，∵BD∥B1D1，AB1∥DC1，∴平面AB1D1∥平面C1BD，而PC1?平面C1BD，∴PC1∥平面AB1D1.選D.]6．直線2ax＋y－2＝0與直線x－(a＋1)y＋2＝0相互垂直，則這兩條直線的交點坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)，－\f(6,5))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，－\f(6,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，\f(6,5))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)，\f(6,5)))C[依題意得，2a×1＋1×[－(a＋1)]＝0，∴a代入方程可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－2＝0，,x－2y＋2＝0，))解得交點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，\f(6,5))).選C.]7．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.eq\f(2π,3)B．πC.eq\f(4π,3)D．2πA[由三視圖可知該幾何體的直觀圖為一個圓柱內(nèi)挖去兩個與圓柱同底的半球，所以該幾何體的體積V＝V柱－2V半球＝π×12×2－2×eq\f(1,2)×eq\f(4π,3)×13＝eq\f(2π,3)，選A.]8．一個動點在圓x2＋y2＝1上移動時，它與定點(3,0)連線中點的軌跡方程是()A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))2＋y2＝eq\f(1,2) D．(2x－3)2＋4y2＝1D[設(shè)中點M(x，y)，則動點A(2x－3,2y)，∵A在圓x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，即(2x－3)2＋4y2＝1.故選D.]9．已知定點P(－2,0)和直線l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ(λ∈R)，則點P到直線l的距離的最大值為()A．2eq\r(3)B.eq\r(10)C.eq\r(14) D．2eq\r(15)B[將(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ變形，得(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，所以l經(jīng)過兩直線x＋y－2＝0和3x＋2y－5＝0的交點．設(shè)兩直線的交點為Q，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0，,3x＋2y－5＝0，))得交點Q(1,1)，所以直線l恒過定點Q(1，1)，于是點P到直線l的距離d≤|PQ|＝eq\r(10)，即點P到直線l的距離的最大值為eq\r(10).]10．球O的一個截面圓的圓心為M，圓M的半徑為eq\r(3)，OM的長度為球O的半徑的一半，則球O的表面積為()A．4πB.eq\f(32,3)πC．12πD．16πD[設(shè)截面圓的直徑為AB，∵截面圓的半徑為eq\r(3)，∴BM＝eq\r(3)，∵OM的長度為球O的半徑的一半，∴OB＝2OM，設(shè)球的半徑為R，在直角三角形OMB中，R2＝(eq\r(3))2＋eq\f(1,4)R2.解得R2＝4，∴該球的表面積為16π，故選D.]11．正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，B1C的中點，則EF與平面A．2B.eq\r(2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(2),2)D[取BC中點O，連接OE，∵F是B1C∴OF∥B1B，∴FO⊥平面ABCD，∴∠FEO是EF與平面ABCD所成的角，設(shè)正方體的棱長為2，則FO＝1，EO＝eq\r(2)，∴EF與平面ABCD所成的角的正切值為eq\f(\r(2),2).故選D.]12．已知點P(x，y)是直線y＝2eq\r(2)x－4上一動點，PM與PN是圓C：x2＋(y－1)2＝1的兩條切線，M，N為切點，則四邊形PMCN的最小面積為()A.eq\f(4,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(5,3)D.eq\f(5,6)A[由題意知，圓C的圓心為C(0,1)，半徑為1，故|PC|2＝|PN|2＋1.又S四邊形PMCN＝2×eq\f(1,2)×|PN|×1＝|PN|，故當(dāng)|PN|最小時，四邊形PMCN的面積最小，此時|PC|最小，又|PC|的最小值即為點C到直線的距離d＝eq\f(5,\r(2\r(2)2＋1))＝eq\f(5,3)，此時|PN|＝eq\f(4,3)，故四邊形PMCN面積的最小值為eq\f(4,3)，故選A.]二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．△ABC中，已知A(2,1)，B(－2,3)，C(0,1)，則BC邊上的中線所在的直線的一般式方程為________．x＋3y－5＝0[線段BC的中點D(－1,2)．可得BC邊上的中線所在的直線的方程：y－1＝eq\f(2－1,－1－2)(x－2)，一般式方程為x＋3y－5＝0.故答案為：x＋3y－5＝0.]14．一個空間幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積為________．152[由三視圖可知：該幾何體是三棱柱，底面面積S＝eq\f(1,2)×6×4＝12，底面周長c＝6＋2eq\r(32＋42)＝16，高h(yuǎn)＝8，故這個零件的表面積為2S＋ch＝152，故答案為152.]15．一個橫放的圓柱形水桶，桶內(nèi)的水漫過底面周長的四分之一，那么當(dāng)桶直立時，水的高度與桶的高度的比為________．(π－2)∶4π[設(shè)圓柱形水桶的底面半徑為R，高為h，桶直立時，水的高度為x.橫放時水桶底面在水內(nèi)的面積為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)πR2－\f(1,2)R2))，水的體積為V水＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)πR2－\f(1,2)R2))h.直立時水的體積不變，則有V水＝πR2x，∴x∶h＝(π－2)∶4π.]16．已知直線ax＋y－2＝0與圓心為C的圓(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B兩點，且△ABC為等邊三角形，則實數(shù)a＝________.4±eq\r(15)[由題意可知圓的圓心為C(1，a)，半徑r＝2，則圓心C到直線ax＋y－2＝0的距離d＝eq\f(|a＋a－2|,\r(a2＋1))＝eq\f(|2a－2|,\r(a2＋1)).因為△ABC為等邊三角形，所以|AB|＝r＝2.又|AB|＝2eq\r(r2－d2)，所以2eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|2a－2|,\r(a2＋1))))2)＝2，即a2－8a＋1＝0，解得a＝4±eq\r(15).]三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知三角形ABC的頂點坐標(biāo)為A(－1，5)、B(－2，－1)、C(4,3)，M是BC邊上的中點．(1)求AB邊所在的直線方程；(2)求中線AM的長．[解](1)由兩點式得方程為eq\f(y－5,－1－5)＝eq\f(x＋1,－2＋1)，即6x－y＋11＝0.或直線AB的斜率為k＝eq\f(－1－5,－2－－1)＝eq\f(－6,－1)＝6，直線AB的方程為y－5＝6(x＋1)，即6x－y＋11＝0.(2)設(shè)M的坐標(biāo)為(x0，y0),則由中點坐標(biāo)公式得x0＝eq\f(－2＋4,2)＝1，y0＝eq\f(－1＋3,2)＝1，故M(1,1)，AM＝eq\r(1＋12＋1－52)＝2eq\r(5).18．(本小題滿分12分)已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，D，E分別是AB，AC邊上的點，AD＝AE，F(xiàn)是BC的中點，AF與DE交于點G，將△ABF沿AF折起，得到三棱錐A-BCF，其中BC＝eq\f(\r(2),2).(1)證明：DE∥平面BCF；(2)證明：CF⊥平面ABF.[證明](1)在等邊三角形ABC中，AD＝AE，∴eq\f(AD,DB)＝eq\f(AE,EC)，在折疊后的三棱錐A-BCF中也成立，∴DE∥BC.∵DE平面BCF，BC平面BCF，∴DE∥平面BCF.(2)在等邊三角形ABC中，F(xiàn)是BC的中點，∴AF⊥BC，折疊后，AF⊥CF.∵在△BFC中，BC＝eq\f(\r(2),2)，BF＝CF＝eq\f(1,2)，∴BC2＝BF2＋CF2，因此CF⊥BF.又AF，BF相交于點F，∴CF⊥平面ABF.19．(本小題滿分12分)在△ABC中，點B(4,4)，角A的內(nèi)角平分線所在直線的方程為y＝0，BC邊上的高所在直線的方程為x－2y＋2＝0.(1)求點C的坐標(biāo)；(2)求△ABC的面積．[解](1)由題意知BC的斜率為－2，又點B(4,4)，∴直線BC的方程為y－4＝－2(x－4)，即2x＋y－12＝0.解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝0，,x－2y＋2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝0，))∴點A的坐標(biāo)為(－2,0)．又∠A的內(nèi)角平分線所在直線的方程為y＝0，∴點B(4,4)關(guān)于直線y＝0的對稱點B′(4，－4)在直線AC上，∴直線AC的方程為y＝－eq\f(2,3)(x＋2)，即2x＋3y＋4＝0.解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－12＝0，,2x＋3y＋4＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝－8，))∴點C的坐標(biāo)為(10，－8)．(2)∵|BC|＝eq\r(10－42＋－8－42)＝6eq\r(5)，又直線BC的方程是2x＋y－12＝0，∴點A到直線BC的距離是d＝eq\f(|2×－2＋0－12|,\r(22＋12))＝eq\f(16,\r(5))，∴△ABC的面積是S＝eq\f(1,2)×|BC|×d＝eq\f(1,2)×6eq\r(5)×eq\f(16,\r(5))＝48.20．(本小題滿分12分)如圖所示，在Rt△ABC中，已知A(－2，0)，直角頂點B(0，－2eq\r(2))，點C在x軸上．(1)求Rt△ABC外接圓的方程；(2)求過點(0,3)且與Rt△ABC外接圓相切的直線的方程．[解](1)由題意可知點C在x軸的正半軸上，可設(shè)其坐標(biāo)為(a,0)(a＞0)，又AB⊥BC，則kAB·kBC＝－1，即eq\f(－2\r(2),2)·eq\f(2\r(2),a)＝－1，解得a＝4.則所求圓的圓心為(1,0)，半徑為3，故所求圓的方程為(x－1)2＋y2＝9.(2)由題意知直線的斜率存在，故設(shè)所求直線方程為y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0.當(dāng)圓與直線相切時，有d＝eq\f(|k＋3|,\r(k2＋1))＝3，解得k＝0或k＝eq\f(3,4)，故所求直線方程為y＝3或y＝eq\f(3,4)x＋3，即y－3＝0或3x－4y＋12＝0.21．(本小題滿分12分)如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)證明：直線BC∥平面PAD；(2)若△PCD的面積為2eq\r(7)，求四棱錐P-ABCD的體積．[解](1)證明：在平面ABCD內(nèi)，因為∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD.又BC平面PAD，AD平面PAD，故BC∥平面PAD.(2)如圖，取AD的中點M，連接PM，CM.由AB＝BC＝eq\f(1,2)AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四邊形ABCM為正方形，則CM⊥AD.因為側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.因為CM底面ABCD，所以PM⊥CM.設(shè)BC＝x，則CM＝x，CD＝eq\r(2)x，PM＝eq\r(3)x，PC＝PD＝2x.如圖，取CD的中點N，連接PN，則PN⊥CD，所以PN＝eq\f(\r(14),2)x.因為△PCD的面積為2eq\r(7)，所以eq\f(1,2)×eq\r(2)x×eq\f