第2章2節(jié)長度測量(測量誤差和數(shù)據(jù)處理) 2分析課件

測量誤差產(chǎn)生的原因測量誤差是不可避免的，但是由于各種測量誤差的產(chǎn)生都有其原因和影響測量結(jié)果的規(guī)律，因此測量誤差是可以控制的。要提高測量精確度，就必須減小測量誤差。要減小和控制測量誤差，就必須對(duì)測量誤差產(chǎn)生的原因進(jìn)行了解和研究。產(chǎn)生測量誤差的原因很多，主要有以下幾個(gè)方面：基準(zhǔn)件誤差、測量儀器的誤差、調(diào)整誤差、方法誤差、測量力誤差、環(huán)境誤差、人為誤差等。2.8測量誤差和數(shù)據(jù)處理測量誤差產(chǎn)生的原因2.8測量誤差和數(shù)據(jù)處理1測量儀器誤差測量儀器誤差是指由于測量儀器本身存在的誤差而引起的測量誤差。具體地說，是由于測量儀器本身的設(shè)計(jì)、制造以及裝配、調(diào)整不準(zhǔn)確而引起的誤差，一般表現(xiàn)在測量儀器的示值誤差和重復(fù)精度上。

設(shè)計(jì)計(jì)量器具時(shí)，因結(jié)構(gòu)不符合理論要求，或在理論上采用了某種近似都會(huì)產(chǎn)生誤差。例如，在光學(xué)比較儀的設(shè)計(jì)中，采用了當(dāng)α為無窮小量時(shí)，sinα≈α的近似而產(chǎn)生的誤差；若將標(biāo)尺的不等分刻線用等分刻線代替，就存在計(jì)量器具設(shè)計(jì)時(shí)的原理誤差。測量儀器誤差設(shè)計(jì)計(jì)量器具時(shí)，因結(jié)構(gòu)不2

制造以及裝配、調(diào)整不準(zhǔn)確而引起的誤差，如測量儀器測量頭的直線位移與測量儀器指針的角位移不成比例、測量儀器的刻度盤安裝偏心、刻度尺的刻線不準(zhǔn)確等等。以上這些誤差使測量儀器所指示的數(shù)值并不完全符合被測幾何量變化的實(shí)際情況，這種誤差叫做示值誤差。當(dāng)然，這種誤差是很小的，每一種儀器都規(guī)定了相應(yīng)的示值誤差允許范圍。制造以及裝配、調(diào)整不準(zhǔn)確而引起的誤差，3基準(zhǔn)件誤差所有基準(zhǔn)件或基準(zhǔn)量具，雖然制作得非常精確，但是都不可避免地存在誤差?；鶞?zhǔn)件誤差就是指作為標(biāo)準(zhǔn)量的基準(zhǔn)件本身存在的誤差。例如，量塊的制造誤差等?；鶞?zhǔn)件誤差直接影響測得值。在相對(duì)測量中，基準(zhǔn)件誤差包含在測量誤差內(nèi)，因?yàn)樵跍y量時(shí)用來與被測幾何量進(jìn)行比較的基準(zhǔn)件（如量塊）誤差將直接反映到測量結(jié)果中，引起測量誤差。例如，在光學(xué)比較儀上用2級(jí)量塊作為基準(zhǔn)件將儀器調(diào)零，測量20mm的零件時(shí)，僅僅由2級(jí)量塊就可能產(chǎn)生±0.60μm的測量誤差。在測量中，要合理選擇基準(zhǔn)件的精度，一般地，基準(zhǔn)件的誤差應(yīng)不超過總測量誤差的1/3~1/5?；鶞?zhǔn)件誤差基準(zhǔn)件誤差直接影響測得值。4方法誤差方法誤差是指選擇的測量方法和定位方法不完善所引起的誤差。例如：測量方法選擇不當(dāng)、工件安裝不合理、計(jì)算公式不精確、采用近似的測量方法或間接測量法等造成的誤差。環(huán)境誤差環(huán)境誤差是指由于環(huán)境因素與要求的標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)不一致所引起的測量誤差。影響測量結(jié)果的環(huán)境因素有溫度、濕度、振動(dòng)和灰塵等。其中溫度影響最大，這是由于各種材料幾乎對(duì)溫度都非常敏感，都具有熱脹冷縮的現(xiàn)象。因此，在長度計(jì)量中規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)溫度為20℃。方法誤差環(huán)境誤差5人員誤差及讀數(shù)誤差

人員誤差是指由于人的主觀和客觀原因所引起的測量誤差。如由于測量人員的視力分辨能力，測量技術(shù)的熟練程度，測量儀器調(diào)整的不正確、測量習(xí)慣的好壞以及疏忽大意等因素引起的測量誤差

讀數(shù)誤差是人員誤差的一種。它是指當(dāng)測量儀器指針處在表盤上相鄰兩刻線之間時(shí)，需要測量者估讀而產(chǎn)生的誤差。除數(shù)字顯示的測量儀器外，這種測量誤差是不可避免的。人員誤差及讀數(shù)誤差6測量力引起的變形誤差測量力引起的變形誤差是指使用測量儀器進(jìn)行接觸測量時(shí)，測量力使零件與測量頭接觸的部分發(fā)生微小變形而產(chǎn)生的測量誤差。特別是當(dāng)測量頭移動(dòng)的速度較快時(shí)，由于沖擊或滑動(dòng)而產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)測量力會(huì)形成較大的測量誤差。因而為了減小測量力的變化所造成的測量誤差，在操作時(shí)要輕放測量頭，并盡可能在調(diào)零時(shí)和測量時(shí)保持一致。一般測量儀器的測量力大都控制在200克之內(nèi)，高精度量儀的測量力控制在幾十克甚至幾克之內(nèi)。為了控制測量力對(duì)測量結(jié)果的影響，測量儀器一般應(yīng)具有使測量力保持恒定的裝置。如：百分表和千分表上的彈簧，千分尺上的棘輪機(jī)構(gòu)等。測量力引起的變形誤差72.8測量誤差和數(shù)據(jù)處理2.相對(duì)誤差是指測量誤差除以被測量的真值：

f＝δ/L2.8.1測量誤差的基本概念1.測量誤差（絕對(duì)誤差）是指測量結(jié)果減去被測量的真值之差，即：

δ＝ι-L

δ——測量誤差

L——被測量的真值ι——測量結(jié)果f

——相對(duì)誤差測量誤差δ的大小決定了測量的精確度，δ越大，則精確度越低；δ越小，則精確度越高。對(duì)于不同大小的同類幾何量，要比較測量精確度的高低，一般采用相對(duì)誤差的概念進(jìn)行比較2.8測量誤差和數(shù)據(jù)處理2.相對(duì)誤差是指測量誤差除以被測8例如：

有兩個(gè)被測量的實(shí)際測得值X1=100mm，X2=10mm，δ1=0.02mm，δ2=0.01mm，則其相對(duì)誤差為：f1=δ1/L1×100%=0.02/100×100%=0.02%f2=δ2/L2×100%=0.01/10×100%=0.1%由上例可以看出，兩個(gè)不同大小的被測量，雖然前者絕對(duì)誤差大，但f1＜f2，表示前者的精確度比后者高。例如：92.8.2誤差的分類1.隨機(jī)誤差單次測量無規(guī)律可循，大小和符號(hào)不可預(yù)知。多次測量服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律，常用概率論和統(tǒng)計(jì)原理隊(duì)它進(jìn)行處理。粗大誤差：測量中出現(xiàn)的差錯(cuò)對(duì)測量結(jié)果產(chǎn)生明顯得歪曲。2.系統(tǒng)誤差測量結(jié)果與在重復(fù)條件下，對(duì)同一被測量進(jìn)行無限多次測量所得結(jié)果的平均值之差，稱為隨機(jī)誤差。隨機(jī)誤差主要由隨機(jī)因素（環(huán)境變化、對(duì)線數(shù)、讀等）引起。隨機(jī)誤差=誤差－系統(tǒng)誤差在重復(fù)條件下，對(duì)同一被測量進(jìn)行無限多次測量所得結(jié)果的平均值與被測量的真值之差，稱為系統(tǒng)誤差。通過修正值隊(duì)其只能有限程度的補(bǔ)償。2.8.2誤差的分類1.隨機(jī)誤差單次測量無規(guī)律10(a)(b)(c)槍好，系統(tǒng)誤差小。打靶人技術(shù)不好，手抖，隨機(jī)誤差大。彈孔分散，平均值靠近靶心槍不好，系統(tǒng)誤差大打靶人技術(shù)好，隨機(jī)誤差小槍好，系統(tǒng)誤差小技術(shù)好，隨機(jī)誤差小下面以打靶為例，說明系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的關(guān)系：準(zhǔn)確度高

彈孔集中，平均值遠(yuǎn)離靶心

彈孔集中，平均值靠近靶心(a)(b)(c)槍好，系統(tǒng)誤差小。打靶人技術(shù)不好112.8.3隨機(jī)誤差1．隨機(jī)誤差的分布及其特征隨機(jī)誤差可用試驗(yàn)方法來確定。實(shí)踐表明，大多數(shù)情況下，隨機(jī)誤差符合正態(tài)分布。為便于理解，現(xiàn)舉例說明。對(duì)工件的某一部位用同一方法進(jìn)行200次重復(fù)測量，測得200個(gè)不同讀數(shù)，這一系列測量值稱為測量列。將其分組，每隔0.002為一組，共11組，見下表2-3。2.8.3隨機(jī)誤差1．隨機(jī)誤差的分布及其特征隨機(jī)12表2-3測量數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表尺寸分組區(qū)間（mm）組號(hào)區(qū)間中心值xi（mm）每組出現(xiàn)的次數(shù)（頻數(shù)ni）頻率（ni/N）19.990～19.99219.992～19.99419.994～19.99619.996～19.99819.998～20.00020.000～20.00220.002～20.00420.004～20.00620.006～20.00820.008～20.01020.010～20.012123456789101119.99119.99319.99519.99719.99920.00120.00320.00520.00720.00920.0112410243745392312310.010.020.050.120.1850.2250.1950.1150.060.0150.005若以橫坐標(biāo)表示測得值Xi，縱坐標(biāo)表示相對(duì)出現(xiàn)次數(shù)ni/N，其中ni為某一測得值出現(xiàn)的次數(shù)，N為測量總次數(shù)，則得如圖2-35(a)所示的圖形，稱為頻率直方圖。連接每個(gè)小方圖的上部中點(diǎn)，得一折線，稱為實(shí)際分布曲線。表2-3測量數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表尺寸分組區(qū)間（mm）組號(hào)區(qū)間中心13yO正態(tài)分布曲線δμ圖2-35頻率直方圖和正態(tài)分布曲線19.99120.0070.2250.120.01x=20.0

ni/N實(shí)際分布曲線xi19.99120.0070.2250.120.01x=20.0

ni/N實(shí)際分布曲線△x△x大，圖形高。讓圖形高低不受△x影響，可用代替——為概率論中的概率密度N∞，△x0Δ代替x得光滑曲線稱隨機(jī)誤差的正態(tài)分布曲線.yO正態(tài)分布曲線δμ圖2-35頻率直方圖和正態(tài)分布曲線1914

隨機(jī)誤差分布及其特點(diǎn)：對(duì)稱性：絕對(duì)值相等而符號(hào)相反的誤差出現(xiàn)的概率相同。

單峰性：絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多。

有界性：在一定條件下，誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定的界限。

抵償性：對(duì)同一量在同一條件下進(jìn)行重復(fù)測量，隨測量次數(shù)不斷增加而趨于無窮時(shí)，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨于零。yO正態(tài)分布曲線δμ19.99120.0070.2250.120.01x=20.0

ni/N實(shí)際分布曲線△x

隨機(jī)誤差分布及其特點(diǎn)：有界性：在一定條件下，誤差的絕15其中y－概率密度

σ－標(biāo)準(zhǔn)偏差δ－隨機(jī)誤差e－自然對(duì)數(shù)的底=2.71828依據(jù)概率論原理正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式：y正態(tài)分布曲線δ其中y－概率密度依據(jù)概率論原理正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式162．評(píng)定隨機(jī)誤差的尺度——標(biāo)準(zhǔn)偏差公式與隨機(jī)誤差δ和標(biāo)準(zhǔn)偏差σ有關(guān)。隨機(jī)誤差指在沒有系統(tǒng)誤差的條件下，測得值與真值之差，即：δ＝ι－L公式分析：1）當(dāng)δ＝0時(shí)，正態(tài)分布的概率密度最大。ymaxps21=esd222-=1y正態(tài)分布曲線δ2．評(píng)定隨機(jī)誤差的尺度——標(biāo)準(zhǔn)偏差公式與隨機(jī)誤差δ和標(biāo)準(zhǔn)偏差17從理論上講，正態(tài)分布中心位置的均值代表被測量的真值，標(biāo)準(zhǔn)偏差σ代表測得值的集中與分散程度。不同的σ對(duì)應(yīng)不同形狀的正態(tài)分布曲線，σ越小，ymax值越大，曲線越陡，隨機(jī)誤差越集中，即測得值分布越集中，測量精密度越高；σ越大，ymax值越小，曲線越平坦，隨機(jī)誤差越分散，即測得值分布越分散，測量精密度越低。2）若σ1<σ2<σ3，則ymax1＞ymax2＞ymax30σ1σ2σ36σ16σ26σ3yδσ1<σ2<σ3從理論上講，正態(tài)分布中心位置的均值代表被測量的真值18測量列中相應(yīng)各測得值與真值之差。式中σ測量列中單次測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差；（2-10）

由上述分析可知，不存在系統(tǒng)誤差時(shí)，測量方法精密度的高低可用標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的大小表示。根據(jù)誤差理論，等精度測量列中單次測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ是各隨機(jī)誤差δ平方和的平均值的正平方根，即：測量列中相應(yīng)各測得值與真值之差。式中σ測19依據(jù)概率論原理，正態(tài)分布曲線所包含的面積等于其相應(yīng)區(qū)間確定的概率，即：p-￥=ò+￥espsd22221--￥ò+￥=ydδdδ=1p-δ=ò+δespsd22221--δò+δ=ydδdδ誤差落在(-∞，+∞)之間，概率P=1；我們研究誤差落在(-δ，+δ)之間的概率，上式改寫為:設(shè)t=δ/σ，則：dt=dδ/σ即：p-t=ò+tept2221-dt依據(jù)概率論原理，正態(tài)分布曲線所包含的面20由于超出δ=3σ的概率已很小，故在實(shí)踐中常認(rèn)為δ=3σ的概率P≈1。從而將δ=±3σ看作是單次測量的隨機(jī)誤差的極限值，稱為隨機(jī)誤差的極限，記作：所以誤差極限是單次測量標(biāo)準(zhǔn)偏差的3倍，是隨機(jī)誤差不會(huì)超過的限度。這時(shí)的置信概率P=99.73％。由于超出δ=3σ的概率已很小，故在實(shí)踐中常認(rèn)為δ=3σ的概率21由正態(tài)分布的第四個(gè)特性可知，當(dāng)測量次數(shù)n增大時(shí)，算術(shù)平均值愈趨近于真值。因此，用算術(shù)平均值作為測量結(jié)果比其它任一測量值作為測量結(jié)果更可靠。3．算術(shù)平均值在評(píng)定有限測量次數(shù)測量列的隨機(jī)誤差時(shí)，必須獲得真值，但真值是不知道的，因此只能從測量列中找到一個(gè)接近真值的數(shù)值加以代替，這就是測量列的算術(shù)平均值。若測量列為l1、、l2、…、li，則算術(shù)平均值為L式中：nL1=?=nl1iin1=（l1+l2+…+li）Llin——算術(shù)平均值——第i個(gè)測量值——測量次數(shù)由正態(tài)分布的第四個(gè)特性可知，當(dāng)測量次數(shù)n增大時(shí)，算術(shù)平均值愈224．由殘余誤差求標(biāo)準(zhǔn)偏差真值L不知，δ也不知，不用該式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差σ。在實(shí)際應(yīng)用中用殘余誤差計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差σ。=li

-L殘余誤差4．由殘余誤差求標(biāo)準(zhǔn)偏差真值L不知，δ也不知，不用23由符合正態(tài)分布曲線分布規(guī)律的隨機(jī)誤差的分布特性可知?dú)埐罹哂邢率鰞蓚€(gè)特性：1）當(dāng)測量次數(shù)n足夠多時(shí)，殘差的代數(shù)和趨近于零，即≈0；2）殘差的平方和為最小即實(shí)際應(yīng)用中，常用≈0來驗(yàn)證數(shù)據(jù)處理中求得的與是否正確。即單次測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的估計(jì)值（用S表示）。S可用下式表示為：S=（2-16）貝賽爾公式實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差σ

=（2-16）由符合正態(tài)分布曲線分布規(guī)律的隨機(jī)誤差的分布特性24系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差在性質(zhì)上是不同的，它的出現(xiàn)具有一定的規(guī)律性，不能像隨機(jī)誤差那樣依靠統(tǒng)計(jì)的方法來處理，而只能采取具體問題具體分析的方法，通過仔細(xì)的校驗(yàn)和精心的試驗(yàn)才能發(fā)現(xiàn)與消除。2.8.4系統(tǒng)誤差在同一條件下，多次測量同一量值時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持恒定，或在條件改變時(shí)，按某一個(gè)確定的規(guī)律變化的誤差。誤差數(shù)值往往比較大，因而在測量結(jié)果中如何發(fā)現(xiàn)和消除它是提高測量準(zhǔn)確度的一個(gè)重要問題。發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的方法有多種，直觀的方法是“殘余誤差觀察法”——根據(jù)系列值的殘余誤差，列表或作圖進(jìn)行觀察系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差在性質(zhì)上是不同的，它的出現(xiàn)具有一定的規(guī)律性25

殘余誤差觀察法

根據(jù)殘余誤差大小和符號(hào)變化規(guī)律，由殘余誤差數(shù)據(jù)或殘余誤差曲線來判斷有無系統(tǒng)誤差。1）若vi大體正負(fù)相間，無顯著變化規(guī)律，則可以認(rèn)為不存在系統(tǒng)誤差。2）若vi有規(guī)律地遞增或遞減，則存在線性系統(tǒng)誤差。3）若vi有規(guī)律地逐漸由負(fù)變正或由正變負(fù)，則存在周期性系統(tǒng)誤差。(a)不存在變值系統(tǒng)誤差(b)存在線性系統(tǒng)誤差(c)存在周期性系統(tǒng)誤差殘余誤差觀察法根據(jù)殘余誤差大小和符號(hào)變化規(guī)律，由殘余誤265liL=li

-L5liL=li-L27消除系統(tǒng)誤差的方法從產(chǎn)生誤差根源上消除系統(tǒng)誤差要求測量人員對(duì)測量過程中可能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的各個(gè)環(huán)節(jié)作仔細(xì)的分析，并在測量前就將系統(tǒng)誤差從產(chǎn)生根源上加以消除。用誤差修正法消除系統(tǒng)誤差若發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的存在，且誤差的大小、正負(fù)均已知道，則可將測量結(jié)果減去已知系統(tǒng)誤差值。從而獲得不含（或少含）系統(tǒng)誤差的測量結(jié)果。也可將已知系統(tǒng)誤差取相反的符號(hào)，變成修正值，并用代數(shù)法將此修正值與未修正測量結(jié)果相加，算出已修正的測量結(jié)果。（如游標(biāo)卡尺磨損造成的誤差）若發(fā)現(xiàn)2）和3）的系統(tǒng)誤差存在，必須采取措施加以消除或減小到最低程度，然后作為隨機(jī)誤差處理。知道誤差大小和正負(fù)號(hào)可采用修正法；不知道誤差大小和正負(fù)號(hào)無法修正，可采用抵償法或分離法。消除系統(tǒng)誤差的方法用誤差修正法消除系統(tǒng)誤差若發(fā)現(xiàn)2）和3）28用誤差抵償消除系統(tǒng)誤差

若知道系統(tǒng)誤差存在，但不知道誤差的大小和正負(fù)，則無法進(jìn)行修正，但通過分析發(fā)現(xiàn)，在有的測量結(jié)果中，包含有系統(tǒng)誤差和另一個(gè)測量結(jié)果中包含的系統(tǒng)誤差其大小相等，而方向相反。因此，可用此兩測量結(jié)果相加取平均，可抵消其系統(tǒng)誤差。

用誤差分離消除系統(tǒng)誤差

就是采用反向測量或多步測量或多測頭測量等的測量方法，使之獲得較多的測量信息，然后通過某一種計(jì)算方法將其分離，從而或得準(zhǔn)確的測量結(jié)果。用誤差抵償消除系統(tǒng)誤差29在測量之前，應(yīng)該盡可能預(yù)見到產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的來源，設(shè)法消除之。或者使其影響減少到可以接收的程度。

系統(tǒng)誤差的來源一般可以歸納為以下幾個(gè)方面：由于測量設(shè)備、試驗(yàn)裝置不完善，或安裝、調(diào)整，使用不得當(dāng)而引起的誤差。由于外界環(huán)境因素的影響而引起的誤差。由于測量方法不正確，或者測量方法所賴以存在的理論本身不完善而引起的誤差。

在測量之前，應(yīng)該盡可能預(yù)見到產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的來源，302.8.5粗大誤差的處理粗大誤差也稱為疏忽誤差或過失誤差，指的是明顯歪曲測量結(jié)果的誤差，其數(shù)值通常較大。當(dāng)懷疑測量序列中某些測得值可能含有粗大誤差時(shí)，應(yīng)根據(jù)一定的判別準(zhǔn)則對(duì)它們是否含有粗大誤差進(jìn)行判斷，若是則應(yīng)把含有粗大誤差的測得值從測量序列中剔除。最常用的粗大誤差判別準(zhǔn)則是萊依達(dá)準(zhǔn)則（3σ準(zhǔn)則）：

對(duì)于某一無系統(tǒng)誤差的測量序列，若其中某一測得值的殘余誤差滿足則可以認(rèn)為該測得值含有粗大誤差，應(yīng)予以剔除。

其他判別準(zhǔn)則：肖維勒準(zhǔn)則、格羅布斯準(zhǔn)則、羅曼諾夫斯基準(zhǔn)則（t檢驗(yàn)準(zhǔn)則）、狄克松準(zhǔn)則等。2.8.5粗大誤差的處理粗大誤差也稱為疏忽誤差或過312.8.6函數(shù)誤差（間接測量誤差分析與處理）直接測量中，測量結(jié)果的總誤差要受測量器具誤差、測量方法誤差、溫度誤差、人員誤差的共同影響。間接測量中，測量結(jié)果的誤差受各間接量測量誤差的間接影響。2.8.6函數(shù)誤差（間接測量誤差分析與處理）直接32設(shè)，其中y為測量結(jié)果，為影響測量結(jié)果誤差的影響因素，那么有——因素xi對(duì)測量結(jié)果y的誤差傳遞系數(shù)或設(shè)，其中y為測量33由此可得出結(jié)論Ⅱ：間接測量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差等于該函數(shù)對(duì)各變量在給定點(diǎn)上的偏導(dǎo)數(shù)與其相應(yīng)測得值標(biāo)準(zhǔn)偏差乘積之平方和的平方根。

（2-19）標(biāo)準(zhǔn)偏差公式：實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差公式：由此可得出結(jié)論Ⅱ：間接測量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差等于該函數(shù)對(duì)各變量34例如大型軸的加工中，用“弦長弓高法”間接測量軸的直徑是一個(gè)二元函數(shù)的例子。例如大型軸的加工中，用“弦長弓高法”間接測量軸的35第2章2節(jié)長度測量(測量誤差和數(shù)據(jù)處理)2分析課件36

37算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差公式：算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差公式：382.8.6重復(fù)性條件下測量結(jié)果的處理2.8.6重復(fù)性條件下測量結(jié)果的處理39例：對(duì)某軸重復(fù)測量10次，測量結(jié)果見下表（單位：mm）。假設(shè)測量列中不含系統(tǒng)誤差和粗大誤差，且測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差未知，試用實(shí)驗(yàn)估計(jì)法估計(jì)測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差，寫出測量結(jié)果。序號(hào)i測得值li殘差vi150.454-0.003250.459+0.002350.459+0.002450.454-0.003550.458+0.001650.459+0.002750.456-0.001850.458+0.001950.458+0.0011050.455-0.002∑504.5700解：n=10①計(jì)算算術(shù)平均值②計(jì)算各測得值的殘余誤差③估計(jì)單次測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差例：對(duì)某軸重復(fù)測量10次，測量結(jié)果見下表（單位：mm）。假設(shè)40④計(jì)算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差⑤寫出用算術(shù)平均值表示的測量結(jié)果該工件的測量結(jié)果為50.457mm，實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.0007mm④計(jì)算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差⑤寫出用算術(shù)平均值表示的測量結(jié)41常用計(jì)算公式S=算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差：（多次重復(fù)測量作為測量結(jié)果）實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差：（單次測量作為測量結(jié)果）=li

-LL?=nl1iin1=殘余誤差：算術(shù)平均值：二、函數(shù)誤差一、隨機(jī)誤差標(biāo)準(zhǔn)偏差：實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差：常用計(jì)算公式S=算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差：實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差：=42作業(yè):P232（2、4、5）作業(yè):P232（2、4、5）43

測量誤差產(chǎn)生的原因測量誤差是不可避免的，但是由于各種測量誤差的產(chǎn)生都有其原因和影響測量結(jié)果的規(guī)律，因此測量誤差是可以控制的。要提高測量精確度，就必須減小測量誤差。要減小和控制測量誤差，就必須對(duì)測量誤差產(chǎn)生的原因進(jìn)行了解和研究。產(chǎn)生測量誤差的原因很多，主要有以下幾個(gè)方面：基準(zhǔn)件誤差、測量儀器的誤差、調(diào)整誤差、方法誤差、測量力誤差、環(huán)境誤差、人為誤差等。2.8測量誤差和數(shù)據(jù)處理測量誤差產(chǎn)生的原因2.8測量誤差和數(shù)據(jù)處理44測量儀器誤差測量儀器誤差是指由于測量儀器本身存在的誤差而引起的測量誤差。具體地說，是由于測量儀器本身的設(shè)計(jì)、制造以及裝配、調(diào)整不準(zhǔn)確而引起的誤差，一般表現(xiàn)在測量儀器的示值誤差和重復(fù)精度上。

設(shè)計(jì)計(jì)量器具時(shí)，因結(jié)構(gòu)不符合理論要求，或在理論上采用了某種近似都會(huì)產(chǎn)生誤差。例如，在光學(xué)比較儀的設(shè)計(jì)中，采用了當(dāng)α為無窮小量時(shí)，sinα≈α的近似而產(chǎn)生的誤差；若將標(biāo)尺的不等分刻線用等分刻線代替，就存在計(jì)量器具設(shè)計(jì)時(shí)的原理誤差。測量儀器誤差設(shè)計(jì)計(jì)量器具時(shí)，因結(jié)構(gòu)不45

制造以及裝配、調(diào)整不準(zhǔn)確而引起的誤差，如測量儀器測量頭的直線位移與測量儀器指針的角位移不成比例、測量儀器的刻度盤安裝偏心、刻度尺的刻線不準(zhǔn)確等等。以上這些誤差使測量儀器所指示的數(shù)值并不完全符合被測幾何量變化的實(shí)際情況，這種誤差叫做示值誤差。當(dāng)然，這種誤差是很小的，每一種儀器都規(guī)定了相應(yīng)的示值誤差允許范圍。制造以及裝配、調(diào)整不準(zhǔn)確而引起的誤差，46基準(zhǔn)件誤差所有基準(zhǔn)件或基準(zhǔn)量具，雖然制作得非常精確，但是都不可避免地存在誤差?；鶞?zhǔn)件誤差就是指作為標(biāo)準(zhǔn)量的基準(zhǔn)件本身存在的誤差。例如，量塊的制造誤差等。基準(zhǔn)件誤差直接影響測得值。在相對(duì)測量中，基準(zhǔn)件誤差包含在測量誤差內(nèi)，因?yàn)樵跍y量時(shí)用來與被測幾何量進(jìn)行比較的基準(zhǔn)件（如量塊）誤差將直接反映到測量結(jié)果中，引起測量誤差。例如，在光學(xué)比較儀上用2級(jí)量塊作為基準(zhǔn)件將儀器調(diào)零，測量20mm的零件時(shí)，僅僅由2級(jí)量塊就可能產(chǎn)生±0.60μm的測量誤差。在測量中，要合理選擇基準(zhǔn)件的精度，一般地，基準(zhǔn)件的誤差應(yīng)不超過總測量誤差的1/3~1/5。基準(zhǔn)件誤差基準(zhǔn)件誤差直接影響測得值。47方法誤差方法誤差是指選擇的測量方法和定位方法不完善所引起的誤差。例如：測量方法選擇不當(dāng)、工件安裝不合理、計(jì)算公式不精確、采用近似的測量方法或間接測量法等造成的誤差。環(huán)境誤差環(huán)境誤差是指由于環(huán)境因素與要求的標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)不一致所引起的測量誤差。影響測量結(jié)果的環(huán)境因素有溫度、濕度、振動(dòng)和灰塵等。其中溫度影響最大，這是由于各種材料幾乎對(duì)溫度都非常敏感，都具有熱脹冷縮的現(xiàn)象。因此，在長度計(jì)量中規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)溫度為20℃。方法誤差環(huán)境誤差48人員誤差及讀數(shù)誤差

人員誤差是指由于人的主觀和客觀原因所引起的測量誤差。如由于測量人員的視力分辨能力，測量技術(shù)的熟練程度，測量儀器調(diào)整的不正確、測量習(xí)慣的好壞以及疏忽大意等因素引起的測量誤差

讀數(shù)誤差是人員誤差的一種。它是指當(dāng)測量儀器指針處在表盤上相鄰兩刻線之間時(shí)，需要測量者估讀而產(chǎn)生的誤差。除數(shù)字顯示的測量儀器外，這種測量誤差是不可避免的。人員誤差及讀數(shù)誤差49測量力引起的變形誤差測量力引起的變形誤差是指使用測量儀器進(jìn)行接觸測量時(shí)，測量力使零件與測量頭接觸的部分發(fā)生微小變形而產(chǎn)生的測量誤差。特別是當(dāng)測量頭移動(dòng)的速度較快時(shí)，由于沖擊或滑動(dòng)而產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)測量力會(huì)形成較大的測量誤差。因而為了減小測量力的變化所造成的測量誤差，在操作時(shí)要輕放測量頭，并盡可能在調(diào)零時(shí)和測量時(shí)保持一致。一般測量儀器的測量力大都控制在200克之內(nèi)，高精度量儀的測量力控制在幾十克甚至幾克之內(nèi)。為了控制測量力對(duì)測量結(jié)果的影響，測量儀器一般應(yīng)具有使測量力保持恒定的裝置。如：百分表和千分表上的彈簧，千分尺上的棘輪機(jī)構(gòu)等。測量力引起的變形誤差502.8測量誤差和數(shù)據(jù)處理2.相對(duì)誤差是指測量誤差除以被測量的真值：

f＝δ/L2.8.1測量誤差的基本概念1.測量誤差（絕對(duì)誤差）是指測量結(jié)果減去被測量的真值之差，即：

δ＝ι-L

δ——測量誤差

L——被測量的真值ι——測量結(jié)果f

——相對(duì)誤差測量誤差δ的大小決定了測量的精確度，δ越大，則精確度越低；δ越小，則精確度越高。對(duì)于不同大小的同類幾何量，要比較測量精確度的高低，一般采用相對(duì)誤差的概念進(jìn)行比較2.8測量誤差和數(shù)據(jù)處理2.相對(duì)誤差是指測量誤差除以被測51例如：

有兩個(gè)被測量的實(shí)際測得值X1=100mm，X2=10mm，δ1=0.02mm，δ2=0.01mm，則其相對(duì)誤差為：f1=δ1/L1×100%=0.02/100×100%=0.02%f2=δ2/L2×100%=0.01/10×100%=0.1%由上例可以看出，兩個(gè)不同大小的被測量，雖然前者絕對(duì)誤差大，但f1＜f2，表示前者的精確度比后者高。例如：522.8.2誤差的分類1.隨機(jī)誤差單次測量無規(guī)律可循，大小和符號(hào)不可預(yù)知。多次測量服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律，常用概率論和統(tǒng)計(jì)原理隊(duì)它進(jìn)行處理。粗大誤差：測量中出現(xiàn)的差錯(cuò)對(duì)測量結(jié)果產(chǎn)生明顯得歪曲。2.系統(tǒng)誤差測量結(jié)果與在重復(fù)條件下，對(duì)同一被測量進(jìn)行無限多次測量所得結(jié)果的平均值之差，稱為隨機(jī)誤差。隨機(jī)誤差主要由隨機(jī)因素（環(huán)境變化、對(duì)線數(shù)、讀等）引起。隨機(jī)誤差=誤差－系統(tǒng)誤差在重復(fù)條件下，對(duì)同一被測量進(jìn)行無限多次測量所得結(jié)果的平均值與被測量的真值之差，稱為系統(tǒng)誤差。通過修正值隊(duì)其只能有限程度的補(bǔ)償。2.8.2誤差的分類1.隨機(jī)誤差單次測量無規(guī)律53(a)(b)(c)槍好，系統(tǒng)誤差小。打靶人技術(shù)不好，手抖，隨機(jī)誤差大。彈孔分散，平均值靠近靶心槍不好，系統(tǒng)誤差大打靶人技術(shù)好，隨機(jī)誤差小槍好，系統(tǒng)誤差小技術(shù)好，隨機(jī)誤差小下面以打靶為例，說明系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的關(guān)系：準(zhǔn)確度高

彈孔集中，平均值遠(yuǎn)離靶心

彈孔集中，平均值靠近靶心(a)(b)(c)槍好，系統(tǒng)誤差小。打靶人技術(shù)不好542.8.3隨機(jī)誤差1．隨機(jī)誤差的分布及其特征隨機(jī)誤差可用試驗(yàn)方法來確定。實(shí)踐表明，大多數(shù)情況下，隨機(jī)誤差符合正態(tài)分布。為便于理解，現(xiàn)舉例說明。對(duì)工件的某一部位用同一方法進(jìn)行200次重復(fù)測量，測得200個(gè)不同讀數(shù)，這一系列測量值稱為測量列。將其分組，每隔0.002為一組，共11組，見下表2-3。2.8.3隨機(jī)誤差1．隨機(jī)誤差的分布及其特征隨機(jī)55表2-3測量數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表尺寸分組區(qū)間（mm）組號(hào)區(qū)間中心值xi（mm）每組出現(xiàn)的次數(shù)（頻數(shù)ni）頻率（ni/N）19.990～19.99219.992～19.99419.994～19.99619.996～19.99819.998～20.00020.000～20.00220.002～20.00420.004～20.00620.006～20.00820.008～20.01020.010～20.012123456789101119.99119.99319.99519.99719.99920.00120.00320.00520.00720.00920.0112410243745392312310.010.020.050.120.1850.2250.1950.1150.060.0150.005若以橫坐標(biāo)表示測得值Xi，縱坐標(biāo)表示相對(duì)出現(xiàn)次數(shù)ni/N，其中ni為某一測得值出現(xiàn)的次數(shù)，N為測量總次數(shù)，則得如圖2-35(a)所示的圖形，稱為頻率直方圖。連接每個(gè)小方圖的上部中點(diǎn)，得一折線，稱為實(shí)際分布曲線。表2-3測量數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表尺寸分組區(qū)間（mm）組號(hào)區(qū)間中心56yO正態(tài)分布曲線δμ圖2-35頻率直方圖和正態(tài)分布曲線19.99120.0070.2250.120.01x=20.0

ni/N實(shí)際分布曲線xi19.99120.0070.2250.120.01x=20.0

ni/N實(shí)際分布曲線△x△x大，圖形高。讓圖形高低不受△x影響，可用代替——為概率論中的概率密度N∞，△x0Δ代替x得光滑曲線稱隨機(jī)誤差的正態(tài)分布曲線.yO正態(tài)分布曲線δμ圖2-35頻率直方圖和正態(tài)分布曲線1957

隨機(jī)誤差分布及其特點(diǎn)：對(duì)稱性：絕對(duì)值相等而符號(hào)相反的誤差出現(xiàn)的概率相同。

單峰性：絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多。

有界性：在一定條件下，誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定的界限。

抵償性：對(duì)同一量在同一條件下進(jìn)行重復(fù)測量，隨測量次數(shù)不斷增加而趨于無窮時(shí)，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨于零。yO正態(tài)分布曲線δμ19.99120.0070.2250.120.01x=20.0

ni/N實(shí)際分布曲線△x

隨機(jī)誤差分布及其特點(diǎn)：有界性：在一定條件下，誤差的絕58其中y－概率密度

σ－標(biāo)準(zhǔn)偏差δ－隨機(jī)誤差e－自然對(duì)數(shù)的底=2.71828依據(jù)概率論原理正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式：y正態(tài)分布曲線δ其中y－概率密度依據(jù)概率論原理正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式592．評(píng)定隨機(jī)誤差的尺度——標(biāo)準(zhǔn)偏差公式與隨機(jī)誤差δ和標(biāo)準(zhǔn)偏差σ有關(guān)。隨機(jī)誤差指在沒有系統(tǒng)誤差的條件下，測得值與真值之差，即：δ＝ι－L公式分析：1）當(dāng)δ＝0時(shí)，正態(tài)分布的概率密度最大。ymaxps21=esd222-=1y正態(tài)分布曲線δ2．評(píng)定隨機(jī)誤差的尺度——標(biāo)準(zhǔn)偏差公式與隨機(jī)誤差δ和標(biāo)準(zhǔn)偏差60從理論上講，正態(tài)分布中心位置的均值代表被測量的真值，標(biāo)準(zhǔn)偏差σ代表測得值的集中與分散程度。不同的σ對(duì)應(yīng)不同形狀的正態(tài)分布曲線，σ越小，ymax值越大，曲線越陡，隨機(jī)誤差越集中，即測得值分布越集中，測量精密度越高；σ越大，ymax值越小，曲線越平坦，隨機(jī)誤差越分散，即測得值分布越分散，測量精密度越低。2）若σ1<σ2<σ3，則ymax1＞ymax2＞ymax30σ1σ2σ36σ16σ26σ3yδσ1<σ2<σ3從理論上講，正態(tài)分布中心位置的均值代表被測量的真值61測量列中相應(yīng)各測得值與真值之差。式中σ測量列中單次測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差；（2-10）

由上述分析可知，不存在系統(tǒng)誤差時(shí)，測量方法精密度的高低可用標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的大小表示。根據(jù)誤差理論，等精度測量列中單次測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ是各隨機(jī)誤差δ平方和的平均值的正平方根，即：測量列中相應(yīng)各測得值與真值之差。式中σ測62依據(jù)概率論原理，正態(tài)分布曲線所包含的面積等于其相應(yīng)區(qū)間確定的概率，即：p-￥=ò+￥espsd22221--￥ò+￥=ydδdδ=1p-δ=ò+δespsd22221--δò+δ=ydδdδ誤差落在(-∞，+∞)之間，概率P=1；我們研究誤差落在(-δ，+δ)之間的概率，上式改寫為:設(shè)t=δ/σ，則：dt=dδ/σ即：p-t=ò+tept2221-dt依據(jù)概率論原理，正態(tài)分布曲線所包含的面63由于超出δ=3σ的概率已很小，故在實(shí)踐中常認(rèn)為δ=3σ的概率P≈1。從而將δ=±3σ看作是單次測量的隨機(jī)誤差的極限值，稱為隨機(jī)誤差的極限，記作：所以誤差極限是單次測量標(biāo)準(zhǔn)偏差的3倍，是隨機(jī)誤差不會(huì)超過的限度。這時(shí)的置信概率P=99.73％。由于超出δ=3σ的概率已很小，故在實(shí)踐中常認(rèn)為δ=3σ的概率64由正態(tài)分布的第四個(gè)特性可知，當(dāng)測量次數(shù)n增大時(shí)，算術(shù)平均值愈趨近于真值。因此，用算術(shù)平均值作為測量結(jié)果比其它任一測量值作為測量結(jié)果更可靠。3．算術(shù)平均值在評(píng)定有限測量次數(shù)測量列的隨機(jī)誤差時(shí)，必須獲得真值，但真值是不知道的，因此只能從測量列中找到一個(gè)接近真值的數(shù)值加以代替，這就是測量列的算術(shù)平均值。若測量列為l1、、l2、…、li，則算術(shù)平均值為L式中：nL1=?=nl1iin1=（l1+l2+…+li）Llin——算術(shù)平均值——第i個(gè)測量值——測量次數(shù)由正態(tài)分布的第四個(gè)特性可知，當(dāng)測量次數(shù)n增大時(shí)，算術(shù)平均值愈654．由殘余誤差求標(biāo)準(zhǔn)偏差真值L不知，δ也不知，不用該式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差σ。在實(shí)際應(yīng)用中用殘余誤差計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差σ。=li

-L殘余誤差4．由殘余誤差求標(biāo)準(zhǔn)偏差真值L不知，δ也不知，不用66由符合正態(tài)分布曲線分布規(guī)律的隨機(jī)誤差的分布特性可知?dú)埐罹哂邢率鰞蓚€(gè)特性：1）當(dāng)測量次數(shù)n足夠多時(shí)，殘差的代數(shù)和趨近于零，即≈0；2）殘差的平方和為最小即實(shí)際應(yīng)用中，常用≈0來驗(yàn)證數(shù)據(jù)處理中求得的與是否正確。即單次測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的估計(jì)值（用S表示）。S可用下式表示為：S=（2-16）貝賽爾公式實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差σ

=（2-16）由符合正態(tài)分布曲線分布規(guī)律的隨機(jī)誤差的分布特性67系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差在性質(zhì)上是不同的，它的出現(xiàn)具有一定的規(guī)律性，不能像隨機(jī)誤差那樣依靠統(tǒng)計(jì)的方法來處理，而只能采取具體問題具體分析的方法，通過仔細(xì)的校驗(yàn)和精心的試驗(yàn)才能發(fā)現(xiàn)與消除。2.8.4系統(tǒng)誤差在同一條件下，多次測量同一量值時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持恒定，或在條件改變時(shí)，按某一個(gè)確定的規(guī)律變化的誤差。誤差數(shù)值往往比較大，因而在測量結(jié)果中如何發(fā)現(xiàn)和消除它是提高測量準(zhǔn)確度的一個(gè)重要問題。發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的方法有多種，直觀的方法是“殘余誤差觀察法”——根據(jù)系列值的殘余誤差，列表或作圖進(jìn)行觀察系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差在性質(zhì)上是不同的，它的出現(xiàn)具有一定的規(guī)律性68

殘余誤差觀察法

根據(jù)殘余誤差大小和符號(hào)變化規(guī)律，由殘余誤差數(shù)據(jù)或殘余誤差曲線來判斷有無系統(tǒng)誤差。1）若vi大體正負(fù)相間，無顯著變化規(guī)律，則可以認(rèn)為不存在系統(tǒng)誤差。2）若vi有規(guī)律地遞增或遞減，則存在線性系統(tǒng)誤差。3）若vi有規(guī)律地逐漸由負(fù)變正或由正變負(fù)，則存在周期性系統(tǒng)誤差。(a)不存在變值系統(tǒng)誤差(b)存在線性系統(tǒng)誤差(c)存在周期性系統(tǒng)誤差殘余誤差觀察法根據(jù)殘余誤差大小和符號(hào)變化規(guī)律，由殘余誤695liL=li

-L5liL=li-L70消除系統(tǒng)誤差的方法從產(chǎn)生誤差根源上消除系統(tǒng)誤差要求測量人員對(duì)測量過程中可能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的各個(gè)環(huán)節(jié)作仔細(xì)的分析，并在測量前就將系統(tǒng)誤差從產(chǎn)生根源上加以消除。用誤差修正法消除系統(tǒng)誤差若發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的存在，且誤差的大小、正負(fù)均已知道，則可將測量結(jié)果減去已知系統(tǒng)誤差值。從而獲得不含（或少含）系統(tǒng)誤差的測量結(jié)果。也可將已知系統(tǒng)誤差取相反的符號(hào)，變成修正值，并用代數(shù)法將此修正值與未修正測量結(jié)果相加，算出已修正的測量結(jié)果。（如游標(biāo)卡尺磨損造成的誤差）若發(fā)現(xiàn)2）和3）的系統(tǒng)誤差存在，必須采取措施加以消除或減小到最低程度，然后作為隨機(jī)誤差處理。知道誤差大小和正負(fù)號(hào)可采用修正法；不知道誤差大小和正負(fù)號(hào)無法修正，可采用抵償法或分離法。消除系統(tǒng)誤差的方法用誤差修正法消除系統(tǒng)誤差若發(fā)現(xiàn)2）和3）71用誤差抵償消除系統(tǒng)誤差

若知道系統(tǒng)誤差存在，但不知道誤差的大小和正負(fù)，則無法進(jìn)行修正，但通過分析發(fā)現(xiàn)，在有的測量結(jié)果中，包含有系統(tǒng)誤差和另一個(gè)測量結(jié)果中包含的系統(tǒng)誤差其大小相等，而方向相反。因此，可用此兩測量結(jié)果相加取平均，可抵消其系統(tǒng)誤差。

用誤差分離消除系統(tǒng)誤差

就是采用反向測量或多步測量或多測頭測量等的測量方法，使之獲得較多的測量信息