專題11.2綜合檢測2（人教A版2019）

專題11.2必修第二冊綜合檢測2考試時間：120分鐘；滿分：150分姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共19題，單選8題，多選3題，填空3題，解答5題，滿分150分，限時150分鐘，試卷緊扣教材，細(xì)分題組，精選一年好題，兩年真題，練基礎(chǔ)，提能力！選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（2024高二下·廣東陽江·階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（

）A．或1 B． C． D．或1【答案】B【分析】依題意實(shí)部為零，虛部不為零，即可得到方程（不等式）組，解得即可；【詳解】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)所以，解得或，解得且，綜上可得.故選：B2．（2024高一下·甘肅金昌·階段練習(xí)）一個樣本的數(shù)據(jù)在60左右波動，各個數(shù)據(jù)都減去60后得到一組新數(shù)據(jù)，算得其平均數(shù)是6，則這個樣本的平均數(shù)是（）A．6.6 B．6 C．66 D．60【答案】C【分析】利用新老數(shù)據(jù)平均數(shù)的關(guān)系可求原來數(shù)據(jù)的平均數(shù).【詳解】設(shè)原來的一組數(shù)據(jù)是，則每一個數(shù)據(jù)都減去得到新數(shù)據(jù)且求得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，所以，即，所以，故樣本的平均數(shù)是.故選：C3．（2024高二上·北京東城·期中）如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，，則平面ABC與平面β的交線是（）A．直線AC B．直線AB C．直線CD D．直線BC【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)與線的位置關(guān)系，以及兩平面相交的性質(zhì)，確定交線.【詳解】由題意知，D∈l，l?β，∴D∈β．又D∈AB，∴D∈平面ABC，即D在平面ABC與平面β的交線上．又C∈平面ABC，C∈β，∴點(diǎn)C在平面β與平面ABC的交線上．從而有平面ABC∩平面β＝CD．故選：C．4．（2024高三上·江西吉安·期末）記的內(nèi)角對邊分別為已知．若，則的形狀是（

）A．等腰直角三角形 B．等腰銳角三角形C．等腰鈍角三角形 D．不等腰鈍角三角形【答案】C【分析】由條件運(yùn)用正弦定理角化邊，由余弦定理求出，根據(jù)條件可求得，從而可判斷.【詳解】由已知，根據(jù)正弦定理得，，則，∴，又，∴，，又，∴，∴，即，此時，，∴為等腰鈍角三角形．故選：C．5．（2024高一下·廣東清遠(yuǎn)·階段練習(xí)）一條東西方向的河流兩岸平行，河寬250m，河水的速度為向東km/h.一艘小貨船準(zhǔn)備從河的這一邊的碼頭A處出發(fā)，航行到位于河對岸B(AB與河的方向垂直)的正西方向并且與B相距m的碼頭C處卸貨.若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為6km/h，則當(dāng)小貨船的航程最短時，求此時小貨船航行速度為多少.（

）A．km/h B．km/hC．km/h D．km/h【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的性質(zhì)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖所示：

，，，設(shè)合速度為，小貨船航行速度為，水流的速度為，則有所以有，故選：B.6．（2024高二上·吉林松原·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，，分別是，的中點(diǎn)．則異面直線，所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，取的中點(diǎn)，連接，故（或其補(bǔ)角）就是異面直線所成的角，再根據(jù)幾何關(guān)系，結(jié)合余弦定理求解.【詳解】解：如圖，連接，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，則，所以（或其補(bǔ)角）就是異面直線所成的角，由已知，，，所以，所以異面直線，所成角的余弦值為故選：C．7．（2024高一下·江蘇常州·階段練習(xí)）如圖，已知平行四邊形的對角線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與所在直線分別交于點(diǎn)，，滿足，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用向量表示，再利用點(diǎn)M，O，N共線列式計算作答.【詳解】因平行四邊形的對角線相交于點(diǎn)，則，而，于是得，又點(diǎn)M，O，N共線，因此，，即，又，解得，所以.故選：B8．（2024·廣東廣州·三模）四面體中，三組對棱的長分別相等，依次為5，4，，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【詳解】由于四面體的三組對棱分別相等，故可構(gòu)造在長方體內(nèi)的三棱錐(如圖所示)，其中．設(shè)長方體的三條棱長分別為，則有．（1）由②③得，又，∴，解得．（2）由②③得，又，∴，解得．綜上可得．故的取值范圍是．選C．點(diǎn)睛：由于長方體的特殊性，因此解題時構(gòu)造長方體中的四面體是解答本題的關(guān)鍵，借助幾何模型使得解題過程順利完成，這也是解答立體幾何問題的常用方法．多選題（共3小題，滿分18分，每小題6分）9．（2024高一下·遼寧錦州·期末）已知復(fù)數(shù)，，，則以下說法正確的是（

）A．B．若，則C．D．若，則【答案】AC【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算逐個分析驗(yàn)證即可【詳解】解：設(shè)，對于A，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以A正確，對于B，因?yàn)椋?，所以不一定有，所以B錯誤，對于C，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以C正確，對于D，因?yàn)?，所以，所以或，所以D錯誤，故選：AC10．（2024·遼寧·二模）的重心為點(diǎn)，點(diǎn)O，P是所在平面內(nèi)兩個不同的點(diǎn)，滿足，則（

）A．三點(diǎn)共線 B．C． D．點(diǎn)在的內(nèi)部【答案】AC【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，向量共線的判定及向量的線性運(yùn)算即可判斷．【詳解】，因?yàn)辄c(diǎn)為的重心，所以，所以，所以三點(diǎn)共線，故A正確，B錯誤；，因?yàn)?，所以，即，故C正確；因?yàn)?，所以點(diǎn)的位置隨著點(diǎn)位置的變化而變化，故點(diǎn)不一定在的內(nèi)部，故D錯誤；故選：AC．11．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖1，在矩形與菱形中，，，，分別是，的中點(diǎn).現(xiàn)沿將菱形折起，連接，，構(gòu)成三棱柱，如圖2所示，若，記平面平面，則（

）A．平面平面 B．C．直線與平面所成的角為60° D．四面體的外接球的表面積為【答案】AB【分析】根據(jù)題意，對四個選項(xiàng)一一進(jìn)行分析，對于選項(xiàng)A，根據(jù)線面垂直的判定定理可證出平面，再根據(jù)線面垂直的判定定理證出平面平面；對于選項(xiàng)B，由菱形的性質(zhì)和三角形中位線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)，即可證出；對于選項(xiàng)C，由菱形的性質(zhì)和線面垂直的判定定理可證出平面，從而得出為直線與平面所成的角，利用菱形的性質(zhì)即可求出；對于選項(xiàng)D，結(jié)合已知條件，在中求出，再利用正弦定理求得的外接圓半徑，最后利用外接球半徑、截面圓半徑以及球心到截面的距離三者之間的關(guān)系，求出外接球的半徑，再根據(jù)球的表面積公式即可求出結(jié)果.【詳解】解：對于A，由于矩形，則，又因?yàn)椋?，所以平面，又平面，所以平面平面，所以A選項(xiàng)正確；對于B，因?yàn)椋謩e是，的中點(diǎn)，四邊形是菱形，則也是的中點(diǎn)，由三角形中位線的性質(zhì)，可知，由于三棱柱，則平面平面，所以平面，而平面平面，則，所以，故B選項(xiàng)正確；對于C，由于四邊形是菱形，則，又因?yàn)?，而，所以平面，所以為直線與平面所成的角，又因?yàn)?，則，所以，故直線與平面所成的角為，故C選項(xiàng)不正確；對于D，由題可知，，則在中，，由正弦定理可得的外接圓半徑，由A選項(xiàng)可知，平面，所以四面體的外接球半徑，故四面體的外接球的表面積，故D選項(xiàng)不正確，故選：AB.填空題（共3小題，滿分15分，每小題5分）12．（2024高二上·江蘇南京·期末）假設(shè)要考查某公司生產(chǎn)的500克袋裝牛奶的三聚青氨是否超標(biāo)，現(xiàn)從800袋牛奶中抽取60袋進(jìn)行檢驗(yàn)，利用隨機(jī)數(shù)表抽取樣本時，先將800袋牛奶按000，001，…，799進(jìn)行編號，如果從隨機(jī)數(shù)表第7行第8列的數(shù)開始向右讀，請你依次寫出最先檢測的3袋牛奶的編號.（下面摘取了隨機(jī)數(shù)表第7行至第9行）844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169556671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954.【答案】331、572、455【解析】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法依次列舉出來即可.【詳解】解：根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法最先檢測的3袋牛奶編號為：331、572、455故答案為：331、572、45513．（2024高一下·廣西玉林·期末）在四面體中，，，則四面體的外接球的表面積為.【答案】【分析】設(shè)AB的中點(diǎn)為O，連接OD，OC，可得與均為直角三角形，進(jìn)而可得O為外接球球心，再由球的表面積公式即可求解.【詳解】解：設(shè)AB的中點(diǎn)為O，連接OD，OC，如圖，∵在四面體ABCD中，AB＝，DA＝DB＝CA＝CB＝1，∴AD2+BD2＝AB2，AC2+BC2＝AB2，即與均為直角三角形，故OA＝OB＝OC＝OD，即O為外接球球心，OA＝R＝；∴四面體ABCD的外接球的表面積為4πR2＝2π．故答案為：2π．14．（2024高三上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期末）已知為銳角三角形，，，，是角，，分別所對的邊，若；且，則面積的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出的值及的范圍，然后通過正弦定理和面積公式，并結(jié)合兩角和與差的正弦公式求得答案.【詳解】在銳角中，由，得，即，由正弦定理得，而，則，又，則有，得，，由，解得，由正弦定理得，而，則，因此，由，得，即，于是，所以面積的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及求三角形面積范圍問題，可以利用正弦定理及三角形面積公式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個角的函數(shù)，再借助三角函數(shù)的性質(zhì)求解.解答題（共5小題，第15題13分，第16、17題15分，第18、19題17分，滿分77分）15．（2024高三上·陜西銅川·期末）如圖，在直角梯形中，為上靠近的三等分點(diǎn)，交于．(1)用和表示；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件可得，，再結(jié)合向量的加減法和平面向量基本定理可求得結(jié)果；（2）由題意可得，再結(jié)合和三點(diǎn)共線，可求出，從而可證得結(jié)論.【詳解】（1），，又為上靠近的三等分點(diǎn)，，；（2）交于，，由（1）知．．三點(diǎn)共線，，解得，．即16．（2024·浙江·高考模擬）在ABC中，內(nèi)角所對的邊分別為a，b，c.已知b+c=2acosB.（Ⅰ）證明：A=2B；（Ⅱ）若cosB=，求cosC的值．【答案】（Ⅰ）證明詳見解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，進(jìn)而用兩角和的正弦公式轉(zhuǎn)化為含有，的式子，根據(jù)角的范圍可證；（Ⅱ）先用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及二倍角公式可得，進(jìn)而可得和，再用兩角和的余弦公式可得．【詳解】（Ⅰ）由正弦定理得，故，于是，又，故，所以或，因此（舍去）或，所以，.（Ⅱ）由，得，，故，，.17．（2024高一下·山西太原·期末）如圖，正三棱柱的所有棱長均相等.（1）在圖中作出過與側(cè)面垂直的三棱柱的截面，并說明理由；（2）求直線與側(cè)面所成角的余弦值.【答案】（1）作圖答案見解析，理由見解析；（2）.【分析】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，，則可得截面，再證明平面平面；（2）直線與側(cè)面所成角為，再解三角形得解.【詳解】解：（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，，則可得截面.理由如下：∵三棱柱為正三棱柱，∴為等邊三角形，又為中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴，∵，平面，∴平面，又平面，故平面平面.（2）由（1）可知直線與側(cè)面所成角為，設(shè)正三棱柱為所有棱長均為2，則在直角三角形中，，，∴，因此直線與側(cè)面所成角的余弦值為.18．（2024高二下·四川成都·期中）市政府為調(diào)查市民對本市某項(xiàng)調(diào)控措施的態(tài)度，隨機(jī)抽取了名市民，統(tǒng)計了他們的月收入頻率分布和對該項(xiàng)措施的贊成人數(shù)，統(tǒng)計結(jié)果如表所示：月收入(單位：百元)頻數(shù)贊成人數(shù)（1）用樣本估計總體的思想比較該市月收入低于(百元)和不低于(百元)的類人群在該項(xiàng)措施的態(tài)度上有何不同.（2）現(xiàn)從上表中月收入在和的市民中各隨機(jī)抽取一個進(jìn)行跟蹤調(diào)查，求抽取的兩個人恰好對該措施一個贊成一個不贊成的概率.【答案】（1）月收入不低于(百元)的人群對該措施持肯定態(tài)度的比月收入低于(百元)的人群中持肯定態(tài)度的比例要高；（2）.【解析】（1）樣本中月收入低于20（百元）的共有5人，其中持贊成態(tài)度的共有2人，月收入不低于30（百元）的共有75人，其中持贊成態(tài)度的共有64人，由此能求出結(jié)果．（2）將月收入在，中，不贊成的3人記為，，，贊成的2人記為，，月收入在，中不贊成的1人記為，贊成的3人記為，，，由此利用列舉法能求出從月收入在，和，的人中各隨機(jī)抽取1人，抽取的兩個人恰好對該措施一個贊成一個不贊成的概率．【詳解】解：（1）由表知，樣本中月收入低于(百元)的共有人，其中持贊成態(tài)度的共有人，贊成人數(shù)的頻率，月收入不低于(百元)的共有人，其中持贊成態(tài)度的共有人，贊成人數(shù)的頻率根據(jù)樣本估計總體思想可知月收入不低于(百元)的人群對該措施持肯定態(tài)度的比月收入低于(百元)的人群中持肯定態(tài)度的比例要高.（2）將月收入在中，不贊成的人記為，贊成的人記為，月收入在中不贊成的人記為，贊成的人記為，從月收入在和的人中各隨機(jī)抽取人，基本事件總數(shù)：，其中事件“抽取的兩個人恰好對該措施一個贊成一個不贊成”共包含：，，共個，抽取的兩個人恰好對該措施一個贊成一個不贊成的概率19．（2024高一下·江西南昌·期末）某工廠調(diào)試壹號?貳號?叁號三條生產(chǎn)線各自獨(dú)立地生產(chǎn)同一種零件，已知壹號生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件是合格品且貳號生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件是非合格品的概率為，貳號生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件是合格品且叁號生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件也是合格品的概率為，壹號生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件是合格品且叁生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件也是合格品的概率為，記事件A，B，C分別為壹號?貳號?叁號三條生產(chǎn)線各自生產(chǎn)的零件是合格品.（1）分別求出事件A，B，C的概率，，；（2）從壹?貳?叁三條生產(chǎn)線上生產(chǎn)的同一種零件中隨機(jī)各取1個進(jìn)行檢驗(yàn)