1.4.1第1課時　空間中點、直線和平面的向量表示 導學案正文

1.4空間向量的應用1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關系第1課時空間中點、直線和平面的向量表示【學習目標】1.聯(lián)系空間向量與立體幾何,知道直線的方向向量和平面的法向量.2.結合空間幾何體,能求出有關直線的方向向量和平面的法向量.3.在空間點的向量表示的基礎上,能借助直線的方向向量和平面的法向量來刻畫直線和平面.◆知識點空間元素的向量表示1.空間中點的向量表示如圖,在空間中,我們?nèi)∫蛔鳛榛c,那么空間中任意一點P就可以用向量OP來表示.我們把向量OP稱為點P的.

2.空間中直線的向量表示確定直線的條件圖形表示向量表示作用a是直線l的方向向量,在直線l上取AB=a,P是直線l上的任意一點AP=ta=

空間任意直線由直線上一點及直線的方向向量唯一確定a是直線l的方向向量,在直線l上取AB=a,P是直線l上的任意一點,O是空間中的任意一點OP=OA+ta=

3.空間中平面的向量表示確定平面的條件圖形表示向量表示兩條直線相交于點O,它們的方向向量分別為a,b,P為平面α內(nèi)任意一點OP=xa+ybP是平面ABC內(nèi)的任意一點,O是空間中的任意一點OP=OA+xAB+yAC給定點A和平面α的法向量a,以及平面α內(nèi)一點P{P|a·AP=0}【診斷分析】1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)(1)若向量a是直線l的一個方向向量,則向量ka也是直線l的一個方向向量. ()(2)若A(-1,2,1),B(1,0,3)在直線l上,則直線l的一個方向向量為(1,-1,1). ()(3)若向量n1,n2為同一平面的法向量,則以這兩個向量為方向向量的直線一定平行. ()2.平面的法向量有幾個?它們的關系是怎樣的?◆探究點一確定空間中點的位置例1已知點A(2,4,0),B(1,3,3),在直線AB上取P,Q兩點,位置如圖所示,求滿足下列條件的點P和點Q的坐標.(1)AP∶PB=1∶2;(2)AQ∶QB=2∶1.變式已知點A(4,1,3),B(2,-5,1),C為線段AB上一點且|AC||AB|=13,則點C的坐標為 ()A.72,-1C.103,-1[素養(yǎng)小結]求空間中點的坐標,一般要根據(jù)具體的題目條件恰當?shù)卦O出點的坐標,然后列出方程組,把向量運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算,解方程組可得點的坐標.◆探究點二求空間直線的方向向量例2如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,設AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P分別是AA1,BC,C1D1的中點,以{a,b,c}(1)求直線AP的一個方向向量;(2)求直線A1N的一個方向向量;(3)求直線MP的一個方向向量.變式(1)若P(1,0,-2),Q(3,1,1)在直線l上,則直線l的一個方向向量為 ()A.(1,2,3) B.(1,3,2)C.(2,1,3) D.(3,2,1)(2)已知直線l的一個方向向量m=(2,-1,3),且直線l過點A(0,a,3)和點B(-1,2,b),則a+b= ()A.0 B.1C.32 D.[素養(yǎng)小結]求直線的方向向量的關鍵是找到直線上的兩個點,用所給的基向量表示以這兩個點為起點和終點的向量,其難點是向量的運算.◆探究點三求平面的法向量例3如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=6,AA1=3,建立適當?shù)目臻g直角坐標系,求下列平面的一個法向量:(1)平面ABCD;(2)平面ACC1A1;(3)平面ACD1.變式1已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),則下列向量是平面ABC法向量的是 ()A.(-1,1,1) B.(1,-1,1)C.(1,1,1) D.(1,1,-1)變式2如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AC=2,AB=BC,AB⊥BC,O為AC的中點,A1O⊥平面ABC.建立適當?shù)目臻g直角坐標系,分別求平面A1ABB1與平面AA1C1C的一個法向量.[素養(yǎng)小結]利用待定系數(shù)法求平面的法向量的步驟:①設向量:設