2022~2023北京市八年級(jí)上期末數(shù)學(xué)試卷分類匯編-全等三角形（含答案解析）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2022~2023北京市八年級(jí)上期末數(shù)學(xué)試卷分類匯編——全等三角形參考答案與試題解析一．選擇題（共5小題）1．（2022秋?平谷區(qū)期末）如圖，Rt△ABC中，∠A＝90°，BP平分∠ABC交AC于點(diǎn)P，若PA＝4cm，BC＝13cm，則△BCP的面積是（）A．52cm2 B．13cm2 C．45cm2 D．26cm2【分析】過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC，垂足為D，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得PA＝PD＝4cm，然后利用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC，垂足為D，∵BP平分∠ABC，PA⊥AB，PD⊥BC，∴PA＝PD＝4cm，∵BC＝13cm，∴△BCP的面積＝BC?PD＝×13×4＝26（cm2），故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?平谷區(qū)期末）如圖，等邊△ABD和等邊△BCE中，A、B、C三點(diǎn)共線，AE和CD相交于點(diǎn)F，下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）①△ABE≌△DBC②BF平分∠AFC③AF＝DF+BF④∠AFD＝60°A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)易證△ABE≌△DBC，可判斷①選項(xiàng)；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠AEB＝∠DCB，AE＝DC，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出∠AFD＝∠DCB+∠EAB＝∠AEB+∠EAB＝∠EBC＝60°，可判斷④選項(xiàng)；作BG⊥CD于點(diǎn)G，BH⊥AE于點(diǎn)H，由S△ABE＝S△DBC可得BG＝BH，進(jìn)一步可得BF平分∠AFC，可判斷②選項(xiàng)；在AE上截取AI＝DF，連接BI，易證△ABI≌△DBF（SAS），再證明△BFI是等邊三角形，得FI＝BF，進(jìn)一步可判斷③選項(xiàng)．【解答】解：∵△ABD和△BCE是等邊三角形，∴AB＝BD，BC＝CE，∠EBC＝60°，∠ABD＝∠CBE＝60°，∴∠ABD+∠DBE＝∠CBE+∠DBE，即∠ABE＝∠DBC，在△ABE和△DBC中，，∴△ABE≌△DBC（SAS），故①正確；∴∠AEB＝∠DCB，AE＝DC，∴∠AFD＝∠DCB+∠EAB＝∠AEB+∠EAB＝∠EBC＝60°，故④正確；作BG⊥CD于點(diǎn)G，BH⊥AE于點(diǎn)H，如圖所示：∵△ABE≌△DBC，∴S△ABE＝S△DBC，AE＝DC，∴CD?BG＝AE?BH，∴BG＝BH，∵BG⊥CD，BH⊥AE，∴點(diǎn)B在∠AFC的平分線上，∴BF平分∠AFC，故②正確；在AE上截取AI＝DF，連接BI，在△ABI和△DBF中，，∴△ABI≌△DBF（SAS），∴∠AIB＝∠DFB，∵△ABE≌△DBC，∴∠CDB＝∠EBA，∴∠DFA＝∠ABD＝60°，∴∠AFC＝120°，∴∠IFB＝∠BFC＝60°，∴∠AIB＝∠DFB＝120°，∴∠BIF＝180°﹣∠AIB＝60°，∴∠FBI＝60°，∴△BFI是等邊三角形，∴FI＝BF，∴AF＝AI+FI＝DF+BF，故③正確，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題為三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的判定與性質(zhì)、等積法，添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵，本題綜合性較強(qiáng)，難度較大．3．（2022秋?東城區(qū)期末）已知∠AOB．下面是“作一個(gè)角等于已知角，即作∠A'O'B'＝∠AOB”的尺規(guī)作圖痕跡．該尺規(guī)作圖的依據(jù)是（）A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA【分析】作圖過(guò)程可得DO＝D′O′＝CO＝C′O′，CD＝C′D′，利用SSS判定△DOC≌△D′O′C′，可得∠O′＝∠O．【解答】解：由作圖得DO＝D′O′＝CO＝C′O′，CD＝C′D′，在△DOC和△D′O′C′中，，∴△DOC≌△D′O′C′（SSS），∴∠O′＝∠O．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣基本作圖，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定和性質(zhì)．4．（2022秋?東城區(qū)期末）如圖，將一張四邊形紙片ABCD沿對(duì)角線AC翻折，點(diǎn)D恰好落在邊AB的中點(diǎn)D'處．設(shè)S1，S2分別為△ADC和△ABC的面積，則S1和S2的數(shù)量關(guān)系是（）A．S1＝S2 B．S1＝S2 C．S1＝2S2 D．S1＝3S2【分析】利用折疊的性質(zhì)得出：△ADC≌△AD′C，則S△ADC＝S△AD′C，利用等底同高的三角形的面積相等即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意得：△ADC≌△AD′C，∴S△ADC＝S△AD′C．∵點(diǎn)D′為AB的中點(diǎn)，∴AD′＝D′B．∵等底同高的兩個(gè)三角形的面積相等，∴S△AD′C＝S△BCD′，∴，∴．∴．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了翻折變換的性質(zhì)，等底同高的三角形的每個(gè)相等，掌握折疊的性質(zhì)并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋?西城區(qū)期末）在圖中，∠1＝∠2，AB∥CD，AB＝AC＝AE＝CD．有下列結(jié)論：①把△ABC沿直線AC翻折180°，可得到△AEC；②把△ADC沿線段AC的垂直平分線翻折180°，可得到△AEC；③把△ADC沿射線DC方向平移與DC相等的長(zhǎng)度，可得到△ABC．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵∠1＝∠2，AB∥CD，AB＝AE，AC＝AC，∴△ABC≌△AEC（SAS），∴把△ABC沿直線AC翻折180°，可得到△AEC；故①正確；如圖，作AC的垂直平分線交AC于O，連接OD，OE，∵AB∥CD，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∵AE＝CD．AC＝CA，∴△ACD≌△CAE（SAS），∴AD＝CE，∠DAC＝∠ECA，∵AO＝OC，∴△AOD≌△COE（SAS），∴OD＝OE，∴點(diǎn)A與點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于線段AC的垂直平分線對(duì)稱，∴△ADC沿線段AC的垂直平分線翻折180°，可得到△AEC；故②正確；把△ADC沿射線DC方向平移與DC相等的長(zhǎng)度，得不到到△ABC，故③錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共10小題）6．（2022秋?順義區(qū)期末）如圖，AC與BD相交于點(diǎn)O，OA＝OC，那么要得到△AOD≌△COB，可以添加一個(gè)條件是OD＝OB（填一個(gè)即可）．【分析】本題根據(jù)題目條件，圖形條件可知，OA＝OC，∠AOD＝∠COB，只需要添加一組對(duì)應(yīng)邊相等（即OD＝OB），或者對(duì)應(yīng)角相等即可．【解答】解：OD＝OB，OA＝OC，∠AOD＝∠COB，∴△AOD≌△COB（SAS）．故答案為：OD＝OB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，根據(jù)已知結(jié)合圖形及判定方法選擇條件是正確解答本題的關(guān)鍵．7．（2022秋?門(mén)頭溝區(qū)期末）如圖，AD＝AE，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，CD，BE交于點(diǎn)F，只添加一個(gè)條件使△ABE≌△ACD，添加的條件是：∠B＝∠C（添加一個(gè)即可）．【分析】添加條件∠B＝∠C，根據(jù)全等三角形的判定定理ASA推出即可，此題是一道開(kāi)放型的題目，答案不唯一．【解答】解：添加條件：∠B＝∠C，理由：由題意可得，AE＝AD，∠BAE＝∠CAD，若添加條件：∠B＝∠C，則△ABE≌△ACD（AAS）；故答案為：∠B＝∠C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定定理的應(yīng)用，能理解全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有SSS，SAS，ASA，AAS．8．（2022秋?懷柔區(qū)期末）已知：如圖，C為BD上一點(diǎn)，AB＝AD．只需添加一個(gè)條件則可證明△ABC≌△ADC．這個(gè)條件可以是BC＝DC（寫(xiě)出一個(gè)即可）．【分析】根據(jù)題意可以得到AB＝AD，AC＝AC，然后根據(jù)全等三角形的判定方法寫(xiě)出添加的條件即可，注意本題答案不唯一．【解答】解：由已知可得，AB＝AD，AC＝AC，∴若添加BC＝DC，則△ABC≌△ADC（SSS）；若添加∠BAC＝∠DAC，則△ABC≌△ADC（SAS）；若添加AC⊥CD，則Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）；故答案為：BC＝DC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確全等三角形的判定方法：SSS，SAS，ASA，AAS，對(duì)于直角三角形，還有HL．9．（2022秋?密云區(qū)期末）已知：如圖，AB平分∠CAD．請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件AC＝AD（答案不唯一），使得△ABC≌△ABD．（要求：不添加輔助線，只需填一個(gè)答案即可）【分析】根據(jù)全等三角形全等的方法判斷即可．【解答】解：根據(jù)AAS判定△ABC≌△ABD，可以添加∠C＝∠D，根據(jù)ASA判定△ABC≌△ABD，可以添加∠ABC＝∠ABD，根據(jù)SAS判定△ABC≌△ABD，可以添加AC＝AD，故答案為：AC＝AD（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，屬于中考?？碱}型．10．（2022秋?密云區(qū)期末）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分線與AD相交于點(diǎn)P，連接PC．若△ABC的面積為8cm2，則△BPC的面積為4cm2．【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可得出AP＝PD，即得出△ABP和△DBP是等底同高的三角形，△ACP和△DCP是等底同高的三角形，即可推出，即可求出答案．【解答】解：∵BD＝BA，BP是∠ABC的角平分線，∴AP＝PD，∴△ABP和△DBP是等底同高的三角形，△ACP和△DCP是等底同高的三角形，∴S△ABP＝S△DBP，S△ACP＝S△DCP．∵S△ABC＝S△ABP+S△DBP+S△ACP+S△DCP，S△BPC＝S△DBP+S△DCP，∴．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)．掌握等腰三角形“三線合一”是解答本題的關(guān)鍵．11．（2022秋?東城區(qū)期末）如圖，點(diǎn)A，D，B，E在同一條直線上，AD＝BE，AC∥DF．添加一個(gè)條件，使得△ABC≌△DEF．不增加任何新的字母或線，這個(gè)條件可以是AC＝DF（答案不唯一）．【分析】要使得△ABC≌△DEF．由條件可得到AB＝DE，∠A＝∠FDB，再加條件AC＝DF，可以用SAS證明其全等．【解答】解；添加AC＝DF；∵AD＝BE，∴AD+DB＝BE+DB，即：AB＝DE，∵AC∥DF，∴∠A＝∠FDB，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．故答案為：AC＝DF（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．12．（2022秋?東城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，BC＝9，CD是∠ACB的平分線，DE⊥AC于點(diǎn)E，DE＝3．則△BCD的面積為．【分析】作DF⊥CB于F，應(yīng)用角平分線的性質(zhì)求出DF的長(zhǎng)，由三角形的面積公式即可求解．【解答】解：作DF⊥BC于F，∵CD是∠ACB的平分線，DE⊥AC，∴DF＝DE＝3，∴△BCD的面積＝BC?DF＝×9×3＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，關(guān)鍵是作DF⊥BC于F，應(yīng)用角平分線的性質(zhì)．13．（2022秋?西城區(qū)期末）如圖，在四邊形ABDC中，∠ABD＝60°，∠D＝90°，BC平分∠ABD，AB＝3，BC＝4．（1）畫(huà)出△ABC的高CE；（2）△ABC的面積等于3．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作BA延長(zhǎng)線的垂線，即可畫(huà)出△ABC的高CE；（2）根據(jù)含30度角的直角三角形可得CD＝BC＝2，結(jié)合（1）利用角平分線的性質(zhì)，即可求出△ABC的面積．【解答】解：（1）如圖，CE即為所求；（2）∵∠ABD＝60°，BC平分∠ABD，∴∠EBC＝∠DBC＝30°，∵∠D＝90°，BC＝4．∴CD＝BC＝2，∵BC平分∠ABD，CE⊥AB，CD⊥BD，∴CE＝CD＝2，∵AB＝3，∴△ABC的面積＝AB?CE＝3×2＝3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了角平分線的性質(zhì)和勾股定理．14．（2022秋?西城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝50°，AD⊥BC于點(diǎn)D，MC⊥BC于點(diǎn)C，MC＝BC．點(diǎn)E，點(diǎn)F分別在線段AD，AC上，CF＝AE，連接MF，BF，CE．（1）圖中與MF相等的線段是CE；（2）當(dāng)BF+CE取最小值時(shí)∠AFB＝95°．【分析】（1）先證明三角形全等，再由性質(zhì)求解；（2）利用（1）的結(jié)論，轉(zhuǎn)換為兩點(diǎn)之間線段最短問(wèn)題，再利用三角形是內(nèi)角和求解．【解答】解：（1）∵AC＝BC，MC＝BC，∴AC＝MC，∵AD⊥BC于點(diǎn)D，MC⊥BC于點(diǎn)C，∴AD∥CM，∠MCB＝90°，∴∠MCA＝∠CAD＝40°，∵CF＝AE，∴△CMF≌△ACE（SAS），∴MF＝CE，故答案為：CE；（2）∵M(jìn)F＝CE，∴BF+CE＝BF+MF，∴當(dāng)MF和BF共線時(shí)，和最小，如下圖，此時(shí)MB與AC交于點(diǎn)F′，∵M(jìn)C＝BC，∠BCM＝90°，∴∠CMB＝45°，∴∠AF′B＝∠CF′M＝180°﹣∠CMB﹣∠MCA＝95°，故答案為：95．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了最短路徑問(wèn)題，線段的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋?門(mén)頭溝區(qū)期末）如圖，為了測(cè)量某河道的寬度，小明設(shè)計(jì)了如下方案：（1）從B點(diǎn)出發(fā)沿與AB垂直的方向，走出一段距離并標(biāo)注為點(diǎn)C；（2）繼續(xù)沿此方向走到與BC相同的距離并標(biāo)注為點(diǎn)D；（3）從點(diǎn)D出發(fā)沿與BD垂直的方向走出一段距離標(biāo)注為點(diǎn)F；（4）在DF上找到了一點(diǎn)E能夠通過(guò)點(diǎn)C看到點(diǎn)A．測(cè)量DE的長(zhǎng)度即為該河道的寬度此方案用到了一個(gè)重要的兩個(gè)三角形有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)是△EDC≌△ABC；這個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)成立的依據(jù)是ASA．【分析】由已知可以得到∠ABC＝∠BDE，又CD＝BC，∠ACB＝∠DCE，由此根據(jù)角邊角即可判定△EDC≌△ABC，則ED＝AB．【解答】解：∵BF⊥AB，DE⊥BF，∴∠ABC＝∠BDE在△EDC和△ABC中，，∴△EDC≌△ABC（ASA）．∴ED＝AB故答案為：△EDC≌△ABC；ASA．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的應(yīng)用；需注意根據(jù)垂直定義得到的條件，以及隱含的對(duì)頂角相等，觀察圖形，找著隱含條件是十分重要的．三．解答題（共9小題）16．（2022秋?平谷區(qū)期末）如圖，點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，OA＝OB，求證：AP＝BP．【分析】證明△AOP≌△BOP（SAS），即可解決問(wèn)題．【解答】證明：∵點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，∴∠AOP＝∠BOP，在△AOP和△BOP中，，∴△AOP≌△BOP（SAS），∴AP＝BP．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線定義，得到△AOP≌△BOP解題的關(guān)鍵．17．（2022秋?順義區(qū)期末）已知：如圖，AB＝DE，BC＝EF，AD＝CF．求證：∠B＝∠E．【分析】根據(jù)SSS即可判斷△ABC≌△DEF，再利用全等三角形的性質(zhì)證明即可．【解答】證明：∵AD＝CF，∴AC＝DF，在△ABC與△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠B＝∠E．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法．18．（2022秋?門(mén)頭溝區(qū)期末）已知：如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在一條直線上，AB＝DE，AB∥DE，BF＝EC．求證：△ABC≌△DEF．【分析】根據(jù)BF＝EC，可以得到BC＝EF，再根據(jù)AB∥DE，可以得到∠B＝∠E，然后根據(jù)SAS，即可證明△ABC≌△DEF．【解答】證明：∵BF＝EC，∴BF+FC＝EC+FC，∴BC＝EF，∵AB∥DE，∴∠B＝∠E，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確全等三角形的判定方法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．19．（2022秋?西城區(qū)期末）如圖，A，D兩點(diǎn)在BC所在直線同側(cè)，AB⊥AC，BD⊥CD，垂足分別為A，D．AC，BD的交點(diǎn)為E，AB＝DC．求證：BE＝CE．【分析】由AB⊥AC，BD⊥CD，得∠A＝∠D＝90°，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“AAS”證明△ABE≌△DCE，則BE＝CE．【解答】證明：∵AB⊥AC，BD⊥CD，∴∠A＝∠D＝90°，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（AAS），∴BE＝CE．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)，正確地找到全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角并且證明△ABE≌△DCE是解題的關(guān)鍵．20．（2022秋?密云區(qū)期末）已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB邊的垂直平分線分別交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E．（1）求證：DE＝DC；（2）連接EC，若AB＝6，求△EBC的周長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC＝60°，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD＝DB，求出∠A＝∠ABD＝30°，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE＝DC；（2）判定△EBC是等邊三角形，即可求出周長(zhǎng)．【解答】（1）證明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵DE是AB邊的垂直平分線，∴AD＝DB，∴∠A＝∠ABD＝30°，∴∠CBD＝60°﹣30°＝30°∴BD平分∠ABC，∵DE⊥AB，AC⊥BC，∴DE＝DC；（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6，∴，∵DE是AB邊的垂直平分線，∴，∴BC＝BE，∵∠ABC＝60°，∴△EBC是等邊三角形，∴△EBC的周長(zhǎng)為9．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵．21．（2022秋?門(mén)頭溝區(qū)期末）如圖，點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，PC⊥OA于點(diǎn)C，∠AOB＝30°，點(diǎn)D在邊OB上，且OD＝DP＝2．求線段CP的長(zhǎng)．【分析】過(guò)P作PE⊥OB于E，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出PC＝PE，求出DP∥OA，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠PDE＝∠AOB＝30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出PE即可．【解答】解：過(guò)P作PE⊥OB于E，∵點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，PC⊥OA，∴PC＝PE，∠AOP＝∠BOP，∵OD＝DP，∴∠BOP＝∠DPO，∴∠AOP＝∠DPO，∴PD∥OA，∴∠PDE＝∠AOB，∵∠AOB＝30°，∴∠PDE＝30°，∵∠PEO＝90°，DP＝2，∴PE＝DP＝1，∴PC＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能求出∠PDE＝30°是解此題的關(guān)鍵．22．（2022秋?東城區(qū)期末）如圖，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．求證：BC＝DE．【分析】先求出∠BAC＝∠DAE，再利用“邊角邊”證明△ABC和△ADE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可．【解答】證明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴BC＝DE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．23．（2022秋?順義區(qū)期末）數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們興致勃勃地探討著利用不同畫(huà)圖工具畫(huà)角的平分線的方法．小惠說(shuō)：如圖，我用兩把完全相同的直尺可以作出角的平分線．畫(huà)法如下：（1）第一把直尺按圖1所示放置，使一條邊和射線OB對(duì)齊；（2）第二把直尺按圖2所示放置，使一條邊和射線OA對(duì)齊；（3）如圖3，兩把直尺的另一條邊相交于點(diǎn)P，作射線OP．射線OP是∠AOB的平分線．小旭說(shuō)：我用兩個(gè)直角三角板可以畫(huà)角的平分線．小宇說(shuō)：只用一把刻度尺就可以畫(huà)角的平分線．…請(qǐng)你也參與探討，解決以下問(wèn)題：（1）小惠的做法正確嗎？如果正確，請(qǐng)說(shuō)明依據(jù)，如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）請(qǐng)你參考小旭或小宇的思路，或根據(jù)自己的思路，畫(huà)出圖4中∠CDE的平分線，并簡(jiǎn)述畫(huà)圖的過(guò)程．【分析】（1）利用角平分線定理的逆定理可判定小明作圖正確，然后利用全等三角形的性質(zhì)可畫(huà)出∠AOB的平分線；（2）用兩個(gè)直角三角板畫(huà)角的平分線即可．【解答】解：（1）小惠的做法正確，理由如下：如圖3，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥OB于H，∵PG⊥OA，PG＝PH，∴OP平分∠AOB，（2）如圖4，借用兩把完全相同的直角三角板就可以作出一個(gè)角的平分線，作法如圖4：先在邊DC，DE上分別量取DM＝DN，然后如圖移動(dòng)放置兩塊三角板，使兩塊三角板的直角頂點(diǎn)分別與M、N重合，兩塊三角板的一條直角邊分別與DC、DEB邊重合，另一直角邊相交于角的內(nèi)部一點(diǎn)G．過(guò)點(diǎn)G作射線DG即可．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線定義和全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和動(dòng)手操作能力，題目比較好，難度適中．24．（2022秋?西城區(qū)期末）在△ABC中，AB＝AC（AB＜BC），在BC上截取BD＝AB，連接AD．在△ABC的外部作∠ABE＝∠DAC，且BE交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）作圖與探究：①小明畫(huà)出圖1并猜想AE＝AC．同學(xué)小亮說(shuō)“要讓你這個(gè)結(jié)論成立，需要增加條件：∠ABC＝36°．”請(qǐng)寫(xiě)出小亮所說(shuō)的條件；②小明重新畫(huà)出圖2并猜想△A