高中數學 第3章 三角恒等變形基礎知識檢測 北師大版必修4

【成才之路】-學年高中數學第3章三角恒等變形基礎知識檢測北師大版必修4本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分．考試時間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題共50分)一、選擇題(本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．已知α為第二象限角，sinα＝eq\f(3,5)，則sin2α＝()A．－eq\f(24,25) B．－eq\f(12,25)C．eq\f(12,25) D．eq\f(24,25)[答案]A[解析]此題是給值求值題，考查基本關系式、二倍角公式．∵sinα＝eq\f(3,5)，α∈(eq\f(π,2)，π)，∴cosα＝－eq\r(1－\f(3,5)2)＝－eq\f(4,5)，∴sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\f(3,5)×(－eq\f(4,5))＝－eq\f(24,25).2．coseq\f(π,12)coseq\f(7π,12)的值是()A．eq\f(1,4) B．－eq\f(1,4)C．eq\f(\r(3),4) D．－eq\f(\r(3),4)[答案]B[解析]coseq\f(π,12)coseq\f(7π,12)＝coseq\f(π,12)cos(π－eq\f(5π,12))＝－coseq\f(π,12)coseq\f(5π,12)＝－coseq\f(π,12)sineq\f(π,12)＝－eq\f(1,2)sineq\f(π,6)＝－eq\f(1,4).3．若α，β∈(0，eq\f(π,2))，且tanα＝eq\f(4,3)，tanβ＝eq\f(1,7)，則α－β的值為()A．eq\f(π,3) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,6) D．eq\f(π,8)[答案]B[解析]tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(\f(4,3)－\f(1,7),1＋\f(4,3)×\f(1,7))＝1.又0<α<eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)<－β<0，∴－eq\f(π,2)<α－β<eq\f(π,2).∴α－β＝eq\f(π,4).4．函數y＝cos2(x－eq\f(π,4))－cos2(x＋eq\f(π,4))的值域是()A．[－1,0] B．[0,1]C．[－1,1] D．[－eq\f(1,2)，1][答案]C[解析]y＝cos2(x－eq\f(π,4))－cos2(x＋eq\f(π,4))＝cos2(x－eq\f(π,4))－sin2[eq\f(π,2)－(x＋eq\f(π,4))]＝cos2(x－eq\f(π,4))－sin2(x－eq\f(π,4))＝cos2(x－eq\f(π,4))＝cos(2x－eq\f(π,2))＝cos(eq\f(π,2)－2x)＝sin2x，∴函數的值域為[－1,1]．5．若3sinx－eq\r(3)cosx＝2eq\r(3)sin(x－φ)，φ∈(－π，π)，則φ＝()A．－eq\f(π,6) B．eq\f(π,6)C．eq\f(5π,6) D．－eq\f(5π,6)[答案]B[解析]3sinx－eq\r(3)cosx＝2eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinx－\f(1,2)cosx))＝2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，又φ∈(－π，π)，∴φ＝eq\f(π,6).6．2eq\r(1－sin80°)－eq\r(2＋2cos80°)等于()A．－2sin40° B．2cos40°C．4cos40°－2sin40° D．2sin40°－4cos40°[答案]A[解析]原式＝2|cos40°－sin40°|－2|cos40°|＝－2sin40°.7．設向量a＝(1，cosθ)與b＝(－1,2cosθ)垂直，則cos2θ等于()A．eq\f(\r(2),2) B．eq\f(1,2)C．0 D．－1[答案]C[解析]本題考查了平面向量的垂直關系及余弦的二倍角公式．由a⊥b得，－1＋2cos2θ＝cos2θ＝0.向量的共線與垂直是兩向量位置關系中最重要的，一定區(qū)分開它們的異同．8．(·浙江理，4)為了得到函數y＝sin3x＋cos3x的圖像，可以將函數y＝eq\r(2)cos3x的圖像()A．向右平移eq\f(π,4)個單位 B．向左平移eq\f(π,4)個單位C．向右平移eq\f(π,12)個單位 D．向左平移eq\f(π,12)個單位[答案]C[解析]本題考查三角函數圖像變換．y＝sin3x＋cos3x＝eq\r(2)sin(3x＋eq\f(π,4))＝eq\r(2)cos(3x－eq\f(π,4))只需將y＝eq\r(2)cos3x向右平移eq\f(π,12)個單位，選C.9．已知tan(α＋β)＝eq\f(2,5)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(3,22)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝()A．eq\f(1,5) B．eq\f(1,4)C．eq\f(13,18) D．eq\f(13,22)[答案]B[解析]taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))))＝eq\f(tanα＋β－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))),1＋tanα＋βtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝eq\f(\f(2,5)－\f(3,22),1＋\f(2,5)×\f(3,22))＝eq\f(1,4).10．已知f(x)＝cosx·cos2x·cos4x，若f(α)＝eq\f(1,8)，則角α不可能等于()A．eq\f(π,9) B．eq\f(2π,9)C．eq\f(2π,7) D．eq\f(4π,7)[答案]B[解析]f(x)＝cosx·cos2x·cos4x＝eq\f(8sinx·cosx·cos2x·cos4x,8sinx)＝eq\f(sin8x,8sinx)，由f(α)＝eq\f(1,8)，可得sin8α＝sinα，經驗證，α＝eq\f(2π,9)時，上式不成立．第Ⅱ卷(非選擇題共100分)二、填空題(本大題共5個小題，每小題5分，共25分，把答案填在題中橫線上)11．taneq\f(π,8)的值為________．[答案]eq\r(2)－1[解析]taneq\f(π,8)＝eq\f(1－cos\f(π,4),sin\f(π,4))＝eq\f(1－\f(\r(2),2),\f(\r(2),2))＝eq\r(2)－1.12．函數f(x)＝sin2(2x－eq\f(π,4))的最小正周期是________．[答案]eq\f(π,2)[解析]本題考查了倍角公式及三角函數的性質．f(x)＝sin2(2x－eq\f(π,4))＝eq\f(1－cos4x－\f(π,2),2)＝－eq\f(1,2)sin4x＋eq\f(1,2)，∴T＝eq\f(2π,4)＝eq\f(π,2).13．已知向量a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，則|a－b|的最大值為__________．[答案]eq\r(2)[解析]解法一：∵a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，∴a－b＝(1，sinθ)－(1，cosθ)＝(0，sinθ－cosθ)，∴|a－b|＝eq\r(sinθ－cosθ2)＝eq\r(1－sin2θ.)∴當sin2θ＝－1時，|a－b|max＝eq\r(2).解法二：|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·＝1＋sin2θ＋1＋cos2θ－2(1＋sinθcosθ)＝1－sin2θ，∴|a－b|eq\o\al(2,max)＝2，∴|a－b|max＝eq\r(2).14．若α，β∈(0，eq\f(π,2))，cos(α－eq\f(β,2))＝eq\f(\r(3),2)，sin(eq\f(α,2)－β)＝－eq\f(1,2)，則cos(α＋β)的值等于________．[答案]－eq\f(1,2)[解析]∵α，β∈(0，eq\f(π,2))，cos(α－eq\f(β,2))＝eq\f(\r(3),2)，sin(eq\f(α,2)－β)＝－eq\f(1,2)，∴α－eq\f(β,2)＝±eq\f(π,6)，eq\f(α,2)－β＝－eq\f(π,6).∴2α－β＝±eq\f(π,3)，α－2β＝－eq\f(π,3).α＋β＝(2α－β)－(α－2β)＝0或eq\f(2π,3)(0舍去)．∴cos(α＋β)＝－eq\f(1,2).15．觀察下列恒等式：∵eq\f(tan2α－1,tanα)＝－eq\f(21－tan2α,2tanα)，∴tanα－eq\f(1,tanα)＝－eq\f(2,tan2α). ①∴tan2α－eq\f(1,tan2α)＝－eq\f(2,tan4α). ②∴tan4α－eq\f(1,tan4α)＝－eq\f(2,tan8α). ③由此可知：taneq\f(π,32)＋2taneq\f(π,16)＋4taneq\f(π,8)－eq\f(1,tan\f(π,32))＝______.[答案]－8[解析]taneq\f(π,32)＋2taneq\f(π,16)＋4taneq\f(π,8)－eq\f(1,tan\f(π,32))＝4taneq\f(π,8)＋2taneq\f(π,16)＋(taneq\f(π,32)－eq\f(1,tan\f(π,32)))＝4taneq\f(π,8)＋2taneq\f(π,16)－eq\f(2,tan\f(π,16))＝4taneq\f(π,8)－eq\f(4,tan\f(π,8))＝－eq\f(8,tan\f(π,4))＝－8.三、解答題(本大題共6個小題，滿分75分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)16．(本小題滿分12分)求函數f(x)＝eq\f(sin4x＋cos4x＋sin2xcos2x,2－sin2x)的最小正周期、最大值和最小值．[解析]∵f(x)＝eq\f(sin2x＋cos2x2－sin2xcos2x,2－2sinxcosx)＝eq\f(1－sin2xcos2x,21－sinxcosx)＝eq\f(1,2)(1＋sinxcosx)＝eq\f(1,4)sin2x＋eq\f(1,2)，∴T＝π，最大值為eq\f(3,4)，最小值為eq\f(1,4).17．(本小題滿分12分)已知sineq\f(x,2)－2coseq\f(x,2)＝0.(1)求tanx的值；(2)求eq\f(cos2x,\r(2)cos\f(π,4)＋xsinx)的值．[解析](1)由sineq\f(x,2)－2coseq\f(x,2)＝0，得taneq\f(x,2)＝2，∴tanx＝eq\f(2tan\f(x,2),1－tan2\f(x,2))＝eq\f(2×2,1－22)＝－eq\f(4,3).(2)原式＝eq\f(cos2x－sin2x,\r(2)\f(\r(2),2)cosx－\f(\r(2),2)sinxsinx)＝eq\f(cosx－sinxcosx＋sinx,cosx－sinxsinx)＝eq\f(cosx＋sinx,sinx)＝eq\f(1,tanx)＋1＝(－eq\f(3,4))＋1＝eq\f(1,4).18．(本小題滿分12分)已知函數f(x)＝cos2eq\f(x,2)－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)－eq\f(1,2).(1)求函數f(x)的最小正周期和值域；(2)若f(α)＝eq\f(3\r(2),10)，求sin2α的值．[解析](1)由已知，f(x)＝cos2eq\f(x,2)－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(1＋cosx)－eq\f(1,2)sinx－eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),2)cos(x＋eq\f(π,4))．所以最小正周期T＝2π，值域為[－eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(2),2)]．(2)由(1)知，f(α)＝eq\f(\r(2),2)cos(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(3\r(2),10)，所以cos(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(3,5).所以sin2α＝－cos(eq\f(π,2)＋2α)＝－cos2(α＋eq\f(π,4))＝1－2cos2(α＋eq\f(π,4))＝1－eq\f(18,25)＝eq\f(7,25).19．(本小題滿分12分)(·煙臺高三上學期期末)已知sin(A＋eq\f(π,4))＝eq\f(7\r(2),10)，A∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))．(1)求cosA的值；(2)求函數f(x)＝cos2x＋eq\f(5,2)sinAsinx的值域．[解析](1)因為eq\f(π,4)<A<eq\f(π,2)，且sin(A＋eq\f(π,4))＝eq\f(7\r(2),10)，所以eq\f(π,2)<A＋eq\f(π,4)<eq\f(3π,4)，cos(A＋eq\f(π,4))＝－eq\f(\r(2),10).因為cosA＝cos[(A＋eq\f(π,4))－eq\f(π,4)]＝cos(A＋eq\f(π,4))coseq\f(π,4)＋sin(A＋eq\f(π,4))sineq\f(π,4)＝－eq\f(\r(2),10)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(7\r(2),10)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3,5)，所以cosA＝eq\f(3,5).(2)由(1)可得sinA＝eq\f(4,5).所以f(x)＝cos2x＋eq\f(5,2)sinAsinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－2(sinx－eq\f(1,2))2＋eq\f(3,2).因為sinx∈[－1,1]，所以當sinx＝eq\f(1,2)時，f(x)取最大值eq\f(3,2)；當sinx＝－1時，f(x)取最小值－3.所以函數f(x)的值域為[－3，eq\f(3,2)]．20．(本小題滿分13分)(·四川理，16)已知函數f(x)＝sin(3x＋eq\f(π,4))．(1)求f(x)的單調遞增區(qū)間；(2)若α是第二象限角，f(eq\f(α,3))＝eq\f(4,5)cos(α＋eq\f(π,4))cos2α，求cosα－sinα的值．[解析](1)因為函數y＝sinx的單調遞增區(qū)間為[－eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(π,2)＋2kπ]，k∈Z，由－eq\f(π,2)＋2kπ≤3x＋eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq\f(π,4)＋eq\f(2kπ,3)≤x≤eq\f(π,12)＋eq\f(2kπ,3)，k∈Z.所以，函數f(x)的單調遞增區(qū)間為[－eq\f(π,4)＋eq\f(2kπ,3)，eq\f(π,12)＋eq\f(2kπ,3)]，k∈Z.(2)由已知，有sin(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(4,5)cos(α＋eq\f(π,4))(cos2α－sin2α)，所以sinαcoseq\f(π,4)＋cosαsineq\f(π,4)＝eq\f(4,5)(cosαcoseq\f(π,4)－sinαsineq\f(π,4))(cos2α－sin2α)，即sinα＋cosα＝eq\f(4,5)(cosα－sinα)2(sinα＋cosα)．當sinα＋cosα＝0時，由α是第二象限角，知α＝eq\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z.此時，cosα－sinα＝－eq\r(2).當sinα＋cosα≠0時，有(cosα－sinα)2＝eq\f(5,4).由α是第二象限角，知cosα－sinα<0，此時