高中數(shù)學(xué) 第一章立體幾何初步綜合測(cè)試A 新人教B版必修2

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步綜合測(cè)試A新人教B版必修2時(shí)間120分鐘，滿分150分。一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的)1．(·廣西南寧高一期末測(cè)試)用符號(hào)表示“點(diǎn)A在直線l上，l在平面α外”正確的是()A．A∈l，l?α B．A∈l，l?αC．A?l，l?α D．A?l，l?α[答案]A[解析]點(diǎn)在直線上用“∈”表示，直線在平面外用“?”表示，故選A.2．(·河北邢臺(tái)一中高一月考)若直線l不平行于平面α，且l?α，則()A．平面α內(nèi)所有直線與l異面B．平面α內(nèi)存在惟一的直線與l平行C．平面α內(nèi)不存在與l平行的直線D．平面α內(nèi)的直線都與l相交[答案]C[解析]∵直線l不平行于平面α，且l?α，∴l(xiāng)與平面α相交，故平面α內(nèi)不存在與l平行的直線．3．一長(zhǎng)方體木料，沿圖①所示平面EFGH截長(zhǎng)方體，若AB⊥CD那么圖②四個(gè)圖形中是截面的是()[答案]A[解析]因?yàn)锳B、MN兩條交線所在平面(側(cè)面)互相平行，故AB、MN無(wú)公共點(diǎn)，又AB、MN在平面EFGH內(nèi)，故AB∥MN，同理易知AN∥BM.又AB⊥CD，∴截面必為矩形．4．(·湖南永州市東安天成實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一月考)正方體ABCD－A1B1C1D1的體對(duì)角線AC1的長(zhǎng)為3cmA．4cm3 B．8cm3C.eq\f(112,72)cm3 D．3eq\r(3)cm3[答案]D[解析]設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為acm，則3a2＝9，∴a＝eq\r(3).則正方體的體積V＝(eq\r(3))3＝3eq\r(3)(cm3)．5．(·山東菏澤高一期末測(cè)試)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()A．2π B．4πC．π D．8π[答案]C[解析]由三視圖可知，該幾何體是底面半徑為1，高為2的圓柱的一半，其體積V＝eq\f(1,2)×π×12×2＝π.6．將棱長(zhǎng)為1的正方體木塊切削成一個(gè)體積最大的球，則該球的體積為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(\r(2)π,3)C.eq\f(\r(3)π,2) D.eq\f(4π,3)[答案]A[解析]將棱長(zhǎng)為1的正方體木塊切削成一個(gè)體積最大的球，球的直徑應(yīng)等于正方體的棱長(zhǎng)，故球的半徑為R＝eq\f(1,2)，∴球的體積為V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×(eq\f(1,2))3＝eq\f(π,6).7．設(shè)α表示平面，a、b、l表示直線，給出下列命題，①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥l,b⊥l,a?α,b?α))?l⊥α；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a⊥b))?b⊥α；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,b?α,a⊥b))?a⊥α；④直線l與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線垂直，則l⊥α.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3[答案]A[解析]①錯(cuò)，缺a與b相交的條件；②錯(cuò)，在a∥α，a⊥b條件下，b?α，b∥α，b與α斜交，b⊥α都有可能；③錯(cuò)，只有當(dāng)b是平面α內(nèi)任意一條直線時(shí)，才能得出a⊥α，對(duì)于特定直線b?α，錯(cuò)誤；④錯(cuò)，l只要與α內(nèi)一條直線m垂直，則平面內(nèi)與m平行的所有直線就都與l垂直，又l垂直于平面內(nèi)的一條直線是得不出l⊥α的．8．若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是()[答案]B[解析](可用排除法)由正視圖可把A，C排除，而由左視圖把D排除，故選B.9．用平行于圓錐底面的平面截圓錐，所得截面面積與底面面積的比是13，這截面把圓錐母線分為兩段的比是()A．13 B．1(eq\r(3)－1)C．19D.eq\r(3)2[答案]B[解析]如圖由題意可知，⊙O1與⊙O2面積之比為13，∴半徑O1A1與OA之比為1eq\r(3)，∴eq\f(PA1,PA)＝eq\f(1,\r(3))，∴eq\f(PA1,AA1)＝eq\f(1,\r(3)－1).10．在正方體ABCD－A′B′C′D′中，過(guò)對(duì)角線BD′的一個(gè)平面交AA′于E、交CC′于F，則以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A．四邊形BFD′E一定是平行四邊形B．四邊形BFD′E有可能是正方形C．四邊形BFD′E有可能是菱形D．四邊形BFD′E在底面投影一定是正方形[答案]B[解析]平面BFD′E與相互平行的平面BCC′B′及ADD′A′的交線BF∥D′E，同理BE∥D′F，故A正確．特別當(dāng)E、F分別為棱AA′、CC′中點(diǎn)時(shí)，BE＝ED′＝BF＝FD′，則四邊形為菱形，其在底面ABCD內(nèi)的投影為正方形ABCD，∴選B.11．如圖所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ABC中，∠A＝90°，且BC1⊥AC，過(guò)C1作C1H⊥底面ABC，垂足為H，則點(diǎn)HA．直線AC上 B．直線AB上C．直線BC上 D．△ABC內(nèi)部[答案]B[解析]eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AC⊥AB,AC⊥BC1,AB∩BC1＝B))?AC⊥平面ABC1)),,,AC?平面ABC))?平面ABC1⊥平面ABC，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(平面ABC1∩平面ABC＝AB,C1H⊥平面ABC))?H在AB上．12．如圖1，在透明密封的長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1容器內(nèi)已灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊BC①有水的部分始終呈棱柱形；②水面四邊形EFGH的面積不會(huì)改變；③棱A1D1始終與水面EFGH平行；④當(dāng)點(diǎn)E、F分別在棱BA、BB1上移動(dòng)時(shí)(如圖2)，BE·BF是定值．其中正確命題的序號(hào)是()A．①②③ B．①③④C．③④ D．①②[答案]B[解析]由于BC固定于水平地面上，∴由左右兩個(gè)側(cè)面BEF∥CGH，可知①正確；又∵A1D1∥BC∥FG∥EH，∴③正確；水的總量保持不變，總體積V＝eq\f(1,2)BE·BF·BC，∵BC一定，∴BE·BF為定值，故④正確；水面四邊形隨著傾斜程度不同，面積隨時(shí)發(fā)生變化，∴②錯(cuò)．二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上)13．用斜二測(cè)畫(huà)法，畫(huà)得正方形的直觀圖面積為18eq\r(2)，則原正方形的面積為_(kāi)_______．[答案]72[解析]由S直＝eq\f(\r(2),4)S原，得S原＝2eq\r(2)S直＝2eq\r(2)×18eq\r(2)＝72.14．如圖，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑相等，這時(shí)圓柱、圓錐、球的體積之比為_(kāi)_______．[答案]312[解析]設(shè)球半徑為a，則圓柱、圓錐、球的體積分別為：πa2·2a，eq\f(1,3)πa2·2a，eq\f(4,3)πa3.所以體積之比2πa3eq\f(2,3)πa3eq\f(4,3)πa3＝2eq\f(2,3)eq\f(4,3)＝312.15．考察下列三個(gè)命題，在“________”處都缺少同一個(gè)條件，補(bǔ)上這個(gè)條件其構(gòu)成真命題(其中l(wèi)、m為不同直線，α、β為不重合平面)，則此條件為_(kāi)_______．①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m?α,l∥m,))?l∥α；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥m,m∥α,))?l∥α；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥β,α⊥β,))?l∥α.[答案]l?α[解析]①體現(xiàn)的是線面平行的判定定理，缺的條件是“l(fā)為平面α外的直線”，即“l(fā)?α”．它同樣適合②③，故填l?α.16．一塊正方形薄鐵片的邊長(zhǎng)為4cm，以它的一個(gè)頂點(diǎn)為圓心，一邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，沿弧剪下一個(gè)扇形(如圖)，用這塊扇形鐵片圍成一個(gè)圓錐筒，則這個(gè)圓錐筒的容積等于________cm3.[答案]eq\f(\r(15),3)π[解析]據(jù)已知可得圓錐的母線長(zhǎng)為4，設(shè)底面半徑為r，則2πr＝eq\f(π,2)·4?r＝1(cm)，故圓錐的高為h＝eq\r(42－1)＝eq\r(15)(cm)，故其體積V＝eq\f(1,3)π·12eq\r(15)＝eq\f(\r(15)π,3)(cm3)．三、解答題(本大題共6個(gè)大題，共74分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)17．(本題滿分12分)圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍，軸截面的面積等于392cm2，母線與軸的夾角是45°，求這個(gè)圓臺(tái)的高、母線長(zhǎng)和兩底面半徑．[解析]圓臺(tái)軸截面如圖，設(shè)上、下底半徑分別為x和3x，截得圓臺(tái)的圓錐頂點(diǎn)為S，在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，∴SO＝AO＝3x，∴OO1＝2x，又軸截面積為S＝eq\f(1,2)(2x＋6x)·2x＝392，∴x＝7，∴高OO1＝14，母線長(zhǎng)l＝eq\r(2)OO1＝14eq\r(2)，∴圓臺(tái)高為14cm，母線長(zhǎng)為14eq\r(2)cm，兩底半徑分別為7cm18．(本題滿分12分)(·陜西漢中市南聯(lián)中學(xué)高一期末測(cè)試)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，E為棱CC1(1)求四棱錐E－ABCD的體積；(2)求證：B1D1⊥AE；(3)求證：AC∥平面B1DE.[解析](1)VE－ABCD＝eq\f(1,3)×1×2×2＝eq\f(4,3).(2)∵BD⊥AC，BD⊥CE，CE∩AC＝C，∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥AE1，又∵BD∥B1D1，∴B1D1⊥AE.(3)如圖，取BB1的中點(diǎn)F，連接AF、CF、EF.則EF綊AD，∴四邊形ADEF為平行四邊形，∴AF∥DE.又CF∥B1E，AF∩CF＝F，DE∩B1E＝E，∴平面AFC∥平面B1DE，∴AC∥平面B1DE.19．(本題滿分12分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于F.(1)證明PA∥平面EDB；(2)證明PB⊥平面EFD.[解析](1)如圖，設(shè)AC交BD于O，連接EO.∵底面ABCD是正方形，∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)．△PAC中，EO是中位線．∴PA∥EO，而EO?平面EDB，且PA?平面EDB.∴PA∥平面EDB.(2)∵PD⊥底面ABCD，且DC?底面ABCD，∴PD⊥DC.由PD＝DC知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜邊PC的中線，∴DE⊥PC①又由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC，而DE?面PDC，∴BC⊥DE②由①和②推得DE⊥平面PBC，而PB?平面PBC，∴DE⊥PB又EF⊥PB且DE∩EF＝F，所以PB⊥平面EFD.20．(本題滿分12分)如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是AA1、AC(1)求證：MN∥平面BCD1A1(2)求證：MN⊥C1D；(3)求VD－MNC1.[解析](1)連接A1C，在△AA1C中，M、N分別是AA1、∴MN∥A1C又∵M(jìn)N?平面BCA1D1且A1C?平面BCD1A∴MN∥平面BCD1A1(2)∵BC⊥平面CDD1C1，C1D?平面CDD1C∴BC⊥C1D.又在平面CDD1C1中，C1D⊥CD1，BC∩CD1＝C∴C1D⊥平面BCD1A1又∵A1C?平面BCD1A1，∴C1D⊥A又∵M(jìn)N∥A1C，∴MN⊥C1D(3)∵A1A⊥平面ABCD，∴A1A⊥又∵DN⊥AC，∴DN⊥平面ACC1A1∴DN⊥平面MNC1.∵DC＝2，∴DN＝CN＝eq\r(2)，∴NCeq\o\al(2,1)＝CCeq\o\al(2,1)＋CN2＝6，MN2＝MA2＋AN2＝1＋2＝3，MCeq\o\al(2,1)＝A1Ceq\o\al(2,1)＋MAeq\o\al(2,1)＝8＋1＝9，∴MCeq\o\al(2,1)＝MN2＋NCeq\o\al(2,1)，∴∠MNC1＝90°，∴S△MNC1＝eq\f(1,2)MN·NC1＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(6)＝eq\f(3\r(2),2)，∴VD－MNC1＝eq\f(1,3)·DN·S△MNC1＝eq\f(1,3)·eq\r(2)·eq\f(3\r(2),2)＝1.21．(本題滿分12分)(·山東文，18)如圖，四棱錐P－ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，E、F分別為線段AD、PC的中點(diǎn)．(1)求證：AP∥平面BEF；(2)求證：BE⊥平面PAC.[解析](1)證明：如圖所示，連接AC交BE于點(diǎn)O，連接OF.∵E為AD中點(diǎn)，BC＝eq\f(1,2)AD，AD∥BC，∴四邊形ABCE為平行四邊形．∴O為AC的中點(diǎn)，又F為PC中點(diǎn)，∴OF∥AP.又OF?面BEF，AP?面BEF，∴AP∥面BEF.(2)由(1)知四邊形ABCE為平行四邊形．又∵AB＝BC，∴四邊形ABCE為菱形．∴BE⊥AC.由題意知BC綊eq\f(1,2)AD＝ED，∴四邊形BCDE為平行四邊形．∴BE∥CD.又∵AP⊥平面PCD，∴AP⊥CD.∴AP⊥BE.又∵AP∩AC＝A，∴BE⊥面PAC.22．(本題滿分14分)(·廣東文，18)如圖1，四邊形ABCD為矩形，PD⊥平面AB