一次函數(shù)的綜合與新定義函數(shù)問(wèn)題壓軸題七種模型全攻略（老師版）

一次函數(shù)的綜合與新定義函數(shù)問(wèn)題壓軸題七種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一一次函數(shù)與三角形的面積問(wèn)題】 1【考點(diǎn)二一次函數(shù)與三角形全等問(wèn)題】 9【考點(diǎn)三一次函數(shù)與三角形存在問(wèn)題】 21【考點(diǎn)四一次函數(shù)中折疊問(wèn)題】 28【考點(diǎn)五一次函數(shù)——分段函數(shù)】 35【考點(diǎn)六絕對(duì)值的一次函數(shù)】 39【考點(diǎn)七新定義型一次函數(shù)】 44【典型例題】【考點(diǎn)一一次函數(shù)與三角形的面積問(wèn)題】例題：（23-24八年級(jí)下·北京西城·開(kāi)學(xué)考試）如圖，直線與軸交于點(diǎn)A，與直線交于點(diǎn)B，且直線與軸交于點(diǎn)C，求的面積．

【答案】的面積為4【分析】此題考查一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，兩個(gè)一次函數(shù)交點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，理解方程及方程組與一次函數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)函數(shù)解析式分別求出點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)，再根據(jù)的面積的面積的面積求出答案．【詳解】解：令中，得，解得：，∴，令中，得，∴，解方程組，得：，∴，過(guò)點(diǎn)B作軸，則，令中，得，解得：，∴，∴，,∴．

【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·安徽宿州·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，則的面積是．【答案】【分析】本題考查直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，三角形的面積公式；將，分別代入解析式求得點(diǎn)、的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形面積公式即可求解．【詳解】解：將代入解析式得：，∴點(diǎn)將代入解析式得：解得：∴點(diǎn)∴故答案為：．2．（23-24八年級(jí)上·貴州貴陽(yáng)·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于點(diǎn)，的圖象與軸，軸分別交于點(diǎn)，且兩個(gè)函數(shù)圖象相交于點(diǎn)．(1)填空：______；(2)求的面積；(3)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得的面積與四邊形的面積比為？若存在，諸求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)的面積為50(3)存在點(diǎn)M，且【分析】（1）本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是將代入一次函數(shù)與；（2）本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)的性質(zhì)，求出點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)；（3）本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出【詳解】（1）解：是一次函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)，，解得，，解得；（2）一次函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，一次函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，，，，的面積為；（3）的面積與四邊形的面積比為，，，，設(shè)，則，，，解得：，，存在點(diǎn)M，且．3．（23-24八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，且；（按下列題目要求，自行補(bǔ)出需要的圖形）

(1)求的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．連接，若的面積為s，求s與t之間的關(guān)系式（不用寫(xiě)出t的取值范圍）；(3)在（2）的條件下，過(guò)P作直線的垂線，垂足為D，直線與y軸交于點(diǎn)E，連接，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)?shù)拿娣e等于8時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)或【分析】本題主要考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、三角形全等、等腰三角形的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形、面積的計(jì)算等：（1）把變形為，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可，求解；（2）由，即可求解；（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段時(shí)，證明，得到為等腰直角三角形，即可求解；當(dāng)點(diǎn)P在延長(zhǎng)線時(shí)，同理可解．【詳解】（1）解：∵，∴，∴∴∴，，即；（2）解：∵點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，∴，∴，∴；（3）解：當(dāng)點(diǎn)P在線段時(shí)，如下圖，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)M，

則，則，即，∵，∴，∵，∴，∴，∴，而，則，則為等腰直角三角形，則，則點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)P在延長(zhǎng)線時(shí)，如下圖：

同理可得：，∴，∴，而，則，則為等腰直角三角形，則，則點(diǎn)；綜上，點(diǎn)F的坐標(biāo)為：或．4．（22-23八年級(jí)上·江蘇蘇州·期末）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)的直線與直線相交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在線段和射線上運(yùn)動(dòng)．(1)求直線的函數(shù)關(guān)系式；(2)求的面積；(3)是否存在點(diǎn)，使的面積與的面積相等？若存在求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)或或【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形的面積，根據(jù)三角形的面積推得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式即可；（2）根據(jù)三角形的面積公式即可求解；（3）根據(jù)待定系數(shù)法求直線的解析式，根據(jù)面積公式求得的橫坐標(biāo)，然后代入解析式即可求得的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：設(shè)直線的解析式是，根據(jù)題意得：，解得：，則直線的解析式是：．（2）解：令時(shí)，，∴，∴，∴的面積．（3）解：存在點(diǎn)，使的面積與的面積相等，理由如下：如圖：設(shè)的解析式是，根據(jù)題意，得：，解得：；則直線的解析式是：；∵點(diǎn)，∴，∴，∵的面積與的面積相等，∴到軸的距離點(diǎn)的縱坐標(biāo)，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或；當(dāng)?shù)臋M坐標(biāo)為時(shí)，在中，當(dāng)時(shí)，，即的坐標(biāo)是，在中，當(dāng)時(shí)，，則的坐標(biāo)是，則的坐標(biāo)為或．當(dāng)?shù)臋M坐標(biāo)為時(shí)，在中，當(dāng)時(shí)，，則的坐標(biāo)是，綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．【考點(diǎn)二一次函數(shù)與三角形全等問(wèn)題】例題：（22-23八年級(jí)下·北京平谷·期末）如圖，直線與x軸和y軸分別交與A，B兩點(diǎn)，射線于點(diǎn)A，若點(diǎn)C是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且以A，C，D為頂點(diǎn)的三角形與全等，則的長(zhǎng)為．【答案】6或【分析】根據(jù)一次函數(shù)解析式可求出A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出的兩條直角邊，并運(yùn)用勾股定理求出．根據(jù)已知可得，分別從或時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，或時(shí)，，分別求得的值，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵直線與x軸和y軸分別交與A、B兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，即，解得：，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴，∵，點(diǎn)C在射線上，∴，即，∵，∴．若以為頂點(diǎn)的三角形與全等，則或，即或，如圖1所示，當(dāng)時(shí)，，

∴；如圖2所示，當(dāng)時(shí)，，

∴．綜上所述，的長(zhǎng)為6或．故答案為：6或．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·廣東深圳·期中）如圖，直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，于點(diǎn)，點(diǎn)為直線上不與點(diǎn)、重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．在軸上存在（

）個(gè)點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與全等．

A．2 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】本題考查一次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，全等三角形的判定，根據(jù)題意，可知，要使以、、為頂點(diǎn)的三角形與全等，則，再根據(jù)，只需再確定一組對(duì)邊相等，即可得到兩個(gè)三角形全等，進(jìn)行討論即可．本號(hào)資料全部來(lái)源于微信公眾#號(hào)：數(shù)學(xué)【詳解】解：∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∵，為直線上不與點(diǎn)、重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴，，∴，∴，∵要使以、、為頂點(diǎn)的三角形與全等，則，又∵，∴分兩種情況進(jìn)行討論，①當(dāng)時(shí)，此時(shí)或，，如圖所示：

或

，②當(dāng)時(shí)，此時(shí)或，，如圖所示，

或

；綜上，共存在個(gè)點(diǎn)；故選B．2．（23-24八年級(jí)上·河南鄭州·期中）如圖，直線與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，射線于點(diǎn)A，若點(diǎn)P是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且以P，Q，A為頂點(diǎn)的三角形與全等，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【答案】或【分析】本題考查了一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理的應(yīng)用和全等三角形的性質(zhì)等知識(shí)，分類(lèi)討論，確定對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題關(guān)鍵．首先求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，則，，當(dāng)以P，Q，A為頂點(diǎn)的三角形與全等時(shí)，有以下兩種情況：①當(dāng)時(shí)，先證，當(dāng)，則，，則，據(jù)此可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作于D，由于，因此當(dāng)時(shí)，，由勾股定理求出，再由三角形的面積公式求出進(jìn)而再求出據(jù)此可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；【詳解】解：對(duì)于直線，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)，點(diǎn)，，，當(dāng)以P，Q，A為頂點(diǎn)的三角形與全等時(shí)，則以P，Q，A為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形因此有以下兩種情況：①當(dāng)時(shí)，如圖所示：，，，，，當(dāng)時(shí)，，，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：②當(dāng)時(shí)，如圖所示：過(guò)點(diǎn)P作于D，，當(dāng)時(shí)，，在中，由勾股定理得：，由三角形面積公式得，，在中，由勾股定理得：，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：綜上：點(diǎn)P的坐標(biāo)為：或故答案為：或3．（23-24八年級(jí)上·陜西西安·期末）如圖，直線與軸，軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

(1)的長(zhǎng)為_(kāi)____________，的長(zhǎng)為_(kāi)____________；(2)上是否存在一點(diǎn)，使得與全等？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在，點(diǎn)或【分析】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，運(yùn)用分類(lèi)討論思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．（1）先求出點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)，由勾股定理和面積法可求解；本*號(hào)資料全部來(lái)源于：數(shù)學(xué)（2）分兩種情況討論，先求出解析式，由全等三角形的性質(zhì)可求解；【詳解】（1）解：直線與軸、軸分別交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)，點(diǎn)，，∴，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，；故答案為：；（2）解：存在，理由如下：設(shè)直線的解析式為則：，解得：，直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，，點(diǎn)在第二象限，點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，點(diǎn)在第二象限，點(diǎn)，綜上所述：點(diǎn)坐標(biāo)為：或．4．（23-24八年級(jí)上·浙江紹興·期末）已知：如圖，平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象分別與x軸，y軸交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C的坐標(biāo)是．(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若直線上有一點(diǎn)P，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)直線上方是否存在一點(diǎn)M，使得M、B、C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與全等？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)或(3)點(diǎn)或【分析】本題主要考查待定系數(shù)法求解析式、兩點(diǎn)之間的距離和全等三角形的性質(zhì)，（1）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求出直線的函數(shù)表達(dá)式．（2）先求出點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合，利用幾何關(guān)系分別求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，即可求得點(diǎn)P；（3）分情況：當(dāng)，則點(diǎn)M即為點(diǎn)A；當(dāng)，求得過(guò)點(diǎn)A與直線平行的直線l的表達(dá)式，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)全等得性質(zhì)和兩點(diǎn)之間的距離即可求得a，進(jìn)一步求得點(diǎn)．【詳解】（1）解：一次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)B，∴當(dāng)時(shí)，，∴，又設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為：，把代入，解得：，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為：．（2）一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，∴當(dāng)時(shí)，，∴，設(shè)上有一點(diǎn)使得，如圖，，得，解得，則點(diǎn)；，得，解得，則點(diǎn)；綜上所述，點(diǎn)或．（3）①當(dāng)，則點(diǎn)M即為點(diǎn)A，此時(shí)點(diǎn)②當(dāng)，設(shè)過(guò)點(diǎn)A與直線平行的直線l∶，代入，解得l∶，設(shè)點(diǎn)，∵，，，∴，（舍去），則點(diǎn)，故點(diǎn)或．5．（23-24八年級(jí)上·廣東梅州·期中）如圖：直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，，點(diǎn)是直線上與、不重合的動(dòng)點(diǎn)．

(1)求直線的解析式；(2)作直線，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，的面積被直線分成的兩部分；(3)過(guò)點(diǎn)的另一直線與軸相交于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使與全等？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)直線的解析式為；(2)當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到或的位置時(shí)，的面積被直線分成1：2的兩部分(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．【分析】（1）由得，根據(jù)，得，利用待定系數(shù)法即得直線的解析式為；（2）可得的面積，當(dāng)時(shí)，，可得，，即得，當(dāng)時(shí)，同理可得；（3）在中，，，，分兩種情況①若，②若時(shí)，分別求解即可．【詳解】（1）解：在中，令得，，，，，，把代入得：，解得，直線的解析式為；（2）解：，，的面積，當(dāng)時(shí)，如圖：

此時(shí)，，即，，在中令，得，∴，當(dāng)時(shí)，如圖：

此時(shí)，，即，，在中令，得，∴，綜上所述，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到或的位置時(shí)，的面積被直線分成1：2的兩部分；（3）解：存在點(diǎn)，使與全等，在中，，，，①若，過(guò)作交軸于，過(guò)作于，如圖：

，，，，設(shè)，則，，，而，，解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，符合題意，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不符合題意，舍去，∴，同理可知，時(shí)，，，，，同理可得，②若時(shí)，如圖：

，，，在中，令得，，此時(shí)，，符合題意，，綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、三角形面積、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是分別畫(huà)出圖形，分類(lèi)討論，利用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題．【考點(diǎn)三一次函數(shù)與三角形存在問(wèn)題】例題：（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)，．點(diǎn)F是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），連接．設(shè)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為x．(1)求一次函數(shù)的解析式；(2)求的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；(3)當(dāng)?shù)拿娣e．①判斷此時(shí)線段與的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；②第四象限內(nèi)是否存在一點(diǎn)P，使是以為直角邊的等腰直角三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)；(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．【分析】（1）將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出k，b的值即可；（2）寫(xiě)出F點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式列函數(shù)關(guān)系式；（3）①根據(jù)三角形面積列方程求點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后利用勾股定理求得與的長(zhǎng)，從而求解；②根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)求解．【詳解】（1）解：將點(diǎn)，代入一次函數(shù)得：，解得：，∴一次函數(shù)的解析式為；（2）解：∵點(diǎn)F是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），設(shè)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為x，過(guò)點(diǎn)F作軸，∴F點(diǎn)坐標(biāo)為，∴的面積：，∴的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為；（3）解：①．理由如下：當(dāng)?shù)拿娣e時(shí)，，解得：，∴F點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∵，∴；②存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．過(guò)點(diǎn)F作軸交x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)M，分兩種情況：情況一：∵是等腰直角三角形，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴；情況二：∵是等腰直角三角形，同理，∴，，∴，∴，綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)解析式的確定和一次函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理，全等三角形的判斷和性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)．掌握相關(guān)性質(zhì)定理并利用分類(lèi)討論思想解題是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·廣東梅州·八年級(jí)豐順縣豐順中學(xué)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB：與軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)，.(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2)求原點(diǎn)O到直線的距離；(3)在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使得是直角三角形?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】(1)；(2)；(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】(1)令，即可求解；(2)首先可求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可求得的長(zhǎng)，再根據(jù)，設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，列方程即可求解；(3)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)題意可知不為直角，分兩種情況，利用勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：令，則，解得：，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）解：代入A、兩點(diǎn)可得：，，解得：，，故，，，，設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，則，解得：，故原點(diǎn)到直線的距離為；（3）解：存在，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)題意可知不為直角，所以當(dāng)是直角三角形分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；②當(dāng)，，故，解得：，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；綜上所述，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間距離公式，坐標(biāo)與圖形，求不規(guī)則圖形的面積，直角三角形的判定，解答的關(guān)鍵是采用分類(lèi)討論的思想．2．（2023秋·陜西西安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線：交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上．(1)求，的值；(2)已知是軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以，，為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．本號(hào)資料#全部來(lái)源于：數(shù)學(xué)【答案】(1)，(2)或【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）利用一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可求出直線的解析式及點(diǎn)，的坐標(biāo)，分及兩種情況考慮：①當(dāng)時(shí)，軸，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)可得出點(diǎn)的坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用勾股定理，可求出的值，進(jìn)而可得出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵直線：交軸于點(diǎn)，∴，解得：，∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)在直線上，∴，解得：，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，．（2）∵以，，為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，可分以下兩種情況考慮：①當(dāng)時(shí)，軸，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；②當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，，，∵，∴，解得：，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，兩點(diǎn)間距離，直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理．分及兩種情況求出點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四一次函數(shù)中折疊問(wèn)題】例題：（2023秋·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線：與直線：相交于點(diǎn)．與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)(1)填空：______，______，______；(2)如圖2．點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，將沿直線翻折得到，線段交軸于點(diǎn)．①求線段的長(zhǎng)度；②當(dāng)點(diǎn)落在軸上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；③若為直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)①；②點(diǎn)的坐標(biāo)為；③點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】（1）把代入，求出，得直線：，再把代入，求出，得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后把代入，求出；（2）①根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，勾股定理即可求解；②過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，求出，即可得出，②求出，可得，即可得答案；③分兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，求出，得，得，得點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，由勾股定理得：，求出，得點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）解：把代入，，，直線：，把代入，，把代入，，，；故答案為：．（2）①∵直線：令，解得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵∴，∵折疊，∴；②如下圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，則，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為；③如下圖，當(dāng)時(shí)，由翻折得，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為；如圖，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，在中由勾股定理得：，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)和判定，翻折的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線．【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東·平洲一中八年級(jí)期中）已知：直線y＝x+6與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)C在線段AO上．將△ABO沿BC折疊后，點(diǎn)O恰好落在AB邊上點(diǎn)D處，(1)求A點(diǎn)的坐標(biāo)和B點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求AB的長(zhǎng)？(3)求出OC的長(zhǎng)？【答案】(1)(-8，0)、(0，6)(2)10(3)3【分析】（1）分別令，即可得出點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)．（2）點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)已知，根據(jù)坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)距離公式即可解出．（3）根據(jù)已知條件可得出，設(shè)OC長(zhǎng)為x，列出等式解方程即可．(1)∵直線y＝x+6與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B∴分別令，解得：時(shí)時(shí)∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(-8，0)，點(diǎn)B坐標(biāo)為(0，6)．故答案為(-8，0)、(0，6)．(2)∵點(diǎn)A坐標(biāo)為(-8，0)，點(diǎn)B坐標(biāo)為(0，6)∴．(3)∵將△ABO沿BC折疊后，點(diǎn)O恰好落在AB邊上點(diǎn)D處∴∴∴∵點(diǎn)A坐標(biāo)為(-8，0)，點(diǎn)B坐標(biāo)為(0，6)∴，設(shè)OC的長(zhǎng)為x則，∵∴解得故OC長(zhǎng)為3．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)、折疊的性質(zhì)、三角形面積及坐標(biāo)系中兩點(diǎn)的距離公式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握上述知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線：與直線：交于點(diǎn)A，兩直線與x軸分別交于點(diǎn)和．(1)求直線和的表達(dá)式．(2)點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)如圖2，點(diǎn)D為線段上一動(dòng)點(diǎn)，將沿直線翻折得到，線段交x軸于點(diǎn)F，若為直角三角形，求點(diǎn)D坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)(3)或【分析】(1)把點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入相應(yīng)的函數(shù)解析式求解即可．(2)作點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，連接，交y軸于點(diǎn)P，點(diǎn)P即所求，設(shè)直線表達(dá)式為，確定解析式，并求出與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．(3)分兩種情況求解即可．【詳解】（1）將代入得，解得，故直線的解析式為；把代入，得，解得，故直線的解析式為．（2）作點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，連接，交y軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P滿足的值最小，∵，，∴，，∴，，設(shè)直線表達(dá)式為，∴，解得，∴直線表達(dá)式為，令，∴．（3）設(shè)點(diǎn)，如圖，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)G，∵，，沿直線翻折得到，∴，，，，∴，∴，，解得，故點(diǎn)；如圖，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)G，∵，，沿直線翻折得到，∴，，，，，∴，∴，∴，，，解得，故點(diǎn)；綜上所述，點(diǎn)或．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)解析式的確定，折疊的性質(zhì)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)定理，線段和的最小值，熟練掌握待定系數(shù)法，勾股定理，分類(lèi)思想是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)五一次函數(shù)——分段函數(shù)】例題：在一次函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫(huà)函數(shù)圖象，結(jié)合圖象研究函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程．小紅對(duì)函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了如下探究，請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真閱讀探究過(guò)程并解答：（1）請(qǐng)同學(xué)們把小紅所列表格補(bǔ)充完整，并在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出該函數(shù)的圖象：x…-10123456…y…

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2…（2）根據(jù)函數(shù)圖象，以下判斷該函數(shù)性質(zhì)的說(shuō)法，正確的有．①函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；②此函數(shù)無(wú)最小值；③當(dāng)x＜3時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x≥3時(shí)，y的值不變．（3）若直線y＝x+b與函數(shù)y＝的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，則b＝．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）②③；（3）【分析】（1）根據(jù)所給的函數(shù)解析式填表，然后描點(diǎn)連線即可得到答案；（2）根據(jù)函數(shù)圖像進(jìn)行逐一判斷即可；（3）根據(jù)函數(shù)圖像可知，只有當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，2）時(shí)，才滿足題意，由此求解即可．【詳解】解：（1）列表如下：x…-10123456…y…﹣2﹣1012222…函數(shù)圖像如下圖所示：（2）根據(jù)函數(shù)圖像可知，這個(gè)函數(shù)圖像不關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故①錯(cuò)誤；觀察函數(shù)圖像可知，此函數(shù)沒(méi)有最小值，故②正確；觀察圖像可知當(dāng)x＜3時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x≥3時(shí)，y的值不變，故③正確；故答案為：②③；（3）∵直線與函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，∴根據(jù)函數(shù)圖像可知，只有當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，2）時(shí)，才滿足題意，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【變式訓(xùn)練】1．我們學(xué)習(xí)了正比例函數(shù)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)后，進(jìn)一步研究函數(shù)y＝|x|的圖象與性質(zhì)．（1）我們知道，請(qǐng)利用以前所學(xué)知識(shí)在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出該函數(shù)圖象；（2）通過(guò)觀察圖象，寫(xiě)出該函數(shù)的一條性質(zhì)：；（3）利用學(xué)過(guò)的平移知識(shí)，說(shuō)說(shuō)函數(shù)y＝|x﹣4|＋1是怎樣由函數(shù)y＝|x|平移得來(lái)的？并利用（1）中給出的平面直角坐標(biāo)系畫(huà)出函數(shù)y＝|x﹣4|＋1圖象．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大；（答案不唯一）（3）由函數(shù)y＝|x|向右平移4個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得來(lái)的，見(jiàn)解析．【分析】（1）通過(guò)列表、描點(diǎn)、畫(huà)圖，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象：（2）根據(jù)圖象得出結(jié)論；（3）根據(jù)平移的性質(zhì)即可求得．【詳解】解：（1）列表：01233210123描點(diǎn)、連線畫(huà)出函數(shù)的圖象如圖：（2）由圖象可知，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大（答案不唯一），故答案為當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大（答案不唯一）；（3）函數(shù)是由函數(shù)向右平移4個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得來(lái)的，利用（1）中給出的平面直角坐標(biāo)系畫(huà)出函數(shù)圖象如圖所示．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形變換平移，能根據(jù)圖象得出正確信息是解此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)六絕對(duì)值的一次函數(shù)】例題：（2022·河南·長(zhǎng)葛市教學(xué)研究室八年級(jí)期末）小慧根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究．本號(hào)資料全部*來(lái)源于：數(shù)學(xué)x…－10123…y…b1012…下面是小慧的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完成：(1)函數(shù)的自變量x的取值范圍是______；(2)列表，找出y與x的幾組對(duì)應(yīng)值．其中，b＝_____；(3)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出以上表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，并畫(huà)出該函數(shù)的圖象；(4)函數(shù)的最小值為_(kāi)___________．(5)結(jié)合函數(shù)的圖象，寫(xiě)出該函數(shù)的其他性質(zhì)（一條即可）：_________________．【答案】(1)任意實(shí)數(shù)(2)2(3)見(jiàn)解析(4)0(5)x<1時(shí)，y隨x增大而減小；x>1時(shí)，y隨x增大而增大；圖象關(guān)于直線y=1對(duì)稱(chēng)（寫(xiě)一條即可）【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）把x=-1代入函數(shù)解析式，求出y的值即可；（3）在坐標(biāo)系內(nèi)描出各點(diǎn)，再順次連接即可；（4）根據(jù)函數(shù)圖象即可得出結(jié)論．（5）根據(jù)函數(shù)圖象解答即可．（1）∵x無(wú)論為何值，函數(shù)均有意義，∴x為任意實(shí)數(shù)．故答案為：任意實(shí)數(shù)；（2）∵當(dāng)x=-1時(shí)，y=|-1-1|=2，∴b=2．故答案為：2；（3）如圖，（4）由函數(shù)圖象可知，函數(shù)的最小值為0．故答案為：0．（5）x<1時(shí)，y隨x增大而減?。粁>1時(shí)，y隨x增大而增大；圖象關(guān)于直線y=1對(duì)稱(chēng)（寫(xiě)一條即可）．【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意畫(huà)出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·河南漯河·八年級(jí)期末）有這樣一個(gè)問(wèn)題：探究函數(shù)y＝|x＋1|的圖象與性質(zhì)．下面是小明的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：(1)函數(shù)y＝|x＋1|的自變量x的取值范圍是；(2)下表是x與y的幾組對(duì)應(yīng)值．x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10123…y…432m01234…m的值為；(3)在如圖網(wǎng)格中，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，描出表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，并畫(huà)出該函數(shù)的圖象；(4)小明根據(jù)畫(huà)出的函數(shù)圖象，寫(xiě)出此函數(shù)的兩條性質(zhì)．【答案】(1)任意實(shí)數(shù)(2)1(3)見(jiàn)解析(4)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題目中的函數(shù)解析式，可知x的取值范圍；（2）根據(jù)函數(shù)解析式可以得到m的值；（3）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可以畫(huà)出相應(yīng)的函數(shù)圖象；（4）根據(jù)函數(shù)圖象可以寫(xiě)出該函數(shù)的性質(zhì)．（1）解：在函數(shù)y=|x+1|中，自變量x的取值范圍是x為任意實(shí)數(shù)，故答案為：任意實(shí)數(shù)；（2）解：當(dāng)x=-2時(shí)，m=|-2+1|=1，故答案為：1；（3）解：描點(diǎn)、連線，畫(huà)出函數(shù)的圖象如圖：；（4）解：由函數(shù)圖象可知，①函數(shù)有最小值為0；②當(dāng)x＞-1時(shí)，y隨x的增大而增大；③圖象關(guān)于過(guò)點(diǎn)（-1，0）且垂直于x軸的直線對(duì)稱(chēng)．（任寫(xiě)兩條即可）【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，畫(huà)出相應(yīng)的函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．2．（2022·山西大同·八年級(jí)期末）某學(xué)習(xí)小組探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)．下面是該組同學(xué)的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：(1)函數(shù)中自變量的取值范圍是______．(2)下表是與的幾組對(duì)應(yīng)值．…－6－5－4－3－2－1012……4320134…填空：______，______．(3)在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，建立合適的平面直角坐標(biāo)系，描出以上表中各組對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，并畫(huà)出該函數(shù)的圖象．(4)根據(jù)所畫(huà)函數(shù)圖象，你能得出哪些合理的結(jié)論？（寫(xiě)出一條即可）【答案】(1)全體實(shí)數(shù)(2)1，2(3)見(jiàn)解析(4)函數(shù)有最小值為0或當(dāng)x>-1時(shí)，y隨x的增大而增大或圖象關(guān)于過(guò)點(diǎn)（-2，0）且垂直于x軸的直線對(duì)稱(chēng)．【分析】（1）根據(jù)題目中的函數(shù)解析式，可知x的取值范圍；（2）根據(jù)函數(shù)解析式可以得到m、n的值；（3）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可以畫(huà)出相應(yīng)的函數(shù)圖象；（4）根據(jù)函數(shù)圖象可以判斷該函數(shù)的性質(zhì)．(1)解∶根據(jù)題意得∶自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)；故答案為：全體實(shí)數(shù)(2)解：當(dāng)x=-3時(shí)，，當(dāng)x=0時(shí)，；故答案為：1，2(3)解：畫(huà)出該函數(shù)的圖象，如圖，(4)解：由函數(shù)圖象得：函數(shù)有最小值為0或當(dāng)x>-1時(shí)，y隨x的增大而增大或圖象關(guān)于過(guò)點(diǎn)（-2，0）且垂直于x軸的直線對(duì)稱(chēng)．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，畫(huà)出相應(yīng)的函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【考點(diǎn)七新定義型一次函數(shù)】例題：（2023上·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離之和等于的點(diǎn)，叫做該函數(shù)圖象的“n階和點(diǎn)”．例如，為一次函數(shù)的“3階和點(diǎn)”．(1)若點(diǎn)是y關(guān)于x的正比例函數(shù)的“n階和點(diǎn)”，則______，______；(2)若y