《工程流體力學(xué)》第6章 計(jì)算流體力學(xué)

工程流體力學(xué)

第六章計(jì)算流體力學(xué)§6-1概述一、數(shù)值模擬的步驟（1）首先，建立反映工程或物理問題本質(zhì)的數(shù)學(xué)模型，具體地就是要建立反映問題各個(gè)量之間的微分方程及相應(yīng)的定解條件，這是數(shù)值求解的出發(fā)點(diǎn)。（2）數(shù)學(xué)模型建立之后，則需要合適的數(shù)值求解方法。如有限差分法、有限元法、有限體積法等。計(jì)算方法不僅包括微分方程的離散化方法、求解方法，還包括坐標(biāo)的建立、邊界條件的處理等。（3）程序編制及運(yùn)行計(jì)算，包括計(jì)算網(wǎng)格劃分、初始條件和邊界條件的輸入、控制參數(shù)的設(shè)定等。（4）數(shù)據(jù)處理，大量的數(shù)據(jù)可以通過圖表形象地顯示出來，并進(jìn)行分析、判斷?！?-1概述二、數(shù)值求解方法流動數(shù)值計(jì)算方法主要有：有限差分法、有限元法、有限體積法、有限分析法和邊界元法等。（1）有限差分法是發(fā)展最早、目前應(yīng)用較廣的一種流動數(shù)值方法。該方法將求解域（如流場）劃分為差分網(wǎng)格，最簡單的是矩形網(wǎng)格。用有限個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)（即離散點(diǎn)）代替連續(xù)的求解域，然后將控制流動的微分方程的導(dǎo)數(shù)用差商代替，導(dǎo)出含有離散點(diǎn)上有限個(gè)未知數(shù)的差分方程組，求解差分方程組（即代數(shù)方程組），所得到的解即為該流動問題的數(shù)值近似解?！?-1概述二、數(shù)值求解方法流動數(shù)值計(jì)算方法主要有：有限差分法、有限元法、有限體積法、有限分析法和邊界元法等。（2）有限元法是將一個(gè)連續(xù)的求解域任意分成適當(dāng)形狀（三角形或四邊形）的若干單元，并于各單元分片構(gòu)造插值函數(shù)，然后根據(jù)極值原理（如伽遼金法），由流動問題的控制微分方程構(gòu)造積分方程，對各單元積分得到離散的單元有限元方程，把總體的極值作為各單元極值之和，即將局部單元總體合成，形成嵌入了指定邊界條件的代數(shù)方程組，求解該方程組就得到各節(jié)點(diǎn)上待求的函數(shù)值，從而求得該流動問題的數(shù)值解?！?-1概述二、數(shù)值求解方法流動數(shù)值計(jì)算方法主要有：有限差分法、有限元法、有限體積法、有限分析法和邊界元法等。（3）有限分析法是在有限元法基礎(chǔ)上的一種改進(jìn)，其基本思想是：離散單元上的解，不再用插值函數(shù)來表達(dá)，而是方程局部線性化后的解析解。首先，將待求問題的總體區(qū)域劃分為許多小的子區(qū)域，在這些子區(qū)域中求局部解析解；然后，從局部解析解導(dǎo)出一個(gè)代數(shù)方程，使子區(qū)域上的內(nèi)節(jié)點(diǎn)值與相鄰的節(jié)點(diǎn)值聯(lián)系起來；接著把所有的局部解析解匯集在一起，就得到所求問題的有限分析數(shù)值解?！?-1概述二、數(shù)值求解方法流動數(shù)值計(jì)算方法主要有：有限差分法、有限元法、有限體積法、有限分析法和邊界元法等。（4）有限體積法基本思路是：將計(jì)算區(qū)域劃分為一系列不重復(fù)的控制體積，并使每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)周圍有一個(gè)控制體積，即每個(gè)控制體積都有一個(gè)節(jié)點(diǎn)作為代表。將待解的微分方程對每一個(gè)控制體積進(jìn)行積分，得出一組離散方程。其中的未知數(shù)是網(wǎng)格點(diǎn)的因變量φ。為了求出控制體積的積分，必須假定φ值在網(wǎng)格點(diǎn)之間的變化規(guī)律，即設(shè)定其分段分布剖面?！?-1概述二、數(shù)值求解方法流動數(shù)值計(jì)算方法主要有：有限差分法、有限元法、有限體積法、有限分析法和邊界元法等。（5）邊界元法首先將控制微分方程化為邊界積分方程，再用有限元的基本思想與方法步驟（在求解域的邊界上劃分有限單元）來處理邊界積分方程。與有限差分法和有限元法（在邊界上滿足邊界條件，在域內(nèi)只是近似滿足控制微分方程）不同，邊界元法在域內(nèi)滿足微分方程，而在邊界上近似滿足邊界條件?！?-1概述三、CFD軟件為方便用戶使用CFD軟件處理不同類型的工程問題，一般的CFD商用軟件往往將復(fù)雜的CFD過程集成，通過一定的接口，讓用戶快速地輸入問題的有關(guān)參數(shù)。所有的商用CFD軟件均包括三個(gè)基本階段：前處理、求解和后處理，與之對應(yīng)的程序模塊簡稱前處理器、求解器和后處理器。自1981年以來，出現(xiàn)了如PHOENICS、CFX、STAR-CD、FIDIP、FLUENT等多個(gè)商用CFD軟件，隨著計(jì)算技術(shù)的快速發(fā)展，這些商用軟件在工程界正在發(fā)揮著越來越大的作用?！?-2流動模型為了能得到流體流動的基本方程，需要遵循以下過程：（1）從物理定律出發(fā)選擇合適的物理學(xué)基本原理：a.質(zhì)量守恒b.力=質(zhì)量×加速度（牛頓第二定律）c.能量守恒（2）將這些物理學(xué)原理應(yīng)用于適當(dāng)?shù)牧鲃幽Ｐ?。?）從這種應(yīng)用中導(dǎo)出體現(xiàn)這些物理學(xué)原理的數(shù)學(xué)方程式?！?-2流動模型這一節(jié)論述上面的第二條，就是定義合適的流動模型。目前，對于有連續(xù)性的流體，答案是構(gòu)造下面四種流動模型。（a）有限控制體模型（b）無窮小流體微團(tuán)模型§6-2流動模型一、連續(xù)性方程某控制體的空間位置固定，設(shè)一點(diǎn)的流動速度為v，表面微元的面積向量為dS。仍用dv表示有限控制體內(nèi)的一個(gè)體積微元。運(yùn)動的流體穿過任意固定表面的質(zhì)量流量=密度×表面面積×垂直于表面的速度分量。因此通過面積dS的質(zhì)量流量微元為：§6-2流動模型一、連續(xù)性方程通過控制面S流出整個(gè)控制體的質(zhì)量凈流量等于在S上對式表示的所有質(zhì)量流量微元求和。取極限，這個(gè)求和運(yùn)算成為一個(gè)面積分，即：因此控制體內(nèi)的總質(zhì)量為：則體積v內(nèi)質(zhì)量的總增加率為：§6-2流動模型一、連續(xù)性方程相反的，體積v內(nèi)質(zhì)量的減少率是上式的負(fù)數(shù)，即：因而有：上式是連續(xù)性方程的積分形式。它是基于空間位置固定的有限控制體推導(dǎo)出來的?？刂企w有限的體積就是方程具有積分形式的原因，這種形式稱為守恒形式。由空間位置固定的流動模型直接導(dǎo)出的控制方程就定義為守恒型方程?！?-2流動模型二、動量方程將牛頓第二定律應(yīng)用在右圖所示的運(yùn)動流體微團(tuán)，將作用在單位質(zhì)量流體微團(tuán)上的體積力記作f，其x方向分量為fx。流體微團(tuán)的體積為dxdydz，所以：作用在流體微團(tuán)上的體積力的x方向分量=ρfx(dxdydz)式(6-17)§6-2流動模型二、動量方程流體微團(tuán)的切應(yīng)力和正應(yīng)力與流體微團(tuán)變形的時(shí)間變化率相關(guān)聯(lián)，下圖給出了xy平面內(nèi)的情形。在大多數(shù)粘性流動中，正應(yīng)力要比切應(yīng)力小得多，很多情形下可以忽略。然而，當(dāng)法向速度梯度很大時(shí)（例如，在激波內(nèi)部），正應(yīng)力就變得重要了?！?-2流動模型二、動量方程對運(yùn)動的流體微團(tuán)，有：X方向總的力Fx，可以由式(6-17)和(6-18)相加得到，化簡得：式(6-18)運(yùn)動的流體微團(tuán)，其質(zhì)量是固定不變的，等于：式(6-19)式(6-20)§6-2流動模型二、動量方程另外，流體微團(tuán)的加速度為速度變化的時(shí)間變化率。因此，加速度的x方向分量，記作ax，等于u的時(shí)間變化率。即為：聯(lián)立式（6-16）、（6-19）與（6-21）可得：式(6-21)這就是粘性流x方向的動量方程。同理可求：式(6-22a)式(6-22b)式(6-22c)§6-2流動模型三、能量方程作用于速度為V的流體微團(tuán)上的體積力，功率為：x方向上壓力和切應(yīng)力對流體微團(tuán)做功的功率，就等于速度的x分量u乘以力，即uτxydxdy。所有x方向上表面力對運(yùn)動流體微團(tuán)做功的功率為：§6-2流動模型三、能量方程上式僅考慮了x方向上的表面力。再考慮y和z方向上的表面力，也能得到類似的表達(dá)式。加在一起，對流體微團(tuán)做功的功率是x、y和z方向上表面力貢獻(xiàn)的總和，記作C，即：式(6-24)§6-2流動模型三、能量方程定義為單位質(zhì)量的體積加熱率。在上圖中，運(yùn)動流體微團(tuán)的質(zhì)量為ρdxdydz，我們由此得到：經(jīng)過面bcgf輸運(yùn)到微團(tuán)外的熱量是再加上圖6-6中通過其他面在y和z方向上的熱的輸運(yùn)量，我們可以得到§6-3有限差分法一、概念有限差分法是用一組離散點(diǎn)上的數(shù)值來逼近微分方程連續(xù)函數(shù)精確解在該點(diǎn)的值。在這組離散值之間用差商來近似和代替導(dǎo)致，由此將微分方程近似地由一組代數(shù)方程表示，該代數(shù)方程稱為差分方程，求解這組差分方程得到離散值，這些值被認(rèn)為是微分方程的近似解。因此，有限差分法的第一步是對求解區(qū)域進(jìn)行離散，如求解熱傳導(dǎo)方程：要將求解區(qū)域劃分為右圖所示的平面求解區(qū)域內(nèi)的離散網(wǎng)格?！?-3有限差分法二、性質(zhì)差分方程可以由許多方法構(gòu)成，但最重要的是泰勒展開法，泰勒展開法常用來驗(yàn)證差分方程的精度。要注意的是需將差分方程中的所有離散值對同一點(diǎn)展開，因?yàn)槲⒎址匠袒虿罘址匠潭际菍δ骋稽c(diǎn)建立的。建立差分方程后，微分方程和差分方程之間以及差分方程本身要滿足三個(gè)條件才有可能使得從差分方程得到的解可作為微分方程的近似解，這三個(gè)條件就是差分方程要與微分方程相容、差分方程的解要收斂于微分方程的精度解、差分方程的計(jì)算要穩(wěn)定?！?-3有限差分法三、模型方程的差分格式模型方程是流體力學(xué)方程的細(xì)胞和基因，計(jì)算流體力學(xué)的研究都是從這些模型方程的格式研究開始的。滿足相容性條件的模型方程的差分格式有以下幾種。1.波動方程(1)迎風(fēng)格式(Upwind)(2)拉克斯(Lax)格式(3)隱式格式(4)拉克斯-文多夫(Lax-Wendroff)格式2.熱傳導(dǎo)方程3.無粘性伯格斯方程§6-4有限元法一、概念有限單元法以Galerkin法等微分方程近似解法為基礎(chǔ)，但它與經(jīng)典Galerkin法等解法有很大差別。經(jīng)典Galerkin法中構(gòu)成近似解的基函數(shù)定義在整個(gè)求解區(qū)域，并準(zhǔn)確滿足一定的邊界條件，所以只適用于具有比較規(guī)則幾何形狀的區(qū)域。而有限單元法在選用基函數(shù)時(shí)，不再選用整體函數(shù)，而是選用分塊多項(xiàng)式。它把整個(gè)區(qū)域分成若干子區(qū)域，在子區(qū)域上用線性無關(guān)的規(guī)格化的基數(shù)來分塊逼近，這些子區(qū)域稱作單元或元素?！?-4有限元法二、有限元法的解題步驟（1）區(qū)域剖分。（2）選取單元插值函數(shù)。（3）寫出Galerkin積分表達(dá)式。（4）單元分析。（5）總體合成。（6）邊界條件的處理。（7）解總體有限元方程?！?-5有限體積法一、有限體積法的網(wǎng)格有限體積法的區(qū)域離散過程是：把所計(jì)算的區(qū)域劃分成多個(gè)互不重疊的子區(qū)域，即計(jì)算網(wǎng)格，然后確定每個(gè)子區(qū)域中的節(jié)點(diǎn)位置及該節(jié)點(diǎn)所代表的控制體積。有限體積法的四個(gè)幾何要素為：（1）節(jié)點(diǎn)：是指需要求解的未知物理量的幾何位置。（2）控制體積：是指應(yīng)用控制方程或守恒定律的最小幾何單位。（3）界面：它規(guī)定了與各節(jié)點(diǎn)相對應(yīng)的控制體積的分界面位置。（4）網(wǎng)格線：是指聯(lián)結(jié)相鄰兩節(jié)點(diǎn)而形成的曲線族。§6-5有限體積法二、一維穩(wěn)態(tài)問題以一維穩(wěn)態(tài)問題為例，對其控制微分方程，說明采用有限體積法生成離散方程的方法和過程，并對離散方程的求解過程進(jìn)行總結(jié)：（1）問題的描述。（2）生成計(jì)算網(wǎng)格。（3）建立離散方程。（4）離散方程的求解?！?-5有限體積法三、有限體積元的幾條基本法則（1）控制體積交界面上的連續(xù)性原則當(dāng)一個(gè)表面為相鄰的兩個(gè)控制體積所共有時(shí)，在這兩個(gè)控制體積的離散方程中，通過該界面的通量（包括熱通量、質(zhì)量流量、動量流量）的表達(dá)式必須相同。顯然，對于某特定界面，從一個(gè)控制體積所流出的熱通量，必須等于進(jìn)入相鄰控制體積的熱通量，否則，總體平衡就得不到滿足。（2）正系數(shù)原則在任何輸運(yùn)過程中，物理量總是連續(xù)地變化的。計(jì)算域內(nèi)任一物理量升高時(shí)，必然引起鄰近節(jié)點(diǎn)相應(yīng)物理量的升高，而絕不能降低，否則連續(xù)性將被破壞。這一性質(zhì)反映在標(biāo)準(zhǔn)形式的離散方程中，所有變量的系數(shù)的正負(fù)號必須相同。不妨規(guī)定：離散方程的系數(shù)全為正值，稱為正系數(shù)原則?！?-5有限體積法三、有限體積元的幾條基本法則（3）源項(xiàng)線性化負(fù)斜率原則在大多數(shù)物理過程中，源項(xiàng)及應(yīng)變量之間存在負(fù)斜率關(guān)系。如果Sp為正值，物理過程可能不穩(wěn)定。如在熱傳導(dǎo)問題中，Sp為正，意味著Tp