模型28 勾股定理-垂美四邊形模型-原卷版

勾股定理模型（二十八）——垂美四邊形模型【概念】對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.【結(jié)論】如圖，四邊形ABCD的對角線AC⊥BD，則①AB2＋CD2＝AD2＋BC2.②S四ABCD＝12【證明】①∵AB2＝a2＋b22CD2＝c2＋d22∴AB2＋CD2＝a2＋b2＋c2＋d22∵BC2＝a2＋d22AD2＝b2＋c22∴BC2＋AD2＝a2＋b2＋c2＋d22∴AB2＋CD2＝AD2＋BC22.②S四ABCD＝12BD·a＋12BD·c＝121．（2022·山西忻州·八年級期末）（1）【知識感知】如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形，在我們學過的：①平行四邊形②矩形③菱形④正方形中，能稱為垂美四邊形是______（只填序號）（2）【概念理解】如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由．（3）【性質(zhì)探究】如圖1，垂美四邊形ABCD的兩對角線交于點O，試探究AB，CD，BC，AD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想__________________；（4）【性質(zhì)應(yīng)用】如圖3，分別以的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE已知AC＝8，AB＝10，求GE長．1．（2021·湖南永州·八年級期末）如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：在下列四邊形中，①正方形；②矩形；③菱形；④平行四邊形．是垂美四邊形的是：（填寫序號）；（2）性質(zhì)探究：如圖1，垂美四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，試猜想：兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）問題解決：如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知BC=6，AB=10，求GE長．2．（2021·江西贛州·八年級期末）如圖，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：如圖，在四邊形中，，，問四邊形是垂美四邊形嗎？請說明理由．（2）性質(zhì)探究：試探究垂美四邊形兩組對邊，與，之間的數(shù)量關(guān)系，寫出證明過程（先畫出圖形）（3）問題解決：如圖，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，，已知，，求的長．1．（2020·浙江寧波·八年級期末）定義：有一組鄰邊垂直且對角線相等的四邊形為垂等四邊形．（1）寫出一個已學的特殊平行四邊形中是垂等四邊形的是．（2）如圖1，在3×3方格紙中，A，B，C在格點上，請畫出兩個符合條件的不全等的垂等四邊形，使AC，BD是對角線，點D在格點上．（3）如圖2，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)，G分別在AD，AB，BC上，AE＝AF＝CG且∠DGC＝∠DEG，求證：四邊形DEFG是垂等四邊形．（4）如圖3，已知Rt△ABC，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝2，以AC為邊在AC的右上方作等腰三角形，使四邊形ABCD是垂等四邊形，請直接寫出四邊形ABCD的面積．2．（2020