模型35 圓-圓冪定理模型-原卷版

圓模型（三十五）——圓冪定理模型知識(shí)點(diǎn)一：相交弦定理◎結(jié)論1：如圖，⊙O中，弦AB、CD相交于點(diǎn)P，半徑為r,則①AP·BP＝CP·DP,②AP·BP＝CP·DP＝r2－OP2.①【證明】如上右圖∵∠A＝∠D，∠APC＝∠DPB∴△APC∽△DPB∴APDP＝即AP·BP＝CP·DP②OP與⊙O交于M.N兩點(diǎn)，r為⊙O的半徑，AP·BP＝CP·DP＝MP·NP＝（r＋OP）（r－OP）＝r2－OP2知識(shí)點(diǎn)二：切割線定理◎結(jié)論2：如圖，PBC是⊙O的一條割線，PA是⊙O的一條切線，切點(diǎn)為A，半徑為r,則①PA2＝PB·PC，②PA2＝PB·PC＝PO2－r2【證明】①連接AB,AC,連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于D，連接DB.∵PA為⊙O的切線∴∠DAP＝90°即∠1＋∠2＝90°∵AD是⊙O的直徑∴∠ABD＝90°∴∠2＋∠3＝90°∴∠1＝∠3∵∠3＝∠4∴∠1＝∠4∴△PAB∽△PCA∴PAPC＝即PA2＝PB.PC ②PA2＝PB·PC＝PM·PN＝（PO－r）（PO＋r）＝PO2－r2知識(shí)點(diǎn)三：割線定理◎結(jié)論3：如圖，PAB、PCD是⊙O的兩條割線，半徑為r,則①PA·PB＝PC·PD,②PA·PB＝PC·PD＝OP2－r2【證明】∵∠B＝∠D，∠BPC＝∠DPA∴△PBC∽△PDA∴PBPD＝PC∴PA·PB＝PC·PD＝PM·PN＝（PO－r）（PO＋r）＝PO2－r2eq\o\ac(○,巧)eq\o\ac(○,記)eq\o\ac(○,口)eq\o\ac(○,訣)從兩線交點(diǎn)處引出的共線，線段的乘積相等1．（2020·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，圓內(nèi)一條弦CD與直徑AB相交成30°角，且分直徑成1cm和5cm兩部分，則這條弦的弦心距是_____．2．（2015·浙江寧波·九年級(jí)階段練習(xí)）半圓O的直徑AB=9，兩弦AB、CD相交于點(diǎn)E，弦CD=，且BD=7，則DE=_______3．（2018·四川資陽(yáng)·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H.(1)求證：AHAB=AC2；(2)若過(guò)A的直線與弦CD(不含端點(diǎn))相交于點(diǎn)E，與⊙O相交于點(diǎn)F，求證：AEAF=AC2；(3)若過(guò)A的直線與直線CD相交于點(diǎn)P，與⊙O相交于點(diǎn)Q，判斷APAQ=AC2是否成立(不必證明).1．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·九年級(jí)期末）我們定義：如果圓的兩條弦互相垂直且相交，那么這兩條弦互為“十字弦”，也把其中的一條弦叫做另一條弦的“十字弦”．如圖1，已知⊙O的兩條弦AB⊥CD，則AB、CD互為“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．【概念理解】（1）若⊙O的半徑為5，一條弦AB=8，則弦AB的“十字弦”CD的最大值為，最小值為．（2）如圖2，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直徑，弦AB與CD相交于H，連接AC，若AC=12，DH=7，CH=9，求證︰AB、CD互為“十字弦”；【問(wèn)題解決】（3）如圖3，在⊙O中，半徑為，弦AB與CD相交于H，AB、CD互為“十字弦”且AB=CD，，則CD的長(zhǎng)度．1．（2017·黑龍江哈爾濱·中考真題）如圖，中，弦，相交于點(diǎn)，，，則的大小是