高等數(shù)學(xué)上第六講教學(xué)提綱

高等數(shù)學(xué)（上）第六講第一章第三節(jié)函數(shù)的極限（1）教學(xué)內(nèi)容自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限函數(shù)極限的性質(zhì)備注教學(xué)要求理解函數(shù)極限的概念、理解函數(shù)左、右極限的概念理解極限存在與左、右極限之間的關(guān)系掌握極限的性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)自變量趨于有限值或無窮大時(shí)函數(shù)的極限教學(xué)難點(diǎn)函數(shù)極限的概念第三節(jié)函數(shù)的極限前面討論了數(shù)列xn=f(n)的極限?，F(xiàn)在討論y=f(x)的極限,并且,x不是離散變化的,而是連續(xù)變化的.函數(shù)的極限它是函數(shù)極限中的特殊情形,特殊性在于:n只取自然數(shù),且n趨于無窮大.(1)x,自變量x大致有兩種變化形式.(2)x

x0(有限數(shù)).

一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限(1)1、x+時(shí),f(x)的極限一、x

時(shí),f(x)的極限xy0f(x)AX(2)當(dāng)自變量越來越大時(shí),函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值能否與常數(shù)越來越接近.Axy0f(x)AX.(幾何意義)

x

趨于正無窮大時(shí)的極限對(duì)滿足x>X的一切點(diǎn)x,其相應(yīng)的曲線上的點(diǎn)落在綠色區(qū)域內(nèi).此時(shí)也稱當(dāng)x+(x–)時(shí),f(x)的極限存在.否則,稱它的極限不存在.(4)若

>0,X>0,當(dāng)x>X(或x<X)時(shí),有|f(x)A|<

.注1.

將函數(shù)極限定義和數(shù)列極限定義相比較,將xn=f(n)換成了f(x).

將“正整數(shù)N”換成“實(shí)數(shù)X>0”.數(shù)列極限中n是離散變化的,而x是連續(xù)變化的.若

>0,正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時(shí),都有|xn

a|<

,(5)例1.證明其中0<a<1.證:

0<

<1,y=ax1yx0

xXy只須若

>0,X>0,當(dāng)x>X(或x<X)時(shí),有|f(x)A|<

.

要使|ax0|=ax<

.(6)定義2.設(shè)f(x)在(,M)

(M,+)內(nèi)有定義.|f(x)

A|<

則稱A為

f(x)當(dāng)x

時(shí)的極限,由定義1,2可知記作

若

>0,X>0,當(dāng)|x|>X時(shí),相應(yīng)的函數(shù)值滿足2、x

時(shí),f(x)的極限注意：：(7)xy0f(x)AX–X其相應(yīng)的曲線上的點(diǎn)落在綠色區(qū)域內(nèi).x趨于無窮大時(shí)的極限

A的

鄰域,

X>0,A+

A–

對(duì)滿足|x|>X的一切點(diǎn)x,(8)證：例2當(dāng)|x|>X時(shí)要證對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，總存在著正