湖南省邵陽市武岡市2024屆高三上學期期中考試數學試題含答案

2023年下學期期中考試試卷高三數學本試卷分為問卷和答卷.考試時量120分鐘，滿分150分.請將答案寫在答題卡上.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知，若復數為純虛數，則復數在復平面內對應的點所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若向量，則“”是“向量的夾角為鈍角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件4.設等差數列的公差為，前項和為，若，且，則（）A B. C.1 D.35.已知某種垃圾的分解率為，與時間（月）滿足函數關系式（其中，為非零常數），若經過12個月，這種垃圾的分解率為10%，經過24個月，這種垃圾的分解率為20%，那么這種垃圾完全分解，至少需要經過（）（參考數據：）A.48個月 B.52個月 C.64個月 D.120個月6.已知函數的部分圖象如圖所示，其中.在已知的條件下，則下列選項中可以確定其值的量為（）A. B. C. D.7.已知向量滿足，且，則（）A. B. C. D.8.已知函數，當時，恒成立，則m的取值范圍為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.9.關于函數，下列結論正確是（）A.的最小正周期為 B.的最大值為2C.在上單調遞減 D.是的一條對稱軸10.設等比數列的公比為，其前n項和為，前n項積為，并滿足，，，下列結論正確的有（）A. B.C.是數列中的最大項 D.是數列中的最大項11.已知過拋物線T：的焦點F的直線l交拋物線T于A，B兩點，交拋物線T的準線與點M，，，則下列說法正確的有（）A.直線l的傾斜角為150° B.C.點F到準線距離為8 D.拋物線T的方程為12.如圖，在直四棱柱中，分別為側棱上一點，，則（）A.B.可能為C.的最大值為D.當時，三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則_____.14.某班派遣五位同學到甲，乙，丙三個街道進行打掃活動，每個街道至少有一位同學去，至多有兩位同學去，且兩位同學去同一個街道，則不同的派遣方法有_________種.15.已知體積為96的四棱錐的底面是邊長為的正方形，底面ABCD的中心為，四棱錐的外接球球心O到底面ABCD的距離為2，則點P的軌跡的長度為_________.16.已知函數有兩個極值點，且，則實數m的取值范圍是__________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知數列滿足（1）令，求證：數列為等比數列；（2）求數列的前項和為.18.如下圖，在直三棱柱中，，分別為，的中點，且，.（1）求三棱錐的體積；（2）求直線與平面所成角的余弦值.19.某公司有A，B，C型三輛新能源電動汽車參加陽光保險，每輛車需要向陽光保險繳納800元的保險金，若在一年內出現事故每輛車可賠8000元的賠償金（假設每輛車每年最多賠償一次）.設型三輛車一年內發(fā)生事故的概率分別為，，，且每輛車是否發(fā)生事故相互獨立.（1）求該公司獲賠的概率；（2）設獲賠金額為X，求X的分布列和數學期望.20.在中，a、b、c分別為角所對的三邊，若（1）求角C；（2）若，求的最大值.21.如圖，橢圓，點在橢圓C上，為其上下頂點，且，過點P作兩直線與分別交橢圓C于兩點，若直線與的斜率互為相反數.（1）求橢圓的標準方程；（2）求的最大值.22已知函數.（1）若在上為單調函數，求實數a的取值范圍：（2）若，記的兩個極值點為，，記的最大值與最小值分別為M，m，求的值.2023年下學期期中考試試卷高三數學本試卷分為問卷和答卷.考試時量120分鐘，滿分150分.請將答案寫在答題卡上.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據并集的定義可求得集合.【詳解】因為集合，，則.故選：B.2.已知，若復數為純虛數，則復數在復平面內對應的點所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根據已知列式解出，即可根據復數的運算得出答案.【詳解】復數是純虛數，，且，故，.故復數在復平面內對應的點在第一象限，故選：A.3.若向量，則“”是“向量的夾角為鈍角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據向量的夾角為鈍角求出m的范圍，即可判斷“”和“向量的夾角為鈍角”之間的邏輯推理關系，即可得答案.【詳解】向量，由向量的夾角為鈍角，即有，解得且，即“”不能推出“且”即“向量的夾角為鈍角”；“向量的夾角為鈍角”即“且”能推出“”；故“”是“且”的必要不充分條件，即“”是“向量的夾角為鈍角”的必要不充分條件．故選：B．4.設等差數列的公差為，前項和為，若，且，則（）A. B. C.1 D.3【答案】A【解析】【分析】利用等差數列的通項公式與前項和的定義，即可求出公差的值.【詳解】解：等差數列中，，所以；又，所以；所以，解得.故選：A.【點睛】本題考查了等差數列的通項公式與前項和的定義應用問題，是基礎題.5.已知某種垃圾的分解率為，與時間（月）滿足函數關系式（其中，為非零常數），若經過12個月，這種垃圾的分解率為10%，經過24個月，這種垃圾的分解率為20%，那么這種垃圾完全分解，至少需要經過（）（參考數據：）A.48個月 B.52個月 C.64個月 D.120個月【答案】B【解析】【分析】根據已知條件，利用待定系數法求出函數關系式，然后再代入數值計算即可.【詳解】由題意可得，解得，所以，這種垃圾完全分解，即當時，有，即，解得.故選：B6.已知函數的部分圖象如圖所示，其中.在已知的條件下，則下列選項中可以確定其值的量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據函數圖象可知，是函數兩個零點，即可得，利用已知條件即可確定的值.【詳解】根據圖象可知，函數的圖象是由向右平移個單位得到的；由圖可知，利用整體代換可得，所以，若為已知，則可求得.故選：B7.已知向量滿足，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出圖形,根據幾何意義求解.【詳解】因為,所以,即,即,所以.如圖,設,由題知,等腰直角三角形,AB邊上的高,所以,,.故選:D.8.已知函數，當時，恒成立，則m的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】不等式不恒成立，確定此時，恒成立，著重考慮的情形，不等式變形為，再變形為，因此引入函數，利用導數證明它在上是增函數，不等式又變形為，，又引入函數，由導數求得其最大值即得的范圍．【詳解】由題意，若顯然不是恒大于零，故.（由4個選項也是顯然可得），則在上恒成立；當時，等價于，令在上單調遞增.因為，所以，即,再設，令，時，，時，，在上單調遞增，在上單調遞減，從而，所以.故選：D．【點睛】本題考查用導數研究不等式恒成立問題，解題關鍵是問題的化簡與轉化，首先確定，其次確定恒成立，在時，把不等式變形，通過新函數的單調性逐步轉化，最終分離參數轉化為求函數的最值．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.9.關于函數，下列結論正確的是（）A.的最小正周期為 B.的最大值為2C.在上單調遞減 D.是的一條對稱軸【答案】AD【解析】【分析】依題意可得，再根據正弦函數的性質判斷即可.【詳解】因為，所以，所以的最小正周期為，故A正確．當時取最大值，且最大值為，故B錯誤．當時，，所以函數在上單調遞增，故函數在上單調遞增，故C錯誤．因為，所以是的一條對稱軸，故D正確.故選：AD10.設等比數列的公比為，其前n項和為，前n項積為，并滿足，，，下列結論正確的有（）A. B.C.是數列中的最大項 D.是數列中的最大項【答案】ABD【解析】【分析】由已知分析出，，，即可判斷各個選項．【詳解】因為是公比為的等比數列，且，，，若，則為增數列，且，則不成立，故假設不成立，所以，，，對于A，，故A正確．對于B，，故B正確．對于C，根據上面分析，等比數列中的每一項都為正值，所以無最大值，所以數列無最大項，故C錯誤．對于D，等比數列中從到的每一項都大于1，從開始后面每一項都小于1且大于0，所以是數列中的最大項，故D正確．故選：ABD．11.已知過拋物線T：焦點F的直線l交拋物線T于A，B兩點，交拋物線T的準線與點M，，，則下列說法正確的有（）A.直線l的傾斜角為150° B.C.點F到準線的距離為8 D.拋物線T的方程為【答案】BD【解析】【分析】如圖，由題意和拋物線的定義可得、，即可判斷AB；聯(lián)立直線l方程和拋物線方程，根據韋達定理和拋物線的定義可得，解出p即可判斷CD.【詳解】過點A、B分別作AC、BD垂直于準線，垂足分別為C、D，則，因為，所以，，由得，在中，，所以銳角，所以該直線l的傾斜角為.由拋物線的對稱性知，當點A位于第四象限，同理可得該直線l的傾斜角為.綜上，直線l的傾斜角為30°或150°，故A錯誤，B正確．設直線l的方程為，，，由，消去y得，所以，所以，解得，所以點p到準線的距離為4，拋物線T的方程為，故C錯誤，D正確．故選：BD．12.如圖，在直四棱柱中，分別為側棱上一點，，則（）A.B.可能為C.的最大值為D.當時，【答案】ACD【解析】【分析】由題設結合余弦定理可得，進而有，再由線面垂直的判定、性質判斷A；構建空間直角坐標系，應用線線角的向量求法求、的余弦值或范圍判斷B、C；向量法直線位置關系判斷D.【詳解】由題設，四邊形為等腰梯形，且，由，所以，又，結合題圖知：，即，所以，則，即，由題設面，面，則，，面，故面，面，所以，A對；由兩兩垂直，可構建如下圖示的空間直角坐標系，若，則，所以，則，所以不可能為，B錯；由，則，故，令，則，所以，C對；時，顯然，即，D對.故選：ACD【點睛】關鍵點點睛：利用已知及線面垂直的性質、判定確定兩兩垂直，應用向量法判斷其它各項為關鍵.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則_____.【答案】【解析】【分析】根據二項展開式的通項求值.【詳解】，其二項展開式的通項為，，令，即，所以，故答案為：.14.某班派遣五位同學到甲，乙，丙三個街道進行打掃活動，每個街道至少有一位同學去，至多有兩位同學去，且兩位同學去同一個街道，則不同的派遣方法有_________種.【答案】18【解析】【分析】先安排，再將剩余3人分別兩組，和兩個街道進行全排列，求出答案.【詳解】由題意得，學生的分配人數分別為2，2，1，由于兩位同學去同一個街道，故先從3個街道中選擇1個安排，有種，再將剩余3人分別兩組，和兩個街道進行全排列，有故不同的派遣方法有種.故答案為：1815.已知體積為96的四棱錐的底面是邊長為的正方形，底面ABCD的中心為，四棱錐的外接球球心O到底面ABCD的距離為2，則點P的軌跡的長度為_________.【答案】【解析】【分析】由已知可得到底面的距離為6，進而可求外接球的半徑，即可知與不可能在面的兩側，則在垂直于且與球心距離為4的平面與的外接球的交線上，即可求的軌跡長度.【詳解】由題意可知：點P到底面ABCD的高，又因為四棱錐的外接球的球心O到底面ABCD的距離為2，設外接球半徑為R，因為底面ABCD的中心為，所以平面ABCD，則，可得，所以點O與點P不可能在平面ABCD的兩側，如圖所示，所以點P在垂直于且與球心O的距離為4的平面于的外接球的交線上，在以為半徑的圓上，因為，所以，故點P的軌跡長度為．故答案為：.16.已知函數有兩個極值點，且，則實數m的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據極值點的定義，結合函數零點的定義，通過構造函數，利用數形結合思想進行求解即可.【詳解】依題意，有兩個極值點等價于，有兩個不同實根，且，令，得，設，，令，得；令，得；所以在單調遞減，在單調遞增，又當時，，當時，，即，所以，則，，作出與的大致圖象如下：，所以時，．故答案為：.【點睛】關鍵點睛：根據函數極值的定義，結合構造函數法、數形結合法進行求解是解題的關鍵.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知數列滿足（1）令，求證：數列等比數列；（2）求數列的前項和為.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據題意，由等比數列的定義判斷，即可證明；（2）根據題意，結合分組求和法，再由等差數列求和以及等比數列求和公式，代入計算，即可得到結果.【小問1詳解】∵，∴數列是以首項為，公比為等比數列；【小問2詳解】由（1）可知：，∴，從而故.18.如下圖，在直三棱柱中，，分別為，的中點，且，.（1）求三棱錐的體積；（2）求直線與平面所成角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）以為底面，為高，可求得三棱錐的體積；（2）利用坐標法求線面夾角正弦值，進而可得余弦值.【小問1詳解】三棱柱為直三棱柱，平面平面，且平面平面，即平面為矩形，，，且點為中點，，且為直角三角形，，平面，又點為中點，，，，，即，所以；【小問2詳解】如圖所示，以點為坐標原點，為軸，為軸，為軸，則，，，，，，，設平面的法向量為，則，令，則，所以，即，所以，即直線與平面所成角的余弦值為.19.某公司有A，B，C型三輛新能源電動汽車參加陽光保險，每輛車需要向陽光保險繳納800元的保險金，若在一年內出現事故每輛車可賠8000元的賠償金（假設每輛車每年最多賠償一次）.設型三輛車一年內發(fā)生事故的概率分別為，，，且每輛車是否發(fā)生事故相互獨立.（1）求該公司獲賠的概率；（2）設獲賠金額為X，求X的分布列和數學期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）由每輛車發(fā)生事故相互獨立，可通過對立事件的概率計算即可;（2）由題意可得獲賠金額可能為0，8000，16000，24000元，分別計算出概率，列出分布列，求出期望即可.【小問1詳解】設該公司獲賠的概率為，則.【小問2詳解】由題意可知：，8000，16000，24000.則;;;.X080001600024000P.20.在中，a、b、c分別為角所對的三邊，若（1）求角C；（2）若，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先應用坐標的數量積公式計算，再應用正弦定理余弦定理計算即可；（2）先應用平面向量基本定理，再求導函數得出單