《統(tǒng)計(jì)學(xué)-基于SPSS》第4章-隨機(jī)變量的概率分布(S3)

統(tǒng)計(jì)學(xué)—基于SPSS課程內(nèi)容描述統(tǒng)計(jì)、推斷統(tǒng)計(jì)、其他常用方法使用軟件SPSS學(xué)分與課時(shí)3學(xué)分，1~17周，每周3課時(shí)第4

章隨機(jī)變量的概率分布4.1度量事件發(fā)生的可能性4.2隨機(jī)變量概率分布4.3樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布probability2019-5-5學(xué)習(xí)目標(biāo)度量事件發(fā)生的可能性—概率離散型概率分布二項(xiàng)分布連續(xù)型概率分布正態(tài)分布由正態(tài)分布導(dǎo)出的幾個(gè)重要分布t-分布，c2-分布，F(xiàn)-分布樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布2019-5-5問題與思考

彩票中獎(jiǎng)的可能性有多大很多想在彩票市場上賺大錢，這可以理解，但贏得大獎(jiǎng)的人總是少數(shù)。山東的一打工者為了碰運(yùn)氣，半個(gè)小時(shí)花去了1000元錢，買了500張即開型福利彩票，結(jié)果也沒撞上大獎(jiǎng)。有人曾做過統(tǒng)計(jì)，最賺錢的彩票，中彩的概率最高是500萬分之一，有的達(dá)到1000萬分之一甚至更低假定每張彩票面值是2元，大獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金額是500萬元，中將概率是500萬分之一，你花掉1000萬元購買500萬張彩票，即使中了500萬的大獎(jiǎng)，你仍然虧損500萬。況且，從概率的意義上看，即使你購買500萬張彩票，也不能肯定就中大獎(jiǎng)法國人就有這樣的俗語：“中彩的機(jī)會比空難還少。”對于多數(shù)人來說，彩票只是一種數(shù)字游戲，是社會籌集閑散資金的一種方式，而不是一種投資，更不是賭博。相信有了本章介紹的概率方面的知識，你就不會再跟彩票較勁4.1什么是概率概率是什么？怎樣獲得概率？怎樣理解概率？第4章隨機(jī)變量的概率分布2019-5-5什么是概率？

(probability)概率是對事件發(fā)生的可能性大小的度量明天降水的概率是80%。這里的80%就是對降水這一事件發(fā)生的可能性大小的一種數(shù)值度量你購買一只股票明天上漲的可能性是30%，這也是一個(gè)概率一個(gè)介于0和1之間的一個(gè)值事件A的概率記為P(A)2019-5-5怎樣獲得概率？重復(fù)試驗(yàn)獲得概率當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)很多時(shí)，概率P(A)可以由所觀察到的事件A發(fā)生次數(shù)(頻數(shù))的比例來逼近在相同條件下，重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，事件A發(fā)生了m次，則事件A發(fā)生的概率可以寫為

用類似的比例來逼近一家餐館將生存5年的概率，可以用已經(jīng)生存了5年的類似餐館所占的比例作為所求概率一個(gè)近似值主觀概率2019-5-5怎樣理解概率？

投擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面和反面的頻率，隨著投擲次數(shù)n的增大，出現(xiàn)正面和反面的頻率穩(wěn)定在1/2左右(注意：拋擲完成后，其結(jié)果就是一個(gè)數(shù)據(jù)，要么一定是正面，要么一定是反面，就不是概率問題了)4.2隨機(jī)變量的概率分布

4.2.1隨機(jī)變量及其概括性度量

4.2.2隨機(jī)變量的概率分布

4.2.3其他幾個(gè)重要的統(tǒng)計(jì)分布

第4章隨機(jī)變量的概率分布4.2.1隨機(jī)變量及其概括性度量4.2隨機(jī)變量的概率分布2019-5-5什么是隨機(jī)變量？

(randomvariables)事先不知道會出現(xiàn)什么結(jié)果投擲兩枚硬幣出現(xiàn)正面的數(shù)量一座寫字樓，每平方米的出租價(jià)格一個(gè)消費(fèi)者對某一特定品牌飲料的偏好一般用X，Y，Z來表示根據(jù)取值情況的不同分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量2019-5-5離散型隨機(jī)變量

(discreterandomvariables)隨機(jī)變量X

取有限個(gè)值或所有取值都可以逐個(gè)列舉出來x1,x2，…以確定的概率取這些不同的值離散型隨機(jī)變量的一些例子試驗(yàn)隨機(jī)變量可能的取值抽查100個(gè)產(chǎn)品一家餐館營業(yè)一天電腦公司一個(gè)月的銷售銷售一輛汽車取到次品的個(gè)數(shù)顧客數(shù)銷售量顧客性別0,1,2,…,1000,1,2,…0,1,2,…男性為0,女性為12019-5-5連續(xù)型隨機(jī)變量

(continuousrandomvariables)可以取一個(gè)或多個(gè)區(qū)間中任何值所有可能取值不可以逐個(gè)列舉出來，而是取數(shù)軸上某一區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn)連續(xù)型隨機(jī)變量的一些例子試驗(yàn)隨機(jī)變量可能的取值抽查一批電子元件新建一座住宅樓測量一個(gè)產(chǎn)品的長度使用壽命(小時(shí))半年后完工的百分比測量誤差(cm)X

00

X100X

02019-5-5離散型隨機(jī)變量的期望值

(expectedvalue)描述離散型隨機(jī)變量取值的集中程度離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值xi與其取相對應(yīng)的概率pi乘積之和記為

或E(X)，計(jì)算公式為2019-5-5離散型隨機(jī)變量的方差

(variance)隨機(jī)變量X的每一個(gè)取值與期望值的離差平方和的數(shù)學(xué)期望，記為

2

或D(X)描述離散型隨機(jī)變量取值的分散程度計(jì)算公式為方差的平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差，記為

或

D(X)2019-5-5離散型數(shù)學(xué)期望和方差

(例題分析)

【例4—1】一家手機(jī)制造商聲稱，它們所生產(chǎn)的手機(jī)100個(gè)中擁有次品的個(gè)數(shù)及相應(yīng)的概率如下表所示。求該手機(jī)次品數(shù)的期望值和標(biāo)準(zhǔn)差次品數(shù)X=xi0123概率P(X=xi)

pi0.750.120.080.052019-5-5連續(xù)型隨機(jī)變量的期望和方差連續(xù)型隨機(jī)變量的期望值方差4.2.2隨機(jī)變量的概率分布4.2隨機(jī)變量的概率分布2019-5-5離散型隨機(jī)變量的概率分布列出離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值列出隨機(jī)變量取這些值的概率通常用下面的表格來表示X=xix1，x2

，…

，xnP(X=xi)=pip1，p2

，…

，pn

P(X=xi)=pi稱為離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)pi0；常用的有二項(xiàng)分布、泊松分布、超幾何分布等2019-5-5二項(xiàng)試驗(yàn)

(Bernoulli試驗(yàn))

二項(xiàng)分布建立在Bernoulli試驗(yàn)基礎(chǔ)上貝努里試驗(yàn)滿足下列條件一次試驗(yàn)只有兩個(gè)可能結(jié)果，即“成功”和“失敗”“成功”是指我們感興趣的某種特征一次試驗(yàn)“成功”的概率為p，失敗的概率為q=1-p，且概率p對每次試驗(yàn)都是相同的

試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，并可以重復(fù)進(jìn)行n次

在n次試驗(yàn)中，“成功”的次數(shù)對應(yīng)一個(gè)離散型隨機(jī)變量X

2019-5-5二項(xiàng)分布

(Binomialdistribution)重復(fù)進(jìn)行

n

次試驗(yàn)，出現(xiàn)“成功”的次數(shù)的概率分布稱為二項(xiàng)分布，記為X~B(n，p)設(shè)X為n次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)成功的次數(shù)，X取x

的概率為2019-5-5二項(xiàng)分布

(例題分析)

【例4-2】已知一批產(chǎn)品的次品率為4%，從中任意有放回地抽取5個(gè)。求5個(gè)產(chǎn)品中

(1)沒有次品的概率是多少？

(2)恰好有1個(gè)次品的概率是多少？

(3)有3個(gè)以下次品的概率是多少？2019-5-5二項(xiàng)分布

(用SPSS函數(shù)計(jì)算概率)計(jì)算二項(xiàng)分布的概率SPSS2019-5-5連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布連續(xù)型隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間或整個(gè)實(shí)數(shù)軸上的任意一個(gè)值它取任何一個(gè)特定的值的概率都等于0不能列出每一個(gè)值及其相應(yīng)的概率通常研究它取某一區(qū)間值的概率用概率密度函數(shù)的形式和分布函數(shù)的形式來描述2019-5-5正態(tài)分布

(normaldistribution)由C.F.高斯(CarlFriedrichGauss，1777—1855)作為描述誤差相對頻數(shù)分布的模型而提出描述連續(xù)型隨機(jī)變量的最重要的分布許多現(xiàn)象都可以由正態(tài)分布來描述可用于近似離散型隨機(jī)變量的分布例如：二項(xiàng)分布經(jīng)典統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)2019-5-5概率密度函數(shù)f(x)=隨機(jī)變量X的頻數(shù)

=正態(tài)隨機(jī)變量X的均值

=正態(tài)隨機(jī)變量X的方差

=3.1415926;e=2.71828x=隨機(jī)變量的取值(-

<x<+

)2019-5-5正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)圖形是關(guān)于x=

對稱鐘形曲線，且峰值在x=

處均值

和標(biāo)準(zhǔn)差

一旦確定，分布的具體形式也惟一確定，不同參數(shù)正態(tài)分布構(gòu)成一個(gè)完整的“正態(tài)分布族”均值

可取實(shí)數(shù)軸上的任意數(shù)值，決定正態(tài)曲線的具體位置；標(biāo)準(zhǔn)差決定曲線的“陡峭”或“扁平”程度。

越大，正態(tài)曲線扁平；

越小，正態(tài)曲線越高陡峭當(dāng)X的取值向橫軸左右兩個(gè)方向無限延伸時(shí)，曲線的兩個(gè)尾端也無限漸近橫軸，理論上永遠(yuǎn)不會與之相交正態(tài)隨機(jī)變量在特定區(qū)間上的取值概率由正態(tài)曲線下的面積給出，而且其曲線下的總面積等于1

2019-5-5

和

對正態(tài)曲線的影響2019-5-5正態(tài)分布的概率2019-5-5標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

(standardizenormaldistribution)

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)隨機(jī)變量具有均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布任何一個(gè)一般的正態(tài)分布，可通過下面的線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)2019-5-5正態(tài)分布

(用SPSS計(jì)算正態(tài)分布的概率)2019-5-5正態(tài)分布

(例題分析)【例4-5】計(jì)算以下概率

(1)

X～N(50,102)，求和

(2)

Z～N(0,1)，求和

(3)正態(tài)分布概率為0.05時(shí)，求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累積分布函數(shù)的反函數(shù)值z

計(jì)算正態(tài)分布的概率SPSS2019-5-5數(shù)據(jù)正態(tài)性的評估對數(shù)據(jù)畫出頻數(shù)分布的直方圖或莖葉圖若數(shù)據(jù)近似服從正態(tài)分布，則圖形的形狀與上面給出的正態(tài)曲線應(yīng)該相似繪制正態(tài)概率圖。有時(shí)也稱為分位數(shù)—分位數(shù)圖或稱Q-Q圖或稱為P-P圖用于考察觀測數(shù)據(jù)是否符合某一理論分布，如正態(tài)分布、指數(shù)分布、t分布等等P-P圖是根據(jù)觀測數(shù)據(jù)的累積概率與理論分布(如正態(tài)分布)的累積概率的符合程度繪制的Q-Q圖則是根據(jù)觀測值的實(shí)際分位數(shù)與理論分布(如正態(tài)分布)的分位數(shù)繪制的使用非參數(shù)檢驗(yàn)中的Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)(K-S檢驗(yàn))2019-5-5用SPSS繪制正態(tài)概率圖

第1步：選擇【Graphs】下拉菜單，并選擇【P-P】

或【Q-Q】選項(xiàng)進(jìn)入主對話框第2步：在主對話框中將變量選入【Variables】

，點(diǎn)擊【OK】繪制正態(tài)概率圖SPSS2019-5-5正態(tài)概率圖的繪制

(例題分析)P-P圖Q-Q圖

【例4-4】判斷大學(xué)生的月生活費(fèi)支出是否服從正態(tài)分布4.2.3其他幾個(gè)重要的統(tǒng)計(jì)分布4.2隨機(jī)變量的概率分布2019-5-5t-分布

(t-distribution)提出者是WilliamGosset，也被稱為學(xué)生分布(student’st)

t分布是類似正態(tài)分布的一種對稱分布，通常要比正態(tài)分布平坦和分散。一個(gè)特定的分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態(tài)分布2019-5-5由阿貝(Abbe)

于1863年首先給出，后來由海爾墨特(Hermert)和卡·皮爾遜(K·Pearson)

分別于1875年和1900年推導(dǎo)出來設(shè)，則令，則y服從自由度為1的

2分布，即對于n個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量y1

，y2

，yn，則隨機(jī)變量稱為具有n個(gè)自由度的

2分布，記為c2-分布

(

2-distribution)2019-5-5分布的變量值始終為正分布的形狀取決于其自由度n的大小，通常為不對稱的正偏分布，但隨著自由度的增大逐漸趨于對稱期望為：E(

2)=n，方差為：D(

2)=2n(n為自由度)可加性：若U和V為兩個(gè)獨(dú)立的

2分布隨機(jī)變量，U~

2(n1)，V~

2(n2),則U+V這一隨機(jī)變量服從自由度為n1+n2的

2分布c2-分布

(性質(zhì)和特點(diǎn))2019-5-5不同自由度的c2

分布2019-5-5為紀(jì)念統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)希爾(R.A.Fisher)

以其姓氏的第一個(gè)字母來命名則設(shè)若U為服從自由度為n1的

2分布，即U~

2(n1)，V為服從自由度為n2的

2分布，即V~

2(n2),且U和V相互獨(dú)立，則稱F為服從自由度n1和n2的F分布，記為F-分布

(F

distribution)2019-5-5不同自由度的F分布4.3樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布

4.3.1統(tǒng)計(jì)量及其分布

4.3.2樣本均值的分布

4.3.3其他統(tǒng)計(jì)量的分布

4.3.4統(tǒng)計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)誤差第4章隨機(jī)變量的概率分布4.3.1統(tǒng)計(jì)量及其分布4.3樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布2019-5-5參數(shù)和統(tǒng)計(jì)量參數(shù)(parameter)描述總體特征的概括性數(shù)字度量，是研究者想要了解的總體的某種特征值一個(gè)總體的參數(shù)：總體均值(

)、標(biāo)準(zhǔn)差(

)、總體比例(

)；兩個(gè)總體參數(shù)：(

1-2)、(

1-2)、(

1/2)總體參數(shù)通常用希臘字母表示統(tǒng)計(jì)量(statistic)用來描述樣本特征的概括性數(shù)字度量，它是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出來的一些量，是樣本的函數(shù)一個(gè)總體參數(shù)推斷時(shí)的統(tǒng)計(jì)量：樣本均值(

x)、樣本標(biāo)準(zhǔn)差(s)、樣本比例(p)等兩個(gè)總體參數(shù)推斷時(shí)的統(tǒng)計(jì)量：(

x1-

x2)、(p1-p2)、(s1/s2)樣本統(tǒng)計(jì)量通常用小寫英文字母來表示2019-5-5樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布，是一種理論分布在重復(fù)選取容量為n的樣本時(shí)，由該統(tǒng)計(jì)量的所有可能取值形成的相對頻數(shù)分布隨機(jī)變量是樣本統(tǒng)計(jì)量樣本均值,樣本比例，樣本方差等結(jié)果來自容量相同的所有可能樣本提供了樣本統(tǒng)計(jì)量長遠(yuǎn)而穩(wěn)定的信息，是進(jìn)行推斷的理論基礎(chǔ)，也是抽樣推斷科學(xué)性的重要依據(jù) 抽樣分布

(samplingdistribution)4.3.2樣本均值的分布4.3樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布2019-5-5在重復(fù)選取容量為n的樣本時(shí)，由樣本均值的所有可能取值形成的相對頻數(shù)分布一種理論概率分布推斷總體均值

的理論基礎(chǔ) 樣本均值的分布2019-5-5樣本均值的分布

(例題分析)，2019-5-5樣本均值的分布

(例題分析)2019-5-5樣本均值的分布與總體分布的比較

(例題分析)總體分布樣本均值分布2019-5-5樣本均值的分布

與中心極限定理當(dāng)總體服從正態(tài)分布N(μ,σ2)時(shí)，來自該總體的所有容量為n的樣本的均值

x也服從正態(tài)分布，

x

的期望值為μ，方差為σ2/n。即

x～N(μ,σ2/n)從均值為

，方差為

2的一個(gè)任意總體中抽取容量為n的樣本，當(dāng)n充分大時(shí)，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為μ、方差為σ2/n的正態(tài)分布2019-5-5樣本均值的分布與中心極限定理模擬#中