《高等數(shù)學(xué)》(第三版)教案第八章全

第8章矩陣與線性方程組8.1.1矩陣的概念課題8.1.1矩陣的概念教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)（1）理解并掌握矩陣的概念；（2）掌握幾類特殊矩陣的表示形式；（3）學(xué)會(huì)用矩陣方法解決問題.能力目標(biāo)通過教學(xué)活動(dòng)使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活的聯(lián)系不可分割性，培養(yǎng)學(xué)生善于觀察能力教學(xué)重點(diǎn)矩陣的概念、幾類特殊矩陣教學(xué)難點(diǎn)用矩陣方法解決問題教法學(xué)法探究式問題教學(xué)法、小組學(xué)習(xí)法。2課時(shí)。教學(xué)反思用實(shí)例引入矩陣的概念，在教學(xué)中啟發(fā)學(xué)生用矩陣方法解決數(shù)學(xué)或?qū)嶋H問題，在講解特殊矩陣時(shí)要求學(xué)生會(huì)寫出相應(yīng)的具體特殊矩陣形式.教學(xué)過程設(shè)計(jì)意圖一、知識(shí)回顧向量表示二、情境引入兩個(gè)兒童A和B一起玩“石頭—剪刀—布”的游戲，當(dāng)A,B各自選定一種出法的時(shí)候，就確定了一個(gè)“局勢(shì)”，可以據(jù)此定出各自的輸贏，我們規(guī)定勝者得2分，負(fù)者得-2分，平手時(shí)得0分.如何用數(shù)表形式對(duì)上述中表示各種可能的“局勢(shì)”下A的得分情況進(jìn)行表述？三、合作探究（講授新課）1.學(xué)習(xí)新知(一)、矩陣的概念A(yù)得分情況可用表4-1表示如下：表４－1ABABB石頭剪刀布石頭022剪刀202布220為了研究方便，把表中的數(shù)據(jù)用數(shù)表形式描述為：．?dāng)?shù)學(xué)上把這種數(shù)表稱為矩陣.由個(gè)數(shù)排成的一個(gè)行、列的矩形數(shù)表稱為行列矩陣，簡(jiǎn)稱矩陣,常用大寫字母等表示,行列矩陣也記作，(或),其中為矩陣的行數(shù)，為矩陣的列數(shù)，稱為矩陣的第行第列元素（或簡(jiǎn)稱為元）．(二)、相等矩陣兩個(gè)矩陣的行數(shù)和列數(shù)分別相等時(shí)，就稱它們是同型矩陣．如果矩陣與是同型矩陣，且各對(duì)應(yīng)元素也相等，則稱矩陣與相等，記作．【例1】設(shè)，，如果，求,,,．解：由必有解方程組,得．(三)、特殊矩陣(1)方陣當(dāng)時(shí)，，稱矩陣為階方陣，元素稱為主對(duì)角線上的元素，簡(jiǎn)稱為主對(duì)角元．(2)行矩陣、列矩陣當(dāng)時(shí)，，只有一行的矩陣稱為行矩陣．當(dāng)時(shí)，，只有一列的矩陣稱為列矩陣．(3)對(duì)角矩陣除了主對(duì)角線上的元素以外，其余元素全為零的方陣稱為對(duì)角矩陣.(4)單位矩陣主對(duì)角元全為1的n階對(duì)角矩陣稱為n階單位矩陣，簡(jiǎn)稱n階單位陣，記作．例如表示3階單位陣.(5)零矩陣所有元素都是零的矩陣稱為零矩陣,記為O.例如是3行2列的零矩陣.2.探究例題gggggggg（單位：kw?h）、天然氣（單位：m3）的使用情況如表4-2所示．表４－2物業(yè)月份物業(yè)月份水（t）電(kw?h)天然氣（m3）7月10180188月9190169月1017015用矩陣的形式來描述上述數(shù)據(jù).解：上述數(shù)據(jù)可以用3階方陣來表示:．【例3】在線性方程組中，如果把它的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)按按原來順序?qū)懗觯涂梢缘玫揭粋€(gè)m行、n+1列的矩陣：．四、課堂練習(xí)1.把線性方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)按原來的順序?qū)懗梢粋€(gè)3行5列的矩陣．2.寫出矩陣的元素．3.當(dāng)時(shí)，的值各為多少？五、課堂小結(jié)1、矩陣的概念；2、幾類特殊矩陣；3、運(yùn)用矩陣方法解決問題——復(fù)雜問題矩陣六、布置作業(yè)高等數(shù)學(xué)習(xí)題集“作業(yè)8.1.1”中的1，2，3，4向量表示形式也是特殊矩陣的一種表示形式，在此復(fù)習(xí)向量的表示也作為引入新課的一個(gè)內(nèi)容用引例引入新課，增加學(xué)生學(xué)習(xí)興趣引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)表來表述數(shù)據(jù)說明數(shù)表特點(diǎn)，引出矩陣概念，過渡自然講授相等矩陣概念，強(qiáng)調(diào)行數(shù)與列數(shù)分別相等幾個(gè)常見的特殊矩陣，要求熟練掌握此處說明行矩陣（列）矩陣與行（列）向量是同一內(nèi)容不同的說法講解時(shí)要求學(xué)生寫出具體的矩陣通過應(yīng)用舉例，用矩陣來表述實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)關(guān)系時(shí)，要理解行和列元素所代表的實(shí)際意義在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用例子相應(yīng)的課堂練習(xí)鞏固所學(xué)知識(shí)總結(jié)課堂內(nèi)容，加深所學(xué)知識(shí)課題8.1.2矩陣的運(yùn)算教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)（1）熟練掌握矩陣的加減、乘法、數(shù)乘、轉(zhuǎn)置運(yùn)算及其規(guī)律；（2）會(huì)用Excel軟件求解矩陣的運(yùn)算.能力目標(biāo)通過教學(xué)活動(dòng)使學(xué)生體會(huì)矩陣運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算區(qū)別，培養(yǎng)學(xué)生善于思考、分析問題能力，以及計(jì)算能力.教學(xué)重點(diǎn)矩陣的運(yùn)算教學(xué)難點(diǎn)矩陣乘法運(yùn)算以及在實(shí)際中的應(yīng)用教法學(xué)法講授法教學(xué)法，小組學(xué)習(xí)法。4課時(shí)。教學(xué)反思在教學(xué)中進(jìn)行比較矩陣的運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算的區(qū)別，學(xué)生在矩陣乘法運(yùn)算在實(shí)際問題中的應(yīng)用會(huì)有所困難，注重在這方面的引導(dǎo).教學(xué)過程設(shè)計(jì)意圖一、知識(shí)回顧矩陣概念及特殊矩陣二、情境引入英國某個(gè)城鎮(zhèn)中，每年有20%的已婚女姓離婚，30%的單身女性結(jié)婚．城鎮(zhèn)中有8000位已婚女性和3000位單身女性．假設(shè)所有女性的總數(shù)為一常數(shù)，一年后有多少已婚女性和單身女性呢？三、合作探究（講授新課）1.學(xué)習(xí)新知（一）、矩陣加（減）法設(shè)，均為矩陣，和中對(duì)應(yīng)元素相加（減）所得到的新矩陣，稱為矩陣與的和（差），記作，即＝．矩陣加法滿足下列運(yùn)算律：（1）交換律：；（2）結(jié)合律：；注意：只有同型的兩個(gè)矩陣才能進(jìn)行矩陣的加法運(yùn)算．【例1】設(shè)，求，．解：，．（二）、-數(shù)乘矩陣設(shè)，是任意的一個(gè)實(shí)數(shù)，用數(shù)乘以矩陣的所有元素所得到的新矩陣，稱為的數(shù)乘矩陣，記作，即．?dāng)?shù)乘矩陣滿足下列運(yùn)算律：（A、B為矩陣，、為常數(shù)）（1）分配律，；（2）結(jié)合律．【例2】設(shè)，求矩陣．其中，.解：由得．（三）、-矩陣的乘法某鄉(xiāng)有甲、乙、丙三個(gè)村，今年農(nóng)作物產(chǎn)量如表4-3所示：表４-3農(nóng)作物產(chǎn)量表單位：t農(nóng)作物運(yùn)輸價(jià)格及收購價(jià)格用以下矩陣表示（單位：百元/t）．如何求三個(gè)村四種農(nóng)作物運(yùn)輸價(jià)格和收購價(jià)格（單位：百元）？上述問題中費(fèi)用用矩陣來表示，即可記為，具體表示如下：運(yùn)輸價(jià)格運(yùn)輸價(jià)格收購價(jià)格收購價(jià)格故上述運(yùn)算過程給出了矩陣與矩陣乘法的一個(gè)實(shí)際應(yīng)用背景．設(shè)矩陣，，稱矩陣為矩陣與的乘積，記作，其中．注意：（1）只有當(dāng)矩陣的列數(shù)等于矩陣的行數(shù)時(shí)，才有意義．（2）矩陣的行數(shù)等于的行數(shù)，列數(shù)等于矩陣的列數(shù)．【例3】設(shè),，求．解：【例4】設(shè)，，求與．解：,無意義．由此例可以看出，矩陣乘積一般不滿足交換律，即．特殊地，．矩陣乘法滿足以下運(yùn)算律：（1）結(jié)合律：；（為常數(shù)）；（2）分配律：，．（四）、-矩陣的轉(zhuǎn)置的行與列依次互換位置，得到n乘m矩陣，稱為A的轉(zhuǎn)置，記作,即.例如，矩陣，則．可以驗(yàn)證，轉(zhuǎn)置矩陣有如下運(yùn)算性質(zhì)：（1）；（2）；（3）（為常數(shù)）；（4）；2.探究例題現(xiàn)在來解決引入的問題：可構(gòu)造矩陣A：第一行元素分別為1年后仍處于婚姻狀態(tài)的已婚女性和已婚的單身女性的百分比.第二行元素分別為1年后離婚的已婚女性和未婚的單身女性的百分比.因此有，一年后已婚女性和單身女性人數(shù)可以用乘以計(jì)算：故一年后將有7300位已婚女性和3700位單身女性.四、課堂練習(xí)1．設(shè)，求2．設(shè)；(1）計(jì)算(2）若.（3）設(shè)，求五、課堂小結(jié)1.矩陣的加法2.數(shù)乘矩陣3.矩陣的乘法4.矩陣的轉(zhuǎn)置六、布置作業(yè)高等數(shù)學(xué)習(xí)題集“作業(yè)8.1.2”中的1，2，6與“作業(yè)8.1.2”中的3，4，52.拓展作業(yè)根據(jù)本節(jié)內(nèi)容和自己的專業(yè)、特長，上網(wǎng)閱讀、查找相關(guān)資料3.上機(jī)操作利用Excel求解矩陣的加法、數(shù)乘、乘法引例導(dǎo)入激發(fā)學(xué)生興趣定義運(yùn)算并講述運(yùn)算律，在此與數(shù)的加法進(jìn)行比較教學(xué)，以便更好掌握知識(shí)數(shù)乘矩陣體現(xiàn)了數(shù)與矩陣的聯(lián)系應(yīng)用舉例鞏固數(shù)乘矩陣的定義用實(shí)例引入，更好理解矩陣相乘定義矩陣相乘數(shù)學(xué)例子矩陣相乘在實(shí)際問題中應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)矩陣?yán)镌氐囊饬x，并引導(dǎo)學(xué)生思考---兩年后該城鎮(zhèn)的已婚女性和單身女性的數(shù)量課堂鞏固練習(xí)總結(jié)矩陣幾種運(yùn)算的定義和運(yùn)算規(guī)律課題8.2矩陣的秩教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)（1）理解矩陣初等行變換的三種形式；（2）學(xué)會(huì)利用初等行變換方法化階梯形矩陣和行簡(jiǎn)化階梯形矩陣；（3）了解矩陣的秩的定義；（4）掌握利用初等行變換求矩陣的秩．能力目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算能力，以及善于觀察能力教學(xué)重點(diǎn)用初等行變換方法化階梯形矩陣，矩陣的秩的求法教學(xué)難點(diǎn)用初等行變換方法化行簡(jiǎn)化階梯形矩陣，矩陣的秩的求法教法學(xué)法啟發(fā)式教學(xué)法，小組討論學(xué)法。2課時(shí)。教學(xué)反思先熟悉初等行變換的三種形式，用循序漸近的方法舉例講解，講解時(shí)要求學(xué)生注意矩陣變換過程，學(xué)生在用初等行變換求矩陣的秩是個(gè)難點(diǎn)，講解時(shí)特別強(qiáng)調(diào)階梯形矩陣的形式教學(xué)過程設(shè)計(jì)意圖一、知識(shí)回顧復(fù)習(xí)特殊矩陣二、情境引入線性方程組的解有以下三種情況：唯一解、無窮多解、無解，如何判斷線性方程組有解無解，或解多解少？三、合作探究（講授新課）1.學(xué)習(xí)新知（一）、矩陣的初等行變換矩陣的初等行變換是指對(duì)矩陣施行如下三種變換：（1）對(duì)換變換：交換矩陣兩行,如交換兩行，可記為（eq\o\ac(○,i)eq\o\ac(○,j)）；（2）倍乘變換：用一個(gè)非零數(shù)乘以矩陣的某一行；如第行乘以，可記為eq\o\ac(○,i)；（3）倍加變換：把矩陣的某一行乘以數(shù)后加到另一行上去,如第行乘以后加到第行上，可記為eq\o\ac(○,i)+eq\o\ac(○,j)．（二）、階梯形矩陣和行簡(jiǎn)化階梯形矩陣滿足以下條件的矩陣稱為階梯形矩陣：（1）矩陣的零行若存在,均在矩陣的最下方；（2）各個(gè)非零行的第一個(gè)非零元素所在列的下方元素全為零例如矩陣，，，都是階梯形矩陣．如果階梯形矩陣還滿足以下條件，稱為行簡(jiǎn)化階梯形矩陣：（1）各非零行的第一個(gè)非零元素都是；（2）所有第一個(gè)非零元素所在列的其余元素都是0．例如矩陣，是行簡(jiǎn)化階梯形矩陣，而矩陣，都不是行簡(jiǎn)化階梯形矩陣．行簡(jiǎn)化階梯形矩陣是一種特殊的階梯形矩陣,其特點(diǎn)是矩陣中非零行的第一個(gè)非零元素都是1,而這些非零元“1”所在的列的其它元素均為0.利用初等行變換可以把矩陣化為階梯形矩陣，進(jìn)而化為行簡(jiǎn)化階梯形矩陣．2.探究例題【例1】用矩陣的初等行變換將矩陣先化為階梯形矩陣，再化為行簡(jiǎn)化階梯形矩陣．解：3.學(xué)習(xí)新知矩陣的階梯形矩陣中所含非零行的個(gè)數(shù)，稱為矩陣的秩，記作.由定義可知求矩陣的秩，只需把它化為階梯形矩陣，階梯形矩陣中非零行的個(gè)數(shù)，就是矩陣的秩．例如，，，.對(duì)于階方陣，如果，那么稱為滿秩矩陣，或稱非奇異矩陣．上述的B，都是滿秩矩陣4.探究例題【例1】設(shè)，判斷是否為滿秩矩陣．解:，故是滿秩矩陣.【例2】設(shè)，,求,.解:.故=3．.故=3．事實(shí)上，我們觀察到矩陣是由矩陣增加一列而構(gòu)成，在利用初等行變換求矩陣的秩的過程中可以觀察到，刪除每一步最后一列正是矩陣經(jīng)過初等行變換的變化過程.換句話說，今后只要利用初等行變換將矩陣化為階梯形矩陣，就可以同時(shí)得到A與的秩.四.課堂練習(xí)1．用矩陣的初等行變換將矩陣化為階梯形矩陣.2．用矩陣的初等行變換將矩陣化為行簡(jiǎn)化階梯形矩陣.3．求下列矩陣的秩（1）；（2）；（3）．五、課堂小結(jié)1.初等變換的三種形式：對(duì)換、數(shù)乘、倍加；2.用初等行變換化矩陣為階梯形矩陣和行簡(jiǎn)化階梯形矩陣；3.用初等行變換求矩陣的秩．六、布置作業(yè)高等數(shù)學(xué)習(xí)題集“作業(yè)8.2.1”中的1、2“作業(yè)8.2.2”中的1.線性方程組的解的討論離不開一個(gè)重要概念---秩，求秩常見方法用初等變換法，初等變換的三種變換定義要對(duì)比講解階梯形矩陣概念不好理解，講述時(shí)可以舉階梯形與不是階梯形矩陣的例子，以便比較比較階梯形與行簡(jiǎn)化階梯形矩陣的特征用初等變換來化階梯形矩陣講述滿秩矩陣定義時(shí)，還要啟發(fā)學(xué)生觀察滿秩矩陣的特點(diǎn)詳細(xì)的步驟讓學(xué)生養(yǎng)成認(rèn)真學(xué)習(xí)習(xí)慣課堂鞏固練習(xí)小結(jié)課堂內(nèi)容，小結(jié)時(shí)特別強(qiáng)調(diào)秩的定義課題8.3逆矩陣教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)（1）理解逆矩陣概念；（2）了解逆矩陣的性質(zhì)；（3）會(huì)判定逆矩陣的存在性；（4）熟練掌握求逆矩陣的方法．能力目標(biāo)通過對(duì)實(shí)際問題的分析，培養(yǎng)學(xué)生善于觀察問題和分析問題的能力，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生自覺應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生利用軟件輔助求解數(shù)學(xué)中的問題教學(xué)重點(diǎn)逆矩陣的判定和求逆矩陣教學(xué)難點(diǎn)求逆矩陣教法學(xué)法演示教學(xué)法、小組學(xué)習(xí)法.。2課時(shí)。教學(xué)反思教學(xué)中要說明逆矩陣存在情況下進(jìn)行求解，因?yàn)榍竽婢仃囈彩欠爆嵉囊粋€(gè)過程，所以要求學(xué)生求解每步都要求認(rèn)真仔細(xì)，否則計(jì)算量更大，同時(shí)要求結(jié)果要驗(yàn)驗(yàn)是否為逆矩陣教學(xué)過程設(shè)計(jì)意圖一、知識(shí)回顧矩陣初等行變換二、情境引入破譯密文與構(gòu)造密鑰是當(dāng)今密碼學(xué)的熱點(diǎn)，如何用矩陣?yán)碚搧斫馕雒艽a學(xué)中的“加密”和“解密”呢？三、合作探究1.學(xué)習(xí)新知（一）、逆矩陣概念對(duì)于矩陣，如果存在矩陣，使得，則稱為可逆矩陣，矩陣稱為的逆矩陣，記作，即．由定義知：（1）單位矩陣可逆，且；（2）如果是可逆矩陣，那么也是可逆矩陣．并且與互為逆陣，即，；（3）可逆矩陣一定是方陣，可逆矩陣的逆是唯一的；【例１】設(shè)，，判斷與是否互為逆矩陣？解：，，由定義知與互為逆矩陣．（二）、可逆矩陣的性質(zhì)設(shè)和為同階可逆方陣，數(shù)．則（1）；（2）；（3）；（4）．（三）、矩陣可逆的判別矩陣的逆存在性問題也是線性代數(shù)中研究的重要內(nèi)容，為了判別逆的存在性，這里引入一個(gè)新概念-----行列式．(１).行列式設(shè)二階方陣，定義一個(gè)的二階行列式：det=，并規(guī)定的二階行列式的值為.設(shè)三階方陣，定義一個(gè)的三階行列式:det，并規(guī)定的三階行列式的值為【例2】求行列式和．解：，.對(duì)于階方陣，同樣可以定義一個(gè)階行列式：，其值可以用軟件Excel求解．(2).矩陣可逆的判別定理定理1：矩陣可逆的充要條件是．定理2：矩陣可逆的充要條件是A為滿秩矩陣．（四）、用初等行變換法求矩陣的逆為了方便研究，我們把階方陣與同階的單位矩陣寫成一個(gè)矩陣，中間用豎線隔開，即，然后利用初等行變換，若能化成單位矩陣，則說明可逆，在相同的變換下，原來的就化成了，簡(jiǎn)寫為．2.探究例題【例3】求矩陣的逆矩陣．解:所以可逆，且．【例4】求解矩陣方程X=．解：設(shè),，則原方程可寫為所以，由于可逆，則由得，從而．矩陣密碼法是信息編碼與解碼的技巧，其中的一種就是基于利用可逆矩陣的方法，先在26個(gè)英文字母與數(shù)字間建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，例如可以是：若要發(fā)出信息“ILOVEYOU”;使用上述代碼，則此信息碼為：“9,12,15,22,5,25,15,21”,此種編碼很容易被別人破譯．我們可以用矩陣乘法對(duì)明文“ILOVEYOU”進(jìn)行加密，進(jìn)行加密后傳送.然后合法用戶進(jìn)行解密，具體做法如下:（1）選擇一個(gè)可逆矩陣作為加密矩陣，如選擇：記明文的編碼為(空格對(duì)應(yīng)于0)(2)即密文編碼為”24,3,-3,37,-17,-10,21,-21,0”.(3)合法用戶解密:只用左乘上述矩陣便可得到“明碼”.四、課堂練習(xí)1．利用矩陣的初等行變換判斷下列矩陣是否可逆，若可逆，求其逆.(1)；(2);(3)；(4)．2．已知矩陣方程X=，求矩陣X．五、課堂小結(jié)1.逆矩陣概念2.可逆矩陣的性質(zhì)3.矩陣可逆的判別4.用初等變換法求矩陣的逆六、布置作業(yè)高等數(shù)學(xué)習(xí)題集“作業(yè)8.3”中的1，2利用Excel求解課堂練習(xí)復(fù)習(xí)初等行變換以便更好掌握新課羅列逆矩陣性質(zhì)，忽略證明行列式的引入也為逆矩陣的判別提供了很不錯(cuò)的方法要求會(huì)計(jì)算低階的行列式，高階的可通過輔助軟件實(shí)現(xiàn)用初等行變換求矩陣的逆時(shí)強(qiáng)調(diào)最后結(jié)果要檢驗(yàn)，把結(jié)果與已知矩陣相乘看是否為單位陣逆矩陣在求解矩陣方程中的應(yīng)用矩陣在密碼學(xué)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用，這部分知識(shí)的引入，一方面讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，另一方面激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，引導(dǎo)學(xué)生思考：再找出一個(gè)3階矩陣作為加密矩陣，并求出密文編碼小結(jié)本課時(shí)內(nèi)容課題8.4線性方程組解的討論教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)（1）了解線性方程組解的判定；（2）學(xué)會(huì)求線性方程組的解．能力目標(biāo)通過對(duì)實(shí)際問題的分析，培養(yǎng)學(xué)生善于觀察問題和分析問題的能力，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生具有用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力教學(xué)重點(diǎn)線性方程組解的判定和求解線性方程組教學(xué)難點(diǎn)求解線性方程組教法學(xué)法講練結(jié)合法教學(xué)、合作學(xué)習(xí)法.2課時(shí)。教學(xué)反思教學(xué)中體現(xiàn)線性方程組的求解與矩陣初等變換是相關(guān)的，同時(shí)強(qiáng)調(diào)線性方程組在實(shí)際中的應(yīng)用教學(xué)過程設(shè)計(jì)意圖一、知識(shí)回顧初等行變換的三種變換二、情境引入我國古代數(shù)學(xué)家張丘建寫的《算經(jīng)》一書中曾經(jīng)解答了下面的題目:雞翁一值錢五,雞母一值錢三,雞雛三值錢一,百錢買百雞,問雞翁、雞母、雞雛各幾何?'三、合作探究（講授新課）1.學(xué)習(xí)新知（一）、線性方程組的矩陣表示上述問題就是求由三個(gè)未知量二個(gè)方程所構(gòu)成的方程組的非負(fù)整數(shù)解的問題.對(duì)于一般線性方程組(4.1)記，，根據(jù)矩陣的乘法，線性方程組(4.1)可表示成矩陣形式：(4.2)式(4.2)稱為線性方程組(4.1)的矩陣表示，矩陣A稱為系數(shù)矩陣，矩陣稱為增廣矩陣．當(dāng)線性方程組(4.1)的常數(shù)項(xiàng)均為0時(shí)，即(4.3)稱它為齊次線性方程組，它的矩陣形式為顯然，任何一個(gè)線性方程組都有唯一的增廣矩陣與之對(duì)應(yīng)．寫出線性方程組的矩陣形式與增廣矩陣．解：設(shè)，，，則方程組的矩陣形式為：AX=B增廣矩陣為．（二）、線性方程組解的判定對(duì)于線性方程組的解，有如下兩個(gè)定理．定理1設(shè)、分別是線性方程組（1）的系數(shù)矩陣與增廣矩陣，那么（1）線性方程組(4.1)無解（或）；（2）線性方程組(4.1)有惟一解；（3）線性方程組(4.1)有無窮多解.由于齊次線性方程組(4.3)的,故齊次線性方程組一定有零解.定理2設(shè)是齊次線性方程組(4.3)的系數(shù)矩陣，那么（1）齊次線性方程組(4.3)只有零解；（2）齊次線性方程組(4.3)有非零解.注意：上述的是指未知量的個(gè)數(shù),而不是方程組中的方程個(gè)數(shù)．【例2】判斷以下線性方程組是否有解？若有解，是惟一解還是有無窮多解？（1）；（2）（3）解：（1）用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即.，根據(jù)定理1，方程組無解．事實(shí)上，若把矩陣寫成其對(duì)應(yīng)的線性方程組，矩陣的第三行對(duì)應(yīng)一個(gè)矛盾方程，故方程組無解.(2)利用初等行變換，將方程組的增廣矩陣化成階梯形矩陣，即.由定理1知，方程組有惟一解．利用初等行變換，將方程組的增廣矩陣化成階梯形矩陣，即,由定理1知，方程組有無窮多解.（三）、求線性方程組的解【例3】求例2（2）中線性方程組的解．解：對(duì)例2（2）中所得的階梯形矩陣?yán)^續(xù)施行初等行變換，化成行簡(jiǎn)化階梯形矩陣：，與原方程同解的方程組，故方程組的解為【例4】求例2（3）中線性方程組的解.解：對(duì)例2（3）中所得的階梯形矩陣?yán)^續(xù)施行初等行變換，化成行簡(jiǎn)化階梯形矩陣：與原方程組同解的方程組為：令，得原方程組的解為：其中為任意常數(shù),這種解的形式稱為線性方程組的通解或一般解.【例5】求解齊次線性方程組解：該齊次線性方程組的系數(shù)矩陣與原方程組同解的方程組為：令，得原方程組的通解為：，其中為任意常數(shù)．2.探究例題【例6】木工，電工，水泥工互相裝修他們自已的房子，每人總工作10天，每人日工資為300—370元，每人的日工資應(yīng)使得每人的總收入與總支出相等，表44為分配方案，問他們的日工資分別為多少？表４－4木工電工水泥工在木工家工作天數(shù)216在電工家工作天數(shù)451在水泥家工作天數(shù)443解：設(shè)木工，電工，水泥的日工資分別為，依題意，則其對(duì)應(yīng)的線性方程組為：化為齊次線性方程組為：其對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣為，把化為階梯形矩陣：與原方程組同解的方程組為設(shè)，得原方程組的通解為：由于每人日工資為300—370元，可取=360，上述方法求解得，即每人日工資分別為310元、320元、360元.四、課堂練習(xí)1．求線性方程組的解（1）；（2）2.求齊次線性方程組的解五、課堂小結(jié)1.線性方程組的矩陣表示2.線性方程組解的判定3.求線性方程組的解六、布置作業(yè)高等數(shù)學(xué)習(xí)題集“作業(yè)8.4”中的1，2利用Excel求解課堂練習(xí)用一道典型的古代數(shù)學(xué)問題引入新課線性方程組的系數(shù)用矩陣來表示線性方程組解的解判定，這部分內(nèi)容要求學(xué)生熟練掌握定理結(jié)論，不作展開證明用初等變換方法及結(jié)合定理1對(duì)線性方程組解的情況進(jìn)行判定無解的情況唯一解的情況無窮解的情況唯一解求解結(jié)果無窮多解的解表示求解齊次線性方程組，當(dāng)無窮多解時(shí)注意其解的表示方式線性方程組求解的實(shí)例結(jié)合實(shí)際情況進(jìn)行求解講完此道例題后可以引導(dǎo)學(xué)生思考：“情境引入”的求解課堂相應(yīng)練習(xí)進(jìn)行鞏固以提問的方式來小結(jié)本次課的內(nèi)容