捕食者-捕食者模型穩(wěn)定性分析

被捕食者—捕食者模型穩(wěn)定性分析【摘要】自然界中不同種群之間還存在著一種非常有趣的既有相互依存、又有相互制約的生活方式：種群甲靠豐富的天然資源生存，種群乙靠捕食甲為生，形成食餌-捕食者系統(tǒng)，如食用魚和鯊魚，美洲兔和山貓，害蟲和益蟲等。本文是基于食餌—捕食者之間的有關(guān)規(guī)律，建立具有自身阻滯作用的兩種群食餌—捕食者模型，分析平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，進(jìn)行相軌線分析，并用數(shù)值模擬方法驗(yàn)證理論分析的正確性?！娟P(guān)鍵詞】食餌—捕食者模型相軌線平衡點(diǎn)穩(wěn)定性一、問題重述在自然界中，存在這種食餌—捕食者關(guān)系模型的物種很多。下面討論具有自身阻滯作用的兩種群食餌-捕食者模型，首先根據(jù)該兩種群的相互關(guān)系建立模型，解釋參數(shù)的意義，然后進(jìn)行穩(wěn)定性分析，解釋平衡點(diǎn)穩(wěn)定的實(shí)際意義，對模型進(jìn)行相軌線分析來驗(yàn)證理論分析的正確性。二、問題分析本文選擇漁場中的食餌(食用魚)和捕食者(鯊魚)為研究對象，建立微分方程，并利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB求出微分方程的數(shù)值解，通過對數(shù)值結(jié)果和圖形的觀察，猜測出它的解析解構(gòu)造。然后，從理論上研究其平衡點(diǎn)及相軌線的形狀，驗(yàn)證前面的猜測。三、模型假設(shè)1.假設(shè)捕食者（鯊魚）離開食餌無法生存；2.假設(shè)大海中資源豐富，食餌獨(dú)立生存時以指數(shù)規(guī)律增長；四、符號說明/——食餌(食用魚)在時刻的數(shù)量；/——捕食者(鯊魚)在時刻的數(shù)量；——食餌(食用魚)的相對增長率；——捕食者(鯊魚)的相對增長率；——大海中能容納的食餌(食用魚)的最大容量；>>plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)')圖1.數(shù)值解，的圖形>>plot(x(:,1),x(:,2)),grid,圖2.相軌線圖形從數(shù)值解及，的圖形可以看出他們的數(shù)量變化情況，隨著時間的推移，都趨于一個穩(wěn)定的值，從數(shù)值解中可以近似的得到穩(wěn)定值為：(1250,214)。下面對其平衡點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性分析：由微分方程(3)、(4)得到如下平衡點(diǎn):,,因?yàn)閮H當(dāng)平衡點(diǎn)位于平面坐標(biāo)系的第一象限時()才有意義，所以，對而言要求>0。按照判斷平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的方法計(jì)算：根據(jù)等于主對角線元素之和的相反數(shù)，而為其行列式的值，我們得到下表：平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件<1>1不穩(wěn)定七、模型分析與檢驗(yàn)1.平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的分析及其實(shí)際意義：1)對而言，有=，=，故當(dāng)<1時，平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。意義：如果穩(wěn)定，則種群乙滅絕，沒有種群的共存。2)對而言，有=，=，故當(dāng)>1時，平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。意義：如果穩(wěn)定，則兩物種恒穩(wěn)發(fā)展，會互相依存生長下去。3)對而言，由于，，又有題知>0,>0,故<0,即是不穩(wěn)定的。2.平衡點(diǎn)的檢驗(yàn)：對于平衡點(diǎn)，把前面給出的初始值帶入，在這使用MATLAB軟件進(jìn)行簡單的求解，在命令窗口輸入如下代碼：>>x(1)=(3500.*(1+1.5))./(1+1.5.*4);>>x(2)=(500.*(4-1))./(1+1.5.*4);>>[x(1);x(2)]ans=1.0e+003*1.25000.2143把此處求解出的解和前面得出的數(shù)值解進(jìn)行比較可知，平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。八、模型的評價(jià)與推廣1.模型的評價(jià)自然界中，任何物種即使是捕食者也有自身的阻滯作用，該模型從原始的沒帶自身阻滯作用模型中加入了阻滯項(xiàng)，使得此模型更接近于生態(tài)平衡系統(tǒng)。從此模型中，我們知道兩物種同時滅絕是不穩(wěn)定的，也就是不太可能的，但兩種群有一種滅絕一種生存是完全有可能的，兩種群共存的可能也是可能的。2.模型的推廣本文只考慮兩物種模型，我們完全可以把此模型推廣到三物種的情形。自然界里長期存在的呈周期變化的生態(tài)平衡系統(tǒng)應(yīng)該是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的，即系統(tǒng)受到不可避免的干擾而偏離原來的周期軌道后，其內(nèi)部制約作用會使系統(tǒng)自動回復(fù)原狀，如恢復(fù)原有的周期和振幅，而Volterra模型描述的周期變化狀態(tài)卻不是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的。要得到能反映周期變化的結(jié)構(gòu)模型，要