高中數(shù)學(xué)學(xué)案1：高中數(shù)學(xué)人教A版2019必修 第二冊(cè) 總體離散程度的估計(jì)

9.2.4總體離散程度的估計(jì)

【新知初探】

要點(diǎn)——組數(shù)據(jù)芯，如…，乂的方差和標(biāo)準(zhǔn)差

若數(shù)據(jù)X”如…，X"的平均數(shù)為X,方差為S,則數(shù)據(jù)mxt+a,mx2+a,…，

mxn+a的平均數(shù)為mx+a,方差為石s?

數(shù)據(jù)為，吊,…，藥的方差為-------=----------,標(biāo)準(zhǔn)差為.

要點(diǎn)二總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差

(1)總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差：如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為K,乂，…，K,

總體平均數(shù)為匕則稱S=----------為總體方差，5=為總體標(biāo)準(zhǔn)差.

(2)總體方差的加權(quán)形式：如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有A(AWA)個(gè),

不妨記為K,感…，及，其中匕出現(xiàn)的頻數(shù)為￡(1=1,2,…，A),則總體方

差為5=------------.

要點(diǎn)三樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差

如果一個(gè)樣本中個(gè)體的變量值分別為乂，的，…，盟，樣本平均數(shù)為%則稱&

=-------為樣本方差，s=為樣本標(biāo)準(zhǔn)差.

要點(diǎn)四標(biāo)準(zhǔn)差的意義

標(biāo)準(zhǔn)差刻畫(huà)了數(shù)據(jù)的或,標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度

越；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越.

要點(diǎn)五分層隨機(jī)抽樣的方差

設(shè)樣本容量為n,平均數(shù)為%其中兩層的個(gè)體數(shù)量分別為%我,兩層的平均

數(shù)分別為打，公，方差分別為s"sL則這個(gè)樣本的方差為s2

【基礎(chǔ)自測(cè)】

［判斷］

1.計(jì)算分層隨機(jī)抽樣的均值與方差時(shí)，必須已知各層的權(quán)重.()

2.若一組數(shù)據(jù)的值大小相等，沒(méi)有波動(dòng)變化，則標(biāo)準(zhǔn)差為0.()

3.標(biāo)準(zhǔn)差越大，表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越集中；標(biāo)準(zhǔn)差越小，表

明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越分散.()

［訓(xùn)練］

1.在教學(xué)調(diào)查中，甲、乙、丙三個(gè)班的數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)分布如圖，假設(shè)三個(gè)班的

平均分都是75分，s”&,S3分別表示甲、乙、丙三個(gè)班數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)

差，則有（)

1人數(shù)人數(shù)人數(shù)

：I成績(jī)，成縝

0:1

507510()°50751005075100

圖1圖2圖3

A.S3>S|>S2B.S2>S1>S3

C.Si>S2>S3D.S3>S2>s

2.某學(xué)員在一次射擊測(cè)試中射靶10次，命中環(huán)數(shù)如下：7,8,7,9,5,4,9,

10,7,4.

則：（1）平均命中環(huán)數(shù)為；

⑵命中環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為.

【題型通關(guān)】

題型一標(biāo)準(zhǔn)差、方差的計(jì)算與應(yīng)用

【例1】從甲、乙兩種玉米苗中各抽10株，分別測(cè)它們的株高如下：（單位:

cm）

甲：25414037221419392142

乙：27164427441640401640

問(wèn)：（1）哪種玉米苗長(zhǎng)得高？

（2）哪種玉米苗長(zhǎng)得齊？

跟蹤訓(xùn)練1某班40名學(xué)生平均分成兩組，兩組

學(xué)生某次考試成績(jī)情況如下所示：組別平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差

求全班這次考試成績(jī)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差.第111.904

第二組806

題型二分層隨機(jī)抽樣的方差

【例2】甲、乙兩支田徑隊(duì)的體檢結(jié)果為：甲隊(duì)隊(duì)員體重的平均數(shù)為60kg,

方差為200,乙隊(duì)隊(duì)員體重的平均數(shù)為70kg,方差為300,又已知甲、乙兩隊(duì)

的隊(duì)員人數(shù)之比為1：4,那么甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的平均體重和方差分別是多

少？

跟蹤訓(xùn)練2已知某省二、三、四線城市數(shù)量之比為1：3：6,2019年8月份

調(diào)查得知該省所有二、三、四線城市房產(chǎn)均價(jià)為1.2萬(wàn)元/平方米，方差為20,

二、三、四線城市的房產(chǎn)均價(jià)分別為2.4萬(wàn)元/平方米，1.8萬(wàn)元/平方米，0.8

萬(wàn)元/平方米，三、四線城市房?jī)r(jià)的方差分別為10,8,則二線城市房?jī)r(jià)的方差

為.

題型三方差、標(biāo)準(zhǔn)差與統(tǒng)計(jì)圖表的綜合應(yīng)用

【例3】甲、乙兩人參加某體育項(xiàng)目訓(xùn)練，近期的五次測(cè)試成績(jī)得分情況如圖

所示.

(1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；

(2)根據(jù)圖形和(1)中計(jì)算結(jié)果，對(duì)兩人的訓(xùn)練成績(jī)作

出評(píng)價(jià).

跟蹤訓(xùn)練3為了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同學(xué)利用假期分別

對(duì)三個(gè)社區(qū)進(jìn)行了“家庭每月日常消費(fèi)額”的調(diào)查.他們將調(diào)查所得到的數(shù)據(jù)分

別繪制成頻率分布直方圖(如圖所示),記甲、乙、丙所調(diào)查數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差分別

為S甲，S乙，S丙，則它們的大小關(guān)系

0.0008

0.00()6-------

().00()4---------------------

().0002-------1

0------------------------------------------'-------?

1(MX)I5002IXX)250030003500家庭顯月日常消費(fèi)額/元

【課堂達(dá)標(biāo)】

1.在某次測(cè)量中得到的力樣本數(shù)據(jù)如下：42,43,46,52,42,50,若8樣本

數(shù)據(jù)恰好是4樣本數(shù)據(jù)每個(gè)都減5后所得數(shù)據(jù)，則8兩樣本的下列數(shù)字特征

對(duì)應(yīng)相同的是()

A.平均數(shù)B.標(biāo)準(zhǔn)差C.眾數(shù)D.中位數(shù)

2.已知一個(gè)樣本中的數(shù)據(jù)為1,2,3,4,5,則該樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為()

A.1B.y/2C.y[3D.2

3.在高一期中考試中，甲、乙兩個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下表：

其中刈=以，則兩個(gè)班數(shù)學(xué)成績(jī)的方差為班級(jí)人數(shù)平均分?jǐn)?shù)方差

()

甲20X甲2

A.3B.2C.2.6D.2.5

乙303

4.某老師從星期一到星期五收到的信件數(shù)X乙

分別為10,6,8,5,6,則該組數(shù)據(jù)的方差為.

5.甲、乙兩機(jī)床同時(shí)加工直徑為100cm的零件，為檢驗(yàn)質(zhì)量，從中各抽取6件

測(cè)量，數(shù)據(jù)為

甲：9910098100100103

乙：9910010299100100

(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；

(2)根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷哪臺(tái)機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定.

【札記】

參考答案

【新知初探】

n

1—.

一2（乂一XL

]—

溜T

（由-x）2

〃，=1

N

]一

病一（f

1一

前（f

]—

樂(lè)—也一獷

離散程度

波動(dòng)幅度

大

小

—[s）4-（X|—x）1+—[52+（*2—x）2]

nn

【基礎(chǔ)自測(cè)】

［判斷］

1.J

2.V

3.X標(biāo)準(zhǔn)差越大，表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越分散；標(biāo)準(zhǔn)差越小,

表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越集中.

［訓(xùn)練］

1.解析所給圖是成績(jī)分布圖，平均分是75,在圖1中，集中在75分附近的數(shù)

據(jù)最多，圖3中從50分到100分均勻分布，所有成績(jī)不集中在任何一個(gè)數(shù)據(jù)附

近，圖2介于兩者之間.由標(biāo)準(zhǔn)差的意義可得s3>s2>s?

答案D

-7+8+7+9+5+4+9+10+7+4

2.解析z(1)77--------------------=7.

(2)VS=^[(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9一7尸+(5-7)2+(4-7>+(9-

222

7)+(10-7)+(7-7)+(4—7)2]=%As=2.

答案(1)7(2)2

【題型通關(guān)】

11

【例1】解(1)^,.=—(25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)=—X300

=30(cm),

11

^=-^(27+16+44+27+44+16+40+40+16+40)=—X310=31(cm).

所以為Kx乙，

即乙種玉米苗長(zhǎng)得高.

(2)品=2[(25—30產(chǎn)+(41-30)2+(40-30)2+(37-30)2+(22-30)2+(14-

22

30產(chǎn)+(19—30尸+(39—30y+(21-30)+(42-30)]=^(25+121+100+49

+64+256+121+81+81+144)=尋1042=104.2(cm2),

旻=42義(27-31)2+3X(16-31)2+2X(44-31)2+3X(40—31)1==XI

288=128.8(cm2).

所以扁〈燧，

即甲種玉米苗長(zhǎng)得齊.

跟蹤訓(xùn)練1解設(shè)第一組數(shù)據(jù)為汨，如…，刈，第二組數(shù)據(jù)為小，松,…,

小，全班平均成績(jī)?yōu)閤,標(biāo)準(zhǔn)差為s

90X20+80X20

根據(jù)題意,有矛==85,

40

1

…+/—20X90')，

20

1

-+^o-2OX8O2),

20

.,.4+團(tuán)---卜焉=20義(42+62+902+802)=291040.

1-1

/.s2=—-----^^一40*)=—(291040—40X852)=51,

s=y[51.

11

【例2】解由題意可知確=60,甲隊(duì)隊(duì)員在所有隊(duì)員中所占權(quán)重為+45-

,44

x乙=70,乙隊(duì)隊(duì)員在所有隊(duì)員中所占權(quán)重為[工=.

1+45

一14

則甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的平均體重為x=^X60+^X70=68(kg),

uO

甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的體重的方差為

14

S2=-[200+(60—68W+[300+(70-68)2]=296.

55

跟蹤訓(xùn)練2解析設(shè)二線城市的房?jī)r(jià)的方差為S2,由題意可知

?36

20=J+(].2—2.4),]+[10+(1.2-1.8)2]+......[8+

l+3+o1+3+61+3+6

(1.2-0.8)2],

解得?=118.52,即二線城市房?jī)r(jià)的方差為118.52.

答案118.52

【例3】解(1)由圖可得甲、乙兩人五次測(cè)試的成績(jī)分別為

甲：10,13,12,14,16；

乙：13,14,12,12,14.

10+13+12+14+16

矛甲=z--13>

13+14+12+12+14_

x乙—-=]3,

□

4=：X[(10—13)2+(13—13)?+(12—13),+(14-13)*2+(16—13)1=4,

□

[(13-13)2+(14-13尸+a2—13y+(12—13)2+(14-13)2]=0.8.

5

(2)由6G靈可知乙的成績(jī)較穩(wěn)定.

從折線圖看，甲的成績(jī)基本呈上升狀態(tài)，而乙的成績(jī)上下波動(dòng)，可知甲的成績(jī)

在不斷提高，而乙的成績(jī)則無(wú)明顯提高.

跟蹤訓(xùn)練3解析根據(jù)頻率分布直方圖知，甲的數(shù)據(jù)絕大部分都處在兩端，離

平均值較遠(yuǎn)，表現(xiàn)的最分散，標(biāo)準(zhǔn)差最大，乙的數(shù)據(jù)分布均勻，不如甲組中偏

離平均值大，標(biāo)準(zhǔn)差比甲的?。槐臄?shù)據(jù)大部分都在平均值左右，數(shù)據(jù)表現(xiàn)的

最集中，標(biāo)準(zhǔn)差最小，故sQs乙＞s丙.

答案s甲〉S乙＞5丙

【課堂達(dá)標(biāo)】

1.解析由6樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個(gè)都減5后所得數(shù)據(jù)，可得平均數(shù)、

眾數(shù)、中位數(shù)分別是原來(lái)結(jié)果減去5,即與A樣本不相同，標(biāo)準(zhǔn)差不變，故選

B.

答案B

-1

2.解析???樣本容量〃=5,???X=￡(1+2+3+4+5)=3,

5

:(1-3)2+(2—3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=^2.

答案B

3.解析由題意可知兩個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)平均數(shù)為1